湖南省部分學校A佳聯考2024屆高三5月模擬考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省部分學校A佳聯考2024屆高三5月模擬考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某臺機器每天生產10000個零件，現連續(xù)12天檢測，得到每天的次品零件個數依次為：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，則這組樣本數據的中位數與第60百分位數之和是（）A.29 B.30 C.30.5 D.31〖答案〗B〖解析〗將這12個數據從小到大排列為，，所以排列后的第8個數即為第60百分位數：16，中位數為，故所求為：.故選：B.2.雙曲線的上焦點到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（）A. B.4 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由對稱性，不妨設，雙曲線的漸近線是，則由題意，解得，故所求為.故選：A.3.已知m，n是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗D〖解析〗對于A，若，，則或，則m，n相交、平行、異面都有可能，A錯誤；對于B，若，則與相交或平行，B錯誤；對于C，若，則，又，則或，C錯誤；對于D，由，得或，若，則存在過的平面與相交，令交線為，則，而，于是，；若，而，則，因此，D正確.故選：D.4.已知函數的導函數是，且，則下列命題正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，（c為常數），是偶函數，且在上單調遞增，又，，則，對于A，，A錯誤；對于B，，，，B正確；對于C，，，C錯誤；對于D，，，，D錯誤.故選：B5.若，則（）A. B. C.1 D.或〖答案〗A〖解析〗由，可得，，兩邊同時除以并整理可得：，解得：或，當時，，，不符合題意，所以.故選：A.6.已知一個多邊形的周長等于，所有各邊的長成等差數列，最大的邊長為，公差為，則這個多邊形的邊數為（）A.4 B.6 C.23 D.6或23〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，則，即，得，解得：或.當時，不合題意；故選：B.7.某大學一宿舍4名同學參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線，還有兩人差幾分上線，這兩名學生準備從A，B，C，D，E，F這6所大學中任選三所大學申請調劑，則這兩名學生在選擇了相同大學的條件下，恰好選擇了兩所相同大學的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，這兩名學生恰好選擇了兩所相同大學的方法總數為：，這兩名學生選擇了相同大學的方法總數為：，所以所求概率.故選：C.8.已知是橢圓的左、右焦點，O是坐標原點，過作直線與C交于A，B兩點，若，且的面積為，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗我們首先來證明一個引理：若，則，證明如下：設，則由余弦定理有，即，所以，所以，從而引理得證；根據題意可得，，解得，因為，所以，解得，由，，可得三角形為等邊三角形，所以，所以，所以，所以是的中點，所以，所以，即，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是某個簡諧運動的函數〖解析〗式，其部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（）A.B.這個簡諧運動的初相為或C.在上單調遞減D.將函數的圖象向左平移個單位長度得到的圖象對應的函數是偶函數〖答案〗AD〖解析〗對于AB，由題意，，因為，所以或，當時，由，解得，此時只能是當時，由，解得，此時無解，綜上所述，，這個簡諧運動的初相為，故A正確，B錯誤；對于C，由題意，當時，，而在上不單調，由復合函數單調性可知，在上不單調，故C錯誤；對于D，將函數的圖象向左平移個單位長度得到的圖象對應的函數，顯然，且的定義域（全體實數）關于原點對稱，所以是偶函數，故D正確.故選：AD.10.如圖，在棱長為2的正方體中，點P是正方體的上底面內（不含邊界）的動點，點Q是棱的中點，則以下命題正確的是（）A.三棱錐的體積是定值B.存在點P，使得與所成的角為C.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D.若，則P的軌跡的長度為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，是定值，A正確；以為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則對于B，，使得與所成的角滿足：，因為，故，故，而，B錯誤；對于C，平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為：，因為，故故，而，，故即的取值范圍為，C正確；對于D，，由，可得，化簡可得，在平面內，令，得，令，得，則P的軌跡的長度為，D正確；故選：ACD.11.已知定義域為的函數是的導函數，且滿足：是奇函數，則下列判斷正確的是（）A.是奇函數 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由，得，則，又是奇函數，即，從而，，即，則是奇函數，A正確；對于B，在中，令，可得，在中，令，可得，從而，B正確；對于C，在中，以代，可得，與求和，可得，令，可得，C錯誤；對于D，由以及，可得，從而，則是周期為3的周期函數，，，，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若復數是方程的兩根，則______.〖答案〗4〖解析〗由韋達定理有，且，所以.13.已知，點P是以線段為直徑的圓上任意一點，動點M與點A的距離是它與點B的距離的倍，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗以AB中點O為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則，，，于是，化簡得：，即，因此點M的軌跡是以為圓心，為半徑的一個圓，與的位置關系是相交，所以14.