人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題4.1 指數(shù)-重難點(diǎn)題型精講及檢測(cè)（教師版）

第第頁專題4.1指數(shù)-重難點(diǎn)題型精講1．根式(1)n次方根的定義與性質(zhì)(2)根式的定義與性質(zhì)2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪注：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪SKIPIF1<0是根式的一種新的寫法，不可理解為SKIPIF1<0個(gè)a相乘.在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已.3．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算(1)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對(duì)于任意有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：

①SKIPIF1<0(a>0,r,s∈Q)；

②SKIPIF1<0(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指數(shù)冪的幾個(gè)常用結(jié)論：①當(dāng)a>0時(shí)，SKIPIF1<0>0；

②當(dāng)a≠0時(shí)，SKIPIF1<0=1，而當(dāng)a=0時(shí)，SKIPIF1<0無意義；

③若SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)，則r=s；

④乘法公式仍適用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.4．無理數(shù)指數(shù)冪及實(shí)數(shù)指數(shù)冪(1)無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪SKIPIF1<0(a>0,SKIPIF1<0是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).這樣，我們就將指數(shù)冪SKIPIF1<0(a>0)中指數(shù)x的取值范圍從整數(shù)逐步拓展到了實(shí)數(shù).

(2)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也適用于實(shí)數(shù)指數(shù)冪，區(qū)別只有指數(shù)的取值范圍不同.【題型1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算即可.【例1】（2022?揚(yáng)中市校級(jí)開學(xué)）下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是（）A．?x=(?x)?12（x≠0C．(xy)?34=4(yx)3（【解題思路】由已知結(jié)合二次根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答過程】解：?x=?x12，A錯(cuò)誤；x?13=134y2=y1【變式1-1】（2022?茂名模擬）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．?x=(?x)12C．6y2=y【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡判斷即可．【解答過程】解：對(duì)于A：?x=?x12，故A不成立；對(duì)于B：x?對(duì)于C：6y2=|y|13，故C不成立；對(duì)于D：[3(?x)2]3【變式1-2】（2021秋?電白區(qū)期中）下列根式中，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，正確的是（）A．?x=(?x)12C．x?34=【解題思路】利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系得出A?x=?x12（x＞0），6y2=(y【解答過程】解：A．?x=?x12（x＞0）故A錯(cuò)；B.C.x?34=4(1x)3（x＞0）故C正確；【變式1-3】（2021秋?水磨溝區(qū)校級(jí)月考）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，正確的是（）A．?x=(?x)12C．x?34=【解題思路】根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪與根式互化的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)化簡即可．【解答過程】解：選項(xiàng)A：由運(yùn)算性質(zhì)可得：?x=?x選項(xiàng)B：因?yàn)閤≤0，所以6x2=選項(xiàng)C：x?34=1x34選項(xiàng)D：x?13=1x13=1【題型2指數(shù)式的化簡】【方法點(diǎn)撥】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行化簡計(jì)算即可．【例2】（2021秋?惠陽區(qū)校級(jí)月考）（112）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷A．?13 B．13 C．43【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求出．【解答過程】解：原式＝1﹣（1﹣4）÷（32）2＝1+3×49【變式2-1】（2021秋?杭州期中）20+A．25 B．35?1 C．