專題5.2 實際問題與二元一次方程組【十一大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

第頁專題5.2實際問題與二元一次方程組【十一大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1行程問題】 1【題型2工程問題】 2【題型3配套問題】 3【題型4年齡問題】 4【題型5銷售問題】 4【題型6分配問題】 5【題型7幾何圖形問題】 7【題型8數(shù)字問題】 8【題型9古代問題】 9【題型10方案問題】 10【題型11圖表問題】 11【題型1行程問題】【例1】（2023春·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期末）甲、乙兩人在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)賽跑，如果兩人同時同地反向跑，經(jīng)過25秒第一次相遇；如果兩人同時同地同向跑，經(jīng)過200秒甲第一次追上乙，求甲、乙兩人的平均速度．【變式1-1】（2023春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）我縣境內(nèi)的某段鐵路橋長2200m，現(xiàn)有一列高鐵列車從橋上通過，測得此列高鐵從開始上橋到完全過橋共用30s，整列高鐵在橋上的時間是25s，試求此列高鐵的車速和車長．【變式1-2】（2023春·河北廊坊·七年級廊坊市第四中學(xué)?？计谥校╃麋餮亟謩蛩傩凶?，發(fā)現(xiàn)每隔12min從背后駛過一輛7路公交車，每隔6問：（1）7路公交車行駛速度是琪琪行走速度的倍．（2）7路公交車總站每間隔min發(fā)一輛車．【變式1-3】（2023春·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路．假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60米，下坡路每分鐘走80米，上坡路每分鐘走40米，則他從家里到學(xué)校需10分鐘，從學(xué)校到家里需15分鐘．

(1)小華家離學(xué)校多遠？(2)小華從家里到學(xué)校到達中點的時間與小華從學(xué)校到家里到達中點的時間會一樣嗎？如果不一樣，哪種情況所花的時間更多？請通過計算說明理由．【題型2工程問題】【例2】（2023春·安徽蕪湖·七年級?？计谀┳詠硭畯S的供水池有7個進出水口，每天早晨6點開始進出水，且此時水池中有水15%，在每個進出水口是勻速進出的情況下，如果開放3個進口和4個出口，5小時將水池注滿；如果開放4個進口和3個出口，2小時將水池注滿．若某一天早晨6點時水池中有水24%，又因為水管改造，只能開放3個進口和2個出口，則從早晨6點開始經(jīng)過小時水池的水剛好注滿．【變式2-1】（2023春·四川瀘州·七年級瀘縣五中?？计谥校┲圃炷撤N產(chǎn)品，1人用機器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用機器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用機器，1人靠手工，每天可制造多少件產(chǎn)品？【變式2-2】（2023春·湖南常德·七年級統(tǒng)考期末）玲玲家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作，需要6周完成，共需裝修費5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周才能完成，共需裝修費4.8萬元，玲玲的爸爸媽媽商量后決定只選一個公司單獨完成．(1)設(shè)工作總量為1，甲公司的每周工作效率為m，乙公司每周的工作效率為n，根據(jù)題意列出關(guān)于m、n的二元一次方程組．(2)如果從節(jié)約時間的角度考慮，應(yīng)選哪家公司？請說明理由．(3)如果從節(jié)約開支的角度考慮，應(yīng)選哪家公司？請說明理由．【變式2-3】（2023春·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期中）有一塊面積為180畝的荒地需要綠化，甲工程隊綠化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程隊完成，已知甲工程隊每天綠化8畝，乙工程隊每天綠化12畝，一共用20天完成．(1)設(shè)甲工程隊綠化m天，乙工程隊綠化n天，依題意可列方程組：______．(2)設(shè)甲工程隊綠化荒地x畝，乙工程隊綠化荒地y畝，請列方程組求甲、乙兩工程隊分別綠化荒地的畝數(shù)．【題型3配套問題】【例3】（2023春·全國·七年級期末）張氏包裝廠承接了一批紙盒加工任務(wù)，用如圖①所示的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種上面無蓋的長方體紙盒（加工時接縫材料不計）．(1)做1個豎式紙盒和2個橫式紙盒，需正方形紙板___________張（直接填空），需長方形紙板___________張（直接填空）．(2)若該廠購進正方形紙板162張，長方形紙板338張，問豎式紙盒、橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完？（要求列二元一次方程組解決此問題）3．（2023秋·山東濟南·七年級?？计谀┝蟹匠探M解應(yīng)題某校為7年級寄宿學(xué)生安排宿舍，每間宿舍住5人，則有4人住不下；若每間住6人，則有一間只住4人，求該年級寄宿的學(xué)生人數(shù)和宿舍間數(shù)？【變式3-1】（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期中）一套餐桌有一張桌子和六把椅子組成．如果1立方米木料可以制作10張桌子，或制作15把椅子．現(xiàn)有15立方米的木料，請你設(shè)計一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【變式3-2】（2023春·廣東江門·七年級統(tǒng)考期末）用鐵皮材料做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身30個，或制盒底50個，一個盒身與兩個盒底配成一套．現(xiàn)有33張鐵皮材料，分別用多少張制盒身、盒底，才能保證既恰好用完鐵皮材料，又使盒身和盒底正好配套？【變式3-3】（2023秋·安徽滁州·七年級?？奸_學(xué)考試）一工廠有60名工人，要完成1200套產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每套產(chǎn)品由4個A型零件和3個B型零件配套組成，每個工人每天能加工6個A型零件或者3個B型零件．現(xiàn)將工人分成兩組，每組分別加工一種零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工廠每天應(yīng)安排多少名工人生產(chǎn)A型零件?每天能生產(chǎn)多少套產(chǎn)品?(2)現(xiàn)工廠要在20天內(nèi)完成1200套產(chǎn)品的生產(chǎn)，決定補充一些新工人，這些新工人只能獨立進行A型零件的加工，且每人每天只能加工4個A型零件．①設(shè)每天安排x名熟練工人和m名新工人生產(chǎn)A型零件，求x的值（用含m的代數(shù)式表示）②請問至少需要補充多少名新工人才能在規(guī)定期限完成生產(chǎn)任務(wù)?【題型4年齡問題】【例4】（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現(xiàn)在這對母女的年齡分別是多少？【變式4-1】（2023春·七年級課時練習(xí)）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（

