二項式定理教學(xué)設(shè)計高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

§二項式定理教材分析本節(jié)內(nèi)容選自人教A版選擇性必修第三冊第六章的第三節(jié)，是一節(jié)原理課。“二項式定理”這節(jié)分為兩個部分，第一部分介紹了二項式定理，第二部分介紹二項式系數(shù)的性質(zhì)。本節(jié)課在學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理和排列組合的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)，為同學(xué)們證明二項式定理提供了方法，二項式定理的學(xué)習(xí)也為之后概率的相關(guān)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，所以它是呈上啟下的一節(jié)課。同時，在高等數(shù)學(xué)中，二項式定理也發(fā)揮著重要作用，二項式定理是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，連接了高中和大學(xué)階段的數(shù)學(xué)，因此本節(jié)課在高中數(shù)學(xué)中發(fā)揮著十分重要的作用。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進一步提高學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，感受數(shù)學(xué)的和諧美、簡潔美和對稱美。學(xué)情分析在初中階段，學(xué)生已經(jīng)掌握了多項式的乘法法則，通過前幾次課，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個計數(shù)原理和排列組合的相關(guān)的內(nèi)容，具備了從多項式乘法和組合的視角思考問題、分析問題和解決問題的能力，但學(xué)生的創(chuàng)新思維能力還有待提高。對于二項式定理的學(xué)習(xí)，大多數(shù)同學(xué)只將其作為一個公式來運用，重視結(jié)論，而不重視定理的形成與發(fā)展，很容易忘記，做不到靈活使用。對于二項式定理的教學(xué)，主要采用從特殊到一般，從具體到抽象的教學(xué)策略，結(jié)合組合數(shù)公式，總結(jié)歸納展開式中項的特點。并在其中適時穿插二項式定理的數(shù)學(xué)史，了解二項式定理的源起和發(fā)展，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，開拓視野，感受魅力，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。教學(xué)目標理解并掌握二項式定理，能用多項式法則和計數(shù)原理進行證明，推導(dǎo)二項式展開的通項公式，會用二項式定理求特定的項和系數(shù)。經(jīng)歷二項式定理的發(fā)展過程，感知數(shù)學(xué)運算的嚴謹性，感悟數(shù)學(xué)的價值，體會歸納—猜想—證明的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，發(fā)展探究精神。將數(shù)學(xué)史融入到教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解二項式定理的形成和發(fā)展過程，合作探究，感受數(shù)學(xué)的魅力，增強學(xué)習(xí)的興趣與自信心，體會數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美，提升人文素養(yǎng)。教學(xué)重難點重點：通過兩個計數(shù)原理分析和展開式的特點，總結(jié)歸納得到二項式定理，掌握二項式定理的通項公式，能解決與二項式展開有關(guān)的簡單問題。難點：如何運用計數(shù)原理證明二項式定理，發(fā)現(xiàn)展開式的系數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系。