35+1 【解題思路】利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答過程】解：原式=25+5+2﹣1＝35【變式2-2】（2021秋?龍湖區(qū)校級(jí)期末）設(shè)a＞0，b＞0，化簡(aA．?13a23 B．?3a23 【解題思路】利用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答過程】解：(a23b13)?(?a12b故選：D．【變式2-3】（2021秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算12A．1e B．e C．e2 D．【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【解答過程】解：原式=2+1﹣1+e?2?【題型3根據(jù)指數(shù)式求參】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給的指數(shù)關(guān)系式，利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，化簡求解參數(shù)的值.【例3】（2021秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）已知x7＝5，則x的值為（）A．5 B．75 C．?75 【解題思路】根據(jù)根式性質(zhì)計(jì)算即可．【解答過程】解：由根式的定義知x7＝5，則x=75．故選：【變式3-1】（2021?廣東學(xué)業(yè)考試）已知x?23=A．±18 B．±8 C．344【解題思路】把已知等式變形，可得3x2=14【解答過程】解：由x?23=4，得13x2=4，即3x【變式3-2】（2022秋?諸暨市校級(jí)月考）若4a2?4a+1A．a(chǎn)≥12 B．a(chǎn)≤12 C【解題思路】先對(duì)4a2?4a+1=3(1?2a)3進(jìn)行化簡，然后根據(jù)絕對(duì)值方程|m|＝【解答過程】解：∵4a2?4a+1=3(1?2a)3，∴|2a﹣1|＝1﹣2a則2a﹣1≤【變式3-3】（2021秋?聊城期中）若69a2A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，13] C．[13，+∞） D．（13，【解題思路】根據(jù)nan=a,n為奇數(shù)【解答過程】解：∵69a2?6a+1=∴1﹣3a≥0，∴a≤13．故選：【題型4指數(shù)式的給條件求值問題】【方法點(diǎn)撥】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解決帶有附加條件的求值問題，一般有三種思路：(1)將條件中的式子用待求式表示出來，進(jìn)而代入化簡得出結(jié)論.(2)當(dāng)直接代入不易求解時(shí)，可以從總體上把握已知,式和所求式的特點(diǎn)，從而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其變形進(jìn)行化簡，再用整體代入法來求值.(3)適當(dāng)應(yīng)用換元法，能使公式的使用更清晰，過程更簡潔.【例4】（2021秋?昌吉州期末）已知a+1a=4A．2 B．2 C．?2 D．±【解題思路】推導(dǎo)出（a12?a?12）2【解答過程】解：∵a+1a=4，∴（a12?a?12）2＝∴a12?【變式4-1】（2022?長沙縣校級(jí)開學(xué)）若0＜a＜1，b＞0，且ab﹣a﹣b＝﹣2，則ab+a﹣b的值為（）A．22 B．±22 C．?2【解題思路】根據(jù)題意，由ab﹣a﹣b＝﹣2變形可得（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4，由此求出a2b+a﹣2b的值，又由（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2，變形計(jì)算可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，ab﹣a﹣b＝﹣2，則（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4，則有a2b+a﹣2b＝6，又由（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2＝6+2＝8，則有ab+a﹣b＝±22，又由0＜a＜1，b＞0，ab+a﹣b＞0，則有ab+a﹣b＝22，故選：A．【變式4-2】（2021秋?泉山區(qū)校級(jí)月考）已知10m＝2，10n＝3，則10A．49 B．89 C．23 【解題思路】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答過程】解：∵10m＝2，10n＝3，∴103m?2n2=103m2÷故選：D．【變式4-3】（2021秋?甌海區(qū)校級(jí)月考）已知實(shí)數(shù)a，b滿足(a+a2+1)(b+bA．﹣1 B．1 C．±1 D．0【解題思路】設(shè)m＝a+a2+1，n＝b+b2+1，則mn＝1，化簡1m=a2+1?【解答過程】解：∵實(shí)數(shù)a，b滿足(a+a2+1)(b+b2+1)=1，∴(a+a2+1)與（b則1m=1a+a2+1所以m?1m=(a+a2+1)?（a2+1?a因?yàn)閙n＝1，所以n=1m，m=1n，所以a=所以a+b=m?n2+n?m【題型5指數(shù)冪等式及冪的方程問題】【方法點(diǎn)撥】指數(shù)方程常見的類型有：(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0f(x)=g(x)；(2)SKIPIF1<0=0.其中類型(1)利用同底法解，類型(2)利用換元法解.【例5】（2021秋?