人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題5.1 任意角和弧度制-重難點題型精講及檢測（教師版）

第第頁專題5.1任意角和弧度制-重難點題型精講1．任意角(1)角的概念角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)角的表示如圖：

①始邊：射線的起始位置OA；

②終邊：射線的終止位置OB；

③頂點：射線的端點O；

④記法：圖中的角可記為“角SKIPIF1<0”或“SKIPIF1<0”或“AOB”.(3)角的表示在平面內(nèi)，一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)有兩個相反的方向一順時針方向和逆時針方向.習(xí)慣上規(guī)定：這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負角和零角.(4)角的相等設(shè)角SKIPIF1<0由射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)而成，角SKIPIF1<0由射線O'A'繞端點O'旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(5)角的加、減法①角的加法

設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是任意兩個角.我們規(guī)定，把角SKIPIF1<0的終邊旋轉(zhuǎn)角SKIPIF1<0，這時終邊所對應(yīng)的角是SKIPIF1<0+SKIPIF1<0.

②相反角的概念

我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角SKIPIF1<0的相反角記為-SKIPIF1<0.

③角的減法

像實數(shù)減法的“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”一樣，我們有SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(-SKIPIF1<0).這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法.2．象限角與終邊相同的角(1)終邊相同的角若角SKIPIF1<0,SKIPIF1<0終邊相同，則它們的關(guān)系為：將角SKIPIF1<0的終邊旋轉(zhuǎn)(逆時針或順時針)k(k∈Z)周即得角SKIPIF1<0.

一般地，我們有：所有與角SKIPIF1<0終邊相同的角，連同角SKIPIF1<0在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合SKIPIF1<0，即任一與角SKIPIF1<0終邊相同的角，都可以表示成角SKIPIF1<0與整數(shù)個周角的和.(2)象限角、軸線角①象限角、軸線角的概念在平面直角坐標系中，如果角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限，稱這個角為軸線角.

②象限角的集合表示

③軸線角的集合表示

(3)區(qū)間角、區(qū)域角

區(qū)間角、區(qū)域角的定義：介于兩個角之間的角的集合叫做區(qū)間角，如SKIPIF1<0.終邊介于某兩角終邊之間的角的集合叫做區(qū)域角，顯然區(qū)域角包含無數(shù)個區(qū)間角.(4)角的終邊的對稱問題與垂直問題

角的終邊是一條射線，在平面直角坐標系中，當(dāng)兩個角的終邊具有對稱關(guān)系或垂直關(guān)系時，對于的角就有一定的關(guān)系.一般地，我們有如下結(jié)論：3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度為單位來進行度量，1度的角等于周角的SKIPIF1<0.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.(2)弧度制的相關(guān)概念①1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度.(3)弧度數(shù)在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角為SKIPIF1<0rad，那么SKIPIF1<0.其中，SKIPIF1<0的正負由角SKIPIF1<0的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定，即逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針旋轉(zhuǎn)為負.一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.4．角度與弧度的換算(1)弧度與角度的換算公式(2)特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表(3)用弧度表示終邊相同的角用弧度表示與角SKIPIF1<0終邊相同的角的一般形式為SKIPIF1<0，這些角所組成的集合為SKIPIF1<0.5．弧長公式、扇形面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)弧長公式由公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.(2)扇形面積公式SKIPIF1<0.(3)弧長公式及扇形面積公式的兩種表示6．弧度制下角的終邊的對稱與垂直角的終邊是一條射線，在平面直角坐標系中，若兩個角的終邊關(guān)于某條直線（或點）對稱，則這兩個角就有一定的關(guān)系.一般地，我們有如下結(jié)論：【題型1終邊相同的角的表示】【方法點撥】根據(jù)與角SKIPIF1<0終邊相同的角的集合為SKIPIF1<0，進行求解即可．【例1】（2022·山東·高二階段練習(xí)）下列與角2π3的終邊一定相同的角是（

