人教版九年級數(shù)學上冊專項復(fù)習：圓與四邊形綜合（解析版）

專題29圓與四邊形綜合

1.若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為“奇妙四邊形”，如圖1,四邊形

ABCD^,^AC=BD,AC±BD,則稱四邊形ABC。為奇妙四邊形，根據(jù)“奇妙四邊形”對角線互

相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個重要性質(zhì)：“奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半,

根據(jù)以上信息回答：

⑴寫出一種你所知道的特殊四邊形中是“奇妙四邊形”的圖形名稱.

⑵如圖2,已知四邊形A8CD是“奇妙四邊形”，且A,8,C,。在。。上，若。。的半徑為6,ZBCE>=60°,

求“奇妙四邊形22CD的面積，

(3)如圖3,己知四邊形ABC。是“奇妙四邊形”，且A,B,C,。在。。上，作。于M,請猜

測OM與4。的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)正方形

⑵54

(3)0M=1AD,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)即可證明判斷.

(2)如圖2中，連接。8、OD,作OHL5D于〃，則解直角三角形求出8，再根據(jù)

奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半計算即可.

(3)結(jié)論：OM=LAD.如圖3中，連接08、0C、。4、OD,作0E_LA。于E.證明ABOM也

2

△OAE(AAS)即可解決問題.

(1)

,/正方形的兩條對角線互相垂直且相等，

正方形是“奇妙四邊形”，

故答案為：正方形

(2)

如圖2中，連接03、0D,作O"_L3O于"，則

圖2

,/ZBOD=2NBCD=2x60。=120。，

U：OB=OD,

：.ZOBD=30°,

在放△03H中，

9：ZOBH=30°,

：.OH=-OB=3

2f

:?BH=60H=36

?:BD=2BH=6y[i,

：.AC=BD=6y/3

???“奇妙四邊形的面積=,%。3。=54.

2

(3)

結(jié)論：OM=-AD.

2

理由如下：如圖3中，連接。3、OC、04、0D,作OE_LAO于E.

圖3

9

：OE_LADf

:?AE=DE,

■:/B0C=2/BAC,

，：OB=OC,

.?.△OB。是等腰三角形，

：.ZBOC=2ZBOM,

：.ZBOM=ABAC,

同理可得NAOE=ZABD,

VBZ)±AC,

ZBAC+ZABZ)=90°,

JZBOM+ZAOE=90°,

9：ZBOM+ZOBM=90°,

：.ZOBM=ZAOE,

在△BOM和△OAE1中

ZOBM=ZAOE

<ZOMB=ZAEO

OB=OA

：./\BOM^/\OAE(AAS),

：.OM=AE,

：.AD=20M,

：.OM=-AD.

2

【點睛】本題主要考查了垂徑定理、30。角直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、“奇妙四

邊形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題.

2.如圖，四邊形A5CD為菱形，以為直徑作。。交A5于點R連接。5交。。于點〃，過點

。作。。的切線交于點E

⑴求證：AF=CE；

(2)若BQ2,DH=小,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析

【分析】(1)連接OR根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD=CO,AD//BC,ZA=ZC.再由切線的性質(zhì)，可

得NCED=/ADE=90。.可證得△￡?!方絲△0CE.即可求證；

(2)連接A〃，DF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得5。=2。"=26.在心反4。尸和及△灰)/中，根

據(jù)勾股定理，即可求解.

(1)

證明：如圖，連接OR

???四邊形ABC。為菱形，

：.AD=CD,AD//BC,ZA=ZC.

???OE是。。的切線，

???ZADE=90°.

\9AD//BC,

：.ZCED=ZADE=90°.

TA。是。。的直徑，

???ZDFA=90°.

：.ZAFD=ZCED=90°.

ZAFD=ZCED

在△ZMb和△OCE中，(ZA=ZC

AD=CD

：.ADAF^ADCE(AAS).

：.AF=CE.

(2)

解：如圖，連接AH,DF,

D

-----B

TA。是。。的直徑，

，ZAHD=ZDM=90°.

?：AD=AB,DH=5

：.BD=2DH=2y/5.

在Rt^ADF和RtxBDF中，

由勾股定理，得￡＞盧="）2一4產(chǎn)，DF2=BD2_BF2f

J.ACP-AF^BD^BF2.

.'.AD2-（AD—BF）2=802—B尸.

AD2-（A。-2）2=（2府-22.

：.AD=5.

.??。。的半徑為：.