）A．38歲 B．39歲 C．40歲 D．41歲【變式4-2】（2023秋·湖南永州·七年級?？奸_學(xué)考試）甲對乙說：“我像你這樣大歲數(shù)的那年，你的歲數(shù)等于我今年的歲數(shù)的一半；當你到我這樣大歲數(shù)的時候，我的歲數(shù)是你今年歲數(shù)的二倍少7歲．”則今年甲的年齡為歲，乙的年齡為歲．【變式4-3】（2023春·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）南安英都拔拔燈是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，因疫情原因停辦了好幾年，今年正月又重新舉行，吸引了眾多的海內(nèi)外游客參與．其中一位34歲的男子帶著他的兩個孩子參與了拔拔燈活動，下面是記者與兩個孩子的對話：記者：兩位小朋友，你們幾歲了？這么小就來拔拔燈了．妹妹：我比哥哥少4歲；哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加．恰好等于爸爸的年齡；根據(jù)對話內(nèi)容，請你用方程（組）的知識幫記者求出今年哥哥和妹妹的年齡．【題型5銷售問題】【例5】（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）2020年1月底，武漢爆發(fā)“新冠”疫情，并開始向全國蔓延，出于防疫的需求，醫(yī)用口罩迅速成為緊俏物資．某藥店為解市民的燃眉之急，先后兩次采購了A、B兩種型號的醫(yī)用口罩進行銷售．已知這兩種型號的醫(yī)用口罩進貨情況如表：第一次第二次A型口罩(箱)2030B型口罩(箱)3040累計采購款(元)5100072000（1）問A，B兩種型號的口罩的進貨單價各是多少元？（2）銷售中發(fā)現(xiàn)B型口罩的銷量明顯好于A型，藥店在計劃第三次采購時，決定購進B型口罩的箱數(shù)比A型口罩的箱數(shù)的2倍還多10箱，在采購總價不超過90000元的情況下，最多能購進多少箱B型口罩？【變式5-1】（2023春·重慶·七年級重慶市育才中學(xué)?？计谥校┫蛉湛晖瞥黾滓覂煞N禮盒，甲禮盒中有櫻桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，乙禮盒中有櫻桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，已知櫻桃每千克30元，甲禮盒每盒100元，乙禮盒每盒98元，當然，顧客也可根據(jù)需要自由搭配，小陶用1100元買乙禮盒和自由搭配禮盒(香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克)若干盒，則小陶一共可買禮盒個．【變式5-2】（2023春·黑龍江大慶·七年級?？计谀┠成痰攴謨纱钨忂MA，B型兩種臺燈進行銷售，兩次購進的數(shù)量及費用如下表所示，由于物價上漲，第二次購進A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進價分別上漲30%，20購進的臺數(shù)購進所需要的費用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購進A，B型兩種臺燈每臺進價分別是多少元？(2)A，B型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．①求A，B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？②若按照第二次購進A，B型兩種臺燈的價格再購進一次，將再次購進的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為1000元，求有哪幾種購進方案？【變式5-3】（2023秋·全國·七年級統(tǒng)考期末）為了解決農(nóng)民工子女入學(xué)難的問題，我市建立了一套進城農(nóng)民工子女就學(xué)的保障機制，其中一項就是免交“借讀費”．據(jù)統(tǒng)計，2004年秋季有5000名農(nóng)民工子女進入主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí)，預(yù)計2005年秋季進入主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí)的農(nóng)民工子女比2004年有所增加，其中小學(xué)增加20%，中學(xué)增加30%，這樣，2005年秋季將新增1160名農(nóng)民工子女在主城區(qū)中小學(xué)學(xué)習(xí)．