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文檔簡介
2024年高考數(shù)學總復習高中數(shù)學選修27全冊講
義(精華版)
第一章常用邏輯用語
******特別注意:本章歷來不做重點,只需知道“且”“或”“非”的特點即可
一、基礎(chǔ)知識【理解去記】
1.充要條件的判定可利用集合包含思想判定:若A03,則xeA是xeB的充分條件;若
A&B,則xeA是xeB的必要條件;若A口3且A33即A=5,則xeA是xeB的
充要條件.
2.充要條件的問題要十分細心地去辨析:“哪個命題”是“哪個命題”的充分(必要)條件;
注意區(qū)分:“甲是乙的充分條件(甲二>乙)”與“甲的充分條件是乙(乙二甲”',是兩種不
同形式的問題.
3.掌握命題的四種不同表達形式,會進行命題之間的轉(zhuǎn)化,會正確找出命題的條件與結(jié)論.
能根據(jù)條件與結(jié)論判斷出命題的真假.有時利用“原命題”與“逆否命題”等價,“逆命題”
與“否命題”等價轉(zhuǎn)換去判定也很方便.
4.會用集合的子集的方法判斷充要條件:
①A是B的充分條件(或B是A的必要條件)即A=5O4±5
②A是B的充分不必要條件A=50Au5
w
③A是B的充要條件A=8OA=8
二、基礎(chǔ)例題【必會】
注意在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用,導
致錯誤結(jié)論。
例1.(2009全國高考卷)己知函數(shù)/(%)=加+3f-x+l是減函數(shù),求a的取值范圍。
【分析】/'(£|<0卜?。3))是“尤)在(。,。)內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件,在解題過
程中易誤作是充要條件,如/(%)=—三在R上遞減,但/(%)=—3dw。。
【解析】:求函數(shù)的導數(shù)/'(X)=3依2+6*—1(1)當/'(x)<0時,“X)是減函數(shù),則
fr(x)=3ax2+6x-l<0(xe7?)故解得a<-3。(2)當a=-3時,
/(x)=—+3x2—x+1——3+-易知此時函數(shù)也在R上是減函數(shù)。(3)當a>-3時,
9
在R上存在一個區(qū)間在其上有/'(X)>0,所以當a>-3時,函數(shù)/(九)不是減函數(shù),綜上,
所求a的取值范圍是(—8,—3]。
【知識歸類點拔】若函數(shù)可導,其導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來說明:
①/'(x)>0與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系:/'(x)>0能推出/(x)為增函數(shù),但反之不一定。如
函數(shù)/(x)=/在(—00,+00)上單調(diào)遞增,但(0)20,.?./'(%)>0是/(X)為增函數(shù)的充
分不必要條件。②/(%),。時,/(x)>0與/(x)為增函數(shù)的關(guān)系:若將r(x)=0的根作
為分界點,因為規(guī)定f\x)豐0,即摳去了分界點,此時/(%)為增函數(shù),就一定有/'(%)>0o
/.當f\x)豐0時,廣(x)>0是/(%)為增函數(shù)的充分必要條件。③f'(x)20與/(x)為增
函數(shù)的關(guān)系:/(幻為增函數(shù),一定可以推出r(x)20,但反之不一定,因為/(x)20,即
為/'(幻>0或尸(%)=0。當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有/'(x)=0,則/(x)為常數(shù),函數(shù)不
具有單調(diào)性。,廣(%)20是/(幻為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條
重要性質(zhì),也是高中階段研究的重點,我們一定要把握好以上三個關(guān)系,用導數(shù)判斷好函數(shù)
的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題,都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間,避免討
論以上問題,也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題,要謹慎處理。
因此本題在第一步后再對a=-3和a>-3進行了討論,確保其充要性。在解題中誤將必要
條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多,這需要
同學們在學習過程中注意思維的嚴密性。
【練習】是否存在這樣的K值,使函數(shù)/(x)=F/-jx3—小+2x+;在(1,2)上遞減,
在(2,+。。)上遞增?
