江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆新高三暑期學習（全國普通高考調(diào)研模擬測試）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆新高三暑期學習（全國普通高考調(diào)研模擬測試）數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則的元素個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗因為，且，則，或，且，所以，或，因為，則或，當，時，，當，時，，當且時，，當，且，，則，當，且，,時，，則當，即，或，綜上，所以的元素個數(shù)為4故選：D.2.已知，，則點B到直線AC的距離為（）A. B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗因為，，所以，，，，所以在方向上的投影為，，所以點B到直線AC的距離為.故選：C.3.設，函數(shù)與直線交于點．若曲線y=fx與軸上方（不含軸）的正三角形的兩條邊相切，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由于都在直線上，故平行于軸，再由是偶函數(shù)，可設，.據(jù)已知可得是y=fx的切線，故.所以由可知，故，從而.由于，故的方程為，令，得，所以.從而根據(jù)已知條件，點在軸上方，這就說明命題等價于.故所求取值范圍是.故選：D.4.現(xiàn)有一份由連續(xù)正整數(shù)（可重復）組成的樣本，其容量為m，滿足上四分位數(shù)為28，第80百分位數(shù)為30，則m的最小值為（）A.24 B.25 C.28 D.29〖答案〗D〖解析〗對于A，若樣本容量的最小值為24，則，，則第個數(shù)據(jù)的平均數(shù)應為，第個數(shù)據(jù)應為，由是連續(xù)的正整數(shù)，顯然不符合情況，故A錯誤；對于B，若樣本容量的最小值為25，則，，則第19個數(shù)據(jù)應為，第個數(shù)據(jù)均為，由是連續(xù)的正整數(shù)，矛盾，故B錯誤；對于C，若樣本容量的最小值為28，則，，則第個數(shù)據(jù)均為，第23個數(shù)據(jù)應為，由是連續(xù)的正整數(shù)，矛盾，故C錯誤；對于D，若樣本容量的最小值為29，則，，則第22個數(shù)據(jù)應為，則第個數(shù)據(jù)應為，所以第個數(shù)據(jù)應該是29，符合題意，故D正確；故選：D.5.在遞增數(shù)列中，，．已知表示前n項和的最小值，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意在遞增數(shù)列an中，，，則，故，則或，結合題意取；又，則或，結合題意?。煌?，則或，結合題意取，同理，則或，結合題意取，同理，則或，結合題意取，同理可得，，，故an前9項和最小值，可得，故選：C.6.在銳角中，已知，則B，C的大小關系為（）A. B. C. D.無法確定〖答案〗A〖解析〗在銳角中，由，得，則，整理得，于是，由正弦定理得，由余弦定理得，而，因此，所以.故選：A.7.已知標準橢圓上P，Q兩點的切線方程分別為，，則直線PQ的斜率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗設橢圓方程為，，聯(lián)立消去得①，則②，聯(lián)立消去得③，則④，聯(lián)立②④解得，代入①得，解得，所以，代入③得，解得，所以，所以.故選：D.8.若滿足在上恒成立的a唯一，則整數(shù)b的值為（）A.3 B. C.4 D.〖答案〗A〖解析〗不妨設，，對于A，，滿足在上恒成立的a唯一，當時，在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；當時，令得；若，即，有在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；若，即，，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞減；，，，；可知，解得，符合題意，A正確；對于B，當時成立，只需驗證，，當時，在上單調(diào)遞增，則，即，與矛盾；當時，令得；若，即，有在上單調(diào)遞增，則，即，可知不唯一，B錯誤；對于C,D，，滿足在上恒成立的a唯一，則當時，在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；當時，令得；若，即，有在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；若，即，，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞減；，，，；可知，解得，不符合題意，C，D錯誤；故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知的外接圓圓心在AC邊上，內(nèi)切圓半徑為，且．設D為AC邊上動點，將沿BD向上翻折，得到四面體ABCD，記為M，其體積為V．則（）A.的外接圓面積為4πB.M不可能是正三棱錐C.M的外接球球心不可能在其棱上D.V取最大值時，〖答案〗ABD〖解析〗的外接圓圓心在AC邊上，則是為直角的直角三角形，中點是的外接圓圓心，又，則，，設，內(nèi)切圓半徑為，可得，即.