A．5π3B．k·360°+2π3(k∈Z)C．2kπ+2π3【解題思路】根據(jù)終邊相同角的表示，即可得解.【解答過程】與角2π3終邊相同角可以表示為{α|α=2π3+2kπ,k∈對A，由{α|α=2π3+2kπ,k∈Z}找不到整數(shù)k對B，表達有誤，角的表示不能同時在一個表達式中既有角度制又有弧度制，B錯誤，C項正確，對D項，當(dāng)k=0時，角為5π3，當(dāng)k=?1時，角為?π3【變式1-1】（2022·浙江高一期末）下列選項中與角α=?30°終邊相同的角是（A．30° B．240° C．390°【解題思路】寫出與角α=?30°終邊相同的角的集合，取【解答過程】解：與角α=?30°終邊相同的角的集合為取k=1時，β=?30【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）終邊落在直線y=3x上的角α的集合為（A．αα=k?180°+30°,k∈Z C．αα=k?360°+30°,k∈Z D．【解題思路】先確定y=3x的傾斜角為【解答過程】易得y=3x的傾斜角為60°，當(dāng)終邊在第一象限時，α=60°+k?360°當(dāng)終邊在第三象限時，α=240°+k?360°，k∈Z．所以角α的集合為αα=k?180°+60°,k∈故選：B.【變式1-3】（2022·全國·高一課時練習(xí)）如果角α與角x＋45°具有相同的終邊，角β與角x－45°具有相同的終邊，那么α與β之間的關(guān)系是（

）A．α+β=0° B．α?β=90°C．α+β=k?360°k∈Z D．【解題思路】先根據(jù)終邊相同的角分別表達出α,β，再分析α+β，α?β即可.【解答過程】利用終邊相同的角的關(guān)系，得α=n?360°+x+45°n∈Z，β=m?360°+x?45°則α+β=m+n?360°+2xn∈Z,m∈Z又α?β=n?m360°+90°n∈Z,m∈Z．因為m，n是整數(shù)，所以n－m所以α?β=k?360°+90°k∈Z【題型2象限角的判定】【方法點撥】判斷角SKIPIF1<0是第幾象限角的常用方法為將SKIPIF1<0寫成SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范圍內(nèi)）的形式，觀察角SKIPIF1<0的終邊所在的象限即可.【例2】（2021·福建省高三開學(xué)考試）已知點α=130°，則角α的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據(jù)象限角概念求解即可.【解答過程】因為90°<130°<180【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）平面直角坐標系中，取角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的非負半軸，下列說法正確的是（

）A．第一象限角一定不是負角B．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．鈍角的終邊在第二象限【解題思路】根據(jù)象限角與角的定義逐個選項辨析即可.【解答過程】－330°角是第一象限角，且是負角，故A錯誤；三角形的內(nèi)角可能為90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B錯誤；α＝390°為第一象限角，β＝120°為第二象限角，此時α＞β，故C錯誤；鈍角是大于90°且小于180°的角，它的終邊在第二象限，故D正確．故選：D．【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．第二象限角大于第一象限角B．若k?360°<α<k?360°+180°k∈Z，則αC．鈍角一定是第二象限角D．三角形的內(nèi)角是第一或第二象限角【解題思路】利用任意角的知識，對選項分別判斷即可.【解答過程】對A選項，如?210°<30°，故A錯誤.對B選項，α為第一或第二象限角或終邊落在y軸正半軸上的角．故B錯誤.對C選項，因為鈍角大于90°且小于180°，所以鈍角一定是第二象限角，故C正確.對D選型，當(dāng)三角形的一個內(nèi)角為90°時，不是象限角，故D錯誤.故選:C.【變式2-3】（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)α是第三象限角，且sinα2=?sinαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由α是第三象限角，求出α2所在的象限，再由sin【解答過程】因為α是第三象限角，所以π+2kπ<α<3π2+2kπ，k∈Z，所以π2+kπ【題型3角度與弧度的換算】【方法點撥】根據(jù)角度與弧度的換算公式進行換算，再進行求解即可.【例3】（2022·安徽省高一開學(xué)考試）315°角的弧度數(shù)為（

）A．3π4 B．7π4 C．?π【解題思路】利用公式可求315°角的弧度數(shù).【解答過程】315°角對應(yīng)的弧度數(shù)為315180【變式3-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列結(jié)論錯誤的是（

）A．－150°化成弧度是?7π6rad C．67°30'化成弧度是3π8rad【解題思路】利用弧度和度的互化公式對選項進行逐一驗證即可得出答案.【解答過程】對于A，?150°=?150×π180=?B正確；對于C，67°30'=67.5×【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）210°化成弧度是（

）A．5π6 B．7π6 C．5π12【解題思路】直接根據(jù)角度制與弧度制的互化即可得解.【解答過程】解：210°=210×π【變式3-3】（2021·四川成都·高一期末）75°用弧度制表示為（

