人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用 重難點(diǎn)題型精講及檢測（教師版）

第第頁專題5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）1．函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0中各量的物理意義在物理中，描述簡諧運(yùn)動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0中的常數(shù)有關(guān).2．三角函數(shù)的簡單應(yīng)用(1)三角函數(shù)應(yīng)用的步驟(2)三角函數(shù)的常見應(yīng)用類型

①三角函數(shù)在物體簡諧運(yùn)動問題中的應(yīng)用.

物體的簡諧運(yùn)動是一種常見的運(yùn)動，它的特點(diǎn)是周而復(fù)始，因此可以用三角函數(shù)來模擬這種運(yùn)動狀態(tài).

②三角函數(shù)在幾何、實(shí)際生活中的圓周運(yùn)動問題中的應(yīng)用.

物體的旋轉(zhuǎn)顯然具有周期性，因此也可以用三角函數(shù)來模擬這種運(yùn)動狀態(tài).

③三角函數(shù)在生活中的周期性變化問題中的應(yīng)用.

大海中的潮汐現(xiàn)象、日常生活中的氣溫變化、季節(jié)更替等都具有周期性，因此常用三角函數(shù)模型來解決這些問題.【題型1三角函數(shù)在物體簡諧運(yùn)動問題中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】物體的簡諧運(yùn)動是一種常見的運(yùn)動，它的特點(diǎn)是周而復(fù)始，因此可以用三角函數(shù)來模擬這種運(yùn)動狀態(tài).【例1】（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））如圖所示是某彈簧振子做簡諧運(yùn)動的部分圖象，則下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．該彈簧振子的振幅為2cmB．該彈簧振子的振動周期為1.6sC．該彈簧振子在0.2s和1.0s時(shí)振動速度最大D．該彈簧振子在0.6s和1.4s時(shí)的位移為零【解題思路】由簡諧運(yùn)動圖象可得出該彈簧振子的振幅、最小正周期，可判斷AB選項(xiàng)的正誤，再根據(jù)簡諧振動的幾何意義可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【解答過程】由圖象及簡諧運(yùn)動的有關(guān)知識知，該彈簧振子的振幅為2cm，振動周期為2×1?0.2當(dāng)t=0.2s或1.0s時(shí)，振動速度為零，該彈簧振子在0.6s和1.4s時(shí)的位移為零.所以，ABD選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【變式1-1】（2021·全國·高一專題練習(xí)）在圖中，點(diǎn)O為做簡諧運(yùn)動的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)動到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開始計(jì)時(shí)．則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）和時(shí)間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．x=32sinC．x=32sin【解題思路】設(shè)x=ft=Asinωt+φω>0，根據(jù)振幅確定A，根據(jù)周期確定ω【解答過程】設(shè)位移x關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為x=ft根據(jù)題中條件，可得A=3，周期T=2πω=3由題意可知當(dāng)x=0時(shí)，ft取得最大值3，故3sinφ=3所以x=3sin【變式1-2】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）如圖為一簡諧運(yùn)動的圖象，則下列判斷正確的是A．該質(zhì)點(diǎn)的振動周期為0.7B．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為?5C．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5D．該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s【解題思路】由簡諧運(yùn)動得出周期和振幅，質(zhì)點(diǎn)位移為零時(shí)，速度最大，加速度最?。晃灰谱畲髸r(shí)，速度最小，加速度最大.