【點睛】本題考查了圓的綜合，涉及了圓周角定理，菱形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)

和判定，勾股定理等知識，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列方程解決問題.

3.如圖，四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形，且對角線3。為直徑，過點A作。的切線AE,與

C￡）的延長線交于點E,已知ZM平分/跳出.

⑴求證：AE1DE；

⑵若。的半徑為5,CD=6,求A。的長.

【答案】（1）證明見解析

⑵2君

【分析】（1）連接04先證明。4//￡史，結(jié)合。即可證AEJLDE；

(2)作。尸，CD,則四邊形。4E尸是矩形，且。尸二;。。=3,由此可求得。石的長，在Rt一OD方

中，勾股定理求出。尸，即AE的長，在心人位加中，利用勾股定理求AD.

(1)

證明：如圖，連接。4,

???AE是。切線，

JOA±AE.

TDA平分N3DE,

：.ZADE=ZADO.

又???。4=。。，

:.ZOAD=ZADOf

：.ZOAD=ZADEf

：.OX//DE,

又OAYAE,

：.AE±DE.

解：過點。作。尸，CD于耳.

ZOAE=ZAEF=ZOFE=90°,

二?四邊形Q4￡F是矩形，

/.EF=OA=5,AE=OF.

OFLCD,

/.DF=FC=-CD=3,

2

：.DE=EF-DF=5-3=2f

在狡/r>中，OFZOU—DF?=:52—32=4,

???AE=OF=4,

在RdAE。中，AD=爐+M="2+2?=25

.?.AD的長是2石.

【點睛】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形，圓的切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是

靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理.

4.四邊形ABCD內(nèi)接于1O,AC為其中一條對角線.

(1)如圖①，若NBM)=70。，BC=CD,求NC4D的度數(shù)；

(2)如圖②，若經(jīng)過圓心O,CE為。的切線，8為AC的中點，NDCE=40°,求/BCE的大

小.

【答案】⑴NGW=35°

⑵/3CE=155。

【分析】(1)根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系即可解答；

(2)連接0C,由切線的性質(zhì)可得NOCE=90。，即可求出NOCD=50。.再根據(jù)等邊對等角即可求出

ZODC=50°,從而由圓內(nèi)接四邊形對角互補可求出NABC=130。.根據(jù)2為4c的中點，可得出

AB=BC,從而可求出NACB=25。.最后由N3CE=NACB+NACD+NDCE1求解即可.

(1)

解：,四邊形ABCD內(nèi)接于：。，BC=CD,ZBAD=10°

BC=CD>

：.ABAC=ACAD=-ABAD=35°；

2

⑵

如圖，連接OC.

?:CE為。的切線，

NOCE=90。.

NDCE=40。，

???ZOCD=90°-ZDCE=50°.

〈A。經(jīng)過圓心O,

：.OC=OD,ZACD=90°f

：.ZODC=ZOCD=50°.

ZABC^-ZODC=180°,

ZABC=180°-50°=130°.

??,8為AC的中點，

AB=BC，

：.AB=BC,

：.ZACB=1(180°-ZABC)=25°.

/.ZBCE=ZACB+ZACD+ZDCE=25°+90°+40°=155°.

【點睛】本題為圓的綜合題.考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，

圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì).熟練掌握圓的相關(guān)知識點，會連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵.

5.數(shù)學課上老師提出問題：“在矩形ABCD中，AB=4,BC=10,E是AB的中點，P是BC邊上

一點，以尸為圓心，PE為半徑作P,當成等于多少時，尸與矩形ABCD的邊相切？

小明的思路是：解題應(yīng)分類討論，顯然：P不可能與邊AB及BC所在直線相切，只需討論：P與邊

AD及CD相切兩種情形.請你根據(jù)小明所畫的圖形解決下列問題：

圖1圖2

(1)如圖1,當CP與AO相切于點T時，求3尸的長；

(2)如圖2,當二尸與C。相切時，

①求的長；

②若點2從點8出發(fā)沿射線3c移動，連接A。，M是A。的中點，則在點。的移動過程中，直接

寫出點〃在(P內(nèi)的路徑長為.

【答案】⑴BP=26

(2)①4.8；②9.6

【分析】(1)連接尸T,由。尸與AO相切于點T,可得四邊形ABPT是矩形，即得尸T=AB=4=PE,

在R3BPE中,用勾股定理即得2尸=26；

(2)①由。P與CD相切，有PC=PE,設(shè)BP=x,貝UPC=PE=10-x,在RaBPE中，由勾股定理得

x2+22=(10-x)2,即可解得BP=4.8；②點M在。尸內(nèi)的路徑為EM,過尸作PN_LEM于N,由EM

是4相。的中位線，可得四邊形BPNE是矩形，即知EN=B尸=4.8,故EM=2EN=9.6.