答案:k=g(提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知/'⑵=0,但/'⑵=0是函數(shù)在(1,2)
上遞減,在(2,抬)上遞增的必要條件,不一定是充分條件因此由/'(2)=0求出K值后要
檢驗。)
注意:易由特殊性代替一般性誤將必要條件當做充分條件或充要條件使用,缺乏嚴謹?shù)倪?/p>
輯思維。
例2.(2010年高考數(shù)學江蘇卷,)設(shè)無窮等差數(shù)列{a。}的前n項和為Sn.
(1)若首項4=§,公差d=l,求滿足=(S*)2的正整數(shù)k;
(H)求所有的無窮等差數(shù)列{an},使得對于一切正整數(shù)k都有12=(,)2成立.
【分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識,以及運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力.學生
在解第(II)時極易根據(jù)條件“對于一切正整數(shù)k都有Sm=(5。2成立”這句話將k取兩
個特殊值確定出等差數(shù)列的首項和公差,但沒有認識到求解出的等差數(shù)列僅是對己知條
件成立的必要條件,但不是條件成立的充分條件。還應進一步的由特殊到一般。
【解析】:(I)當為=3,d=i時
由SQ=(SQ2,得3/+笈2=§/+女尸,即后3(3_])=0又左#0,所以左=4.
(II)設(shè)數(shù)列{。“}的公差為d,則在"=(54中分別取1<=1,2,得
.邑=(邑)2(1)
即4弓+生六(2弓+兇力
馬")2(2)
、22
由(1)得ax—0或q=1.當%=0H寸,代入(2)得d=0或d=6,
若為=0,6?=0,則%=0,Sn=0,從而從=(Sk)2成立,
若%=o,d=6,則%=6(〃—1),由S3=18,(S3)2=324,S”=216知多士(邑尸,故所得
數(shù)列不符合題意.當%=耐,代入(2)得4+6d=(2+4)2,解得d=?;騞=2
若%=1,d=0,則%=1凡=n,從而S/=(Sk了成立;
若q=l,d=2,則%=2n-l,Sn=1+3+???+(2幾—1)="2,從而5=(5〃)2成立.
綜上,共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列:
①{念}:斯=0,即0,0,0,,,,;②{斯}:斯=1,即1,1,1,,,?;③{斯}:〃*2n—l,即
1,3,5,…,
第二章圓錐曲線與方程
一、基礎(chǔ)知識【理解去記】
1.橢圓的定義,第一定義:平面上到兩個定點的距離之和等于定長(大于兩個定點之間的
距離)的點的軌跡,BP|PFi|+|PF2|=2a(2a>|FiF2|=2c).
第二定義:平面上到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e(0<e<l)的點
的軌跡(其中定點不在定直線上),即
\PF\
-------L=e(0<e<l).
d
第三定義:在直角坐標平面內(nèi)給定兩圓Cl:x?+y2=a2,C2:x2+y2=b2,a,b£R+且aWb。從原點出
發(fā)的射線交圓ci于P,交圓C2于Q,過P引y軸的平行線,過Q引x軸的平行線,兩條線
的交點的軌跡即為橢圓。
2.橢圓的方程,如果以橢圓的中心為原點,焦點所在的直線為坐標軸建立坐標系,由定義
可求得它的標準方程,若焦點在x軸上,列標準方程為
x2y2
—+-1(a>b>0),
ab
x-
參數(shù)方程為<icosO(。為參數(shù))。
y-bsin。
若焦點在y軸上,列標準方程為
22
-1(a>b>0)。
a1b2
3.橢圓中的相關(guān)概念,對于中心在原點,焦點在x軸上的橢圓
22
三+與=1,
a~b'
a稱半長軸長,b稱半短軸長,c稱為半焦距,長軸端點、短軸端點、兩個焦點的坐標分別
2
為(土a,0),(0,±b),(±c,0);與左焦點對應的準線(即第二定義中的定直線)為%=-J,
C
a2
與右焦點對應的準線為1=——;定義中的比e稱為離心率,且6二c上,由c?+b2=a2知0<e<l.
ca
橢圓有兩條對稱軸,分別是長軸、短軸。
22
4.橢圓的焦半徑公式:對于橢圓j+2r=l(a>b>0),F(c,0),F2(c,0)是它的兩焦點。若P(x,
ab
y)是橢圓上的任意一點,則|PFi|=a+ex,|PF2|二a-ex.
