人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點(diǎn)題型精講及檢測（教師版）

第第頁專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點(diǎn)題型精講1．一元二次不等式一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.2．二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．溫馨提示：(1)二次函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)．3．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系溫馨提示：(1)對于一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再對照上述情況求解．【題型1一元二次不等式的解法】【方法點(diǎn)撥】解一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；(2)計(jì)算對應(yīng)方程的判別式；(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根；(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．【例1】（2022春?阿拉善左旗校級期末）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集為（）A．(?12，2) C．(?∞，?2)∪(12【解題思路】根據(jù)不等式的解法直接求解．【解答過程】解：方程（x+2）（2x﹣1）＝0的根，x＝﹣2或x=12，函數(shù)y＝（x+2）（2x﹣1）的開口方向向上，∴不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集為(?2，【變式1-1】（2022春?涼州區(qū)期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（）A．{x|?23≤x≤1} BC．{x|x≤?23或x≥1}【解題思路】根據(jù)題意，由一元二次不等式的解法分析得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，3x2﹣x﹣2≥0即（3x+2）（x﹣1）≥0，解可得：x≥1或x≤?23，即不等式的解集為{x|x≤?23或【變式1-2】（2022春?眉山期末）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集為（）A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1） C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）【解題思路】解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，由此能求出不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集．【解答過程】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0，解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，∴不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集為（﹣1，4）．故選：C．【變式1-3】（2022春?雨城區(qū)校級期中）不等式﹣2x2+x+15≤0的解集為（）A．{x|?52≤x≤3} B．{x|x≤?5C．{x|?3≤x≤52} D．{x|x≤﹣3或【解題思路】利用一元二次不等式的性質(zhì)、解法直接求解．【解答過程】解：∵﹣2x2+x+15≤0，∴2x2﹣x﹣15≥0，Δ＝1+120＝121，解方程2x2﹣x﹣15＝0，得x1=?52，x2＝3，∴不等式﹣2x2+x+15≤0的解集為{x|x≤?52【題型2含參的一元二次不等式的解法】【方法點(diǎn)撥】解含參數(shù)的一元二次不等式時：(1)若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項(xiàng)系數(shù)大于0、等于0與小于0進(jìn)行討論；(2)若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進(jìn)行討論；(3)若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論．【例2】（2022秋?興平市校級月考）若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x?1a）＞【解題思路】根據(jù)題意，a＜1【解答過程】解：∵0＜a＜1，∴a＜1a，原不等式可化為（x﹣a）（x?1a）＜0，解得a故不等式的解集為{x|a＜x＜1a【變式2-1】（2022春?南充期末）當(dāng)a≤0時，解關(guān)于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．【解題思路】對于二次項(xiàng)含參的一元二次不等式，需要對二次項(xiàng)系數(shù)a是否為零進(jìn)行討論，進(jìn)而求解即可．【解答過程】解：由不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0化簡可得（ax+1）（x﹣2）≥0．