教學(xué)過程引入師生活動：在多媒體課件上放映《九章算術(shù)》的圖片，為同學(xué)們介紹《九章算術(shù)》的成就和地位。緊接著放映《九章算術(shù)》中第四章中的一個開立方題，引發(fā)同學(xué)們的好奇，感受我國古代數(shù)學(xué)的智慧。《九章算術(shù)》第四章少廣：今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？【師】：《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，被譽為“算經(jīng)十書”中最重要的一種，收有246個與生產(chǎn)、生活相關(guān)的實際問題，在第四章“少廣”中，記錄著這樣一個問題：今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？有一個正方體，它的體積是一百八十六萬八百六十七尺，那這個正方體的邊長是多少呢？【生】：我們可以設(shè)正方體的邊長為，根據(jù)正方體的體積公式可以列出方程，解得：?！編煛浚豪梅匠痰乃枷耄鶕?jù)正方體的體積公式列出方程，求出正方體的邊長，很好！但是在古代沒有計算器，他們是怎么知道大概是多少的呢？學(xué)生活動：同學(xué)們露出疑惑的表情，開始討論，老師加以指導(dǎo)?！旧浚菏且粋€七位數(shù)，它的三次方根應(yīng)該是一個三位數(shù)。【生】：，所以。在黑板上板書計算過程：兩邊同時進行三次冪運算有舍去的一次以上的項，得：解得，，為了更加精確，繼續(xù)算：兩邊同時進行三次冪運算有舍去的一次以上的項，得：解得，?！編煛浚航?jīng)過計算我們會發(fā)現(xiàn)，所以?！編煛浚簩τ陂_三次方，在《九章算術(shù)》中介紹了開立方術(shù)，開立方術(shù)的原理其實和我們操作的原理是一樣的，我們不得不感嘆，古人的智慧呀！師生活動：在多媒體上放映《九章算術(shù)》中的開立方術(shù)，教師簡單的為同學(xué)們講解，讓同學(xué)們感受老祖宗的智慧?！編煛浚喝粑覀兿胫赖拇蟾胖?，我們需要列出，想要得到更精確的值，可以多進行幾次計算。若想知道，我們需要列出，那我們該如何處理呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容——二項式定理?！驹O(shè)計意圖】：以《九章算術(shù)》中的開立方問題引入，感受我國古代數(shù)學(xué)文化，體會古代數(shù)學(xué)的智慧，引發(fā)同學(xué)們的好奇心，激起學(xué)習(xí)興趣，逐步引入開高次方問題，揭示學(xué)習(xí)二項式定理的必要性，符合歷史發(fā)生原理。新知探究探究一：從乘法法則出發(fā)探究展開式的特點那要如何探究的展開式呢？我們可以先從特殊的情況入手，再總結(jié)出一般的規(guī)律來。，；，，當(dāng)時，的展開式是怎么的呢？學(xué)生活動：學(xué)生通過觀察當(dāng)時的展開式，對于很容易想到采用多項式的乘法法則。。師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察的展開式，觀察展開式中式子的項數(shù)和每一項的次數(shù)特點，先獨立思考，再進行小組討論，然后請小組派代表進行回答。【生】：的展開式有項?！旧浚旱恼归_式中，每一項的次數(shù)和為?！旧浚旱恼归_式是按照的降冪的升冪次序排列的?！編煛浚汉芎?，請大家按照我們發(fā)現(xiàn)的展開式的特點，猜想的展開式。學(xué)生活動：根據(jù)發(fā)現(xiàn)的項數(shù)和每一項次數(shù)的特點，學(xué)生容易知道的展開式有6項，每一項的次數(shù)和為5，但對于每一項的系數(shù)不太清楚?！編煛浚何覀冎懒苏归_式項數(shù)和每一項系數(shù)的特點，但是對于每一項的系數(shù)，我們還不太清楚，若再采用多項式的乘法法則，隨著的增大，計算量越來越大，比較麻煩，所以需要從別的角度再來考慮考慮展開式的特點。探究二：從計數(shù)原理出發(fā)探究展開式的特點師生活動：再一次觀察的展開式，分析每一項的系數(shù)是怎么得到的。【生】：根據(jù)多項式的乘法，是兩個相乘，從每個因式中選擇一個字母，再將它們相乘，就得到了展開式的項。當(dāng)兩個因式都選擇了或，就得到了項或項；當(dāng)一個因式選擇，另一個因式選擇，就得到了項，但這樣的選法有兩種，所以項的系數(shù)是2。