5.補充知識點:
幾個常用結(jié)論:
1)過橢圓上一點P(x0,yo)的切線方程為
2十72-1
ab
2)斜率為k的切線方程為y=kx+^a2k2+b2;
3)過焦點F2(c,0)傾斜角為0的弦的長為
2ab°
a2-c2cos20
6.雙曲線的定義,第一定義:
滿足||PFiHPF2||=2a(2a<2c=|FF2|,a>0)的點P的軌跡;
第二定義:到定點的距離與到定直線距離之比為常數(shù)|>1|的點的軌跡。
7.雙曲線的方程:中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線方程為
好y2-1
藍一正八’
x=asec電
參數(shù)方程為1"(0為參數(shù))。
y=btan(p
焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為
22
Hi
ab
8.雙曲線的相關(guān)概念,中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線
x2y2I
---=l(a,b>0),
a稱半實軸長,b稱為半虛軸長,c為半焦距,實軸的兩個端點為(-a,0),(a,0).左、右焦點為
22
Fi(-c,0),F2(C,0),對應的左、右準線方程分別為x-~—,x-—.離心率e=&,由a2+b2=c2
cca
kx2v2r2v2
知e>l。兩條漸近線方程為y=土勺x,雙曲線丁-4=1與丁-==-1有相同的漸近
aabab
線,它們的四個焦點在同一個圓上。若@=卜則稱為等軸雙曲線。
9.補充知識點:
雙曲線的常用結(jié)論,
1)焦半徑公式,對于雙曲線「-「=1,Fi(-c,0),F2(C,0)是它的兩個焦點。設(shè)P(x,y)
ab-
是雙曲線上的任一點,若P在右支上,則|PFi|=ex+a,|PF2|=ex-a;若P(x,y)在左支上,則
|PFi|=-ex-a,|PF2|=-ex+a.
2)過焦點的傾斜角為6的弦長是二—-——。
a-ccos0
10.拋物線:平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線1的距離相等的點的軌跡叫做拋物線,點F
叫焦點,直線1叫做拋物線的準線。若取經(jīng)過焦點F且垂直于準線1的直線為x軸,x軸與
1相交于K,以線段KF的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系,設(shè)|KF|=p,則焦點F坐標
為(§0),準線方程為x=",標準方程為y2=2px(p>0),離心率e=l.
11.補充知識點
拋物線常用結(jié)論:若P(xo,yo)為拋物線上任一點,
1)焦半徑|PF|=x+(;
2)過點P的切線方程為yoy=p(x+xo);
3)過焦點傾斜角為6的弦長為一處廠。
1-cos20
12.極坐標系,在平面內(nèi)取一個定點為極點記為0,從0出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸,這
樣就建立了極坐標系,對于平面內(nèi)任意一點P,記|OP|=P,ZxOP=。,則由(P,0)唯一
確定點P的位置,(P,。)稱為極坐標。
13.圓錐曲線的統(tǒng)一定義:到定點的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點P,若0<e<l,
則點P的軌跡為橢圓;若e〉l,則點P的軌跡為雙曲線的一支;若e=l,則點P的軌跡為拋
物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程為夕=—"一。
1-ecos^
二、基礎(chǔ)例題【必會】
1.與定義有關(guān)的問題
22
例1已知定點A(2,1),F是橢圓二+二=1的左焦點,點P為橢圓上的動點,當
2516
31PAi+5|PF|取最小值時,求點P的坐標。
[解]見圖11T,由題設(shè)a=5,b=4,c=,52—4?=3,e=f=1.橢圓左準線的方程為
a5
2541
%=——,又因為一+—<1,所以點A在橢圓內(nèi)部,又點F坐標為(-3,0),過P作PQ
32516
IpFI3<
垂直于左準線,垂足為Q。由定義知^~=則e|PF|=|PQ|。
\PQ\53
所以31PAi+5|PF|=3(|PA|+*|PF|)=3(|PA|+|PQ|)N31AMi^^,左準線于M)。
3
所以當且僅當P為AM與橢圓的交點時,31PAi+5|PF|取最小值,把y=l代入橢圓方程得
%=±二6,又x〈o,所以點p坐標為(_2叵J)
44
22
例2已知P,P為雙曲線C:[=1右支上兩點,PP延長線交右準線于K,P國延
a~b~
長線交雙曲線于Q,(Fi為右焦點)。求證:/PRK=/KFQ
[證明]記右準線為1,作PDL1于D,于E,因為PE//PD,則^——IPK-I=^-I-P-'-K-I
\PD\\P'E\
網(wǎng)所以3:加二3
又由定義I由三角形外角平分線
\PD\\P'E\\P'Fl|\P'E\\P'K\
定理知,F(xiàn)iK為/PF#的外角平分線,所以/P'KK=/KFIQ。
2.求軌跡問題
例3已知一橢圓及焦點F,點A為橢圓上一動點,求線段FA中點P的軌跡方程。
[解法一]利用定義,以橢圓的中心為原點0,焦點所在的直線為x軸,建立直角坐標系,
22
設(shè)橢圓方程:三+==1(a>b>0).F坐標為(-c,0).設(shè)另一焦點為廣。連結(jié)A尸,0P,
ab
則OP〃工A尸。所以|FP|+|PO|=L(|FA|+|AF|)=a.