由于二次項(xiàng)系數(shù)含參，故進(jìn)行如下討論：①當(dāng)a＝0時，原不等式化簡為：x﹣2≥0，解得x≥2．②當(dāng)a＜0時，不等式為：（ax+1）（x﹣2）≥0．解得方程（ax+1）（x﹣2）＝0的兩根分別為為x1=?1a，x2＝2．則：當(dāng)a=?當(dāng)?12＜a＜當(dāng)a＜?12時，綜上所述，當(dāng)a＝0時，解集為{x|x≥2}．當(dāng)a=?12時，解集為{x|x當(dāng)?12＜a＜0時，解集為：【變式2-2】（2021秋?和平區(qū)校級月考）解關(guān)于x的不等式x2﹣（a+1a）x+1＜【解題思路】先因式分解，再分類討論，即可得到不等式的解．【解答過程】解：∵x2﹣（a+1a）x+1＜0．∴（x﹣a）（x?1當(dāng)a＞1a時，即a＞1或﹣1＜a＜0時，解得1a＜當(dāng)a＜1a時，即a＜﹣1或0＜a＜1時，解得a＜x當(dāng)a=1a時，即a＝±【變式2-3】（2021秋?高州市期末）解關(guān)于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．【解題思路】對于含參數(shù)的不等式，先不用考慮參數(shù)，看是什么不等式，按照解這類不等式的方法去解，不等式6x2+ax﹣a2＜0是一元二次不等式，先因式分解，在討論兩根的大小，因含參數(shù)，再按參數(shù)大小討論，得出結(jié)果．【解答過程】解：原不等式化為；（2x+a）（3x﹣a）＜0當(dāng)a＞0時，∵?a2＜當(dāng)a＜0時，∵a3＜?當(dāng)a＝0時，無解．綜上所述，當(dāng)a＞0時，原不等式的解集為{x|?a當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為?當(dāng)a＜0時，原不等式的解集為（x|a3【題型3三個“二次”關(guān)系的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．【例3】（2022秋?哈爾濱月考）已知不等式ax2+bx﹣2＜0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，則不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＞0的解集為（）A．R B．? C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}【解題思路】由題意得x＝﹣1，x＝2是方程ax2+bx﹣2＝0的兩根，結(jié)合方程根與系數(shù)關(guān)系可求a，b，進(jìn)而可求不等式．【解答過程】解：因?yàn)椴坏仁絘x2+bx﹣2＜0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，所以x＝﹣1，x＝2是方程ax2+bx﹣2＝0的兩根，故?1+2=?ba?1×2=?2a，解得a＝1，b＝﹣1，則不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＝x2﹣2x﹣3＞0的解集為{x|x＞3或【變式3-1】（2022春?赤峰期末）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），則cbA．65 B．?65 C．56【解題思路】由一元二次不等式的性質(zhì)得2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理求出b＝﹣5a，c＝6a，由此能求出cb【解答過程】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），∴2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴2+3=?ba2×3=ca，解得b＝﹣5a，c＝6a【變式3-2】（2022春?讓胡路區(qū)校級期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|?12＜x＜13A．(?∞，?16) B．(?∞，16【解題思路】利用根于系數(shù)的關(guān)系先求出a，b，再解不等式即可．【解答過程】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|?12＜x＜13}．則根據(jù)對應(yīng)方程的韋達(dá)定理得到：(?【變式3-3】（2021秋?三門峽期末）二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的兩根為2，﹣3，那么關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為（）A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}【解題思路】設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），根據(jù)二次函數(shù)與對應(yīng)的方程和不等式的關(guān)系，即可求出不等式的解集．【解答過程】解：設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），因?yàn)槎魏瘮?shù)對應(yīng)的方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的兩根為2，﹣3，所以二次函數(shù)圖象開口向上，且與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）和（2，0），所以關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|x＜﹣3或x＞2}．