東北三省精準(zhǔn)教學(xué)2025屆高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1東北三省精準(zhǔn)教學(xué)2025屆高三上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題可知,,,因此.故選：A.2.已知，則（）A.10 B.20 C.40 D.80〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?2x+1)5的展開式通項(xiàng)公式為，所以的系數(shù).故選：C.3.已知是無窮數(shù)列，，則“對(duì)任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗對(duì)任意的，都有，令，可以得到，因此是公差為的等差數(shù)列；若，則，，，可得，故“對(duì)任意的，都有”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.4.攢尖式屋頂是中國古代傳統(tǒng)建筑的一種屋頂樣式，如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個(gè)圓錐，已知該圓錐的底面直徑為，高為，則該屋頂?shù)拿娣e約為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題知，圓錐底面圓半徑，高，則母線，因此圓錐的側(cè)面積為.即屋頂?shù)拿娣e為，故選：B.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為，若拋物線上一點(diǎn)滿足，，則（）A.3 B.4 C.6 D.8〖答案〗A〖解析〗過分別向軸和準(zhǔn)線做垂線,垂足分別為，根據(jù)拋物線定義，有，所以.故選：A.6.如圖，是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槭呛瘮?shù)圖象上的一點(diǎn)，所以，由圖可知所以，所以，故選：D.7.已知函數(shù)，對(duì)任意的都有，且，則下列說法不正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C.是上的增函數(shù) D.〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，在中，令，得到，因此，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，令，得到，即，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由可化為，，記，則，不妨取函數(shù)，顯然符合條件，則，因，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，，得，即，又，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，故D正確.故選：C.8.已知直線與直線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P到直線距離的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗直線，分別過定點(diǎn)，，且互相垂直，所以點(diǎn)P的軌跡是以為直徑的圓（不含點(diǎn)），這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.圓心到直線l距離為，因此圓上的點(diǎn)到直線l距離最大值為，最小為，取得最小值時(shí)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是，因此取值范圍是.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則下列判斷正確的是（）A. B.C D.〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，，，所以選項(xiàng)ACD正確.故選：ACD.10.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)具有線性相關(guān)關(guān)系變量X，Y，Z的n組數(shù)據(jù)，如下表所示：變量123…n平均數(shù)方差X…Y…Z…并對(duì)它們進(jìn)行相關(guān)性分析，得到，Z與的相關(guān)系數(shù)是，，Z與Y的相關(guān)系數(shù)是，則下列判斷正確的是（）附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，，相關(guān)系數(shù).A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由已知得到選項(xiàng)AC正確,相關(guān)系數(shù)相等所以，D正確，由方差性質(zhì)可得，B錯(cuò)誤.故選：ACD.11.如圖，直四棱柱中，底面是菱形，其所在平面為，且，.O是，的交點(diǎn)，P是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（圖中未畫出）.則下列說法正確的是（）A.若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為B.若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線C.若，則動(dòng)點(diǎn)P軌跡是一條直線D.若動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為1，則為定值〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，故，故點(diǎn)的軌跡是以C為圓心，半徑為的圓，其軌跡長度，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因，故總成立，故點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)且垂直的平面與的交線，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋庶c(diǎn)的軌跡是過的中點(diǎn)且垂直的平面與的交線，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)榭臻g中到直線的距離為1的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以為軸的圓柱面，因此點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)以O(shè)為中心的橢圓，短半軸長為1，長半軸長a滿足，從而半焦距，而底面為菱形，且，故，因此點(diǎn)A，C為該橢圓的焦點(diǎn)，，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為，且為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)___________.〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，（，），則，所以，，故.13.已知雙曲線，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，其中，存在過點(diǎn)N的直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)N為弦的中點(diǎn)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)是___________.（寫出一個(gè)符合條件的〖答案〗即可）〖答案〗（或，）〖解析〗法一：設(shè)，，則，，兩式相減得到，又，，因此，所以直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立得，即，因此，整理后得到.所以點(diǎn)N的坐標(biāo)可以為，，.故〖答案〗為：（或，）法二：由題意易知，雙曲線的漸近線為，因?yàn)?，所以在雙曲線靠原點(diǎn)的一側(cè)，又因?yàn)辄c(diǎn)N為弦的中點(diǎn)，故A，B一定位于雙曲線的兩支上，所以，即.所以點(diǎn)N的坐標(biāo)可以為，，.14.已知且時(shí)，不等式恒成立，則正數(shù)m的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗將a視為主元，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)時(shí)，恒成立.設(shè)，則，易知單調(diào)遞增，且，①若，即時(shí)，則，所以在單調(diào)遞增，故只需，即，解得；②若，即時(shí)，，即時(shí)，恒成立.綜上，m的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，由解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），時(shí)，或.①若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)，函數(shù)取極小值；②若，當(dāng)或時(shí)，，因此不是函數(shù)的極值點(diǎn)；③若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此時(shí)，函數(shù)取極大值.綜上，a的取值范圍是.16.某市為了解車主用車的能源類型與對(duì)該市交通擁堵感受的關(guān)系，共調(diào)查了100名車主，并得到如下的列聯(lián)表：覺得交通擁堵覺得交通不擁堵合計(jì)燃油車車主302050新能源車車主252550合計(jì)5545100（1）將頻率估計(jì)為概率，從該市燃油車和新能源車車主中隨機(jī)抽取1名，記“抽取到燃油車車主”為事件，“抽取到新能源車車主”為事件，“抽取到的車主覺得交通擁堵”為事件，“抽取到的車主覺得交通不擁堵”為事件，計(jì)算，，比較它們的大小，并說明其意義；（2）是否有的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與對(duì)該市交通擁堵的感受有關(guān)？將分析結(jié)果與（1）中結(jié)論進(jìn)行比較，并作出解釋.附表及公式：0.1000.0100.0012.7066.63510.828，.解：（1）由題意得，，，說明從抽樣情況來看，燃油車車主覺得交通擁堵的比例比新能源車車主覺得交通擁堵的比例更高（2），因此沒有的把握認(rèn)為該市車主用車的能源類型與是否覺得該市交通擁堵有關(guān)，說明調(diào)查人數(shù)太少，（1）中的結(jié)論不具有說服力，需要調(diào)查更多車主.17.如圖，已知斜三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让?，?cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：因?yàn)閭?cè)面是矩形，所以，又因?yàn)閭?cè)面?zhèn)让妫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?菱形中，，所以是等邊三角形，又E是的中點(diǎn)，所以，得，又，，平面，所以平面.（2）解：由（1），如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，因此，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為m=x由，得，由，得，令，得，設(shè)平面的法向量為n=x由，得，由，得，令，得，.所以二面角的余弦值為.18.已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F且被橢圓C截得的弦長為.（1）求橢圓C的方程；（2）若過點(diǎn)的動(dòng)直線m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且直線l上的點(diǎn)M滿足，求證：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).（1）解：由題意得，將代入橢圓方程，可以求到兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，因此，解得或（舍去），，即橢圓方程為.（2）證明：當(dāng)直線m的斜率為0時(shí)，直線的方程為，此時(shí)；當(dāng)直線m的斜率不為0時(shí)，可設(shè)直線m的方程為，代入橢圓方程，得到，由，得到或，因此A，B點(diǎn)不在直線l上，設(shè)點(diǎn)Ax1,則，，則，因?yàn)?，所以，所以直線的方程為，令，得到，所以，綜上，直線過定點(diǎn).