江蘇省宿遷市2025屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省宿遷市2025屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題知，，，故選：C.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗“，”的否定為“，”，故選：C.3.若，則的最小值為（）A.9 B.18 C.24 D.27〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意可得；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；此時(shí)的最小值為9.故選：A.4.已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的圖象由的圖象向右平移2個(gè)單位得到，故值域相同，故選D.5.我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱(chēng)為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法．如：，則（）A.0 B. C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗，故選：D.6.年月日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主，英國(guó)歲高齡的著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)界的震動(dòng).在年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過(guò)這個(gè)何題，并得到小于數(shù)字的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)以?xún)?nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為（）（素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，，計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，估?jì)以?xún)?nèi)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)為.故選：B.7.已知，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，，則的取值范圍是（）A.（3，4） B.（2，4） C.[0，4） D.[3，4）〖答案〗D〖解析〗由方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，得函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，分別作出函數(shù)的圖象與直線．由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)兩圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，．設(shè)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，設(shè)，則，，由得，所以，即．設(shè)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，設(shè)，則，，且，所以，則．故選：D.8.是在上的連續(xù)函數(shù),設(shè),則（）.A. B. C. D..〖答案〗A〖解析〗對(duì)CD，取,則有，則，則，故C錯(cuò)誤，，則，故D錯(cuò)誤；對(duì)B，取,則.此時(shí),則B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由絕對(duì)值不等式得,因此，因此選項(xiàng)A正確.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（

）A.是的極小值點(diǎn) B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.的極小值為 D.在上的最大值為〖答案〗BD〖解析〗由題設(shè)，令，則或，令，則，所以、上遞增，上遞減，故為極大值，為極小值，A、C錯(cuò)誤，B正確；在上，在上遞減，在上遞增，而，所以在上的最大值為，D正確.故選：BD.10.下列命題正確的有（）A.函數(shù)定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)锽.函數(shù)是奇函數(shù)C.已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則D.函數(shù)在上為增函數(shù)〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，由函數(shù)定義域?yàn)椋瑒t，因此在中，，解得，即的定義域?yàn)椋蔄正確；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，即為的兩根，則可得，令，，結(jié)合函數(shù)圖象可設(shè)，，則，所以，所以，而k不一定為1，故C不正確；對(duì)于D，函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)，在區(qū)間0,1單調(diào)遞減，在1,+∞單調(diào)遞增，故D不正確.故選：AB11.已知，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，A正確；對(duì)于B，由于，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即的最大值為，B正確；對(duì)于C，又，得，故由于，而對(duì)稱(chēng)軸為，則在上單調(diào)遞減，在上無(wú)最值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，故，由于，故，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為，D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.，函數(shù)沒(méi)有極值的充要條件為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗，注意到是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，若沒(méi)有極值，則只能是f'x即，解得．13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由復(fù)合而成.而單調(diào)遞增，只需要單調(diào)遞減.且在上恒成立.則即可，解得.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.14.設(shè)集合則集合中最小的元素是______，集合中最大的元素是______．〖答案〗1〖解析〗，，則，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，當(dāng)，，當(dāng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，則，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，因此結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)知，，，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，故，因此當(dāng)時(shí)，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知集合（1）若，求；（2）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1），當(dāng)時(shí)，，則；（2）∵，∴是的充分條件，，，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.16.已知函數(shù)，的解集為．（1）求f(x)的〖解析〗式；（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，的解集為，那么方程的兩個(gè)根是，2，且，由韋達(dá)定理有，所以．（2），由，則：根據(jù)均值不等式有：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)時(shí)，．17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為梯形，，.（1）求點(diǎn)到平面ABCD的距離；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面DBF與平面PBC夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題設(shè)，知，所以.又，所以為等邊三角形，所以.在中，，所以.即，則.所以，即，又，且平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?如圖1，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?所以平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離.在中，，所以.即點(diǎn)到平面的距離為.（2）如圖2，連接OC，則，且平面ABCD，所以，所以PO，BD，OC兩兩互相垂直.以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則，所以.若上存在點(diǎn)滿足題意，不妨設(shè)，則，所以.設(shè)m=x,y,z是平面則，解得，不妨取，則平面的一個(gè)法向量為.同理，設(shè)是平面的法向量，則，解得，不妨取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，化簡(jiǎn)整理得，解得或.即或.故在的三等分點(diǎn)處存在點(diǎn)，可使得平面與平面夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)，若點(diǎn)在的圖像上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)在的圖象上運(yùn)動(dòng).（1）求的最小值，及相應(yīng)的值；（2）求函數(shù)的〖解析〗式，指出其定義域，判斷并證明在上的單調(diào)性；（3）在函數(shù)和的圖象上是否分別存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1），當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為2，對(duì)應(yīng)的為0.（2）設(shè)圖象上點(diǎn)，由題：，所以點(diǎn)在的圖像上運(yùn)動(dòng)，則，所以，，由得其定義域?yàn)樗?，定義域?yàn)樵诙x域內(nèi)為增函數(shù)，證明如下：任取，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性有：，，，即所以在定義域內(nèi)是增函數(shù).（3）假設(shè)函數(shù)和的圖象上分別存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，設(shè)其坐標(biāo)，則有：解得：故在函數(shù)和的圖象上分別存在點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).19.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：.（注：，為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)為實(shí)數(shù)，討論方程的解的個(gè)數(shù).（1）解：由，有，可知，由題意，，所以，解得.（2）證明：由（1）知，，令，則，所以φx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，時(shí)，，得證.（3）解：的定義域是，.①當(dāng)時(shí)，，所以hx在上單調(diào)遞增，且，所以hx在上存在