故選：B．【題型4解簡單的分式不等式】【方法點(diǎn)撥】(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．【例4】（2022春?臨夏縣校級期中）求不等式的解集：（1）﹣x2+4x+5＜0；（2）2x2﹣5x+2≤0；（3）x+1x?3≥0；（4）【解題思路】（1）不等式化為x2﹣4x﹣5＞0，求出解集即可；（2）不等式化為（2x﹣1）（x﹣2）≤0，再求解集；（3）不等式化為(x+1)(x?（4）不等式化為（x﹣1）（x+1）＜0，即可求出解集．【解答過程】解：（1）由﹣x2+4x+5＜0，得x2﹣4x﹣5＞0，解得x＜﹣1或x＞5，所以不等式的解集為{x|x＜﹣1或x＞5}；（2）由2x2﹣5x+2≤0，得（2x﹣1）（x﹣2）≤0，解得12所以不等式的解集為{x|1（3）由x+1x?3≥0，可得(x+1)(x?3)≥0x?3≠0，解得x所以不等式的解集為{x|x≤﹣1或x＞3}；（4）由5x+1x+1＜3，可得2x?2x+1＜0，等價(jià)于（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣所以不等式的解集為{x|﹣1＜x＜1}．【變式4-1】（2021秋?李滄區(qū)校級月考）解下列不等式并寫出解集．（1）﹣2x2+3x+9＞0；（2）8?x5+x≥【解題思路】（1）利用一元二次不等式的解法即可求解；（2）利用一元二次不等式的解法即可求解．【解答過程】解：（1）因?yàn)椹?x2+3x+9＞0，所以2x2﹣3x﹣9＜0，可得（2x+3）（x﹣3）＜0，可得?32＜x＜3，所以解集為{x|?3（2）因?yàn)??x5+x≥1，可得8?x5+x?1≥0所以（3﹣2x）（5+x）≥0，且5+x≠0，解得﹣5＜x≤32，所以解集為{x|﹣5＜x≤【變式4-2】（2021秋?海淀區(qū)校級期末）求下列關(guān)于x的不等式的解集：（1）5x?7≥?1；（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞【解題思路】（1）將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解之即可．（2）分a＝0，a＞0和a＜0三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解之即可．【解答過程】解：（1）5x?7≥?1，∴x?2∴(x?2)(x?7)≥0x?7≠0，∴x＞7或x≤2，∴不等式的解集（﹣∞，2]（2）①當(dāng)a＝0時，則﹣2＝0不成立，x∈?，②當(dāng)a≠0，即a2＞0時，令2a2x2﹣3ax﹣2＝0，則x=2a或x若a＞0時，2a＞?12a，∴x若a＜0時，2a＜?12a，∴x綜上，當(dāng)a＝0時，不等式的解集為?，若a＞0時，不等式的解集為{x|x＞2a或x＜若a＜0時，不等式的解集為{x|x＞?12a或x【變式4-3】（2022春?廣安區(qū)校級月考）解不等式：（1）4x2﹣15x+9＞0；（2）2?xx+4【解題思路】（1）解方程4x2﹣15x+9＝0，得x1=34，x2＝3，由此能求出4x2﹣15x+9＞（2）推導(dǎo)出2x+2x+4＜0，由此能求出【解答過程】解：（1）4x2﹣15x+9＞0，Δ＝（﹣15）2﹣4×4×9＝81，解方程4x2﹣15x+9＝0，得x1=34，x2＝3，∴4x2﹣15x+9＞0的解集為（2）∵2?xx+4＞1，∴2?xx+4?1=?2x?2x+4＞0，∴2x+2x+4＜∴2?xx+4＞1的解集為（﹣4，【題型5一元二次不等式恒成立、存在性問題】【方法點(diǎn)撥】不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【例5】（2021?西青區(qū)模擬）已知關(guān)于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是（）A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1【解題思路】對k進(jìn)行分類討論，當(dāng)k＝0時恒成立，k＜0時不等式不能恒成立，當(dāng)k＞0時，只需△≤0求得k的范圍，最后綜合得到答案．【解答過程】解：當(dāng)k＝0時，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0化為8≥0恒成立，當(dāng)k＜0時，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0不能恒成立，當(dāng)k＞0時，要使不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立，需Δ＝36k2﹣4（k2+8k）≤0，解得0≤k≤1，故選：A．【變式5-1】（2021秋?南陽期末）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集為?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2）【解題思路】由題意問題等價(jià)于（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，討論a的取值，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答過程】解：關(guān)于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集為?，即（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立．