江西省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期開學(xué)第一次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期開學(xué)第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗復(fù)數(shù)，則，所以.故選：D.2.已知集合，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，解得，由，解得，則，對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于CD，，，，C錯誤，D正確.故選：C.3.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線C上一點(diǎn)，則（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，由拋物線定義可知，故選：B.4已知向量滿足，則（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗由，則.故選：C.5.已知等邊的邊長為2，將以高PO為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，得到的幾何體體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗邊長為2的等邊高，將以高PO為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，得到的幾何體是半徑為1，高為的圓錐的兩部分，其中每一部分的底面是半徑為1，圓心角為的扇形，所以得到幾何體體積.故選：B.6.甲、乙等四個人一起隨機(jī)手牽手圍成一圈做游戲，甲與乙牽手的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗以甲為中心，其他三人的位置是甲的左邊、右邊、對面，共有種情況，其中乙在甲左邊或右邊，即甲與乙能牽手的有種情況，所以所求概率為.故選：D.7.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在中，，則，，所以.故選：A.8.曲線的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最大值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)曲線的切點(diǎn)為，由，求導(dǎo)得，則切線方程為，令，得；令，得，因此該切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以該切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最大值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某冷飲店為了保證顧客能買到當(dāng)天制作的酸皮奶，同時盡量減少滯銷，統(tǒng)計了30天的銷售情況，得到如下數(shù)據(jù)：日銷售量/杯天數(shù)46956以樣本估計總體，用頻率代替概率，則下列結(jié)論正確的是（）A.估計平均每天銷售50杯酸皮奶（同一組區(qū)間以中點(diǎn)值為代表）B.若當(dāng)天準(zhǔn)備55杯酸皮奶，則售罄的概率為C.若當(dāng)天準(zhǔn)備45杯酸皮奶，則賣不完的概率D.這30天酸皮奶日銷售量的80%分位數(shù)是65杯〖答案〗BCD〖解析〗對于A，平均每天酸皮奶的銷售量為（杯），A錯誤；對于B，日銷售量不小于55杯的概率為，B正確；對于C，日銷售量小于45杯的概率為，C正確；對于D，，因此這30天酸皮奶日銷售量的80%分位數(shù)是65杯，D正確.故選：BCD10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若這兩函數(shù)圖象的對稱軸都相同，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C.與的零點(diǎn)相同 D.與的單調(diào)遞增區(qū)間相同〖答案〗BC〖解析〗對于AB，，函數(shù)圖象的對稱軸滿足，函數(shù)圖象的對稱軸滿足，兩式相減得，因此，A錯誤，B正確；對于C，，因此與的零點(diǎn)相同，C正確；對于D，取，函數(shù)的遞增區(qū)間為，函數(shù)遞增區(qū)間為，D錯誤.故選：BC.11.已知非常數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，令，得，解得或，當(dāng)時，對任意恒成立，則，函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，因此，A錯誤；對于B，令，得，B正確；對于C，令，得，則，，因此，C正確；對于D，由選項(xiàng)C知，，則，因此，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為______〖答案〗〖解析〗由題意知，所以，即，又，即，所以.13.已知函數(shù)是減函數(shù)，則a的取值范圍是______〖答案〗〖解析〗令，求導(dǎo)得，由，得，函數(shù)的遞減區(qū)間為，由函數(shù)是減函數(shù)，得，即，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，由，解得，所以a的取值范圍是.14.高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃.每次試驗(yàn)時，讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落過程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi)，在如圖所示的小木塊中，上面10層為高爾頓板，最下面為球槽.小球從通道口落下，第一次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過9次與小木塊碰撞，最后掉編號（從左至右）為1，2，…，10的球槽內(nèi).若一次試驗(yàn)中小球滾落至事先選定的球槽編號n即得積分，否則不得分．若，則每次試驗(yàn)前選定球槽編號為______，所得積分的數(shù)學(xué)期望最大．〖答案〗8〖解析〗設(shè)選定的格子編號為，則小球碰撞過程中有次向右邊滾落，落到該格子的概率為，此時其數(shù)學(xué)期望為，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，最大.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求角A的大?。唬?）