=22
所以點P的軌跡是以F,。為兩焦點的橢圓(因為a〉|F0|=c),將此橢圓按向量m=(£,0)平
2
22
移,得到中心在原點的橢圓:5+5=1。由平移公式知,所求橢圓的方程為
a~b
TT
4(X+2)214/^
[解法二]相關(guān)點法。設(shè)點P(x,y),A(xi,yi),則%=、?。,0=9,BPxi=2x+c,yi=2y.又
2222
因為點A在橢圓二+==1上,所以斗+與=1.代入得關(guān)于點P的方程為
abab-
焦點分別為F和O的橢圓。
例4長為a,b的線段AB,CD分別在x軸,y軸上滑動,且A,B,C,D四點共圓,求此
動圓圓心P的軌跡。
[解]設(shè)P(x,y)為軌跡上任意一點,A,B,C,D的坐標分別為A(x-■!,()),B(x+3,0),C(O,y-
bb一
-),D(0,y+—),記O為原點,由圓哥定理知|OAMOB|=|OCk|OD|,用坐標表示為
22
272272
2a2b??22a-b
x=y--,BPx-y=-----
T44
當a=b時,軌跡為兩條直線y=x與y=-x;
當a>b時,軌跡為焦點在x軸上的兩條等軸雙曲線;
當a<b時,軌跡為焦點在y軸上的兩條等軸雙曲線。
7T
例5在坐標平面內(nèi),ZAOB=—,AB邊在直線l:x=3上移動,求三角形AOB的外心的軌
3
跡方程。
JT
[解]設(shè)NxOB=0,并且B在A的上方,則點A,B坐標分別為B(3,3tan。),A(3,3tan(0—)),
3
設(shè)外心為P(x,y),由中點公式知0B中點為M[p'|tan^j。
由外心性質(zhì)知丁=^tan6?+tan(e—g).再由PM,05得
y——tan9
------2-———Xtan0=-lo結(jié)合上式有
tan(8——)*tan0I——I.①
712
又tan0+tan(。-y)=-y.
所以tan9-tan(6?-y)=731+tan6?-tan|^6?-j兩邊平方,再將①,②代入得
ID?上二1。即為所求。
412
3.定值問題
2
x/
例6過雙曲線丁-七=1(a>。,b>0)的右焦點F作B1B2X軸,交雙曲線于BI,B兩點,
ab2
B2與左焦點B連線交雙曲線于B點,連結(jié)BiB交x軸于H點。求證:H的橫坐標為定值。
[證明]設(shè)點B,H,F的坐標分別為(aseca,btana),(xo,O),(c,O),則Fi,Bi,B2的坐標分
b-b2
別為(-c,0),(c,----),(c,—),因為Fi,H分別是直線B2F,BB1與x軸的交點,所以
aa
abab+acsma三
c=---------------,九0=--------------.①
2。sin。一bcosaasin。+bcosa
42bs+csin。)
所以C%。―2299
2asina+absinacosa-bcosa
42bs+csina)
a1sin2a+absmacosa-b2+c2sin2a
42bs+csina)
〃sina(〃sina+/2cosa)+(csina-Z?)(csina+/?)