當(dāng)a﹣2＝0時，即a＝2時，不等式即﹣4＜0，顯然滿足條件．當(dāng)a﹣2≠0時，應(yīng)滿足a?2＜0Δ=4(a?2)2+16(a?2)綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣2，2]．故選：C．【變式5-2】（2022春?雙流區(qū)校級期末）關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＜0在區(qū)間[1，4]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【解題思路】關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＜0在區(qū)間[1，4]上有解，等價(jià)于a＜(2x?x)max，x∈[1，4]，求出f（x）=2x?【解答過程】解：關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＜0在區(qū)間[1，4]上有解，等價(jià)于a＜(2x?x)max，x∈[1，4]；設(shè)f（x）=2x?x，x∈[1，4]，則函數(shù)f（且當(dāng)x＝1時，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）＝1；所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，1）．故選：A．【變式5-3】（2022春?石泉縣校級期末）對任意實(shí)數(shù)x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，則a的取值范圍是（）A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）【解題思路】結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決，注意對二次項(xiàng)系數(shù)分類討論．【解答過程】解：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0當(dāng)a﹣2＝0，即a＝2時，﹣4＜0恒成立，合題意．當(dāng)a﹣2≠0時，要使不等式恒成立，需a﹣2＜0，且Δ＜0解得﹣2＜a＜2．所以a的取值范圍為（﹣2，2]．故選：A．【題型6一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型，解題時要弄清題意，準(zhǔn)確找出其中的不等關(guān)系，再利用一元二次不等式求解，確定答案時應(yīng)注意變量具有的“實(shí)際含義”．【例6】（2021秋?豐臺區(qū)期中）汽車在行駛過程中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個主要因素．在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對同時剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超10m．已知甲、乙兩種車型的剎車距離s（m）與車速x（km/h）之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．則交通事故的主要責(zé)任方是乙（填“甲”或“乙”）．【解題思路】先由題意列出不等式組，分別求解甲、乙兩種車型的事發(fā)前的車速，看它們是不是超速行駛，誰超速誰應(yīng)負(fù)主要責(zé)任．【解答過程】解：由題意，解0.1x+0.01x2＞12得，x＜﹣40或x＞30，∵x＞0，∴x甲＞30km/h，解0.05x+0.005x2＞10得，x＜﹣50或x＞40，∵x＞0，∴x乙＞40km/h，∴乙車超過限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任．故答案為：乙．【變式6-1】（2021秋?峨山縣校級期中）某產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)量x（臺）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每臺產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時（銷售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是150臺．【解題思路】首先應(yīng)該仔細(xì)審題分析成本y與產(chǎn)量x的關(guān)系以及以及獲利與產(chǎn)量的關(guān)系，再結(jié)合企業(yè)不虧本即收入要大于等于支出即可得到關(guān)于x的一元二次不等式解之．【解答過程】解：由題意可知：要使企業(yè)不虧本則有總收入要大于等于總支出，又因?yàn)榭偸杖霝椋?5x，總支出為：3000+20x﹣0.1x2∴25x≥3000+20x﹣0.1?x2解得：x≥150或x≤﹣200又x∈（0，240）∴x≥150故答案為：150．【變式6-2】某輛汽車以xkm/h的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120）時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為15(x?k+4500x)L，其中k為常數(shù)．若汽車以120km/h的速度行駛時，每小時的油耗為11.5L，則k＝100[60，100]．