四川省南充市閬中中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

四川省閬中中學(xué)校2024年秋高2024級(jí)學(xué)科素養(yǎng)問卷調(diào)查數(shù)學(xué)（滿分：150分時(shí)間：9月8日19∶00—21∶00）一、單選題（每小題5分，共60分）1.下列各等式中，因式分解正確的是（

）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)提公因式法、公式法及十字相乘法的綜合運(yùn)用，進(jìn)行分解逐一判斷即可．【詳解】A.，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.，該選項(xiàng)正確，符合題意；C.，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．2.“雜交水稻之父”袁隆平培育的超級(jí)雜交稻在全世界推廣種植.某種植戶為了考察所種植的雜交水稻苗的長(zhǎng)勢(shì)，從稻田中隨機(jī)抽取7株水稻苗，測(cè)得苗高（單位：）分別是23，24，23，25，26，23，25.則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.24，25 B.23，23C.23，24 D.24，24【答案】C【解析】【分析】把給定數(shù)據(jù)由小到大排列，再求出眾數(shù)、中位數(shù)即得.【詳解】苗高由小到大排列為：，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是23，24.故選：C3.已知集合，，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由題意結(jié)合并集的定義可得：.本題選擇B選項(xiàng).4.下列說法中，正確的是（）A.若a>b，則< B.若a>b，則ac>bcC.若a>b>0，c>d>0，則ac>bd D.若a>b，則<【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷，也可舉特例說明．【詳解】選項(xiàng)A中，若滿足，但仍然有，A錯(cuò)；選項(xiàng)B中，若，則，B錯(cuò)；選項(xiàng)C中，則得，，∴，C正確；選項(xiàng)D中，若，則，甚至中有一個(gè)為0時(shí)，或無意義，D錯(cuò)．故選：C．5.若命題“”為假命題，則m的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合命題和它的否定的真假性關(guān)系，以及一元二次不等式恒成立問題的充要條件即可求解.【詳解】由題意命題“”為真命題，所以當(dāng)且僅當(dāng)，解得，即m的取值范圍是.故選：C.6.已知，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】.故選：B7.如圖，在中，，，，平分，則的長(zhǎng)是（）A. B. C.3 D.5【答案】C【解析】【分析】過作，利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合已知列式計(jì)算即得.【詳解】在中，，，，則過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，即由，得，所以.故選：C8.已知當(dāng)自變量x在的范圍內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為4，則常數(shù)m的值可為（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】配方得時(shí)，，分、和討論即可.【詳解】二次函數(shù)，該函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，取得最大值7，當(dāng)自變量在的范圍內(nèi)時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為4，當(dāng)時(shí)，時(shí)取得最小值，時(shí)取得最大值，此時(shí)最大值與最小值的差為；當(dāng)時(shí)，和分別取得最小值和最大值，此時(shí)最大值與最小值的差大于4，不符合題意；當(dāng)時(shí)，和分別取得最大值和最小值，此時(shí)最大值與最小值的差小于4，不符合題意；由上可得，的取值范圍是，故選：C.9.若，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.無最小值【答案】C【解析】【分析】將式子配湊成，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8．故選：C．10.已知定義在上的函數(shù)滿足，則的值為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可知，與已知的式子聯(lián)立方程組可求出，從而可求出的值.【詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，所以，所以，所以，解得，所以，故選：D11.二次函數(shù)的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③若方程有兩個(gè)根和，且，則；④若方程有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為.其中正確的結(jié)論有（）A1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)定點(diǎn)坐標(biāo)求得的關(guān)系式，由此對(duì)個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由圖可知，由于二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，整理得，，所以①，①正確.②，②錯(cuò)誤.③，所以二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是和，若方程有兩個(gè)根和，且，則，所以③正確.④若方程有四個(gè)根，根據(jù)對(duì)稱性可知，這四個(gè)根的和為，所以④錯(cuò)誤.綜上所述，正確的有個(gè).故選：B12.已知關(guān)于不等式的解集為，則（）AB.點(diǎn)在第二象限C.的最大值為D.關(guān)于的不等式的解集為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分式不等式與整式不等式的轉(zhuǎn)化，結(jié)合解的性質(zhì)可得和分別是和的實(shí)數(shù)根，即可得，，進(jìn)而可求解AB，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判斷D.【詳解】原不等式等價(jià)于，因?yàn)榻饧癁?所以和分別是和的實(shí)數(shù)根，故且，，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以點(diǎn)在第三象限，故B錯(cuò)誤；，由于開口向下，故最大值為，故C錯(cuò)誤，由得即解集為，故D正確．故選：D．二、填空題（每小題5分，共計(jì)20分）13.已知集合，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集、交集的定義求解即得.【詳解】由，得，而，所以.故答案為：14.若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，的值為______.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理和方程的根可得以及，即可代入化簡(jiǎn)求解.【詳解】由韋達(dá)定理可得，將代入方程可得，故，故答案為：715.已知，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)立方和公式，代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】，，,故答案為：16.設(shè)x∈R，用x表示不超過的最大整數(shù)，則y=x稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)，例如.令函數(shù).①②③的最大值為1，最小值為0④y=fx與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)以上結(jié)論正確的是______.【答案】①②【解析】【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義對(duì)個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】①，，所以①正確.②，因?yàn)?，所以②正確.③,由②的分析可知，是周期為1的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，的值域?yàn)?，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，所以，公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，所以④錯(cuò)誤.故答案為：①②【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.三、解答題：本題共6小題，第17題10分，其余各題每題12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，17.（1）解不等式組：；（2）計(jì)算：.【答案】（1）（2）19【解析】【分析】（1）通過解一元一次不等式組來求得正確答案.（2）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】（1），由，得，解得；由得，解得不等式組的解集為.（2）原式.18.設(shè)，，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】【分析】利用不等式的解法求解出命題p，q中的不等式范圍，結(jié)合二者的關(guān)系得出關(guān)于字母a的不等式，從而求解出a的取值范圍.【詳解】由題意得，命題，命題，