（1）如果按小學(xué)每生每年收“借讀費”500元，中學(xué)每生每年收“借讀費”1000元計算，求2005年新增加的1160名中小學(xué)學(xué)生共免收多少“借讀費”？（2）如果小學(xué)每增加40名學(xué)生需配備2名教師，中學(xué)每增加40名學(xué)生需配備3名教師，若按2005年秋季入學(xué)后，農(nóng)民工子女在主城區(qū)中小學(xué)就讀的學(xué)生增加的人數(shù)計算，一共需要配備多少名中小學(xué)教師？【題型6分配問題】【例6】（2023春·北京海淀·七年級北京育英中學(xué)校考期末）為迎接2008年奧運會，某工藝廠準備生產(chǎn)奧運會標志“中國印”和奧運會吉祥物“福娃”.該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產(chǎn)一套奧運會標志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒．該廠購進甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進原料全部用完，求該廠能生產(chǎn)奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套？【變式6-1】（2023春·廣西桂林·七年級校考期中）某汽車制造廠生產(chǎn)一款電動汽車，計劃一個月生產(chǎn)200輛．由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成電動汽車的安裝，工廠決定招聘一些新工人，也能獨立進行電動汽車的安裝．生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車，2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車（1）每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？（2）若工廠現(xiàn)在有熟練工人30人，求還需要招聘多少新工人才能完成一個月的生產(chǎn)計劃？【變式6-2】（2023春·浙江·七年級期末）杭州某公司準備安裝完成6000輛如圖所示款共享單車投入市場．由于抽調(diào)不出足夠熟練工人，公司準備招聘一批新工人．生產(chǎn)開始后發(fā)現(xiàn)：1名熟練工人和2名新工人每天共安裝28輛共享單車；2名熟練工人每天裝的共享單車數(shù)與3名新工人每天安裝的共享單車數(shù)一樣多．（1）求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少輛共享單車?（2）若公司原有熟練工a人，現(xiàn)招聘n名新工人a>n，使得最后能剛好一個月（30天）完成安裝任務(wù)，求a的值．【變式6-3】（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）問題解決：糖葫蘆一般是用竹簽串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，現(xiàn)將一些山楂分別串在若干個竹簽上，如果每根竹簽串4個山楂，還剩余3個山楂；如果每根竹簽串7個山楂，還剩余6根竹簽，求竹簽有多少根？山楂有多少個？反思歸納：現(xiàn)有m根竹簽，n個山楂，若每根竹簽串a(chǎn)個山楂，還剩b個山楂，則m、n、a、b滿足的等量關(guān)系為（用含m、n、a、b的代數(shù)式表示）．【題型7幾何圖形問題】【例7】（2023春·江蘇蘇州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）把長都是寬的兩倍的1個大長方形紙片和4個相同的小長方形紙片按圖①、圖②方式擺放，則圖②中的大長方形紙片未被4個小長方形紙片覆蓋部分的面積為cm2．【變式7-1】（2023春·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）在長為18m，寬為15m的長方形空地上，沿平行于長方形各邊的方向分別割出三個大小完全一樣的小長方形花圃，其示意圖如圖所示，則其中一個小長方形花圃的面積為（