【解題思路】（1）將x＝120代入每小時的油耗，解方程可得k＝100，（2）由題意可得15(x?100+4500【解答過程】解：記每小時的油耗為y，則根據(jù)題意：y=1則當(dāng)x＝120時，y=15(120?k+4500120當(dāng)y≤9時，即15(x?100+4500x)≤又因?yàn)?0≤x≤120，則x的取值范圍為[60，100]，故答案為100；[60，100]．【變式6-3】某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元的價(jià)格收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元（又稱征稅率為10個百分點(diǎn)）進(jìn)行納稅，計(jì)劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅降低x（x＞0）個百分點(diǎn)，預(yù)測收購量可增加2x個百分點(diǎn)．（1）寫出稅收y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)整后不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．【解題思路】（1）降低稅率后的稅率為（10﹣x）\%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a（1+2x\%）萬擔(dān)，收購總金額為200a（1+2x\%）萬元，然后直接列出稅收y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）由題意可得原計(jì)劃稅收為200a×10%＝20a萬元，則125a（50+x）?（10﹣x）≥20a【解答過程】解：（1）降低稅率后的稅率為（10﹣x）%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a（1+2x%）萬擔(dān)，收購總金額為200a（1+2x%）萬元．依題意有y＝200a（1+2x%）?（10﹣x）%=125a(50+x)?(10?x)（2）原計(jì)劃稅收為200a×10%＝20a萬元，依題意有125a（50+x）?（10﹣x）≥20a×83.2%，化簡得x2+40x﹣84≤0，解得﹣42≤x又0＜x＜10，∴0＜x≤2．∴x的取范圍是{x|0＜x≤2}．專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點(diǎn)題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022春?珠海期末）不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（）A．R B．? C．{x|﹣3＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}【解題思路】直接求解一元二次不等式即可．【解答過程】解：（x+1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜﹣1，∴原不等式的解集為{x|﹣3＜x＜﹣1}．故選：C．2．（3分）（2022春?小店區(qū)校級月考）若p：1x＞1；q：（x﹣1）（3﹣x）≤0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】解不等式1x＞1和（x﹣1）（3﹣x）≤0，根據(jù)兩不等式的解集判斷p與【解答過程】解：不等式1x＞1可化為1x?1＞0，即1?xx＞0，即x?1x＜0，解得0＜不等式（x﹣1）（3﹣x）≤0可化為（x﹣1）（x﹣3）≥0，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集為（﹣∞，1]∪[3，+∞）；因?yàn)椋?，1）是（﹣∞，1]∪[3，+∞）的真子集，所以p是q的充分不必要條件．故選：A．3．（3分）（2022春?池州期末）已知2x2﹣kx+m＜0的解集為（﹣1，t）（t＞﹣1），則k+m的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解題思路】依題意可得x＝﹣1為方程2x2﹣kx+m＝0的根，代入計(jì)算可得．【解答過程】解：∵2x2﹣kx+m＜0的解集為（﹣1，t）（t＞﹣1），∴x＝﹣1為2x2﹣kx+m＝0的根，所以k+m＝﹣2．故選：B．4．（3分）（2022?慈溪市校級開學(xué)）若關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，則m的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．[1，+∞）【解題思路】當(dāng)m＝0時，關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是x＞0，不成立；當(dāng)m≠0時，m＞0Δ=4?4【解答過程】解：關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，當(dāng)m＝0時，關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是x＞0，不成立；當(dāng)m≠0時，∵關(guān)于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，∴m＞0Δ=4?4m2＜0，解得m＞1或m＜﹣1（舍），∴m的取值范圍是（5．（3分）（2022春?雙鴨山期末）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為（﹣2，4），則不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（）A．{x|x＜?12或x＞14} B．{x|C．{x|x＜?14或x＞12} D．