山東省部分學(xué)校2025屆新高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省部分學(xué)校2025屆新高三上學(xué)期開學(xué)聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所?故選：D.2.在等比數(shù)列中，若，，則（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗由于是等比數(shù)列，且，，所以，故選：C.3.若非零向量滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意可得，所以，又向量為非零，則，則在方向上的投影向量為.故選：C.4.已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為且，若滿足以上條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗連接，則.又，所以四邊形為正方形，，于是點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上.又由滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，則圓與直線相切，所以點(diǎn)到直線的距離，解得.故選：D.5.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.或C. D.或〖答案〗B〖解析〗由兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又由不等式有解，可得，解得或，所以實(shí)數(shù)取值范圍為或.故選：B.6.的的展開式中的系數(shù)為（）A.30 B. C.20 D.〖答案〗D〖解析〗從5個(gè)含有的括號(hào)中，其中1個(gè)括號(hào)中取，一個(gè)括號(hào)中取，3個(gè)括號(hào)中取，乘在一起構(gòu)成這一項(xiàng)，這一項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.故選：D.7.設(shè)函數(shù)，若對于任意實(shí)數(shù)在區(qū)間上至少2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則，令，則，則原問題轉(zhuǎn)化在區(qū)間上至少2個(gè)，至多有3個(gè)t，使得，求得取值范圍，作出與的圖象，如圖所示，由圖知，滿足條件的最短區(qū)間長度為，最長區(qū)間長度為，∴，解得．故選：B．8.已知函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值可以為（

）A. B. C. D.0〖答案〗A〖解析〗由題意可得方程有4個(gè)不同的根.方程的2個(gè)根為，所以方程有2個(gè)不同的根，且，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線與函數(shù)的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以解?要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，只需直線的斜率大于，即.設(shè)（），則，由，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的最大值為.所以.故的取值范圍為,故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)分別為，則下列命題為真命題的有（）A. B.C.若，則 D.若，則或〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)且，則，，所以，所以，故A正確；，故B正確；當(dāng)時(shí)，滿足，但不能得出，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，則或，故D正確.故選：ABD.10.如圖，已知二面角的棱上有兩點(diǎn)，，，若，則（）A.直線AB與CD所成角的余弦值為B.二面角的大小為C.三棱錐的體積為D.直線CD與平面所成角的正弦值為〖答案〗ABD〖解析〗過點(diǎn)作，且，連接，如圖，則四邊形是平行四邊形，即且，是直線ABCD所成角或其補(bǔ)角，因?yàn)?，則，而平面，所以平面，平面，所以，則，所以，故A正確；因?yàn)?，即，又，則是二面角的平面角，又，結(jié)合，即是等邊三角形，所以，故B正確；因?yàn)槠矫?，則平面平面，在平面過點(diǎn)作于點(diǎn)，于是得平面，而，故C不正確；連接，因?yàn)槠矫?，則是直線CD與平面所成角，，故D正確.故選：ABD.11.甲箱中有3個(gè)黃球?2個(gè)綠球，乙箱中有2個(gè)黃球?3個(gè)綠球（這10個(gè)球除顏色外，大小?形狀完全相同），先從甲箱中隨機(jī)取出2個(gè)球放入乙箱，記事件A，B，C分別表示事件“取出2個(gè)黃球”，“取出2個(gè)綠球”，“取出一黃一綠兩個(gè)球”，再從乙箱中摸出一球，記事件D表示摸出的球?yàn)辄S球，則下列說法不正確的是（）A.A，B是對立事件 B.事件B，D相互獨(dú)立C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，事件A，B不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，故A，B是互斥事件，但不是對立事件，故A錯(cuò)誤；對于B，事件B發(fā)生與否，影響事件D，所以事件B，D不是相互獨(dú)立事件，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.甲，乙兩人組成的“夢隊(duì)”參加籃球機(jī)器人比賽，比賽分為自主傳球，自主投籃2個(gè)環(huán)節(jié)，其中任何一人在每個(gè)環(huán)節(jié)獲勝得2分，失敗得0分，比賽中甲和乙獲勝與否互不影響，各環(huán)節(jié)之間也互不影響.若甲在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，乙在每個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率都為，且甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2的概率為，“夢隊(duì)”在比賽中得分不低于6分的概率為________.