是的必要不充分條件，

是的充分不必要條件，

即，

且，

，

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，以及根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)的問題，解答時(shí)注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.19.某校準(zhǔn)備設(shè)置的五類勞動(dòng)課程分別為：A.整理與收納；B.烹飪與營(yíng)養(yǎng)；C.傳統(tǒng)工藝制作；D.新技術(shù)體驗(yàn)與應(yīng)用；E.公益勞動(dòng)與志愿服務(wù).為了解學(xué)生對(duì)這五類勞動(dòng)課程的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選擇這五類課程中的一種），并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)上述信息，解答下列問題.（1）本次被調(diào)查的學(xué)生有______名，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中E對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是______；（3）學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中的2名參加全市傳統(tǒng)工藝制作展示，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)被選中的概率.【答案】（1）100，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）結(jié)合條形圖及扇形圖，列式計(jì)算得被調(diào)查的學(xué)生數(shù)，再求出B課程人數(shù)，補(bǔ)全條形圖.（2）由E課程所占百分比求出圓心角度數(shù).（3）畫出樹狀圖，求出概率.【小問1詳解】依題意，本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為，故答案為：100喜歡B課程的人數(shù)為，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：【小問2詳解】扇形統(tǒng)計(jì)圖中E對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是.故答案為：【小問3詳解】畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果有：甲乙，乙甲，共2種，所以甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)被選中的概率為.20.如圖，是的直徑，弦與點(diǎn)，已知，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，（點(diǎn)不與重合），連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連.（1）求的長(zhǎng).（2）若，直接寫出的長(zhǎng).（3）①若點(diǎn)在之間（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），求證：.②若點(diǎn)在之間（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），求與滿足的關(guān)系.【答案】（1）8（2）5或8（3）①證明見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)以及勾股定理來求得.（2）根據(jù)是否為進(jìn)行分類討論，從而求得的長(zhǎng).（3）①通過證明，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)來證得.②通過證明，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)來證得.【小問1詳解】如圖1，連接，是的直徑，弦，，由勾股定理得；【小問2詳解】，平分，由題意知，分是直徑，是不為直徑的弦兩種情況求解：①當(dāng)是直徑，則重合，；②當(dāng)是不為直徑的弦，則重合，，的長(zhǎng)為5或8；【小問3詳解】①證明：如圖2，連接，由題意知，垂直平分，，，，，②解：；如圖3，連接，由題意知，垂直平分，，由圓內(nèi)接四邊形可得，，.21已知函數(shù)．（1）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）討論或兩種情況，由不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍；（2）首先不等式整理為，討論對(duì)應(yīng)方程的兩根大小關(guān)系，解不等式.【小問1詳解】即為，所以不等式對(duì)于任意x∈R恒成立，當(dāng)時(shí)，得，顯然符合題意；當(dāng)時(shí)，得，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【小問2詳解】不等式即為，即．又，不等式可化為，若，即時(shí)，得或，即解集為或；若，即時(shí)，得，即解集為；若，即時(shí)，得或，即解集為或．綜上可知，當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或．22.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)在上的解析式；（2）若對(duì)任意實(shí)