山東省齊魯名師聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省齊魯名師聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，?故選：C.2.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是（）A.－9 B.－16 C.16 D.9〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，令，解得，?dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，即最大值，所以在區(qū)間上的最大值是.故選：C.3.若正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗由正數(shù)，滿足，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．故選：B.4.從數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，取到的數(shù)字為，再?gòu)臄?shù)字中隨取一個(gè)數(shù)字，則第二次取到數(shù)字2的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗記事件“第一次取到數(shù)字”，，事件“第二次取到數(shù)字2”，由題意知是兩兩互斥的事件，且（樣本空間），所以.故選：A.5.小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（）A.48 B.32 C.24 D.16〖答案〗C〖解析〗1與4相鄰，共有種排法，兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)，共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C.6.令，則當(dāng)時(shí)，a除以15所得余數(shù)為（）A.4 B.1 C.2 D.0〖答案〗D〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，故a除以15所得余數(shù)為0.故選：D.7.不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，所以?,+∞上單調(diào)遞增，所以，即.所以在0,+∞恒成立.由題意：函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞所以原不等式可化為：，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求（）的最小值.而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）結(jié)合圖象：方程在上有唯一解.所以.故選：B.8.已知函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)，，或恒成立，由指數(shù)爆炸的增長(zhǎng)性，不可能恒小于等于0，恒成立．令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，為上的增函數(shù)，因?yàn)樵龊瘮?shù)，也是增函數(shù)，所以，此時(shí)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由得，令在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，依題意有，即，，，令，，則，令，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，取最大值故當(dāng)，，即，時(shí)，取得最大值綜上，若函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)，則的最大值為故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無(wú)窮無(wú)盡的美，尤以對(duì)稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)是對(duì)稱美的一種體現(xiàn)，它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等，顯然兩位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99；三位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999.下列說(shuō)法正確的是（）A.四位回文數(shù)有45個(gè) B.四位回文數(shù)有90個(gè)C（）位回文數(shù)有個(gè) D.（）位回文數(shù)有個(gè)〖答案〗BD〖解析〗據(jù)題意，對(duì)于四位回文數(shù)，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999，共90個(gè)，則A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于2n位回文數(shù)，首位和個(gè)位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第n和第n+1位也有10種，則共有9×10×10×……×10＝9×10n-1種選法，故C錯(cuò)；對(duì)于2n+1位回文數(shù)，首位和個(gè)位數(shù)字有9種選法，第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法，……，第n+1個(gè)數(shù)字，即最中間的數(shù)字有10種選法，則共有9×10×10×……×10＝9×10n種選法，即2n+1（n∈N*）位回文數(shù)有9×10n個(gè)，所以D正確．故選：BD．10.已知為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件A，B滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，且，，則B.若，且，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗BCD〖解析〗選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，選項(xiàng)A不正確；選項(xiàng)B：若，則A，B互斥，由，，得，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：由，即,事件A，B相互獨(dú)立，所以事件，也相互獨(dú)立，所以，則，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：由，，得，，，所以，解得，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A.“”是“為奇函數(shù)”的充要條件B.“”是“為增函數(shù)”的充要條件C.若不等式的解集為且，則的極小值為D.若是方程的兩個(gè)不同的根，且，則或〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則滿足，所以為奇函數(shù)，所以充分性成立；若為奇函數(shù)，則，則恒成立，所以，所以必要性成立，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，，可得，所以增函數(shù)；由，當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，，所以“”是“為增函數(shù)”的充分不必要條件，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，若不等式的解集為且，則在上先增后減再增，則，解得，故，可得，令，解得或，當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞增；當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞減；當(dāng)內(nèi)，，單調(diào)遞增，所以的極小值為，所以C正確．對(duì)于D中，由，因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)不同的根，所以，即，且，由，可得，所以，即，聯(lián)立方程組，可得，解得或，所以D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗由“”是“”的必要不充分條件，得，依題意，集合，，當(dāng)，即時(shí)，，則，解得；當(dāng)，即時(shí)，，則，解得，當(dāng)，即時(shí)，，滿足，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.13.已知函數(shù)（其中且），若存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題知，，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)第一個(gè)等號(hào)成立，所以f（x）在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；若，則當(dāng)時(shí)，，f（x）在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意；若，則當(dāng)時(shí)，則，令，則，所以g（x）在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以存在唯一的，使得，且時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，所以時(shí)，，滿足題意．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．14.切比雪夫不等式是19世紀(jì)俄國(guó)數(shù)學(xué)家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，其內(nèi)容是：對(duì)于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對(duì)事件的概率作出估計(jì).在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列，現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號(hào)次，每次發(fā)射信號(hào)“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號(hào)“1”的次數(shù)為隨機(jī)變量，為了至少有的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在區(qū)間內(nèi)，估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)的值至少為_(kāi)_____.〖答案〗1250〖解析〗由題意知，所以，，若，則，即，即，由切比雪夫不等式知，要使得至少有98%的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在區(qū)間內(nèi)，則，解，所以估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)n的最小值為1250.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)函數(shù)，其中.（1）若命題“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，由命題“”為假命題，即命題“”為真命題，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，可得，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間0,+∞內(nèi)恒成立，即在區(qū)間0,+∞內(nèi)恒成立，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），該函數(shù)定義域?yàn)?，則，列表如下：12+0-0+增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）當(dāng)時(shí)，由可得，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，，所以，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.某校舉行籃球比賽，規(guī)則如下：甲、乙每人投3球，進(jìn)球多的一方獲得勝利，勝利1次，則獲得一個(gè)積分，平局或者輸方不得分.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和，且每人進(jìn)球與否互不影響.（1）若，求乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率；（2）若，且每輪比賽互不影響，乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少要超甲2個(gè)球，從數(shù)學(xué)期望的角度分析，理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？解：（1）設(shè)事件表示甲在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，表示乙在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球，則，，，；，，，.則乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率為：.（2），.設(shè)事件C表示乙每場(chǎng)比賽至少要超甲2個(gè)球，則；設(shè)隨機(jī)變量X表示n輪比賽后，乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的情況下獲得的積分，顯然，故，要滿足題意，則，即，又，故，令，，則在恒成立，故在上單調(diào)遞增，又的最大值為，則的最大值為，的最小值為，而故理論上至少要進(jìn)行12輪比賽.18.已知函數(shù)．（1）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求的范圍；（2）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）若函數(shù)在處取得極值，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，則在上恒成立，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減，的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，∴在上沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當(dāng)時(shí)在上沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn)．（3）∵函數(shù)在處取得極值，，∴，∴，令，，，則，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．19.在信息理論中，和是兩個(gè)取值相同的離散型隨機(jī)變量，分布列分別為：，，，，，．定義隨機(jī)變量的信息量，和的“距離”．（1）若，求；（2）已知發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)為0和1，接收臺(tái)收到信號(hào)只有0和1．現(xiàn)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)為0的概率為，由于通信信號(hào)受到干擾，發(fā)出信號(hào)0接收臺(tái)收到信號(hào)為0的概率為