{x【解題思路】由已知結(jié)合二次方程與二次不等式的關(guān)系可得a，b，c的關(guān)系及范圍，然后結(jié)合二次不等式的求法即可求解．【解答過程】解：由題意得a＜0?2+4=?ba?2×4=ca，所以b＝﹣2a＞0，所以不等式cx2﹣bx+a＝﹣8ax2+2ax+a＜0，即8x2﹣2x﹣1＜0，解得?14＜x＜6．（3分）（2022?興縣校級開學(xué)）若關(guān)于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整數(shù)恰有3個，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．(53，74] B．[53【解題思路】關(guān)于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2，轉(zhuǎn)化為（4﹣a）x2﹣4x+1＜0，因?yàn)榻饧械恼麛?shù)恰有3個，得到0＜a＜4，令（4﹣a）x2﹣4x+1＝0的兩根為x=2±a4?a，即可得出不等式（4﹣a）x2﹣4x+1＜0的解集為2?a4?a＜x＜2+a4?a，即12+a【解答過程】解：由題意得（4﹣a）x2﹣4x+1＜0，因?yàn)榻饧械恼麛?shù)恰有3個，則4﹣a＞0，Δ＝4a＞0，即0＜a＜4．令（4﹣a）x2﹣4x+1＝0，則兩根為x=2±不等式的解滿足2?a4?a＜x＜2+a4?a，即12+a＜為使解集中的整數(shù)恰有3個，則必須且只需滿足3＜即6?3a＜18?4a≥1，解得7．（3分）（2022春?遼寧期末）關(guān)于x的方程x2+（m+4）x+2m+20＝0有兩個正根x1，x2（x1＜x2），下列結(jié)論錯誤的是（）A．0＜x1＜2 B．2＜x2＜6 C．x1x2x1+x2的取值范圍是D．x12+x22的取值范圍是{【解題思路】利用根的判別式求出m的取值范圍，進(jìn)而求出0＜x1＜2，2＜x2＜6，判斷AB；由x1x2x1【解答過程】解：∵x2+（m+4）x+2m+20＝0有兩不相等實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（m+4）2﹣4（2m+20）＝m2﹣64＞0，解得m＜﹣8，或m＞8．∵x1＞0，x2＞0，∴x1+x2＝﹣（m+4）＞0，x1x2＝2m+20＞0，m的取值范圍為（﹣10，﹣8）．∴4＜x1+x2＜6，0＜x1x2＜4．∵x2＞x1，∴0＜x1＜2，2＜x2＜6，故AB都正確．∵x1∴x1x2x1+x2的取值范圍是{x|0＜故選：D．8．（3分）（2021秋?豐城市校級月考）已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，若對于任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，則t的取值范圍是（）A．{t|t≤2} B．{t|t≤﹣2} C．{t|t≤﹣4} D．{t|t≤4}【解題思路】根據(jù)不等式的解集求出b、c的值，代入不等式﹣2x2+bx+c+t≤4，化為關(guān)于t，x不等式恒成立問題，可得出t的取值范圍．【解答過程】解：不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，所以3和﹣1是方程﹣2x2+bx+c＝0的解，所以3﹣1=b2，﹣1×3=?c2，解得：b＝4故任意x∈{x|﹣1≤x≤0}時，﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，化為任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，﹣2x2+4x+6+t≤4恒成立，即任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，t≤（2x2﹣4x﹣2）min，因?yàn)?x2﹣4x﹣2＝2（x﹣1）2﹣4，在x∈[﹣1，0]內(nèi)，當(dāng)x＝0時取得最小值﹣2，所以t的取值范圍是{t|t≤﹣2}，故選：B．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022?天元區(qū)校級開學(xué)）與不等式x2﹣x+2＞0的解集相同的不等式有（）A．﹣x2+x﹣2＜0 B．2x2﹣3x+2＞0 C．x2﹣x+3≥0 D．x2+x﹣2＞0【解題思路】先求出已知不等式的解集，然后根據(jù)一元二次不等式的解法對各個選項(xiàng)逐個求解判斷即可．【解答過程】解：不等式x2﹣x+2＞0的解集為R，A：不等式可以化為x2﹣x+2＞0，與已知不等式相同，所以解集也相同，故A正確，B：因?yàn)棣ぃ?﹣2×4×2＝﹣7＜0，所以不等式的解集為R，故B正確，C：因?yàn)棣ぃ?﹣1×4×3＝﹣11＜0，所以不等式的解集為R，故C正確，D：不等式x2+x﹣2＞0的解集為{x|x＞1或x＜﹣2}，故D錯誤，故選：ABC．10．（4分）（2022春?安徽期中）若不等式ax2+bx+c＞0的解集為（﹣1，2），則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)+b+c＞0 C．關(guān)于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集為（﹣3，1） D．關(guān)于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集為（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解題思路】將不等式轉(zhuǎn)化為方程，再利用圖象即可求解．【解答過程】解：A：ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），則a＜0，正確．