對集合，其中，定義向量集合，若對任意，存在，使得，則______.〖答案〗5或〖解析〗取，則存在使得，從而可得，即，所以一定是一正一負（因為0不屬于集合），不妨令，則，所以，所以，取，則存在使得，從而可得，若，則矛盾，故不可能同時大于0，若，則矛盾，故不可能同時小于0，所以必定有一正一負，所以有：，則，或，則，情況一：當，時，，從而，或（舍去，集合元素間互異），或，即（舍去，與矛盾），此時（這里不考慮具體與的對應關系，因為由加法交換律可知，兩個加數交換位置不影響結果），情況一：當，，，從而，即（舍去，集合元素間互異），或（舍去，集合元素間互異），或，即，此時（這里不考慮具體與的對應關系，因為由加法交換律可知，兩個加數交換位置不影響結果），綜上所述，或.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.陽春三月，油菜花進入最佳觀賞期，長沙縣江背鎮(zhèn)、望城光明村彭家老屋、瀏陽達滸油菜花田、岳麓區(qū)含泰社區(qū)油菜花田都免費向市民、游客開放，長沙某三所高級中學A，B，C組織學生去這四個景區(qū)春游，已知A，B兩所學校去每個景區(qū)春游的可能性都相同，C學校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的可能性為，去其它三個景區(qū)春游的可能性相同.（1）求望城光明村彭家老屋迎來三所學校春游的概率；（2）長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學校所數的分布列及數學期望.解：（1）依題意，A，B兩所學校去每個景區(qū)春游的概率都是，C學校去岳麓區(qū)含泰社區(qū)春游的概率為，去其它三個景區(qū)春游的概率為所以望城光明村彭家老屋迎來三所學校春游的概率為：.（2）依題意，長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學校所數X的可能值為：0，1，2，3，,，，所以長沙縣江背鎮(zhèn)迎來學校所數X的分布列為：0123數學期望.16.如圖，四棱錐的底面是梯形，平面.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在一點E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（1）證明：因為平面，平面，所以，因為，所以，所以，又因為平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）解：因為平面，，所以平面，又因為平面，所以，又，所以兩兩互相垂直，所以以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖，，設，則，，設平面的法向量為n1=x則，即，取，滿足條件，所以可取，，，設平面的法向量為，則，即，取，解得，所以，由題意，化簡并整理得，解得或（舍去），所以，綜上所述，棱上是否存在一點E，且，使得二面角的余弦值為.17.已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點，.（1）求E的方程；（2）直線，過l上一點P作E的兩條切線，切點分別為M，N.求證：直線過定點，并求出該定點坐標.解：（1）由已知，，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點，設的方程為，Ax1,聯立，得，則，則，所以，解得，故拋物線E的方程為：.（2）設直線的方程為，，，聯立，得，，即，所以，，令，當時，可化為，則，則在處的切線的方程為：，即，同理可得切線的方程為：，聯立與的方程，解得，所以，則，滿足，則直線的方程為，所以直線過定點，該定點坐標為.18.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求a的取值范圍.解：（1）函數的定義域為R，求導得，令，求導得，當時，，當時，，函數在上遞減，在上遞增，，即，①當時，，恒成立，在R上單調遞減；②當時，由，得，由，得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，在R上單調遞減；當時，上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）知，當時，在R上單調遞減，在R上至多一個零點，不滿足條件，當時，，令，則，令，求導得，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，即，于是，函數在R上單調遞增，而，則當時，，當時，，當時，，①若，則fxmin=ga>0，故②若，則，僅有一個實根，不滿足條件；③若，則，注意到，f-2=于是在上有一個實根，又，且，令，則，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，hx≥h(43則，又，即，則有，即，于是在上有一個實根，又在上單調遞減，在上單調遞增，因此在R上至多兩個實根，又在及上均至少有一個實根，則在R上恰有兩個實根，所以時，在R上恰有兩個實根.19.角谷猜想，也稱為“”猜想.其內容是：任取一個正整數，如果是偶數，將它除以2；如果是奇數，則將它乘以3再加上1，如此反復運算，該數最終將變?yōu)?.這就是對一個正整數運算時“萬數歸1”現象的猜想.假如對任意正整數，按照上述規(guī)則實施第1次運算后的結果記為，實施第2次運算后的結果記為，…，實施第次運算后的結果記為，實施第n次運算后得到數1，停止運算，便可以得到有窮數列，1，其遞推關系式為：叫做數列an的原始項.將此遞推關系式推廣為：（，且），其它規(guī)則不變，得到的數列記作數列，試解答以下問題：（1）若，則數列的項數為______；（2）求數列的原始項的所有可能取值構成的集合；（3）若對任意的數列，均有，求d的最小值.解：（1），，所以數列的項數為5.（2），下面證明對于任意的正整數，當時，均存在數列an為數列，時，符合題意，反證，假設存在正整數，當時，不存在數列an為數列，設此時的最小值為，即時，存在數列，時，不存在數列，①當為奇數時，因為存在以為原始項的數列，，所以就是原始項為的數列，與