浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月學(xué)考模擬（三）數(shù)學(xué)試題

2024年7月杭州學(xué)軍中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)考模擬試卷三一、單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.）1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集及交集的定義即可求解．【詳解】由題可得，，所以，故答案選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊值法可求解.【詳解】由可設(shè)，代入不等式中檢驗(yàn)可知A正確.故選：A3.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算將復(fù)數(shù)表示為一般形式，即可得出復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】因?yàn)?，所以的虛部為．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)虛部的求解，涉及復(fù)數(shù)乘法法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.突如其來(lái)的疫情打亂了我們的學(xué)習(xí)節(jié)奏，鄭老師為檢查網(wǎng)課學(xué)習(xí)情況，組織了一次網(wǎng)絡(luò)在線考試，并計(jì)算出本次考試中全體學(xué)生的平均分為90，方差為65；后來(lái)有兩位學(xué)生反應(yīng)，自己的成績(jī)被登記錯(cuò)誤，一位學(xué)生的成績(jī)?yōu)?8分，記錄成78分，另一位學(xué)生的成績(jī)?yōu)?0分，記錄成90分，更正后，得到的平均分為，方差為，則（）A.， B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的計(jì)算方法即可得解．【詳解】由于，因此更正前后樣本的平均數(shù)不發(fā)生改變，即；由于，因此更正后樣本的方差變小，即；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)與方差的計(jì)算方法，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的分析與處理能力，屬于基礎(chǔ)題．5.若“”為真命題，“”為假命題，則集合可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由“”為真命題可排除A，由“”為假命題可排除BD，即可得到結(jié)果.【詳解】若“”為真命題，則A錯(cuò)誤，又“”為假命題，則“”為真命題，則B,D錯(cuò)誤，則集合可以是.故選：C6.如圖正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)臺(tái)體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合臺(tái)體的體積公式運(yùn)算求解.詳解】如圖，過(guò)作下底面的投影，垂足為，上底面對(duì)角線長(zhǎng)，下底面對(duì)角線長(zhǎng)，則，可得正四棱臺(tái)的高，所以正四棱臺(tái)的體積.故選：B7.已知，，，則這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，分別判斷三個(gè)數(shù)的所在范圍，可得大小關(guān)系．【詳解】，，，又，∴.

故選：A.8.如圖，是函數(shù)部分圖象，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇偶性排除A，根據(jù)有小于0的函數(shù)值排除C，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)排除D，即可得出答案.【詳解】由圖像可知，函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以應(yīng)為偶函數(shù)，所以排除A；由圖像可知函數(shù)值能取到小于0的值，所以排除C；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，，而正弦的函數(shù)圖像可知D不正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式，涉及了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于中檔題.9.在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為是第三象限內(nèi)一點(diǎn),,且,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題設(shè)可設(shè),則,所以,所以,故應(yīng)選A.考點(diǎn)：三角函數(shù)的定義與單位圓.10.我國(guó)勾股定理最早的證明是東漢末期數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的趙爽弦圖（如圖），它是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的內(nèi)、外都是正方形的美麗圖案.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義求值.【詳解】由已知，得，，，又，所以，因?yàn)椋?，又由已知得，則，故選：B.11.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上有唯一的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由為單調(diào)遞減區(qū)間的子集求得的范圍，由，得到，根據(jù)方程在上有唯一解，由求解.【詳解】解：由題意令，解得，，∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴且，，∴，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榉匠淘谏嫌形ㄒ唤猓瑒t有，解得，綜上，的取值范圍為，故選：C．12.如圖，在中，，，點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn)，將繞DE翻折．若在翻折過(guò)程中存在某個(gè)位置，使得，記為的最小值，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】易知，A在以AD為母線的圓錐上的一部分（弧AF），與所成的最大角為，只需.【詳解】如圖，與所成的最大角為，只需即可.即，即，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查幾何中的翻折問(wèn)題，考查學(xué)生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力，是一道難題.二.多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得4分，部分選對(duì)且沒(méi)錯(cuò)選得2分，不選、錯(cuò)選得0分.）13.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列條件是的充分條件的是（）A.且 B.且C. D.【答案】AC【解析】【分析】AC選項(xiàng)，根據(jù)線面平行及面面平行的性質(zhì)得到證明；BD選項(xiàng)可舉出反例.【詳解】A選項(xiàng)，由線面平行的判定定理知選項(xiàng)A中的條件符合題意；B選項(xiàng)，由且，可得或，所以選項(xiàng)B中的條件不符合題意；C選項(xiàng)，由面面平行的性質(zhì)知選項(xiàng)C中的條件符合題意；D選項(xiàng)，由，可得或，所以選項(xiàng)D中的條件不符合題意.故選：AC.14.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），最后把所得圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則的解析式可以為（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】通過(guò)往回倒推，將函數(shù)的圖象,向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將其縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)2倍，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)3倍得到解析式，利用誘導(dǎo)公式一一對(duì)照化簡(jiǎn)即可.