的外接圓半徑，面積為，故A正確.若是正三棱錐，則一定是等腰三角形，又，即是等邊三角形，此時點與點重合，為正三棱錐的底面，而側棱，所以不可能是正三棱錐，故B正確.取，將翻折到時，此時，，，，即，取中點為，則，是的外接球球心，故C錯誤.以為原點，，為軸，軸正方向建立平面直角坐標系，則，，，設，將沿BD向上翻折，當平面平面時，點到底面的距離最大，過作，則為四面體的高，直線方程為，，，，設，，設，，則在上單調(diào)遞減，又，，一定存在，使，且，而，所以當時，，遞增；當時，，遞減；則的最大值是.因此當點更靠近點，時，有最大值，即取最大值時，，故D正確.故選：ABD.10.已知拋物線Γ：的焦點為F，P為Γ上一動點．過F且斜率大于0的直線與Γ交于不同的兩點A，B，且滿足，．則下列說法錯誤的是（）A.直線AB的傾斜角大于60°B.若，則C.點P可能在第一象限D.直線PB的橫截距不可能是〖答案〗AC〖解析〗拋物線Γ：的焦點為F1,0，直線過F且斜率大于0，設直線方程為，，聯(lián)立，化簡得，由韋達定理，設，，，代入韋達定理得，又點不在直線上，則，即只有，當，即時，有實數(shù)解，且存在點，又，則點在第四象限，故C錯誤.設直線的斜率為，則，直線的傾斜角小于等于，故A錯誤.若，則，，代入，解得，，所以，即，故B正確.取，則直線的直線方程為，聯(lián)立，化簡得，方程其中一個根為點縱坐標，則另一根為，若另一根為點縱坐標，則，此時，代入方程無解，所以與無法垂直，則不存在這樣過的直線，即直線的橫截距不可能是，故D正確.故選：AC.11.已知函數(shù)，記時的極值點為（且的值均不同）．則下列說法錯誤的是（）A.滿足有唯一零點的唯一 B.無論取何值，都沒有過原點的切線C.若，則 D.若，則〖答案〗BD〖解析〗設，則，故對有，對有.所以在上遞減，在0,+∞上遞增，從而，即.我們有，故對有，對有.所以在上遞減，在上遞增.從而有極小值點，故.由于，故.若，此時，而，故對有.所以.這就表明在和上各有一個零點，從而至少有兩個零點；若，則根據(jù)的單調(diào)性，知存在唯一的零點.對于A，當時，有，所以，從而至少有兩個零點；當時，有，所以，從而至少有兩個零點；當時，有，所以，從而存在唯一的零點.這就表明當且僅當時，的零點唯一，故A正確；對于B，由于當時，在1,0處的切線過原點，故B錯誤；對于C，若，由于，故.設，則，故對有，對有.所以hx在上遞增，在上遞減.由已知有，故可不妨設，而，故.再設，則，且，.而對有.所以在上遞增，從而對有；所以在上遞增，從而對有；所以φx在上遞增，從而對有，即.從而有.根據(jù)hx的單調(diào)性，知，故.所以，故C正確；對于D，根據(jù)前面的討論，恒有成立，所以.這就得到，故D錯誤.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復數(shù)，若，則______．〖答案〗〖解析〗由得，由求根公式得，當時，，所以，當時，，所以，綜上，13.甲和乙玩小游戲測試他們的默契度．在一輪游戲中，他們各寫下一個三位數(shù)，分別記為A和B．當以下任一條件成立時，他們“不默契”，否則“心有靈犀”：①A、B中相同的數(shù)字少于兩個（如147和289）②A、B中相同的數(shù)字不少于兩個，但不都在相同的數(shù)位上（如147和174）根據(jù)以上內(nèi)容判斷：在本輪游戲中，甲和乙“心有靈犀”的概率為______．〖答案〗〖解析〗由題知，當A、B中至少有兩個數(shù)字相同，且在相同數(shù)位上時，甲和乙“心有靈犀”.不妨記，當A、B中有三個數(shù)字相同時，有1種情況；當A、B中只有兩個數(shù)字相同時，若百位和十位相同，有9種情況，若百位和個位相同，有9種情況，若十位和個位相同，有8種情況，所以，當A、B中只有兩個個數(shù)字相同時，有種情況.綜上，當時，有種情況使得甲和乙“心有靈犀”.因為三位數(shù)共有個，所以當時，甲和乙“心有靈犀”的概率為，又因為甲寫出每一個三位數(shù)且甲和乙“心有靈犀”的事件互斥，例如：事件“且甲和乙“心有靈犀””和事件“且甲和乙“心有靈犀””互斥.所以，甲和乙“心有靈犀”的概率為.14.給定一種有窮正整數(shù)列的延伸機制Ξ，如圖所示：記經(jīng)Ξ延伸后得到的無窮數(shù)列為an，則______．〖答案〗〖解析〗記第個連續(xù)串的長度分別是，則，.從而，即，，.根據(jù)等比數(shù)列知識，得到，，.由于，.所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.俱樂部是具有某種相同興趣的人進行社會交際、文化娛樂等活動的團體和場所．一些頂尖的俱樂部不僅對會員的要求非常嚴苛，加入也要經(jīng)過現(xiàn)任會員邀請并接受資格測試和對個人素養(yǎng)、社會地位等的綜合考察．研究人員通過模型預測某俱樂部標準資格測試的參試成績（總計100份），繪制成下表（已知B卷難度更大）：某俱樂部標準資格測試參試成績預測不及格及格良好優(yōu)秀A卷ab164B卷201262（1）若至少有5%的把握認為及格率與試卷難度無關，求a的最小值；（2）在預測的40份B卷參試成績中隨機挑選3份，記不及格的份數(shù)為X①求X的分布列及數(shù)學期望；②人教A版選擇性必修第三冊第80頁上寫道：對于不放回抽樣，當n遠遠小于N時…此時，超幾何分布可以用二項分布近似．近似指的是期望還是方差？試判斷并說明理由．附：，其中．α0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)得列聯(lián)表：不及格及格合計A卷a60B卷202040合計100零假設為：及格率與試卷難度無關.