B：由題意知令f（x）＝ax2+bx+c，由f（x）＝ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2），可得f（1）＝a+b+c＞0，正確．C：由題意知ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，2，則由韋達(dá)定理得ba=?1，ca=?2，即bx2+cx+3a＞0變?yōu)椹乤x2﹣2ax+3a＞0，即x2+2x﹣3＞0，即x＜﹣3或關(guān)于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集為（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），C錯誤，D正確．故選：ABD．11．（4分）（2021秋?上饒期末）下列關(guān)于不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集討論正確的是（）A．當(dāng)a＝1時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為? B．當(dāng)a＞1時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為（a，+∞） C．當(dāng)a＜1時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集為{x|x＜a或x＞1} D．無論a取何值時，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不為空集【解題思路】根據(jù)題意，分別求解各選項(xiàng)的解集即可．【解答過程】解：a＝1時，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化為（x﹣1）2＞0，解得x≠1，所以不等式的解集為{x|x≠1}，選項(xiàng)A錯誤；a＞1時，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化為（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜1或x＞a，所以不等式的解集為（﹣∞，1）∪（a，+∞），選項(xiàng)B錯誤；a＜1時，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0可化為（x﹣a）（x﹣1）＞0，解得x＜a或x＞1，所以不等式的解集為{x|x＜a或x＞1}，選項(xiàng)C正確；由選項(xiàng)A、B、C知，無論a取何值，不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不為空集，選項(xiàng)D正確．故選：CD．12．（4分）（2021秋?龍鳳區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）A．不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集為{x|x＜12或xB．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足ac2＞bc2，則a＞b C．若x∈R，則函數(shù)y=x2+4D．當(dāng)x∈R時，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，則k的取值范圍是（0，4）【解題思路】A中，求出不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集即可；B中，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷即可；C中，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式，即可判斷正誤；D中，分類討論求出不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立時k的取值范圍．【解答過程】解：對于A，不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0可化為（2x﹣1）（x﹣1）＞0，解得x＜12或x＞1，所以該不等式的解集為{x|x＜12或x對于B，當(dāng)ac2＞bc2時，c2＞0，所以a＞b，選項(xiàng)B正確；對于C，因?yàn)閤2≥0，所以x2+4≥4，所以x2+4≥2，所以y=x2+4對于D，k＝0時，不等式kx2﹣kx+1＞0為1＞0，恒成立，k≠0時，應(yīng)滿足k＞0△=k2?4k＜0，解得0＜k＜4，所以故選：AB．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022春?商洛期末）不等式x2+2x﹣8≤0的解集是[﹣4，2]．【解題思路】根據(jù)一元二次不等式的解法直接求解．【解答過程】解：由x2+2x﹣8≤0得，（x﹣2）（x+4）≤0，∴﹣4≤x≤2，∴故答案為：[﹣4，2]．14．（4分）（2021秋?山西月考）已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[32【解題思路】解不等式2x2﹣3x﹣2≥0得x≥2或x≤?12，解不等式x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0x≥a或x≤a﹣2，由題意得?12≤a﹣【解答過程】解：∵2x2﹣3x﹣2≥0，∴x≥2或x≤?