,?口.7a(b+csina)
由①得osina+Z?cosa=-----------
代入上式得“0=——--------
〃2sin。/.7、
一(csina—。)
2
即%=--(定值)。
C
例7設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在準
線上,且BC〃x軸。證明:直線AC經(jīng)過定點。
,則。卜,為
[證明]設(shè),以,,丁2
7
p
Q4=>為),OC,FA-力3
22
FA//FB,所以"5乃一就%+日yR,即⑸
2P
/
%為
以力為,所以與2+¥=o。所以+£%=°,
2p2I2P2)
以。4〃OC,即直線AC經(jīng)過原點。
22
xy11
例8橢圓二+上~=1上有兩點人,B,滿足0A_L0B,。為原點,求證:2+2
a~b2\OA\\OB\
為定值。
JT
[證明]設(shè)|0人|=1:1,|08|==2,且/*0人=。,/*08=——I-0,則點A,B的坐標分別為A(ricos
2
0,nsin。),B(-osin0,r2cos0)。由A,B在橢圓上有
zfcos28+片sin23r,2sin261r;cos20
=1,+=1.
b2a2b2
1cos20sin26"
即--=--------1-----①
片4b2
1sin20cos20
--=-------1-------②
啟a1b2'
1
①+②得------H--------Y=-r—~(定值)。
\OA\2\OB\-a2b2
4.最值問題
例9設(shè)A,B是橢圓(+3/=1上的兩個動點,且OALOB(0為原點),求|AB|的最大值與最
小值。
+4=4。設(shè)
[解]由題設(shè)a=l,b=,ifiIOA|=rb|OB|=r2,--t,參考例8可得
ri2
3丫2
+&2=:解2+片)(:+:)=:(2+J+-L),
222
cos0sin01a--b2且a?>!/,所以二〈二<],所以b
因為F=-919---1sin6?,
2a2Y2
不ab-?----a2b2b
WnWa,同理bWeWa.所以又函數(shù)f(x)=x+,在2T,1上單調(diào)遞減,在
abxa
Zi
14上單調(diào)遞增,所以當t=l即|OA|=|OB|時,|AB|取最小值1;當/=2或q時,|AB|
b-ab
取最大值逋。
3
例10設(shè)一橢圓中心為原點,長軸在x軸上,離心率為手,若圓c:x2+(j-|)2=1
上點與這橢圓上點的最大距離為1+J7,試求這個橢圓的方程。
[解]設(shè)A,B分別為圓C和橢圓上動點。由題設(shè)圓心C坐標為|o,||,半徑|CA1=1,因為
AB|^|BC|+|CA|=|BC|+1,所以當且僅當A,B,C共線,且|BC|取最大值時,|AB|取最大值
1+V7,所以|BC|最大值為J7.
因為e=";所以可設(shè)橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,橢圓方程為
2
22/1、2
工■+多~=1,并設(shè)點B坐標為B(2tcos。,tsin。),則|BC「=(2tcos。)?+%sin9—
4〃產(chǎn)I2J
91
=3t2sin29-3tsin0+—+4t2=-3(tsin0+—)2+3+4t2.
42
io
若,V—,則當sinO=-1時,出。2取最大值七2+3=+=<7,與題設(shè)不符。
24
若t〉一,則當sin9=----時,IBC」取最大值3+4t2,由3+4t2=7得t=l.
2It
r2
所以橢圓方程為一+:/=1。
4
5.直線與二次曲線
例11若拋物線y=ax2-l上存在關(guān)于直線x+y=O成軸對稱的兩點,試求a的取值范圍。
[解]拋物線y=ax2-l的頂點為(0,-1),對稱軸為y軸,存在關(guān)于直線x+y=0對稱兩點的條
件是存在一對點P(xbyi),P'(-yb-xi),滿足yi=a-1且-xi=a(-yi)2-l,相減得
xi+yi=a(xf一丁;),因為P不在直線x+y=0上,所以Xi+yiWO,所以l=a(xi-yi),即Xi=yi+—.