(1)

連接尸T,如圖：

尸與4D相切于點T,

：.ZATP=90°,

?.?四邊形ABCO是矩形,

，ZA=ZB=90°,

...四邊形ABPT是矩形，

：.PT=AB=^PE,

是AB的中點，

：.BE=^AB=2,

在Rtt^BPE中，BP=^PE2-BE2=Jd-于=2下)；

(2)

①?.?(DP與CD相切，

：.PC=PE,

設(shè)BP=x,貝UPC=PE=10-x,

在RfABPE中，BP2+BE2=PE2,

.\x2+22=(10-x)2,

解得x=4.8,

???5P=4.8；

②點Q從點B出發(fā)沿射線8C移動，M是AQ的中點，點M在O尸內(nèi)的路徑為EM,過尸作PNLEM

于N,如圖：

由題可知，EM是的中位線,

C.EM//BQ,

：.NBEM=900=NB,

?:PNLEM,

:?NPNE=90。,EM=2EN,

???四邊形8PNE是矩形，

:?EN=BP=A8,

：.EM=2EN=9.6.

故答案為：9.6.

【點睛】本題考查矩形與圓的綜合應(yīng)用，涉及直線和圓相切、勾股定理、動點軌跡等，解題的關(guān)鍵

是理解M的軌跡是AAB。的中位線.

6.如圖，在四邊形A8CZ)中，AD//BC,ADLCD,AC=AB,。。為△ABC的外接圓.

(1)如圖1,求證：是。。的切線；

(2)如圖2,CD交00于點E,過點A作AGL2E,垂足為尸，交BC于點G.

①求證：AG=BG；②若49=4,CD=5,求GP的長.

圖1圖2

9

【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②尸G=g

O

【分析】(1)連接04，OB,0C,由AC=AB,OA^OA,0C=0B可證出AOAC2△042(SSS),

利用全等三角形的性質(zhì)可得出NO4C=/048,即AO平分/BAC,利用垂徑定理可得出AOLBC,

結(jié)合可得出ADLAO,由此即可證出A￡)是。。的切線；

(2)①連接AE,由圓內(nèi)接四邊形對角互補結(jié)合/BCE=90?？傻贸鯪BAE=90。，由同角的余角相

等可得出/BAG=/AE8,結(jié)合可得出/BAG=N4BC,再利用等角對等

腰可證出AG=2G；

②由NAOC=NAFB=90。，ZACD^ZABF,AC=AB可證出AAOC妾△ARB(44S),利用全等三

角形的性質(zhì)可求出AF,BF的長，設(shè)FG=x,在中，利用勾股定理可求出x的值，此題得

解.

【詳解】證明：(1)連接。4、OB、0C,如圖1,

圖1

?：AC=AB,OA=OAfOC=OB,

：./\OAC^/\OAB,

：.ZOAC=ZOAB,

：.AO.LBCf

\9AD//BC,

：.AD.LAO,

???AO是。。的切線；

(2)①連接AE,如圖2,

圖2

■:AD//BC,ADVCD,

：.BCLCD,

：.ZBCE=90°,

???3E是直徑，

???/BAE=90。,

：.ZBAG+ZEAF=90°,

又?：AFLBE,

：.NAEB+NEAF=90。,

???ZBAG=ZAEBf

丁ZABC=ZACB=ZAEBf

：.ZBAG=ZABCf

：.AG=BG；

@\-AC=AB,ZACD=ZABF,ZADC=ZAFB=90°,

：.AADC^AAFB,

：.AF=AD=4fBF=CD=5,

設(shè)/G=x,貝！JAG=G3=x+4,

在放A6尸G中，由勾股定理可得:

x2+52=（%+4）2,

9

解得：x=g，

o

9

FG=~.

8

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定

義，平行線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形，等腰三角形的判定以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）利用全

等三角形的性質(zhì)及垂徑定理，找出A0L2C；（2）①利用等角的余角相等及圓周角定理，找出N2AG

=ZABC；②在MABPG中，利用勾股定理求出FG的長.