【生】：從三個中分別選擇一個字母，將它們相乘，有多少中取法，就是它們的系數(shù)?！編煛浚喝绻覀儼衙恳粋€看成一個盒子，盒子里有和兩種球，展開的過程很我們之前學(xué)過的什么很像？【生】：摸球試驗?！編煛浚汉芎?，把看成是個盒子，每個盒子里有和兩種球，每個盒子每次只取出一個球，從中取出個球，每個盒子都取出一個球有種取法從個盒子中選擇個盒子，從中取球球，剩下的個盒子中選擇球有種取法從個盒子中選擇個盒子，從中取球球，剩下的個盒子中選擇球有種取法………從個盒子中選擇個盒子，從中取球球，剩下的個盒子中選擇球有種取法…每個盒子都取出一個球從角度來選球，可以說明組合數(shù)的性質(zhì)：。學(xué)生活動：完成的展開式，小組合作，推導(dǎo)的展開式，得到二項式定理。設(shè)計意圖：通過多項式乘法原理，從特殊到一般歸納推理出展開式的項數(shù)和每一項的次數(shù)特點，對于系數(shù)，通過摸球試驗，讓同學(xué)們想到計數(shù)原理，從組合數(shù)的角度，發(fā)現(xiàn)展開式中系數(shù)的特點。引導(dǎo)學(xué)生，通過思考、合作交流，一步步探究二項式定理的生成。使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題中提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。對于，我們就可以把它展開了：，若設(shè)，則得到公式。若設(shè)，則得到。探究三：從幾何意義的角度探究二項式定理【師】:當(dāng)，是我們很熟悉的完全平方公式，對于完全平方公式，在歐幾里得的《幾何原本》中，有這樣的描述“任意分一線段成段，則整段上的正方形等于分兩段上的正方形與兩段所構(gòu)成矩形的二倍之和”。這解釋了完全平方公式的幾何意義?！編煛浚哼@也給了我們啟發(fā)，從幾何的角度出發(fā)，當(dāng)時，，對應(yīng)一維的線段長度；當(dāng)時，，對應(yīng)二維正方形的面積；當(dāng)時，，對應(yīng)三維正方體的體積。二項式定理有著漫長的歷史，不同時期不同民族的數(shù)學(xué)家都對它做出了貢獻。歐幾里得對于二次二項式的展開，劉徽注解《九章算術(shù)》時，對于開平方法、開立方法的理解都是從幾何意義出發(fā)，將它們與幾何圖形聯(lián)系在一起。但我們知道，對于更高次的二項式展開，在那時是找不到對應(yīng)的幾何圖象的，因此“需要把代數(shù)學(xué)從三維空間幾何學(xué)的桎梏下解放出來REF_Ref165293732\r\h[17]”，然后就有了之后的算術(shù)三角。在我國，北宋數(shù)學(xué)家賈憲在其《釋鎖算書》中給出了直到六次冪的二項式系數(shù)表，賈憲稱其為“開方作法本原圖”，現(xiàn)在稱為“賈憲三角”。后來，數(shù)位數(shù)學(xué)家先后都在其數(shù)學(xué)著作中記載和運用“賈憲三角”。在國外，在10—15世紀，有許多數(shù)學(xué)家在他們的數(shù)學(xué)著作中使用算術(shù)三角，至今，算術(shù)三角在西方被稱為“帕斯卡三角”。設(shè)計意圖：引入歐幾里得在《幾何原本》中對完全平方公式的幾何解釋，啟發(fā)同學(xué)們從幾何的角度思考二項式定理的意義，拓展學(xué)生的思維，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，體會數(shù)學(xué)的魅力。鞏固練習(xí)例1：求的展開式。方法一：直接運用二項式定理進行展開。方法二：先化簡，再運用二項式定理進行展開。設(shè)計意圖：熟練運用項式定理，提高數(shù)學(xué)運算能力。例2：求的展開式的第四項的二項式系數(shù)和第四項的系數(shù)，解：通過通項公式，的展開式的第4項為，第4項的二項式系數(shù)為，第4項的系數(shù)為。設(shè)計意圖：區(qū)分一個二項式展開式的某一項的二項式系數(shù)與這一項的系數(shù)。例3：求的展開式中的系數(shù)。方法一：通過通項公式，求解指定項的系數(shù)。解：的展開式的通項是根據(jù)題意得：因此的系數(shù)為。方法二：從計數(shù)原理的角度，考慮項的形成。即在6個的因式中，有4個