2025年高考數(shù)學一輪復習：課時作業(yè)五十一 兩條直線的位置關系

五十一兩條直線的位置關系

（時間：45分鐘分值:90分）

【基礎落實練】

1.（5分）（2024?濰坊模擬）已知三角形的三個頂點4（2,4）,5（3,-6）,。（5,2）,則5c邊上

中線的長為（）

A.2回B，V10C.11^/2D.3回

3+5

x=、=4

【解析】選A.設BC的中點為。（可），由中點坐標公式得，6+2，所以

-2

。（4,-2）,所以|—^（4-2）2+[（-2）-4]2=A/40-2^/10.

2.（5分）已知直線/i：2x-y+l=012：x+ay-l=0,且J-以則點尸（1,2）到直線I?的距離d

等于（）

A也B-C—D—

CU

A.$口.5-5-5

【解析】選D.由/i_U2可得2乂1-1a=0,即。=2,故54箸*^.

J1+2,5

【加練備選】

（2024?深圳模擬）直線加工-y+l=012：（3加-2）%+加y-2=0,若4工4,貝U實數(shù)m的

值為（）

A.OB.l

C.O或1D.］或1

【解析】選C./I_L/2=冽（3〃-2）-ZW=0,

即加2一加=o,解得加=o或加=1.

3.（5分）（2024?廣州模擬）設23R,則“2=1”是“直線3%+?-1）尸1與直線2x+（l->=2

平行'的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】選A.若直線3x+?-l?=l與直線笈+（1力尸2平行，則3（1解

得7=1或丸=-3,經(jīng)檢驗2=1或丸=-3時兩直線平行.

故笠=1”能得到“直線3x+（M）y=l與直線a+（胡?=2平行”，但是“直線3x+（A-

1?=1與直線雙+（14?=2平行”不一定能得到“7=1”.

4.（5分）直線辦+y+3a-l=0恒過定點N,則直線2x+3y-6=0關于點N對稱的直線方

程為（）

A.2x+3y-12=0B.2x+3y+12=0

C.2%-3尹12=0D.2x-3y-12=0

【解析】選B.由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-l=0.

令心;二;:可得I產(chǎn)1，

所以N(-3,l).

設直線2x+3y-6=0關于點N對稱的直線方程為2x+3y+c=0(今-6),

|-6+3-6|J-6+3+c|

人」^/4^99

解得c=12或c=-6(舍去).

故所求直線方程為2%+3尹12=0.

5.(5分X多選題)已知42,4)與5(3,3)到直線I的距離相等,則直線I的方程為

()

A.xt尸0B.x-y=0

C.x+y-6=0D.%-y+l=0

c74R

【解析】選ACD.因為4(2,4)與5(3,3)的中點為潟)，且配=--1,所以使得點

4(2,4)與3(3,3)到直線I的距離相等的直線有兩類，

一類是過A,B的中點的直線，另一類是與AB平行的直線，顯然由-6=0、刊+1=0

q7

過點(方),故C,D正確；

直線x+y=0的斜率為-1與AB平行，故A正確;

直線立尸0的斜率為1與AB垂直，且不過點（15,故B錯誤.

6.（5分X多選題）已知直線/i：4x-3y+4=0,/2：（加+2）%-（加+1?+2加+5=0（加￡R）,則

（）

A.直線，2過定點（-3,-1）

B.當m=\時J」/?

C.當m=2時/〃Z2

D.當/i〃4時,兩直線//之間的距離為1

【解析】選ACD.因為（加+2）%-（加+l）y+2加+5=0,所以2,x-y+5+m（x-y+2）^Q,

所以律累2比解得仁彳

所以直線，2過定點（3-1）,選項A正確；

3

當m=l時直線/2：3%-2y+7=0,左2^

又因為/i：4x-3尹4=0,

所以左1],左飽=2,所以兩直線不垂直，選項B錯誤；

當m=2時直線/2：4x-3y+9=0,而/i：4x-3y+4=0,

所以兩直線斜率相等，在y軸上的截距不等，

所以兩直線平行，此時兩直線之間的距離修祥十1,選項C,D正確.

/+42

7.（5分）美術繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭:將整個臉部按照發(fā)際線至眉

骨，眉骨至鼻底，鼻底至下須的范圍分為上庭、中庭、下庭,各占臉長的右1五眼指

臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、

第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖，假設三庭中一庭的高度為2cm,五眼中一

眼的寬度為1cm,若圖中提供的直線近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像

的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為

【解析】選B.如圖，以鼻尖所在位置為原點O,中庭下邊界為x軸,垂直中庭下邊

界且過鼻尖的直線為y軸，建立平面直角坐標系，

13

則4（亍4）乃2）,

直線的方程:出：

N-4

7

整理為x-y+~O,

|Z|

原點O到直線距離為與d（cm）.