7.如圖，A8是。。的直徑，AC是弦，P為A8延長線上一點，NBCP=/BAC,NAC8的平分線

交。。于點。，交A3于點E,

D

（1）求證：PC是。。的切線；

（2）求證：APEC是等腰三角形；

（3）若AC+BC=2時，求C。的長.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）0

【分析】（1）連接0C,根據(jù)圓周角定理可得NACB=90。，根據(jù)等腰三角形等邊對等角以及已知條

件證明ZBCP+Z0cB=90。即可；

（2）根據(jù)題意以及角平分線定義求得/PEC=/PCE即可得出結(jié)論；

（3）連接8。，作。0，4。,￡^，。3,垂足為河，N,先證明-AMD也一3ND（HL）,然后證明四邊

形CMDN為正方形，結(jié)合已知可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接OC,

D

?「AB為直徑,

???ZACB=90°,

JZACO^ZOCB=90°,

?：OA=OC,

：.ZBAC=ZACO.

丁/BCP=NBAC,

：.ZBCP=ZACO

：.ZBCP+ZOCB=90°f即NOCP=90。，

???PC是。。的切線；

(2)VZBCP=ZBAC,

NACB的平分線交。。于點O,

:./ACD=NBCD,

VZPCE=ZPCB+/BCD,

ZPEC=ZBAC+ZACD,

：.NPEC=NPCE,

???△PEC是等腰三角形；

(3)連接BO,作。M_LAC,￡W_LCB,垂足為M,N,

?「CD平分NAC6,DM±AC,DN±CBt

**-DM=DN,AD=BD,

AD=BD,

丁ZAMD=ZBND=90°,

.?.，AMD空BND(HL),

ZDMC=ZMCN=ZCND=90°,

???四邊形QWON為矩形，

?.?DM=DN,

?,?矩形OWZW為正方形，

/.CN=—CD,

2

AC+BC=CM+AM+CB=2CN,

AC+BC=6CD,

,/AC+BC=2,

?*.CD=丘.

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形等邊對等角，正方形

的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識點，熟練運用以上知識點性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，AB,AD是：。的弦，AO平分Z&W.過點2作）。的切線交40的延長線于點C,連

接8,BO.延長50交：。于點E,AD交于點/，連接AE,DE.

（1）求證：8是：。的切線;

（2）^AE=DE=3,求AF的長.

【答案】（1）見解析；（2）主叵

2

【分析】（1）欲證明CO是。。的切線，只要證明/COO=NCBO=90。，由△COBgZkC。。即可解

決問題.

（2）先證明/BAO=NOAD=ND4E=/ABO=30,在放"E尸中利用30度性質(zhì)以及勾股定理即可解

決問題.

【詳解】解：（1）如圖，連接

BC為。的切線，

：.ZCBO=90°.

AO平分ZE4D,

OA=OB=OD，

.?.N1=N4=N2=N5,

:.ZBOC=ZDOC,

OB=OD

在△BOC和LDOC中v/BOC=/DOC

OC=OC

:.ABOC=ADOC,

.\ZCBO=ZCDO=90°,

AE=DE，

「.N3=N4,

N1=N2=N4,

/.Z1=Z2=Z3.

仍為C。的直徑.

,\ZBAE=90°,

.?.Nl=N2=N3=N4=30。，

:.ZAFE=90°.

在MAAFE中，AE=3,N3=30。，

13

:.EF=-AE=-,

22

AF=《AE?-EF。=

【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，

解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，發(fā)現(xiàn)特殊角30。，屬于中考?？碱}型.

9.如圖，已知ABC內(nèi)接于O,AB是（O的直徑，。￡＞八2。于點口，延長DO交I。于點F,連

接OCAP.

(1)求證：OD=^AC-

(2)填空：

①當NB=時，四邊形OC4B是菱形;

②當NB=時，AB=2^/2OD.

【答案】(1)見解析；(2)①30。；②45°

【分析】(1)由垂徑定理易證8=a>,進而可證明OD是△ACB的中位線，問題得證；

(2)①要四邊形OC477是菱形，mJOC=CA=AF=OF,即△AOC為等腰三角形，Z2=60°,那

么4=30。；②由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)證明：

3c于點D,

CD=BD,

AO=BO,

:.OD是△ACS的中位線，

:.OD=-AC；

2

(2)解：當4=30。時，四邊形OC4尸是菱形.

理由如下：

Zl=30°,AB是直徑，

:.ZBCA=90°,

.2=60。，而OC=Q4,

O4C是等邊三角形，

二.OA=OC=CA,

又?，分別是6cA4的中點，

:.DO//CA,

.?.N2=N3=6(mOC=Q4=AF.