a
ii3
所以紗;+%+——1=0.此方程有不等實根,所以△=:!—4。(——1)>0,求得
aa4
即為所求。
V2
例12若直線y=2x+b與橢圓一+丁2=1相交,(I)求b的范圍;(2)當截得弦長最大時,
4
求b的值。
[解]二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b2-l)=0.由A>0,得—JF7<b<VF7;設(shè)兩交點為
I
P(X1,y,),Q(X2,y2),由韋達定理得|PQ|=J1+左2|xx-x2|=V5x---------?所以當b=0
時,|PQ|最大。
三、趨近高考【必懂】
1.(2010湖南文)5.設(shè)拋物線r=8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點
的距離是
A.4B.6C.8D.12
【答案】B
22
2.(2010浙江理)(8)設(shè)《、凡分別為雙曲線0-==1(。>0,6>0)的左、右焦點.若
ab
在雙曲線右支上存在點尸,滿足I尸耳|=比閶,且工到直線P耳的距離等于雙曲線的實軸
長,則該雙曲線的漸近線方程為
(A)3x±4y=0(B)3x±5y=0(C)4x±3y=0(D)5x±4y=0
解析:利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系,得出a與b之間的等量關(guān)系,
可知答案選C,本題主要考察三角與雙曲線的相關(guān)知識點,突出了對計算能力和綜合運用知
識能力的考察,屬中檔題
3.(2010陜西文)9.已知拋物線y=2px(p>0)的準線與圓(為-3)2+/=16相切,則p
的值為
(A)-(B)1(C)2(D)4
2
【答案】C
解析:本題考查拋物線的相關(guān)幾何性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系
法一:拋物線/=2px(0〉0)的準線方程為x=—因為拋物線/=2px(0〉0)的準線與
2
圓(x—3)?+/=16相切,所以3+g=4,p=2
法二:作圖可知,拋物線/=2°x(0〉0)的準線與圓(x—3)2+/=16相切與點(-1,0)
所以—e=—l,p=2
2
4.(2010遼寧文)(9)設(shè)雙曲線的一個焦點為尸,虛軸的一個端點為8,如果直線£8與該
雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為
G+1A/5+1
(A)逝(B)G(C)(D)
22
【答案】D
22
解析:選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點在無軸上,設(shè)其方程為:工-3=1(。>0,6>0),
ab
則一個焦點為b(c,O),3(0,A)
一條漸近線斜率為:一,直線£8的斜率為:—,;.一,(—)=-1,b2=ac
acac
,,“f,0cV5+1
c2-a2-ac-0,解得e=—=------.
a2
5.(2010遼寧文)(7)設(shè)拋物線/=8x的焦點為F,準線為/,P為拋物線上一點,PA,/,
A為垂足,如果直線AF斜率為-百,那么|尸產(chǎn)|=
(A)4百(B)8(C)8A/3(D)16
【答案】B
4
解析:選B.利用拋物線定義,易證尸為正三角形,貝HP廠上<寸=8
sm30
6.(2010遼寧理)(9)設(shè)雙曲線的一個焦點為F;虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該
雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為
⑷后⑻G?空⑻空
【答案】D
22
【解析】設(shè)雙曲線方程為J—1=1(?!?]〉0),則F(c,0),B(O,b)
ab
bhh
直線FB:bx+cy-bc=O與漸近線y=-X垂直,所以----—=-1,即"=ac
aca
所以</-a』G即e'el=0,所以e=生苴^或e=~—(舍去)
22
7.(2010遼寧理)(7)設(shè)拋物線y:8x的焦點為F,準線為1,P為拋物線上一點,PALI,A為
垂足.如果直線AF的斜率為-JJ,那么|PF|=
(A)443(B)8(C)843(D)16
【答案】B
【解析】拋物線的焦點F(2,0),直線AF的方程為y=-G(x-2),所以點A(-2,46)、
P(6,4百),從而|PF|=6+2=8
一x23=1(a〉b〉0)的離心率為左,過右焦
8.(2010全國卷2文)(12)已知橢圓C:—+
a
點F且斜率為k(k>0)的直線于C相交于A、B兩點,若AP=3F3。則卜=
(A)1(B)0(C)V3(D)2
【答案】B
[解析]4%,%),_8(%2,%),?.?AF=3FB,.?.X=—3%,?.?2,設(shè)