）

A．10m2 B．12m2 C．【變式7-2】（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，放入6個形狀、大小都相同的小長方形，所標尺寸如圖所示.

(1)小長方形的長和寬各是多少？(2)求陰影部分的面積.【變式7-3】（2023春·山西·七年級統(tǒng)考期中）小敏通過觀察發(fā)現(xiàn)，生活中很多產(chǎn)品的包裝都是長方體，她從家里找了一個長方體包裝盒，將其展開后，得到如圖所示的示意圖，根據(jù)示意圖中的數(shù)據(jù)可得原長方體的體積為cm【題型8數(shù)字問題】【例8】（2023春·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）某兩位數(shù)，兩個數(shù)位上的數(shù)之和為11．這個兩位數(shù)加上45，得到的兩位數(shù)恰好等于原兩位數(shù)的兩個數(shù)字交換位置所表示的數(shù)，求原兩位數(shù)．(1)列一元一次方程求解．(2)如果設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，列二元一次方程組．(3)檢驗（1）中求得的結(jié)果是否滿足（2）中的方程組．【變式8-1】（2023春·重慶沙坪壩·七年級重慶市第七中學(xué)校?？计谀┗梅降臍v史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”．三階幻方的填寫規(guī)則是將9個不同的整數(shù)填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都相等．

(1)如圖1所示幻方，求x的值；(2)如圖2所示幻方，求a，b的值；(3)如圖3所示幻方，若m，n為正整數(shù)，直接寫出一共有多少種填法，并把其中一種幻方填寫完整．【變式8-2】（2023秋·遼寧鐵嶺·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在《最強大腦》節(jié)目中，有很多具有挑戰(zhàn)性的比賽項目，其中《幻圖圓》這個項目充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力．如圖是一個最簡單的二階幻圓的模型，要求：①內(nèi)、外兩個圓周上的四個數(shù)字之和相等；②外圓兩直徑上的四個數(shù)字之和相等；則圖中外圓周上空白圓圈內(nèi)填，內(nèi)圓周上空白圓圈內(nèi)填內(nèi)應(yīng)填．【變式8-3】（2023春·山東濰坊·七年級?？茧A段練習(xí)）小明和小華在一起玩數(shù)字游戲，他們每人取了一張數(shù)字卡片，拼成了一個兩位數(shù)，小明說：“哇！這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和恰好是9．”他們又把這兩張卡片對調(diào)，得到了一個新的兩位數(shù)，小華說：“這個兩位數(shù)恰好也比原來的兩位數(shù)大9．”那么，你能回答以下問題嗎？(1)他們?nèi)〕龅膬蓮埧ㄆ系臄?shù)字分別是幾？(2)第一次，他們拼出的兩位數(shù)是多少？(3)第二次，他們拼成的兩位數(shù)又是多少呢？請你好好動動腦筋喲！【題型9古代問題】【例9】（2023秋·安徽滁州·七年級校聯(lián)考期中）被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國古代算法的扛鼎之作．《九章算術(shù)》中記載：“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕．一雀一燕交而處，衡適平．并燕、雀重一斤．問燕、雀一枚各重幾何？”譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤．問雀、燕每1只各重多少斤？”請列方程組解答上面的問題．【變式9-1】（2023春·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺，若將繩四折測之，繩多一尺，井深幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺，把繩四折來量，井外余繩一尺，井深幾尺？則該問題的井深是（