.?.一0LF是等邊三角形,

:.AF=OA=OF,

，OC=C4=AF=OF,

四邊形0C4尸是菱形；

②當4=45。時，AB=2^OD,

Zl=45°,

on，3c于點D,

28是等腰直角三角形，

:.OB=41OD，

AB=2QB=2s/2OD.

故答案為：30°,45°.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、圓周角定理、三角形

中位線定理；熟練掌握全等三角形的判定和菱形的判定，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)

鍵.

10.如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于0O,CF與。。相切于點C,交AB延長線于點F.

(1)若AE=DC,ZE=ZBCD,求證：DE=BC；

(2)若OB=4,AB=BD=DA,ZF=45°,求CF的長.

【答案】(1)見解析；(2)CF=4+2萬.

【分析】(1)由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出AE=DC，由圓周角定理得出NADE=NDBC,證

明AADE名ZiDBC,即可得出結(jié)論；

(2)連接CO并延長交AB于G,作OHLAB于H,則NOHG=/OHB=90。，由切線的性質(zhì)得出

NFCG=90。，得出ACFG、AOGH是等腰直角三角形，得出CF=CG,OG=0OH,由等邊三角

形的性質(zhì)得出NOBH=30。，由直角三角形的性質(zhì)得出0H=g0B=l,OG=照,即可得出答案.

【詳解】(1)證明：；AE=DC,

AE=DC

.*.ZADE=ZDBC.

在AADE和ADBC中，

ZADE=ZDBC

，/E=/BCD.

AE=DC

：.AADE^ADBC(AAS).

；.DE=BC；

(2)解：連接CO并延長交AB于G,作OH_LAB于H,如圖所示：則NOHG=NOHB=90。，

?；CF與。O相切于點C,

.\ZFCG=90°.

,/ZF=45°,

.?.△CFG、AOGH是等腰直角三角形，

；.CF=CG,OG=V2OH.

VAB=BD=DA,

AABD是等邊三角形，

/ADB=60°.

ZAOB=2ZADB=120°

ZBOH=IZBOA=60°,

ZOBH=30°

/.OH=|OB=2.

；.OG=2&.

.?.CF=CG=OC+OG=4+20.

D

H7B尸

【點睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，準確計算是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，AABC為。。的內(nèi)接三角形，BC為。O的直徑，在線段OC上取點D(不與端點重合),

作DG_LBC,分別交AC、圓周于E、F,連接AG,已知AG=EG.

(1)求證：AG為。O的切線；

(2)已知AG=2,填空：

①當四邊形ABOF是菱形時，ZAEG=°；

②若OC=2DC,AAGE為等腰直角三角形，則AB=.

【答案】(1)證明見解析；(2)①60,②40.

【分析】(1)連接OA,證明NOAG=90。，即可證得AG為。。的切線；

(2)①連接OA,AF,OF,當四邊形ABOF為菱形，則AAOB為等邊三角形，從而求出/ACB,

ZDEC的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等即可得到/AEG的度數(shù)；

②若△AGE為等腰直角三角形，則可以得出ADEC,AABC均為等腰三角形，通過證明四邊形AODG

是矩形，得到DC=AG,從而得到BC的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，即可求出AB的長.

【詳解】(1)證明：連接OA.

VOA=OC,

.".ZOAC=ZOCA,

VGA=GE,

???NGAE=NGEA,

VDG±BC,

???NEDC=90。，

???NOCA+NDEC=90。，

NCED=NGEA=NGAE,

.,.ZOAC+ZGAE=90°,

.,.ZOAG=90°,

AOAXAG,

JAG是。。的切線.

(2)①如圖2中，連接OA,AF,OF.

??,四邊形ABOF是菱形，

.\AB=BO=OF=AF=OA,

???△ABO是等邊三角形，

.,.ZB=60°,

VBC是直徑，

???NBAC=90。

???ZACB=90°-60°=30°,

VEDXBC,

???NDEC=90。-NACB=60。,

???NAEG=NDEC=60。.

故答案為60.

②如圖3中，連接OA.

，/AEG=ZDEC=NDCE=45。，

.?.△EDC,△ABC都是等腰直角三角形，

VOB=OC,

.\AO±OC,

.../AOD=NODG=NG=90°,

四邊形AODG是矩形，

.".AG=OD=2,

；.OC=2OD=4,

；.BC=2OC=8,

；.AB=AC=40,

故答案為4拒.