）A．π75 B．π3 C．5π12【解題思路】直接利用角度與弧度間的互化公式求解即可【解答過程】75°=75×π【題型4角的終邊的對稱問題與垂直問題】【方法點撥】根據(jù)角SKIPIF1<0終邊的位置關(guān)系，進行求解即可.【例4】（2022·全國·高一課時練習(xí)）若α=k?360°+θ，β=m?360°?θk,m∈Z，則角α與角β的終邊一定（

A．重合 B．關(guān)于原點對稱C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于y軸對稱【解題思路】根據(jù)角θ與角?θ的終邊關(guān)于x軸對稱即可得解.【解答過程】解：因為角θ與角?θ的終邊關(guān)于x軸對稱，所以角α與角β的終邊一定也關(guān)于x軸對稱．故選：C.【變式4-1】（2020·河南洛陽·高一期中）若α=2kπ+θ,β=2k+1π?θ,其中k∈Z,則角αA．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于y軸對稱 D．關(guān)于y=x對稱【解題思路】根據(jù)角度的終邊周期性分析即可.【解答過程】根據(jù)角度的性質(zhì)有α=2kπ+θ與θ的終邊相同,β=2k+1π?θ與π?θ的終邊相同,且θ的終邊與π?θ的終邊關(guān)于y軸對稱,故角α【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關(guān)系式為（）A．β＝α+90° B．β＝α±90°C．β＝α+90°+k?360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k?360°（k∈Z）【解題思路】根據(jù)終邊關(guān)系直接可得.【解答過程】∵α與β的終邊互相垂直，∴β＝α±90°+k?360°（k∈Z）．故選：D．【變式4-3】（2022·全國·高一課時練習(xí)）若2π<α<4π，且角α的終邊與角?7π6的終邊垂直，則α=A．7π3 B．10π3 C．4π3【解題思路】先得到角?7π6的終邊相同的角的集合為B=β|β=56π+2kπ,k∈Z,因為角α的終邊與角?7π6的終邊垂直,所以角α的終邊相同的角的集合為【解答過程】由題,設(shè)角?7π6的終邊相同的角的集合為因為角α的終邊與角?7π6的終邊垂直,則α=β+所以角α的終邊相同的角的集合為A=α|α=43因為2π<α<4π,所以當(dāng)k=1時,α=10π3或【題型5弧長公式與扇形面積公式的應(yīng)用】【方法點撥】結(jié)合具體條件，利用弧長公式與扇形面積公式進行轉(zhuǎn)化求解即可.【例5】（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）一個扇形的弧長與面積的數(shù)值都是3，則該扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A．12 B．23 C．3【解題思路】由扇形的弧長公式和面積公式列方程組求解．【解答過程】設(shè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑為r，則αr=3,12αr【變式5-1】（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB的面積為8，且圓心角弧度數(shù)為2，則扇形AOB的周長為（

）A．32 B．24 C．62 D．【解題思路】根據(jù)扇形面積和弧長公式即可求解.【解答過程】圓心角α=2，扇形面積S=12αr2故扇形AOB的周長L=【變式5-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán)．已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為60cm，內(nèi)弧線的長為20cm，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段均為16cm，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為（