〖答案〗2〖解析〗若甲，乙兩人在自主傳球環(huán)節(jié)得分之和為2,則甲乙兩人中一個(gè)人成功一個(gè)人失敗，故概率為，故，“夢隊(duì)”在比賽中得分不低于6分，則至少要贏3次，故概率為.13.如圖，在四面體中，，，則該四面體的外接球體積為______.〖答案〗〖解析〗取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：又可知，且；又，且平面，所以平面，取的中點(diǎn)為，連接，又，可得，且;又平面，所以，又，平面，所以平面；在中，可知；設(shè)的外接圓半徑為，可得，解得；易知的外接圓圓心必在直線上，設(shè)，則，解得，即可得為的中點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?，所以該四面體的外接球球心一定在過且平行于的直線上，設(shè)，外接球半徑為，所以，即，解得；因此該四面體的外接球球心與的外接圓圓心重合，此時(shí)所以該四面體的外接球體積為.14.已知點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，、分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)N，若，則雙曲線C的離心率為_________.〖答案〗2〖解析〗直線分別與內(nèi)切圓的切點(diǎn)為，如圖所示：由切線性質(zhì)可得，由雙曲線的定義可得，即，所以，即，又，因此.設(shè)，則，又，因此.于是，即，所以由，可得，即.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因?yàn)?，，若，則，與矛盾，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以?shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列.（2）解：由（1）知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)?，所以，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù).，所以16.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求角A；（2）若中邊上中線的長度為3，求面積的最大值.解：（1）由題意知，由正弦定理得，，所以，又因，則，所以，因A為的內(nèi)角，所以，由得，則.（2）因是中邊上中線，則，即，所以，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故，即面積的最大值為.17.如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，M是的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)P是棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，與交于Q點(diǎn)，在底面矩形中，易知，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，易知，所以，由題意可知,所以，而相交，且平面，所以平面；（2）解：由上可知，，，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、、，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，，則，取，則，設(shè)，其中，則，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，則，解得，即.18.已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且的垂心為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線叫橢圓于、兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，求直線的方程．（3）設(shè)是從橢圓中心到橢圓在點(diǎn)處切線的距離，當(dāng)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷是否為定值．若是求出定值，若不是說明理由．解：（1）設(shè)，由的垂心為知,故，化簡得，，解得，又因點(diǎn)在橢圓上，則，因，故得，解得，故橢圓的方程為.（2）如圖，由（1）知，,若直線的斜率不存在，由對稱性可得，，不合題意；若直線的斜率為，則的方程為，由消去得，，①顯然，設(shè)，則，于是，，解得，則直線的方程為.（3）先來證明過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為.由橢圓可得，當(dāng)時(shí),,求導(dǎo)可得：,∴當(dāng)時(shí),∴切線方程為,整理為：,兩邊同時(shí)除以得：.同理可證：時(shí),切線方程也為.當(dāng)時(shí),切線方程為滿足.綜上,過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為.依題意，設(shè)橢圓上點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線方程為,即，原點(diǎn)到切線的距離為.由橢圓的第二定義，，則，同理，則，故為定值.19.若函數(shù)在上存在，使得，，則稱是上的“雙中值函數(shù)”，其中稱為在上的中值點(diǎn).（1）判斷函數(shù)是否是上的“雙中值函數(shù)”，并說明理由；（2）已知函數(shù)，存在，使得，且是上的“雙中值函數(shù)”，是在上的中值點(diǎn).①求的取值范圍；②證明：.（1）解：函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”．理由如下：因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以令，得，即，解?因?yàn)?，所以是上的“雙中值