a=2t,c=y/3tb=t?/+分2-4/=o,直線皿方程為x=sy+5。代入消去X,
2卡ist產(chǎn)
.(§2+4)/+2底=0.M+L卞ML
S2+4
2瓜t2_產(chǎn)2=1
『+4'%s?+4,解得'5,k=y[i
9.(2010浙江文)(10)設(shè)0為坐標原點,耳,F(xiàn)2是雙曲線X二—aV=1(a>0,b>0)的
焦點,若在雙曲線上存在點P,滿足NEPF2=60。,IOPI二夜a,則該雙曲線的漸近線方
程為
(A)x土百y=0(B)y/3x+y=0
(C)x±V2y=0(D)A/2X±y=o
【答案】D
【解析工選D,本題將解析幾何與三角知識相結(jié)合,主要考察了雙曲線的定義、標準方程,
幾何圖形、幾何性質(zhì)、漸近線方程,以及斜三角形的解法,屬中檔題
10.(2010重慶理)(10)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點,在過其中一條直線且
平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是
A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線
【答案】D
解析:排除法軌跡是軸對稱圖形,排除A、C,軌跡與已知直線不能有交點,排除B
11.(2010山東文)(9)已知拋物線y2=2px(p〉0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物
線與A、6兩點,若線段的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為
(A)x=l(B)x=-l
(C)x=2(D)x=-2
【答案】B
12.(2010四川理)(9)橢圓j+2r=l(a〉6〉0)的右焦點E,其右準線與x軸的交點
ab
為A,在橢圓上存在點月滿足線段/尸的垂直平分線過點尸,則橢圓離心率的取值范圍是
(4)(0件](B)(0,;(O[72-1,1)5)
【解析]由題意,橢圓上存在點戶,使得線段/戶的垂直平分線過點E,
即尸點到尸點與4點的距離相等
KII〃2/
而|£4|=------c=—
CC
|PF\£\_a-c,a-\~c\
b1
于是一£[a—c,a+c~\
c
即ac~l}ac+c
etc—c—c
*,a2—c7<etc+c7
Al
Ia
“L-1或2」
a2
又eG(0,1)
故ee[11]
【答案】D
13.(2010江蘇卷)18、(本小題滿分16分)
在平面直角坐標系切丁中,如圖,已知橢圓反+三-二:!的左、右頂點為A、B,右焦點為F。
設(shè)過點T(t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(A,%)、N(x2,y2),其中m>0,
%>0,為<0。
(1)設(shè)動點P滿足PF2-PB2=4,求點P的軌跡;
(2)設(shè)X]=2,X2=g,求點T的坐標;
(3)設(shè),=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關(guān))。
【解析]】
(1)設(shè)點P(x,y),則:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。
9
由PR?—「52=4,得(x—2)2+y2_?_3)2+y2]=4,化簡得x=]。
9
故所求點P的軌跡為直線x=一。
2
(2)將X]=2,X2=—分別代入橢圓方程,以及%>0,為<。得:M(2,—)>N(—,——)
直線MTA方程為:1__2=二±2,即丫=工工+1,
5_02+3-3
3
v-0r-355
直線NTB方程為:$一=--,即丁=-X——。
62
T_01_3
93
x=7
聯(lián)立方程組,解得:\10,
Iy=-3
所以點T的坐標為(7,5)。
(3)點T的坐標為(9,機)
直線MTA方程為:2二°=±2,即y=%(x+3),
m-09+312
直線NTB方程為:上二&=2匚,即丁二竺口―3)。
m-09-36
22
分別與橢圓+三-=1聯(lián)立方程組,同時考慮到%w-3,々W3,
解得:"3(8。-*,工)、N(迎T,—工)。
80+m280+m220+m220+m2
3(加2_20)
加
(方法一)當石W九2時,直線呱方程為:20+2
3(80-m2)3(m2-20)
--------7---:------:
80+m220+m80+m20+m
令y=0,解得:1=1。此時必過點D(1,o);
當石=々時,直線MN方程為:x=l,與x軸交點為D(l,0)
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