）．A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6【解題思路】根據(jù)弧長之比得到半徑之比，從而求出小扇形的半徑，再根據(jù)弧長公式計算可得.【解答過程】解：如圖，依題意可得弧AB的長為60cm，弧CD的長為20則OAOC=6020=3，即OA=3OC．因為AC=16故選：B.【變式5-3】（2022·廣東·高二期中）如圖是一個近似扇形的湖面，其中OA=OB=r，弧AB的長為l(l<r).為了方便觀光，欲在A,B兩點之間修建一條筆直的走廊AB.若當(dāng)0<x<12時，sinx≈x?x36，扇形OAB的面積記為A．2l?r212l3B．【解題思路】由題可得AB=2rsinl2r【解答過程】設(shè)扇形OAB的圓心角為α，則α=lr，在△OAB中，又S=12lr，∴ABS=2r【題型6與弧度有關(guān)的實際應(yīng)用問題】【方法點撥】先讀懂題意，明確題干的敘述，然后將所求問題轉(zhuǎn)化為弧度的問題，如角度的表示、弧度制下的弧長及扇形面積等，最后回歸到實際問題，得到答案.【例6】（2022·湖南·高一課時練習(xí)）時鐘的分針長6cm，從10:30到10:55，求：(1)分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)；(2)分針掃過的扇形的面積；(3)分針尖端所走過的弧長．【解題思路】（1）根據(jù)每5鐘分針轉(zhuǎn)30°（2）根據(jù)扇形的面積公式進行求解即可；（3）根據(jù)弧長公式進行求解即可.【解答過程】(1)因為從10:30到10:55，所以一共走了25分鐘，而每5鐘分針轉(zhuǎn)30°所以分針轉(zhuǎn)過的角為(25÷5)×30°=又因為分針轉(zhuǎn)過的角度為負數(shù)，所以分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為?5π(2)因為分針長6cm，所以分針尖端所走過的弧長為：5π6因此分針掃過的扇形的面積為：12(3)因為分針長6cm，所以分針尖端所走過的弧長為：?5π【變式6-1】（2022·湖南·高一課時練習(xí)）半徑為12cm的輪子，以400r/min的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)．(1)輪沿上的點A每秒轉(zhuǎn)過的度數(shù)是多少？相應(yīng)的弧度數(shù)呢？(2)求輪沿上的點B在輪子轉(zhuǎn)動1000°時所經(jīng)過的路程．【解題思路】（1）由每分鐘的轉(zhuǎn)速求每秒轉(zhuǎn)過的弧數(shù)，再換算成度數(shù)即可.（2）先求出1000°對應(yīng)的弧度，利用弧長公式求所經(jīng)過的路程.【解答過程】(1)由題設(shè)，A每秒轉(zhuǎn)過的弧數(shù)40060×2π=40π(2)由1000°×π180°=50π9【變式6-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知相互咬合的兩個齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當(dāng)大輪順時針轉(zhuǎn)動一周時，小輪轉(zhuǎn)動的角是多少度？多少弧度？如果大輪的轉(zhuǎn)速是150r/min，小輪的半徑為10cm，那么小輪圓周上的點每秒轉(zhuǎn)過的弧長是多少？【解題思路】通過相互咬合的兩個齒輪轉(zhuǎn)動的齒數(shù)相同，得到小輪轉(zhuǎn)動的角度，再通過大輪的轉(zhuǎn)速，得到小輪的轉(zhuǎn)速.【解答過程】由題意得，相互咬合的兩個齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，所以當(dāng)大輪旋轉(zhuǎn)一周時，大輪轉(zhuǎn)了48個齒，小輪轉(zhuǎn)了20齒，所以小輪轉(zhuǎn)動了4820=125周，即所以當(dāng)大輪的轉(zhuǎn)速為150r/min時，小輪的轉(zhuǎn)速為125所以小輪圓周上的點每秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為360×2π÷60=12π，因為小輪的半徑為10cm，所以小輪圓周上的點每秒轉(zhuǎn)過的弧長為12π×10=120πcm.【變式6-3】（2022·全國·高一課時練習(xí)）單位圓上有兩個動點M、N，同時從P1,0點出發(fā)，沿圓周運動，點M按逆時針方向每秒鐘走π6rad，點N【解題思路】設(shè)兩個動點從P1,0出發(fā)，ts后M、N第三次相遇，根據(jù)題中條件可得出關(guān)于t的等式，求出【解答過程】設(shè)兩個動點從P1,0出發(fā)，ts后M、N第三次相遇，則π6此時點M走了π6×12=2πrad，點N走了π專題5.1任意角和弧度制-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）將分針撥慢5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角是（

）A．60° B．?60° C．30° D．?30°【解題思路】根據(jù)任意角的概念計算可得.【解答過程】解：將分針撥慢是逆時針旋轉(zhuǎn)，所以分針撥慢5分鐘，轉(zhuǎn)過的角為5602．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）將?885°化為α+k?360A．?165°+C．195°+?2【解題思路】直接由終邊相同的角的概念求解即可.【解答過程】由α∈0°,3．（3分）（2021·全國·高一單元測試）在直角坐標系中，若角α與角β的終邊關(guān)于x軸對稱，則α與β的關(guān)系是（