興慶區(qū)校級(jí)期末）方程3x?1A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【解題思路】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【解答過程】解：∵方程3x?1=19，∴3x﹣1＝3﹣2，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1，因此方程3x?1=19【變式5-1】（2021?閻良區(qū)校級(jí)自主招生）方程5x﹣1?103x＝8x的解集是（）A．{1，4} B．{14} C．{1，14} D．{4，【解題思路】先把103x轉(zhuǎn)化為53x23x，8x＝23x，然后再化簡求值即可．【解答過程】解：原方程可化為：5x﹣153x23x＝23x，即54x﹣1＝1，解得：x=14．故選：【變式5-2】（2022春?汪清縣校級(jí)月考）方程4x﹣1=1A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【解題思路】由4x﹣1=116=4﹣2，得x﹣1＝﹣2，由此能求出方程4x﹣【解答過程】解：∵4x﹣1=116=4﹣2，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1【變式5-3】（2021秋?青浦區(qū)期末）方程4x﹣10?2x+16＝0的解集是{1，3}．【解題思路】利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解即可．【解答過程】解：由4x﹣10?2x+16＝0得（2x）2﹣10?2x+16＝0，設(shè)t＝2x，則t＞0，則原方程等價(jià)為t2﹣10t+16＝0，即（t﹣2）（t﹣8）＝0，解得t＝2或t＝8．由t＝2x＝2，解得x＝1．由t＝2x＝8，解得x＝3．故方程的解集為{1，3}．故答案為：{1，3}．【題型6指數(shù)冪等式的證明】【方法點(diǎn)撥】指數(shù)冪等式的證明中，設(shè)輔助參數(shù)是對(duì)數(shù)學(xué)問題的“層次性”的深刻認(rèn)識(shí)的體現(xiàn)，是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)基本問題的重要分析方法.【例6】已知a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，求證：（32）mn＝2n【解題思路】由(3a)m(2a)m=2aa=2，得到（32）m【解答過程】證明：∵a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，∴(3a)∴（32）m＝2，∴（32）mn＝[（32）m]n＝2n．∴（32）mn【變式6-1】已知6|m|3k2+2?m22+3k2【解題思路】由6|m|3k2+2?m22+3k【解答過程】證明：∵6|m|3k2+2?m22+3k2兩邊平方可得：4m2（3k2+2﹣m2）＝（2+3k2）2，化為（3k2+2﹣2m2）2＝0，∴3k2+2＝2m2．【變式6-2】已知：a＞0，b＞0，且ab＝ba，求證：（ab）a【解題思路】根據(jù)分式指數(shù)冪的定義和運(yùn)算法則進(jìn)行證明即可．【解答過程】證明：要證明：（ab）ab=即證明（ab）a＝aa﹣b，即aaba=aaab，即證明ba＝ab，成立，∵ab＝【變式6-3】已知ax3＝by3＝cz3，且1x+1y+1z=1，求證：（ax2+【解題思路】設(shè)ax3＝by3＝cz3＝t3，則3a+3b+3c=t（1x+1y+1z）＝t，再推導(dǎo)出（ax2+by2+cz2【解答過程】證明：∵ax3＝by3＝cz3，且1x+∴設(shè)ax3＝by3＝cz3＝t3，∴a=t3x3，b=∵3a+3b+3c=t（1x+1y+1z∴（ax2+by2+cz2）13專題4.1指數(shù)-重難點(diǎn)題型檢測(cè)參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022?南京模擬）把二次根式xyA．xy B．xy C．xyy 【解題思路】利用根式的化簡方法，即可求解．【解答過程】解：xy=xy2．（3分）（2022?稷山縣校級(jí)開學(xué)）3×A．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】直接利用指數(shù)的運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答過程】解：3×333．（3分）（2022秋?涼州區(qū)校級(jí)月考）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣3a）3＝﹣9a3 B．﹣a2?a3＝﹣a6 C．﹣（﹣2a2）3＝8a6 D．3a+2a＝5【解題思路】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答過程】解：A，∵（﹣3a）3＝﹣27a3，∴A錯(cuò)誤，B，∵﹣a2?a3＝﹣a5，∴B錯(cuò)誤，C，∵﹣（﹣2a2）3＝8a6，∴C正確，D，∵3a+2a＝5a，∴D錯(cuò)誤，故選：C．4．（3分）（2022?茂名模擬）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．?x=(?x)12C．6y2=y【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡判斷即可．【解答過程】解：對(duì)于A：?x=?x12，故A不成立；對(duì)于B：x?對(duì)于C：6y2=|y|13，故C不成立；對(duì)于D：[3(?x)2]35．（3分）（2022?仁壽縣校級(jí)開學(xué)）已知x+1x=6A．38 B．36 C．34 D．32【解題思路】利用完全平方式即可得出．【解答過程】解：∵x+1x=6，∴x2+1x2=(x+6．（3分）（2022?民勤縣校級(jí)開學(xué)）若|3x﹣2y﹣1|+x+y?2=0，則x，A．1，4 B．2，0 C．0，2 D．