振動圖象上某點(diǎn)的切線斜率的正負(fù)代表速度的方向，根據(jù)以上知識可判斷出各選項(xiàng)命題的正誤.【解答過程】對于A、B選項(xiàng)，由圖可得知振幅為5cm，周期為2×0.7?0.3對于C選項(xiàng)，質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位移為最大值，可知速度為零，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，質(zhì)點(diǎn)在0.3s和0.7s時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位移為0，則質(zhì)點(diǎn)受到的回復(fù)力為0，所以加速度為0，D選項(xiàng)正確.故選D.【變式1-3】（2022·寧夏·高三階段練習(xí)（理））我們來看一個(gè)簡諧運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)：將塑料瓶底部扎一個(gè)小孔做成一個(gè)漏斗，再掛在架子上，就做成一個(gè)簡易單擺．在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸，把漏斗灌上細(xì)沙拉離平衡位置，放手使它擺動，同時(shí)勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運(yùn)動的圖象．它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標(biāo)）隨時(shí)間t（橫坐標(biāo)）變化的情況．如圖所示．已知一根長為Lcm的線一端固定，另一端懸掛一個(gè)漏斗，漏斗擺動時(shí)離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是s=2cosgLt，其中g(shù)≈980cm/s2A．3.6 B．3.8 C．4.0 D．4.5【解題思路】由圖象觀察得出函數(shù)s=2cosglt的最小正周期為【解答過程】解：由題意，函數(shù)關(guān)系式為s=2cosglt，由圖象可知，函數(shù)T=2πg(shù)l【題型2三角函數(shù)在圓周運(yùn)動問題中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】這類題一般明確地指出了周期現(xiàn)象滿足的變化規(guī)律，例如，周期現(xiàn)象可用形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的函數(shù)來刻畫，只需根據(jù)已知條件確定參數(shù)，求解函數(shù)解析式，再將題目涉及的具體的數(shù)值代入計(jì)算即可.【例2】（2022·浙江溫州·高二期中）一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0）開始計(jì)時(shí)，則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與tA．?=2sinπ30C．?=2sinπ30【解題思路】依據(jù)題給條件去求一個(gè)函數(shù)解析式即可解決.【解答過程】設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個(gè)函數(shù)解析式為?=Asin由A+B=3?A+B=?1，可得A=2B=1，由T=2由t=0時(shí)h=0，可得2sinφ+1=0，則sinφ=?12則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個(gè)函數(shù)解析式為?=2sin【變式2-1】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動.如圖，將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形（圓），筒車半徑為4m，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為2m，筒車每分鐘沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動4圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)（即P0時(shí)的位置）時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，且以水輪的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)盛水筒M從點(diǎn)P0運(yùn)動到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間為t（單位：s），且此時(shí)點(diǎn)P距離水面的高度為h（單位：m），則點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間為（

