浙江省北斗聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期北斗聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共四頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效：4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一、單選題（每小題5分共40分）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，故B正確.故選：B2.已知空間兩條不同直線，兩個(gè)不同平面，下列命題正確的是（）①，則②，則③，則④，則A.①③ B.②④ C.①③④ D.①④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面和面面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】若，由線面垂直的性質(zhì)，垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行，則，故①正確；若，則或與相交或異面，故②錯(cuò)誤；若，由垂直同一條直線的兩個(gè)平面平行，則，故③正確；若，由線面垂直和線面平行的性質(zhì)可得，故④正確.故選：C.3.已知非零向量，，則“兩向量，數(shù)量積大于0”是“兩向量，夾角是銳角”的（）條件A.必要 B.充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合數(shù)量積的定義分析判斷.【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄浚?，所以?dāng)兩向量，數(shù)量積大于0時(shí)，兩向量，夾角是銳角或是零度的角，而當(dāng)兩向量，夾角是銳角時(shí)，兩向量，數(shù)量積大于0，所以“兩向量，數(shù)量積大于0”是“兩向量，夾角是銳角”的必要不充分條件.故選：A4.東陽市一米陽光公益組織主要進(jìn)行“敬老”和“助學(xué)”兩項(xiàng)公益項(xiàng)目，某周六，組織了七名大學(xué)生開展了“筑夢(mèng)前行，陽光助學(xué)”活動(dòng)后，大家合影留念，其中米一同學(xué)想與佳艷?劉西排一起，且要排在她們中間，則全部排法有（）種.A.120 B.240 C.480 D.720【答案】B【解析】【分析】根據(jù)米一同學(xué)想與佳艷?劉西排一起，且在他們中間，將米、佳艷、劉西捆綁在一起，與剩余4個(gè)同學(xué)作為5個(gè)元素全排列求解.【詳解】解：因?yàn)槊滓煌瑢W(xué)想與佳艷?劉西排一起，所以捆綁在一起，與剩余4個(gè)同學(xué)作為5個(gè)元素全排列有種，又因?yàn)槊滓煌瑢W(xué)想與佳艷?劉西排一起，且在他們中間，則佳艷?劉西全排列有種，所以全部排法有：種，故選：B5.已知等差數(shù)列，前項(xiàng)和為是方程兩根，則（）A.2020 B.2022 C.2023 D.2024【答案】D【解析】【分析】利用韋達(dá)定理求得，然后利用等差數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)求得，從而利用求和公式求解即可.【詳解】因?yàn)槭欠匠虄筛?，所以，所以，所?故選：D6.空間點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，利用空間向量夾角余弦公式求出，進(jìn)而求出，再利用距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題意得，所以，所以，所以點(diǎn)A到直線BC的距離.故選：D.7已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用給定條件確定的位置，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以是第四象限角，所以，而，故，化簡得，而，代入得，解?正根舍去)，故B正確.故選：B8.三棱錐中，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)條件求出底面的半徑，進(jìn)而利用直角求出外接球的半徑為，代入表面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】中，，由余弦定理得；設(shè)底面的外心為，外接圓的半徑為；由正弦定理，則；連結(jié)，此時(shí)的外接球的球心在上，利用直角可得：，設(shè)的外接球的半徑為；此時(shí)，在直角中，，即，解得；所以，三棱錐的外接球的表面積.故選：.二、多選題（每小題6分，共18分，多選．錯(cuò)選0分少選則根據(jù)比例得分）9.已知直線和直線，則下列說法正確的是（）A.若，則表示與軸平行或重合的直線B.直線可以表示任意一條直線C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用線線平行、線線垂直的性質(zhì)可直接判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，斜率為0，與軸平行或重合，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，斜率不存在，當(dāng)時(shí)，斜率存在，能表示任意直線，故B正確；對(duì)于C，若，且或，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則由可得斜率之積為1，故，若，可得，此時(shí)滿足，此時(shí)兩條直線一條斜率為0，一條斜率不存在，故，故D正確.故選：ABD.10.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，且滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.存在最大值【答案】ACD【解析】【分析】先通過條件確定和的取值情況判斷AB，然后利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可判斷C，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷D.【詳解】由已知，又，，所以，，A正確，B錯(cuò)誤；，，所以，C正確；因?yàn)榍?，所以等比?shù)列遞減數(shù)列，于是，則的最大值為，D正確.故選：ACD11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)不恒為零，滿足等式，則下列說法正確的是（）A. B.在定義域上單調(diào)遞增C.是偶函數(shù) D.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】令可判斷A；令，結(jié)合和單調(diào)性可推出，得到矛盾，進(jìn)而可判斷B；假設(shè)是偶函數(shù)，根據(jù)已知推導(dǎo)可得，可判斷C；令，求導(dǎo)后消去，整理得，即可判斷D.詳解】對(duì)于A，令得，即，A正確；對(duì)于B，若在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令，得，即，與在定義域上單調(diào)遞增矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若偶函數(shù)，則，且，因?yàn)?