1，1【解題思路】利用絕對(duì)值，根式的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答過程】解：∵|3x﹣2y﹣1|+x+y?2=0，∴3x?2y∴x，y的值分別為1，1，故選：D．7．（3分）（2022?南京模擬）若y?1yA．m2+2 B．m2﹣2 C．m+2 D．【解題思路】將y?【解答過程】解：因?yàn)閙2=(y?18．（3分）（2021秋?鎮(zhèn)江期中）已知a是大于1的實(shí)數(shù)，滿足方程a2+a﹣2＝7，則a1A．1 B．72+72 C．3【解題思路】利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合完全平方公式求解．【解答過程】解：∵（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝9，∴a+a﹣1＝3，∴(a12?a?12)2又∵a＞1，∴a12＞1，∴a12＞a二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021秋?愛民區(qū)校級(jí)期末）下列運(yùn)算結(jié)果中，一定正確的是（）A．a(chǎn)3?a4＝a7 B．（﹣a2）3＝a6 C．8a8=a 【解題思路】根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算．【解答過程】解：A選項(xiàng)a3?a4＝a3+4＝a7，正確；B選項(xiàng)（﹣a2）3＝﹣a6，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)當(dāng)a≥0時(shí)，8a8=a，當(dāng)a＜0時(shí)，8a8=?a故選：AD．10．（4分）（2021秋?滕州市期末）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．6y2=y1C．x?13=?【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求出．【解答過程】解：對(duì)于A：6y2=（﹣y）13，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：x?34=4(1x)3，x＞0，故B正確；對(duì)于C：x?13=13x，x≠0，故C11．（4分）（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知a+a﹣1＝3，則下列選項(xiàng)中正確的有（）A．a(chǎn)2+a﹣2＝7 B．a(chǎn)3+a﹣3＝16 C．a(chǎn)12+a【解題思路】對(duì)a+a﹣1＝3兩邊平方即可求出a2+a﹣2＝7，從而判斷A正確；根據(jù)立方和公式即可判斷B錯(cuò)誤；可求出(a12+a【解答過程】解：∵a+a﹣1＝3，∴（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝9，∴a2+a﹣2＝7，A正確；∴a3+a﹣3＝（a+a﹣1）（a2﹣1+a﹣2）＝18，B錯(cuò)誤；(a12+a?∴a32+a?12．（4分）（2021秋?電白區(qū)期中）以下化簡結(jié)果正確的是（字母均為正數(shù)）（）A．a(chǎn)52?a13C．?15a12b1【解題思路】利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答過程】解：對(duì)于選項(xiàng)A：a52?a13?a136=a52+13+136=a5，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B：(a6?b?9)三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2021秋?濱州期末）(278)2【解題思路】利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可求解．【解答過程】解：原式＝[（32）3]23?14+1=9414．（4分）（2021秋?會(huì)寧縣校級(jí)月考）若(1?a)2+(1+a)2=2，則a的取值范圍為{a【解題思路】化簡二次根式，轉(zhuǎn)化為去絕對(duì)值問題，進(jìn)行分類討論，求出a的取值范圍．【解答過程】解：∵(1?a)2+(1+a)2=|1﹣a|+|1+a|∴當(dāng)﹣1≤a≤1時(shí)，(1?a)2+(1+a)2=2；∴a的取值范圍是{a|故答案為：{a|﹣1≤a≤1}．15．（4分）（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）方程24x+1﹣17×4x+8＝0，x＝?12或3【解題思路】原方程可變成2?（4x）2﹣17×4x+8＝0，然后可解出4x，進(jìn)而得出x的值．【解答過程】解：∵2?（4x）2﹣17×4x+8＝0，∴4x=12或8，解得故答案為：?12或16．（4分）（2022?南崗區(qū)校級(jí)開學(xué)）若a+b＝5，ab＝2，則a4+b4+3a2b2值是445．【解題思路】由有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算求解即可．【解答過程】解：由a+b＝5，ab＝2，則a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣4＝21，則a4+b4+3a2b2＝（a2+b2）2+a2b2＝212+22＝445，故答案為：445．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）已知27x＝67，81y＝603，求證：4y﹣3x＝2．【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可．【解答過程】證明：27x＝67，81y＝603，∴33x＝67，34y＝603，兩式相