）s.A．2 B．3 C．5 D．10【解題思路】設(shè)點(diǎn)P離水面的高度為?(t)=Asin(ωt+φ)+2，根據(jù)題意求出A,ω,φ，再令【解答過程】設(shè)點(diǎn)P離水面的高度為?(t)=Asin(ωt+φ)+2，依題意可得A=4，ω=8π所以?(t)=4sin(2π15t?π6)+2，令?(t)=4sin(2π15t?π6)=6，得故選：C.【變式2-2】（2022·北京·高一期末）石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑88米，總高約100米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時(shí)間為18分鐘，配有42個(gè)球形全透視360度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學(xué)通過即時(shí)交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時(shí)間相差6分鐘.這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．78米 B．112米 C．156米 D．188米【解題思路】角速度為2πft=44sin【解答過程】因?yàn)榻撬俣葹?π所以游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，游玩中到地面的距離為ft由題意可得甲乙在摩天輪上游玩的過程中他們所在的高度之和g=112+44=112+44sin因?yàn)?≤t≤18，所以π6≤π9t+所以90≤112+44sinπ9t+π故選：C.【變式2-3】（2022·上海市高三期中）如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要30min.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，則在轉(zhuǎn)動一周的過程中，高度H關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式是（

）A．H=55B．H=55C．H=?55D．H=?55【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)Ht【解答過程】解：根據(jù)題意設(shè)，Ht因?yàn)槟衬μ燧喿罡唿c(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m所以，該摩天輪最低點(diǎn)距離地面高度為10m，所以A+B=120?A+B=10，解得A=55,B=65因?yàn)殚_啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要30min，所以，T=2πω=30因?yàn)閠=0時(shí)，H0=10，故10=55sinφ+65，即所以，Ht【題型3三角函數(shù)在生活中的周期性變化問題中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】大海中的潮汐現(xiàn)象、日常生活中的氣溫變化、季節(jié)更替等都具有周期性，因此常用三角函數(shù)模型來解決這些問題.【例3】（2021·全國·高一專題練習(xí)）如圖是某市夏季某一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asinωx+φ+BA．25°C B．26°C C．27°C【解題思路】由函數(shù)圖像分析：由圖像的最高點(diǎn)和=最低點(diǎn)求A,B，由周期求ω，根據(jù)特殊點(diǎn)求φ,得到函數(shù)解析式，把x=12帶入即可求出中午12時(shí)天氣的溫度.【解答過程】對于函數(shù)y=Asinωx+φ+B，由圖像可知：?A+B=10從x=6到x=14為函數(shù)的半個(gè)周期，即T2=8，所以T=16，即2πω所以y=10sinπ8所以10sin(π8×14+φ)+20=30當(dāng)x=12時(shí)，y=10sin【變式3-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）夏季來臨，人們注意避暑．如圖是某市夏季某一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asinωx+φ+B，則該市這一天中午12A．25°C B．26°C C．【解題思路】根據(jù)函數(shù)的圖象求出y=10sin(π【解答過程】解：由題意以及函數(shù)的圖象可知，A+B=30，?A+B=10，所以A=10，B=20.∵T2=14?6，∴T=16.∵T=2πω，∴ω=∵圖象經(jīng)過點(diǎn)(14,30)，∴30=10sin(π8∴φ可以取34π，∴當(dāng)x=12時(shí)，y=10sin【變式3-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）某市一年12個(gè)月的月平均氣溫y與月份x的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=a+Acosπ6x?6（x=1,2,3,???,12）來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高，為28°A．25.5°C B．22.5°C C．【解題思路】根據(jù)已知條件列方程可求得a和A的值，可得函數(shù)解析式，將x=8代入即可求解.【解答過程】由題意可得：f6=a+Acosπ6所以fxf8【變式3-3】（2021·全國·高一專題練習(xí)）月均溫全稱月平均氣溫，氣象學(xué)術(shù)語，指一月所有日氣溫的平均氣溫．某城市一年中12個(gè)月的月均溫y（單位：°C）與月份x（單位：月）的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=Asinπ6x?3+a（x=1,2,3,?,12）來表示，已知6月份的月均溫為29°C，A．20°C B．20.5°C C．【解題思路】由題意得出關(guān)于A、a的方程組，可得出函數(shù)解析式，在函數(shù)解析式中令x=10可得結(jié)果.【解答過程】由題意可得Asinπ2所以，函數(shù)解析式為y=6sin在函數(shù)解析式中，令x=10，可得y=6sin因此，10月份的月均溫為20°【題型4用擬合法建立三角函數(shù)模型】【方法點(diǎn)撥】數(shù)據(jù)擬合問題的實(shí)質(zhì)是根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)畫出簡圖，求相關(guān)函數(shù)的解析式進(jìn)而研究實(shí)際問題.在求解與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)擬合問題時(shí)，需弄清楚SKIPIF1<0的具體舍義，只有掌握了這三個(gè)參數(shù)的含義，才可以實(shí)現(xiàn)符號語言(解析式)與圖形語言(函數(shù)圖象)之間的相互轉(zhuǎn)化.