8.（5分）數(shù)學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同

一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為

三角形的歐拉線.已知A45C的頂點4（2,0）,5（0,1）,且則ZU5C的歐拉線

的方程為（）

A.2x+4y-3=0B.x-2y-3=0

C.2x-y-3=0D.4x-2y-3=0

【解析】選D.由|4。|=盧。|及題意可知ZU5C的歐拉線即為線段45的垂直平分

線，

11

因為AB的中點為ML中,斜率kAB=-W

所以AB垂直平分線的斜率仁2.

1

因此A43C的歐拉線的方程為廣片2（/1）,即4x-2產(chǎn)3=0.

9.（5分X2024?南昌模擬）已知點。（0,2）,直線日+2產(chǎn)1=0,則過點P且與直線/相交

的一條直線的方程是_________.

11

【解析】直線區(qū)+2廣1=0的斜率為下,故只需所求直線方程斜率不是立即可，

可設過點P且與直線I相交的一條直線的方程為產(chǎn)x+2.

答案:y=x+2（答案不唯一）

10.(5分)已知直線/i：(m-2)x-3y-l=0與直線Z2:mx+(m+2)y+l=0相互平行,則實數(shù)

m的值是__________.

【解析】因為直線/.與直線12相互平行，

m||[(m-2)(m+2)=-3m目口/毋+3租-4=0

人m-2-m92租-2W0'

解得m=-4.

答案：-4

11.(10分)已知直線I經(jīng)過直線2x+y-5=0與％-27=0的交點.

⑴點4(5,0)到I的距離為3,求I的方程.

【解析】⑴經(jīng)過兩條已知直線交點的直線系方程為(2x+y-5)+〃x-2y)=0,

即(2+2)%+(l-22?-5=0.

|10+5Z-5|

所以]------------22=3.

J(2+2)+(1-2A)

即2戶57+2=0,所以2=2或；

所以I的方程為產(chǎn)2或4/3吐5=0.

⑵求點4(5,0)到I的距離的最大值.

【解析】(2)由F二若,。，解得交點P(2,l),如圖，過P作任意直線I,

設d為點4至I"的距離，則d*力|（當ILPA時等號成立，其余距離d與PA構成直

角三角形，尸4為它們的斜邊），所以dmax=|R4|=J^.

【能力提升練】

12.（5分）（多選題）（2024?重慶模擬）若直線/i：3%+尸4,，2：%-尸013：2%-3叼=4不能構成

三角形，則m的取值為（）

2222

AbB-3%D.-§

［解析］選ABD.因為直線/1:3x+y=4,Z2：x-y=0,/3:2x-3my=4不能構成三角形，

所以存在h〃/312〃，3/3過與，2的父點二種情況.

當時，有三君解得加/

1in7

當,2〃4時，有\(zhòng)君,解得加總

3

3：。fo4解得R：；，代入?yún)^(qū)得2x1-3加xl=4,解得

m--.

綜上:加==或加F或m--.

13.（5分）已知M-1,3）,N（2,1）,點尸在二軸上，且使1PMl+|PN|取得最小值，則最小值

為—，此時點P的坐標為.

【解析】如圖所示:

點N關于x軸的對稱點為。(2,-1),由對稱性可知|PN|=|PQ|,

所以|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|N|MQ|=J(T7r27T(3~777=5,

當且僅當M,P,Q三點共線時，等號成立，

Q-I-1A4

直線的斜率為kMQ-]-孕直線的方程為歹+1=-§(%-2),即4x+3y-5=0,

5

聯(lián)立產(chǎn)+翟05=。，可得j二j,即點P(|,0),

故當點P的坐標為。0)時,|PM|+|PN|取得最小值5.

答案：5(|,0)

14.(10分)(2024?寧波模擬)已知兩條直線/1：。%+刀+。+1=012：2%+(。-1?+3=0.

(1)右/i12不重合，且垂直于同一條直線，求a的值.

【解析】(1)因為/112不重合，且垂直于同一條直線，所以/1〃以

所以1a(a-1)=2x1解得

尸"以[aX3H2X(a+1)，用牛行aK

(2)從①直線I過坐標原點,②直線I在y軸上的截距為2,③直線I與坐標軸形成

的三角形的面積為L這三個條件中選擇一個補充在下面問題中，并作答.

若。=0,直線I與12垂直，且_________，求直線I的方程.

【解析】(2)因為a=0,直線/2：2%-歹+3=0,其斜率為2,

又直線I與12垂直，所以直線I