【詳解】把函數(shù)的圖象,向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象,再把所得圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變),得到的圖象,最后把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖象.而.故選：BD.15.已知樣本甲：a，b，c，d，e，樣本乙：，，，，，其中a，b，c，d，e為正實(shí)數(shù)，則下列敘述中一定正確的是（）A.樣本乙的極差大于樣本甲的極差B.樣本乙的眾數(shù)均大于樣本甲的眾數(shù)C.若c為樣本甲的中位數(shù)，則為樣本乙的中位數(shù)D.若c為樣本甲的平均數(shù)，則為樣本乙的平均數(shù)【答案】CD【解析】【分析】利用極差，眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)的定義和性質(zhì)同時(shí)結(jié)合舉反例的方法即可直接判斷選項(xiàng).【詳解】若，則樣本甲和乙的極差均為0，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤：若樣本甲：1，1，2，5，5，樣本乙：3，3，5，11，11，則甲的眾數(shù)為1和5，乙的眾數(shù)為3和11，而，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若c為樣本甲的中位數(shù)，則為樣本乙的中位數(shù)，所以選項(xiàng)C正確；若c為樣本甲的平均數(shù)，即，則，故D正確.故選：CD.16.若函數(shù)在區(qū)間上滿足，則稱為上的“變函數(shù)”，對(duì)于變函數(shù)，若有解，則稱滿足條件的值為“變函數(shù)的衍生解”，已知為上的“變函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，則下列哪些是變函數(shù)的衍生解（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用為上的“4變函數(shù)”，得到，然后求出的解析式，分，，，兩段來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而得到關(guān)于的不等式，求出的范圍，再根據(jù)選項(xiàng)中給出的范圍進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：因?yàn)闉樯系摹?變函數(shù)”，所以，故，當(dāng)，時(shí)，，，所以，①當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)楹投际菃握{(diào)遞增，故函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，②當(dāng)，時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，此時(shí)，，若有解，則，即，整理得，所以有或，解得或，故的取值范圍為．故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答即可．三.填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分.）17.如圖，是水平放置的的直觀圖，，，，則原的面積為_(kāi)____________.【答案】12【解析】【分析】畫出原圖，可得，再求面積即可.【詳解】如圖，可得，，，，則原的面積為.故答案為：12.18.口袋中有除顏色外其他完全相同的5個(gè)球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號(hào)，若兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)則甲勝，否則乙勝.兩個(gè)編號(hào)的和為6的事件發(fā)生的概率是_______，這種游戲規(guī)則_____（填“公平”或“不公平”）.【答案】①.##0.2②.不公平【解析】【分析】①甲、乙每人摸一個(gè)球，共種情況，列舉出兩個(gè)編號(hào)的和為6的情況種數(shù)，然后用古典概型求概率；②若兩個(gè)編號(hào)和為偶數(shù)則甲勝，其他情況乙勝，分別算出甲勝的概率和乙勝的概率，比較是否相等，相等就公平，不相等就不公平．【詳解】①設(shè)“甲勝且編號(hào)的和為6”為事件．甲編號(hào)為，乙編號(hào)為，表示一個(gè)基本事件，則兩人摸球結(jié)果包括（1,2），（1,3），…，（1,5），（2,1），（2,2），…，（5,4），（5,5）共25個(gè)基本事件；包括的基本事件有（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）共5個(gè)．所以．所以兩個(gè)編號(hào)的和為6的事件發(fā)生的概率為．②這種游戲不公平．設(shè)“甲勝”為事件，“乙勝”為事件．甲勝即兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)包含以下13個(gè)基本事件數(shù)：（1,1），（1,3），（1,5），（2,2），（2,4），（3,1），（3,3），（3,5），（4,2），（4,4），（5,1），（5,3），（5,5）．所以甲勝的概率為，乙勝的概率為.因?yàn)椋赃@種游戲規(guī)則不公平．故答案為：①，②不公平.19.若正數(shù)，滿足，則的最大值為_(kāi)______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)得出，得出，，根據(jù)的范圍求出的范圍即可.【詳解】，，，所以，即，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知時(shí)，上式取得最大值2.故答案為：2.20.平面上有一組互不相等的單位向量，，…，，若存在單位向量滿足，則稱是向量組，，…，的平衡向量．已知，向量是向量組，，的平衡向量，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到當(dāng)時(shí)，取得最大值，設(shè)，，得到或，根據(jù)題意得到，，根據(jù)余弦和差公式求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，如圖所示，，設(shè)，，則，所以，即，解得，故，或，，或，故答案為：四.解答題（本大題共3小題，每小題11分，共33分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）21.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）若，求的值；（2）若是邊上的一點(diǎn)，且平分，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得，邊化角，可得，利用三角恒等變換可求；（2）由已知可得，利用，可得，可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，所以.由正弦定理，得，即.又，所以，又，所以.因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】由，得，解得.由，得，即，所以.22.如圖，已知頂點(diǎn)為的圓錐其底面圓的半徑為8，點(diǎn)為圓錐底面半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)為母線的中點(diǎn).（1）若母線長(zhǎng)為10，求圓錐的體積；（2）若異面直線與所成角大小為，求、兩點(diǎn)間的距離.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓錐的高，再利用錐體的體積公式計(jì)算作答.（2）取的中點(diǎn)，作出異面直線與所成角，再利用線面垂直的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解作答.【小問(wèn)1詳解】圓錐的底面圓半徑為8，母線長(zhǎng)為10，而，則，解得，所以圓錐的體積為.【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接,，由弧為圓錐底面的半圓弧知圓錐底面圓心在上且為中點(diǎn)，為母線的中點(diǎn)，則與所成角為或其補(bǔ)角，由平面，得平面，平面，則，于是有，由是半圓弧的中點(diǎn)可得，則，所以.23.對(duì)于函數(shù).（1）若，且為奇函數(shù)，求a的值；（2）若方程恰有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）設(shè)，若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，滿足，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)定義可得；（2）由題可得，分類討論可得；（3）由題可得，進(jìn)