由題知，，整理得，解得，依題意知，，所以a的最小值為.（2）①在預測的40份B卷參試成績中，不及格和及格各20份，由題知，的可能取值有，，，得X的分布列為：0123所以.②當n遠遠小于N時,超幾何分布與二項分布近似指的是方差，由①知，若進行放回抽樣，則，，放回抽樣和不放回抽樣期望相等，所以近似指的是方程.當n遠遠小于N時，每次抽取后對N的影響非常小，此時放回與不放回對概率影響可以忽略不計，所以，此時超幾何分布與二項分布近似.16.已知定義在上的函數(shù)，．（1）分別說明，gx的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在唯一極小值點，求的取值范圍．解：（1）由題可得：，當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當時，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，綜上，當時在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；由題可得：，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（2）令，則，令，則，①當時，在上恒成立，故當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，所以有唯一極大值點，沒有極小值點，不滿足題意；②當時，在恒成立，在上單調(diào)遞增，，故當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以有唯一極小值點，滿足題意；③當時，令，解得：，令，解得：x>-lna，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，令，解得，當時，在上恒成立，由②可知有唯一極小值點，滿足題意；當時，，，，又因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在唯一實數(shù)，，使得，，又，故當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減當時，，在上單調(diào)遞增，所以的極小值點為，，不唯一，不滿足題意；綜上，的取值范圍.17.已知無限高圓柱．如圖，四邊形內(nèi)接于其底面⊙O，P為其內(nèi)一動點（包括表面），且平面平面，．（1）是否存在點使得直線平面？試判斷并說明理由．（2）若，二面角的大小為，求最大時直線與平面所成角的余弦值．解：（1）不妨假設存在點使得直線平面，因為平面，所以，又四邊形ABCD內(nèi)接于，所以，在平面PAD上作直線于，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又因為平面，故，又平面平面，所以平面.而平面平面，故，不垂直，與題意矛盾.所以不存在點使得直線平面.（2）因為，所以，取AB中點，連接OF延長交于，則，所以四點共線，則，即，因為為AB中點，所以，則。則，所以，同理可證，所以是等邊三角形.法一：以為坐標原點，，向上為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設半徑為，其中，所以，設平面PAB的法向量m=則取，可得，取平面ABCD的一個法向量所以，解得，則取，設平面PAD的法向量，則，取，又，解得，設直線的方向向量，則，取，可得，所以，由題意可知平面ABCD時AP取得最大值，則，所以，解得舍），則，設平面PBD的法向量則，取，可得，設直線PC與平面PBD所成的角為，所以，因為，所以，故最大時直線PC與平面PBD所成角的余弦值為.法二：設在底面上投影為，直線PA與底面所成角為半徑為，由三余弦定理及三正弦定理得，因為，則所以為定值，而，所以取最大值時，取最大值即與重合時，故直線平面ABCD，此時有，作直線BD于，連接PH，作于，所以，因為平面ABCD，所以，又因為平面，所以平面BDH，而平面CDH，所以，又因為平面，所以平面BDH，則即為直線PC與平面BDH所成角的平面角，所以，故取最大時直線PC與平面PBD所成角的余弦值為.18.已知焦點為F的拋物線Γ：，圓F與Γ在第一象限的交點為P，與x正，負半軸分別交于點H，G．直線PH，直線PF與Γ的另一交點分別為M，N，直線MN與直線PG交于點T．（1）若，證明：；（2）若，求的取值范圍．（1）證明：由題意知，設，則，由得，又，所以，設直線的方程為，由可得，則，又因為，所以．，直線的方程為，由得，由，得．所以，所以，所以，所以為銳角；又，所以，所以為鈍角，故；（2）解：因為，由（1）知F1,0，設，則，，，，，所以直線的方程為，作，垂足為，則，直線的方程為，將直線與的方程聯(lián)立，得解得．所以，所以，由相似三角形的性質(zhì)可得，故，因為，所以（當且僅當時等號成立），故，即的面積的取值范圍為．19.小學我們都學過質(zhì)數(shù)與合數(shù)，每一個合數(shù)都能分解為若干個質(zhì)數(shù)的積，比如，等等，分解出來的質(zhì)數(shù)稱為這個合數(shù)的質(zhì)因子，如2，3都是6的質(zhì)因子．在研究某兩個整數(shù)的關系時，我們稱它們是互質(zhì)的，如果它們沒有相同的質(zhì)因子．例如25的質(zhì)因子只有5，而36的質(zhì)因子只有2，3，所以25，36是互質(zhì)的