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓

的有關(guān)知識，熟練運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.

12.如圖，在AABC中，4=60。，。是AABC的外接圓，過點A作；。的切線，交CO的延長線

(2)填空:

①若AC=6,MC=；

②連接敏，當NAMB的度數(shù)為時，四邊形AM3C是菱形.

【答案】（1）見解析；（2）①66,②60。.

【分析】（1）連接OA,根據(jù)圓周角定理求出NAOC=120。，得到NOCA的度數(shù)，根據(jù)切線的性質(zhì)

求出NM的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到答案；

（2）①作AGLCM于G,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AG的長，根據(jù)勾股定理求出CG,得到答

案.

②證明AABM和AABC是等邊三角形，得出AM=AC=BC=BM,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）證明：連接Q4,如圖1：

：40是(。的切線，

/.NQ4M=90°,

,/ZB=60°,

ZAOC=120°,

'：OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC=30°,

NAOM=60。，

：.ZM=30°,

：.ZOCA=ZM,

：.AM=AC；

(2)①作AG1.CM于G,如圖2：

圖2

VZOCA=30°,AC=6,

.\AG=yAC=3,

；.CG=/AG=36，

貝UMC=2CG=65

故答案為：6G.

②當NAMB的度數(shù)為60。時，四邊形AMBC是菱形；理由如下:

VZAMB=60°,

ZMAC+ZAMB=180°,

；.AC〃BM,

.\ZABM=ZBAC,

.二△ABM是等邊三角形，ZBAC-ZMAC-ZMAB=60°=ZABC,

.*.AM=BM,△ABC是等邊三角形，

.-.BC=AC,

；.AM=AC=BC=BM,

四邊形AMBC是菱形；

故答案為：60°.

【點睛】本題是圓的綜合題目，考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、

平行線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識；熟練掌握圓的切線性質(zhì)和圓

周角定理是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在ABC中，以A3為直徑的.O經(jīng)過點C,過點C作。的切線CE,點。是,O上不與點

AB、C重合的一個動點，連接AD、CD、BD.

(1)求證:ZACE=ZADC；

（2）填空:

①當NDCB=時，△ABD為等腰直角三角形：

②當ZDOB=時，四邊形0c4D為菱形.

【答案】⑴見解析；（2）①45。②120。

【分析】（1）連接OC根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N0C2=/02C,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

=90°.再根據(jù)切線的性質(zhì)定理及圓周角定理即可得到結(jié)論；

（2）①根據(jù)圓的對稱性由BD=AD可得弧BD=MAD,再由圓周角定理得NDCB=NDCA,進

而得解；

②由菱形可得OD=AD,結(jié)合OD=OA,證得AOAD為等邊三角形，則/OAD=60。，最后根據(jù)圓

周角定理即可得解.

【詳解】解：（1）如圖，連接。C

OB=OC,

ZOCB=ZOBC,

QAB>g(。的直徑,

ZACB=90°,

ZOCA+ZOCB^90°,

CE是(。的切線，

ZOCE=90°,

.-.ZOCA+ZACE=90°,

ZACE=ZOCB,

ZABC=ZADC,

:.ZACE=ZADC

(2)①?..△相￡＞為等腰直角三角形，

，AD=DB,

...弧AD=MDB,

ZACD=ZDCB=gZACB,

VZACB=90°,

AZDCB=45°,

②???四邊形OC4D為菱形，

；.OD=AD,

XVOD=OA,

；.OD=OA=AD,

???AAOD為等邊三角形，

.".ZOAD=60°,

VZOAD=^-ZDOB,

/.ZDOB=120°.

【點睛】本題考查了圓的對稱性、圓周角定理、直徑的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理，熟練掌握性質(zhì)定理

是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，已知是］。的直徑，PC切。于點尸，過A作直線AC,PC交：。于另一點D,連

接B4、PB.

(1)求證："平分NC4B；

(2)若尸是直徑AB上方半圓弧上一動點，的半徑為2,則

①當弦AP的長是時，以A,O,P,C為頂點的四邊形是正方形；

②當A尸的長度是時，以A,D,O,P為頂點的四邊形是菱形.

c

o

D"-------/

74

【答案】(1)見解析；(2)①2亞；②(萬或§萬.

【分析】(1)首先根據(jù)切線的性質(zhì)得出。尸，尸C,進而判定ACOP,利用平行的性質(zhì)進行等角轉(zhuǎn)

換，即可得出"平分NG"；

(2)①根