）.A．α=?βB．α+β=360°?kk∈ZC．【解題思路】本題可通過角α與角β的終邊關(guān)于x軸對稱得出角β=2kπ?α，然后通過計算并與題目中的四個選項對比即可得出結(jié)果.【解答過程】因為角?α與角α的終邊關(guān)于x軸對稱，所以角β與角?α的終邊相同，即β=2kπ?αk∈Z所以α+β=α+2kπ?α=2kπk∈Z4．（3分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知α∈α45°+k?360°≤α≤90°+k?360°，則角α的終邊落在的陰影部分是（A．B．C．D．【解題思路】令k=0即可判斷出正確選項.【解答過程】令k=0，得45°≤α≤90°，則B選項中的陰影部分區(qū)域符合題意.故選：B．5．（3分）（2022·江西省高一階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．第二象限的角是鈍角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．?150°是第二象限的角 D．?252°16【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合象限角的定義與終邊相同的角的定義即可求解【解答過程】對于A：當(dāng)角為510°是，該角為第二象限角，但不是鈍角，故A錯誤；對于B：分別取第一象限的角為730°，第二象限角510°，此時第一象限的角大于第二象限的角，故B錯誤；對于C：?150°是第三象限的角，故C錯誤；對于D：因為467°44所以?252°166．（3分）（2022·遼寧高二開學(xué)考試）下面關(guān)于弧度的說法，錯誤的是（

）A．弧長與半徑的比值是圓心角的弧度數(shù)B．一個角的角度數(shù)為n，弧度數(shù)為α，則n180C．長度等于半徑的3倍的弦所對的圓心角的弧度數(shù)為2πD．航海羅盤半徑為10cm，將圓周32等分，每一份的弧長為5π【解題思路】根據(jù)弧度制與角度制的定義，以及轉(zhuǎn)化關(guān)系，即可判斷選項.【解答過程】A.根據(jù)弧度數(shù)定義可知A正確；B.根據(jù)弧度與角度的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可知B正確；C.根據(jù)三角形關(guān)系可知，長度等于半徑的3倍的弦所對的圓心角為120°，即弧度數(shù)為2πD.圓周長為2πr=20πcm，32等分后，每一份弧長為5π7．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）磚雕是我國古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形OCD截去同心扇形OAB所得圖形，已知OA=0.2m,AD=0.3m,∠AOB=100°，則該扇環(huán)形磚雕的面積為（A．π6 B．π12 C．π12【解題思路】根據(jù)扇形的面積公式公式即可求解.【解答過程】由100°S扇環(huán)8．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”圖案，畫法如下：在水平直線l上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧，交線段CB的延長線于點D，再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧，交線段AC的延長線于點E，以此類推，則如圖所示的“螺旋蚊香”圖案的總長度為（

）A．56π3 B．14π C．24π 【解題思路】根據(jù)弧長公式l=α×r可求得AD，同理可求得其他弧的長度.【解答過程】扇形ABD的半徑為1，圓心角為2π3，所以AD的長l同理可得之后的各段弧長分別為l2=2π3×2，l3=所以“螺旋蚊香”圖案的總長度l=2π3×(1+2+3+4+5+6)=二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】設(shè)出扇形所在圓的半徑及其弧長，再由條件列出方程求解即可作答.【解答過程】設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則2r+l=6,12lr=2,解得r=1,又圓心角α=lr，所以α=4或10．（4分）（2022·山東·高二階段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．終邊落在x軸的非負半軸的角的集合為αB．終邊落在y軸上的角的集合為α∣α=90°+kπ,k∈ZC．第三象限角的集合為α∣π+2kπ≤α≤D．在?720°~0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的角為?675°和?315°【解題思路】根據(jù)任意角的定義判斷即可.【解答過程】終邊落在x軸的非負半軸的角的集合為α∣α=2kπ,k∈Z故A正確.終邊落在y軸上的角的集合為α∣α=90°+kπ,k∈Z屬于角度制和弧度制的混用，故B錯誤.第三象限角的集合為α∣π+2kπ<α<3π?720°~0°范圍內(nèi)所有與45°角可以表示為αα=45°+36011．（4分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）下列結(jié)論中不正確的是（

）A．終邊經(jīng)過點(a,?a)(a≠0)的角的集合是{α|α=?B．將表的分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是πC．若α是第一象限角，則α2是第一象限角，2αD．M={x|x=45°+k?90°,k∈Z}，N={y|y=90°+k?45°,k∈Z}，則M?N【解題思路】根據(jù)角的終邊位置判斷A，根據(jù)角的定義判斷B，利用特殊值判斷C，根據(jù)集合間的包含關(guān)系判斷D．【解答過程】對于選項A：終邊經(jīng)過點a,?aa≠0的角在第二和第四象限的角平分線上，故角的集合是α對于選項B：將表的分針撥快10分鐘，按順時針方向旋轉(zhuǎn)圓周角的六分之一，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是?π3，錯誤；對于選項C：若α=400對于選項D：M=xx=45°+k?90°,k∈Z={x|x=2k+1×45°，k∈Z}而k+2×45°，k∈Z12．（4分）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，A，B是單位圓上的兩個質(zhì)點，點B的坐標為(1，0)，∠BOA＝60°，質(zhì)點A以1rad/s的角速度按逆時針方向在單位圓上運動，質(zhì)點B以2rad/s的角速度按順時針方向在單位圓上運動，則（