）尺．A．5 B．8 C．32 D．36【變式9-2】（2023春·江西南昌·七年級統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，書中記載了這樣一個問題：“今有上禾三秉，益實六斗，當下禾十秉．下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉．問上、下禾實一秉各幾何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，與下等水稻10捆相當．下等水稻5捆，加稻谷1斗，與上等水稻2捆相當．問上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？【變式9-3】（2023秋·安徽·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有這樣一道題，原文如下：今有上禾六秉，損實一斗八升，當下禾一十秉．下禾十五秉，損實五升，當上禾五秉．問：上、下禾實一秉各幾何？大意為：今有上禾6束，減損其中之“實”1斗8升，與下禾10束之“實”相當；下禾15束，減損其中之“實”5升，與上禾5束之“實”相當．問上、下禾每1束之實各為多少?（10升為1斗）【題型10方案問題】【例10】（2023春·湖南株洲·七年級?？计谀┠畴娖鞒袖N售每臺進價為200元，170元的A、B兩種型號的電風(fēng)扇．如表所示是近2周的銷售情況：（進價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入－進貨成本）銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號第一周351750元第二周4103000元(1)求A、B兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價；(2)超市銷售完A、B兩種型號的電風(fēng)扇共25臺，能否實現(xiàn)利潤為1200元的目標？請說明理由．(3)一家公司打算花費4000元同時購買A、B兩種型號的電風(fēng)扇若干臺，請你為該公司設(shè)計不同的購買方案．【變式10-1】（2023秋·福建漳州·七年級校考階段練習(xí)）某公司接到240臺空調(diào)的安裝任務(wù)．由于時間緊，該公司沒有足夠的熟練工人，故決定招聘一批新工人．根據(jù)以往安裝經(jīng)驗可知，1名熟練工人和2名新工人每天一共可以安裝8臺空調(diào)；2名熟練工人和3名新工人每天一共可以安裝14臺空調(diào)．(1)求每名熟練工人和新工人每天分別可以安裝多少臺空調(diào)？(2)若該公司原有m名熟練工人，現(xiàn)計劃招聘n名新工人（m，n均為正整數(shù)），為保證剛好用12天完成安裝任務(wù)，你認為該公司有哪幾種招聘方案？【變式10-2】（2023春·湖北荊州·七年級統(tǒng)考期末）荊州作為荊楚文化根脈所在，是楚文化發(fā)祥地．首屆楚文化節(jié)于2023年3月至4月在荊州舉辦．為更好展現(xiàn)荊州，荊州市特推出A、B兩種不同明信片套盒和單張明信片．已知一種A套盒和一種B套盒總價13元，2種A套盒和3種B套盒總價31元；單張明信片1元/張．(1)請求出A、B兩種套盒的單價各是多少元？(2)某顧客計劃用200元購買這三種商品共127件，如果資金剛好全部用完，問有幾種購買方案？【變式10-3】（2023春·廣東廣州·七年級執(zhí)信中學(xué)?？计谥校╇s交水稻的發(fā)展對解決世界糧食不足問題有著重大的貢獻，某超市購進A、B兩種大米銷售，其中兩種大米的進價、售價如下表：類型進價（元/袋）售價（元/袋）A種大米2030B種大米3045(1)該超市在3月份購進A、B兩種大米共70袋，進貨款恰好為1800元．①求這兩種大米各購進多少袋；②據(jù)3月份的銷售統(tǒng)計，兩種大米的銷售總額為900元，求該超市3月份已售出大米的進貨款為多少元．(2)超市決定在4月份銷售A、B兩種大米共盈利100元（A，B兩種品種都有購進），請你幫助設(shè)計一下進貨方案，并寫出來．【題型11圖表問題】【例11】（2023春·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）流感期間，小李家購買防護用品的收據(jù)如表，有部分數(shù)據(jù)因污染無法識別，根據(jù)表格，解決下列問題：商品名單價（元）數(shù)量（件）金額（元）溫度計1901190消毒水

2100酒