，所以，所以，即，得或，又，所以恒成立，矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，記，則所以，令解得或，因?yàn)椴缓銥榱?，所以在兩邊異?hào)，所以為的極值點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于D選項(xiàng)，關(guān)鍵在于求導(dǎo)后利用已知消去，然后可判斷極值點(diǎn).三、填空題（每小題5分共15分）12.復(fù)數(shù)，則的虛部為______．【答案】1【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則結(jié)合虛部的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，，故的虛部?.故答案為：113.一學(xué)校對(duì)高二女生身高情況進(jìn)行采樣調(diào)查，抽取了10個(gè)同學(xué)的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，則估計(jì)這些女生的上四分位數(shù)是______【答案】172【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.【詳解】10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為：，，上四分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)據(jù)，即172.故答案為：172.14.在中，，，，為邊上一點(diǎn)，，，，則的最小值為______【答案】##【解析】【分析】分析題意得到的范圍，利用正弦定理和銳角三角函數(shù)的定義表示出邊長，再利用基本不等式里‘1’的代換求解最值即可.【詳解】因?yàn)闉檫吷弦稽c(diǎn)，過作交于，則，當(dāng)在之間時(shí)，無法構(gòu)成，此時(shí)如圖所示，所以在的延長線上，可得，所以，，因?yàn)椋?，，而在中，，，可得，，在中，由正弦定理得，即，可得，，所以，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)解得，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形，解題關(guān)鍵是合理利用條件表示出邊長，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可．四、解答題（共77分）15.函數(shù)，求的最大值和最小值【答案】，【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求最值即可.【詳解】，又時(shí)遞減，時(shí)遞增，且，，，16.如圖多面體，底面為菱形，，，，平面平面.（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，則，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到，再由，證明平面，即可得證；（2）取中點(diǎn)，連接，即可得到，則，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得【小問1詳解】在中，，由，，所以，由余弦定理可得，所以，所以，即，又，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，，在菱形中，又，平面，平面，平面，.【小問2詳解】菱形中，所以為等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，所以，又，所以，又平面，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，設(shè)，則，又，所以，所以，即，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面所成銳角的余弦值為.17.（1）求圓和圓的公切線（2）若與拋物線相交，求弦長【答案】（1）或；（2）1或【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑求解；（2）將切線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式求解.【詳解】解：（1）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)公切線為，因?yàn)榕c兩圓相切，所以，解得.切線當(dāng)斜率不存在時(shí)，也符合題意，綜上：公切線為：或；（2）當(dāng)切線和時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)無交點(diǎn)，當(dāng)切線為時(shí)，求得弦長為1，當(dāng)切線為時(shí)，代入，得：，由韋達(dá)定理得，所以由弦長公式得：，，綜上：弦長為1或18.在高等數(shù)學(xué)中對(duì)于二階線性遞推式求數(shù)列通項(xiàng)，有一個(gè)特殊的方法特征根法：我們把遞推數(shù)列的特征方程寫為①，若①有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則可令；若①有兩個(gè)相同的實(shí)根，則可令，再根據(jù)求出，代入即可求出數(shù)列的通項(xiàng).（1）斐波那契數(shù)列（Fibonaccisequence），又稱黃金分割數(shù)列，因出自于意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的一道兔子繁殖問題而得名.斐波那契數(shù)列指的是形如的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列的前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，請(qǐng)求出斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列中，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用特征根法求解即可；（2）利用特征根法求解的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問1詳解】易知斐波那契數(shù)列對(duì)應(yīng)的特征方程為，解得兩個(gè)實(shí)根分別為，令，代入可得，解得，所以斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】易知數(shù)列對(duì)應(yīng)的特征方程為，解得，所以令，代入，解得，所以，所以，所以是公差為1的等差數(shù)列，，所以，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列新定義，處理此類問題，注意根據(jù)題目的定義，結(jié)合已知內(nèi)容進(jìn)行求解即可.19.已知點(diǎn)為焦點(diǎn)在軸上的等軸雙曲線上的一點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線且交雙曲線右支于兩點(diǎn)，直線分別交該雙曲線斜率為正的漸近線于兩點(diǎn)，設(shè)四邊形和三角形的面積分別為和，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出等軸雙曲線方程，將點(diǎn)代入即可得到雙曲線的方程；（2）由直線可得斜率，設(shè)出的方程，聯(lián)立雙曲線方程消元，又是雙曲線右支