若D為BC上一點(diǎn)，且AD平分，，求AD的最大值．解：（1）在中，由及正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，而，所以.（2）由平分，得，而，則，即，又，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則，所以AD的最大值為.16.如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是梯形，，E，F(xiàn)，G分別為，CD的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若，求二面角的余弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，且.同理可得，且.又，且，所以，且.則四邊形是平行四邊形，從而.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：在直四棱柱中，因?yàn)椋詢蓛纱怪?以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，則設(shè)平面的法向量為n1=則，令，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得n2=0,1,1所以易知二面角為銳角，所以其余弦值為.17.已知雙曲線其左、右焦點(diǎn)分別為，若，點(diǎn)到其漸近線的距離為．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，且，若成等比數(shù)列，則稱該雙曲線為“黃金雙曲線”，判斷雙曲線C是否為“黃金雙曲線”，并說明理由．解：（1）由題意可知：，即，則，其中一條漸近線為，即，因?yàn)辄c(diǎn)到其漸近線的距離為，則，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）雙曲線C為“黃金雙曲線”，理由如下：設(shè)Px0,y0為雙曲線C可得，若為雙曲線C的上左支一點(diǎn)，則，則，且，可得；若為雙曲線C的上右支一點(diǎn)，則，則，且，可得；由題意可知：，漸近線方程為，則直線l的斜率存在，，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y可得，則，因?yàn)?，則，可得，即，解得，此時，，且，因?yàn)?，即，則成等比數(shù)列，所以該雙曲線為“黃金雙曲線”.18.我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為（）．對冪指函數(shù)求導(dǎo)時，可以將函數(shù)“指數(shù)化”再求導(dǎo)，例如：對于冪指函數(shù)，有．（1）已知，求曲線在處的切線方程；（2）若且，研究函數(shù)的單調(diào)性；（3）已知m，n，s，t均大于0，且，討論和的大小關(guān)系．解：（1）依題意，，求導(dǎo)得，則，而，所以切線方程為，即.（2）依題意，，求導(dǎo)得，，設(shè)，求導(dǎo)得，由，得，由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，從而，所以在上單調(diào)遞增.（3）設(shè)，則，設(shè)，由在上單調(diào)遞增，知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，則；當(dāng)時，，即，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.19.馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計中的一個重要模型，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，即第n＋1次狀態(tài)的概率分布只與第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第，…次的狀態(tài)無關(guān)，即．已知甲盒中裝有1個白球和2個黑球，乙盒中裝有2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒中各任取1個球交換放入對方的盒中，重復(fù)n次（）這樣的操作，記此時甲盒中白球的個數(shù)為，甲盒中恰有2個白球的概率為，恰有1個白球的概率為．（1）求和．（2）證明：為等比數(shù)列．（3）求的數(shù)學(xué)期望（用n表示）．（1）解：若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率；若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率，研究第2次交換球時的概率，根據(jù)第1次交換球的結(jié)果討論如下：①當(dāng)甲盒中的球?yàn)?白1黑，乙盒中的球?yàn)?白1黑時，對應(yīng)概率為，此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白，乙盒中的球變?yōu)?黑，概率為；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白2黑，乙盒中的球變?yōu)?白，概率為；若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為，②當(dāng)甲盒中的球?yàn)?白2黑，乙盒中的球?yàn)?白時，對應(yīng)概率為，此時，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白1黑，乙盒中的球變?yōu)?白1黑，概率為若甲盒取白球，乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為1白2黑，乙盒中的球仍為2白，概率為，綜上，.（2）證明：依題意，經(jīng)過次這樣的操作，甲盒中恰有2個白球的概率為，恰有1個白球的概率為，則甲盒中恰有3個白球的概率為，研究第次交換球時的概率，根據(jù)第次交換球的結(jié)果討論如下：①當(dāng)甲盒中的球?yàn)?白1黑，乙盒中的球?yàn)?白1黑時，對應(yīng)概率為，此時，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為；若甲盒取黑球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白，乙盒中的球變?yōu)?黑，概率為；若甲盒取白球、乙盒取黑球，互換，則甲盒中的球變?yōu)?白2黑，乙盒中的球變?yōu)?白，概率為；若甲盒取白球、乙盒取白球，互換，則甲盒中的球仍為2白1黑，乙盒中的球仍為1白1黑，概率為，②當(dāng)甲盒中的球?yàn)?白2黑，乙盒中的球?yàn)?白時，對