∵x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，∴（x﹣a）（x﹣（a﹣2））≥0，∴x≥a或x≤a﹣2，∵p是q的充分不必要條件，∴?12≤a﹣2且a≤2，解得32≤a≤2，故答案為：15．（4分）（2022春?京口區(qū)校級期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|1＜x＜3}，則cx2﹣bx+a＞0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（?13，+∞【解題思路】根據(jù)關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集得到a、b、c的關(guān)系，即可解之．【解答過程】解：∵x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集為{x|1＜x＜3}，∴a＞0ca=3?ba=4，不等式cx2﹣bx+a＞0化為3x2+4x+1＞0，故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（?13，+16．（4分）（2021秋?臨沂期中）對任意x∈R，一元二次不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x?38＜0都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（?1【解題思路】由二次不等式恒成立結(jié)合圖象求解即可．【解答過程】解：因?yàn)閷θ我鈞∈R，一元二次不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x?38所以k?1＜0Δ=(k?1)2?4(k?1)×(?38)＜故答案為：（?12，四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022?南京模擬）解以下一元二次不等式（1）2x2﹣3x+1≤0（2）﹣x2﹣5x+6＜0（3）4x2﹣4x+1＞0（4）x2﹣6x+9≤0【解題思路】（1）（3）（4）對不等式的左邊分解因式求解，（2）由﹣x2﹣5x+6＜0，得x2+5x﹣6＞0，然后對不等式的左邊分解因式求解．【解答過程】解：（1）由2x2﹣3x+1≤0，得（x﹣1）（2x﹣1）≤0，解得12所以不等式的解集為{x|12≤x≤1（2）由﹣x2﹣5x+6＜0，得x2+5x﹣6＞0，則（x﹣1）（x+6）＞0，解得x＜﹣6或x＞1，所以不等式的解集為{x|x＜﹣6或x＞1}；（3）由4x2﹣4x+1＞0，得（2x﹣1）2＞0，解得x≠12（4）由x2﹣6x+9≤0，得（x﹣3）2≤0，得x＝3，所以不等式的解集為{x|x＝3}．18．（6分）（2022?天元區(qū)校級開學(xué)）解下列關(guān)于x的不等式：（a為實(shí)數(shù)）（1）x2+2x+a＜0；（2）ax?1x?2＞【解題思路】（1）分類討論判別式Δ的符號，數(shù)形結(jié)合即可求解；（2）先將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，再分類討論a的符號及1a與2【解答過程】解：（1）①當(dāng)Δ＝4﹣4a≤0，即a≥1時，原不等式的解集為?；②當(dāng)Δ＝4﹣4a＞0，即a＜1時，原不等式的解集為（?1?1?a綜合可得：當(dāng)a≥1時，原不等式的解集為?；當(dāng)a＜1時，原不等式的解集為（?1?1?a（2）∵原不等式可化為（ax﹣1）（x﹣2）＞0，①當(dāng)a＝0時，原不等式可化為x﹣2＜0，∴x＜2，∴原不等式的解集為（﹣∞，2）；②當(dāng)a＜0時，1a＜2，∴原不等式的解集為（1③當(dāng)a＞0時，若1a＜2，即a＞12時，原不等式的解集為（﹣∞，1a）∪若1a=2，即a=12時，原不等式的解集為{x|若1a＞2，即0＜a＜12時，原不等式的解集為（﹣∞，2）∪（綜合可得：當(dāng)a＜0時，原不等式的解集為（1a，2當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為（﹣∞，2）；當(dāng)0＜a＜12時，原不等式的解集為（﹣∞，2）∪（1a，當(dāng)a=12時，原不等式的解集為{x|x≠當(dāng)a＞12時，原不等式的解集為（﹣∞，1a）∪（2，19．（8分）（2022?天元區(qū)校級開學(xué)）已知不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|?12＜x＜13【解題思路】利用一元二次不等式的解法建立方程求出a，b的值，然后代入所求不等式，再利用分式不等式的解法即可求解．【解答過程】解：因?yàn)椴坏仁絘x2+bx+1＞0的解集為{x|?12＜x則?12，13是方程ax2+bx+1＝0的兩根，則?12+13=?所以不等式ax+3x?b≤0可以化為：?6x+3x+1≤0，即2x?1x+1≥0，則解不等式可得：x＜所以不等式的解集為{x|x＜﹣1或x≥1220．（8分）（2021秋?漢中月考）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣x﹣a﹣1．（1）若?x∈（2，+∞），f（x）+3＞0，求a的取值范圍；（2）求關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集．【解題思路】（1）當(dāng)a＝0時不成立，當(dāng)a≠0時，不等式化為a＞x?2x2?1在x＞2時恒成立，只需a＞（x?2x2?1）max，然后利用基本不等式即可求解；（2）對a＝0【解答過程】解：（1）當(dāng)a＝0時，f（x）+3＝﹣x﹣1+3＝﹣x+2＞0，解得x＜2與已知矛盾，故a≠0，則當(dāng)x＞2時，f