）A．經(jīng)過1s后，∠BOA的弧度數(shù)為π3＋3B．經(jīng)過π12s后，扇形AOBC．經(jīng)過π6s后，扇形AOB的面積為π3D．經(jīng)過5π9s后，A【解題思路】結(jié)合條件根據(jù)扇形面積，弧長公式逐項分析即得.【解答過程】經(jīng)過1s后，質(zhì)點A運動1rad，質(zhì)點B運動2rad，此時∠BOA的弧度數(shù)為π3經(jīng)過π12s后，∠AOB=π12+π3經(jīng)過π6s后，∠AOB=π6+π設(shè)經(jīng)過ts后，A，B在單位圓上第一次相遇，則t(1+2)+π3=2π故選：ABD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·上海·高一階段練習(xí)）已知角α與角β的終邊關(guān)于直線y=x對稱，則α與β的關(guān)系為β=π2【解題思路】先在0～2π得出α與β的關(guān)系，然后由終邊相同的角的關(guān)系得出答案.【解答過程】若α與β均在0～2π內(nèi)時，如圖1：則β?α=2π4?α=如圖2：則β?α=25π4?α=由終邊相同的角的關(guān)系可得：β=π2?α+2kπ,k∈Z.所以α與β故答案為：β=π14．（4分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）若α是第二象限角，則180°－α是第一象限角．【解題思路】利用象限角的定義進行求解.【解答過程】若α是第二象限角，則k?360°+90°<α<k?360°+180°所以180°－α是第一象限角．故答案為：一.15．（4分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)（含邊界）的角θ的集合是[2kπ?π6【解題思路】確定以邊界為終邊的角，即可得角θ的集合.【解答過程】由題圖，終邊OB對應(yīng)角為2kπ?π6且k∈Z，終邊OA對應(yīng)角為2kπ+所以陰影部分角θ的集合是[2kπ?π6,2kπ+16．（4分）（2022·浙江·高一期中）魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形，指分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.它的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，機械加工業(yè)上利用這個性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來.如圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧AB的長度為2π，則該魯洛克斯三角形的面積為18π【解題思路】由弧長公式可求得等邊△ABC的邊長，再根據(jù)該魯洛克斯三角形的面積等于三個扇形的面積減去2個△ABC的面積，結(jié)合扇形和三角形的面積公式即可得解.【解答過程】解：由題意可知∠ABC=∠ACB=∠BAC=π3，設(shè)則弧AB的長度為π3r=2π，所以r=6，設(shè)弧ABS△ABC3S?2S△ABC=3×四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·河南南陽·高一期中）時間經(jīng)過2小時20分鐘，時針、分針各轉(zhuǎn)了多少度？各等于多少弧度？【解題思路】根據(jù)時鐘的轉(zhuǎn)動規(guī)律，先求出每分鐘時針和分針轉(zhuǎn)動的角度，進而求出經(jīng)過2小時20分鐘，時針、分針轉(zhuǎn)動的角度即可，結(jié)合角度制和弧度制的換算即可.【解答過程】每經(jīng)過1分鐘，時針轉(zhuǎn)了?360°12×60=?0.5°時間經(jīng)過2小時20分鐘，則時針轉(zhuǎn)了?0.5°×140=?70°，等于?70°×π則分針轉(zhuǎn)了?6°×140=?840°，等于?840°×π18．（6分）（2022·上?！じ咭徽n時練習(xí)）寫出下列角α與β的關(guān)系.（1）角α與β的終邊互相垂直；（2）角α與β的終邊互為反向延長線；（3）角α與β的終邊關(guān)于y軸對稱【解題思路】（1）由題意結(jié)合任意角、終邊相同的角的概念可得α?β=90°+k?（2）由題意結(jié)合任意角、終邊相同的角的概念可得α?β=180°+k?（3）由題意結(jié)合任意角、終邊相同的角的概念可得α+β2=90【解答過程】（1）若角α與β的終邊互相垂直，則α?β=90°+k?所以β=α+k?360（2）若角α與β的終邊互為反向延長線，則α?β=180°+k?所以β=α+180（3）若