【例4】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某港口的水深y(單位：m)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：t03691215182124y10139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4.5m(1)若有以下幾個(gè)函數(shù)模型：y=at+b，y=Asinωt+?(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長時(shí)間？【解題思路】(1)通過題目數(shù)據(jù)擬合函數(shù)圖像，可判斷函數(shù)模型y=Asinωt+?(2)根據(jù)題意已知可求出水深y范圍，解三角函數(shù)不等式可得答案，船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長，就應(yīng)從凌晨1時(shí)進(jìn)港，而下午的17時(shí)離港.【解答過程】（1）y=Asinωt+?+K函數(shù)模型更好地刻畫根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y=Asin從擬合曲線可知，函數(shù)y=Asinωt+?∴函數(shù)的最小正周期為12，因此2πω又∵當(dāng)t=0時(shí)，y=10；當(dāng)t=3時(shí)ymax=13，∴所求函數(shù)的表達(dá)式為y=3（2）由于船的吃水深度為7m，船底與海底的距離不少于4.5m，故在船舶航行時(shí)，水深y應(yīng)大于或等于7+4.5=11.5(m).令y=3sinπ6∴12k+1?t?12k+5(k∈Z)取k=0，則1≤t≤5；取k=1，則13≤t≤17；取k=2時(shí)，25≤t≤29（不符合題意，舍去).∴當(dāng)1≤t≤5與13≤t≤17時(shí)，船能夠安全進(jìn)港，船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長，就應(yīng)從凌晨1時(shí)進(jìn)港，而下午的17時(shí)離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最長為16h.【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行潮水漲落與時(shí)間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建?；顒?，通過實(shí)地考察某港口水深y（米）與時(shí)間0≤t≤24（單位：小時(shí)）的關(guān)系，經(jīng)過多次測量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時(shí)）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識儲備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運(yùn)用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識，給該船舶公司提供安全進(jìn)此港時(shí)間段的建議．【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)據(jù),畫出散點(diǎn)圖、連線，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【解答過程】（1）畫出散點(diǎn)圖，連線如下圖所示：設(shè)y=Asinωt+b，根據(jù)最大值13，最小值7，可列方程為：再由T=2πω=12，得ω=（2）3sinπ6t+10?8≥3.5?sinπ6∴π6≤π6t≤5π6，或所以請?jiān)?：00至5：00和13：00至17：00進(jìn)港是安全的．【變式4-2】（2021·全國·高一專題練習(xí)）某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y（米）隨著時(shí)間t（0≤t≤24，單位：小時(shí)）而周期性變化．每天各時(shí)刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：t（時(shí)）03691215182124y（米）1.01.41.00.61.01.40.90.41.0(1)試在圖中描出所給點(diǎn)；(2)觀察圖，從y=at+b，y=Asinωt+φ+b(3)如果確定在一天內(nèi)的7時(shí)至19時(shí)之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間．【解題思路】（1）利用表格數(shù)據(jù)直接描點(diǎn)即可；（2）根據(jù)散點(diǎn)圖可確定應(yīng)選擇y=Asin（3）令y=25sin【解答過程】(1)散點(diǎn)圖如下，(2)由散點(diǎn)圖可知：應(yīng)選擇y=Asinωt+φ+b，則A=1.4?0.62=2將0,1代入可得：1=25sinφ+1，解得：φ=0，(3)令y=25sinπ6t+1≥0.8∴0≤π6t≤7π6解得：0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24，∴應(yīng)在白天11點(diǎn)到19點(diǎn)之間訓(xùn)練.【變式4-3】（2022·福建·高三期中）平潭國際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測點(diǎn)觀測到該處水深y（米）是隨著一天的時(shí)間t（0≤t≤24，單位小時(shí)）呈周期性變化，某天各時(shí)刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：t（時(shí)）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）．觀察散點(diǎn)圖，從①y=Asin(ωt+φ)，②y=Acos(ωt+φ)+b，③(2)為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的5～18時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．【解題思路】（1）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，選②y=Acos求出該擬合模型的函數(shù)解析式即可．（2）由y=0.9sin(π6t)+1.5，令y結(jié)合散點(diǎn)圖可知，圖形進(jìn)行了上下平移和左右平移，故選②y=Acos∴A=2.4?0.62=0.9，b=2.4+0.62=1.5又∵函數(shù)y＝0.9cos（π6t+φ）+1.5的圖象過點(diǎn)3,2.4，∴∴cosπ2+φ=1，∴sinφ=?1，又∵?π<φ<0∴y=0.9（2）由（1）知：y=0.9sin(π6t)+1.5令y∴2kπ?π6≤π6t≤2kπ+7π6(k∈Z)，∴12k?1≤t≤12k+7，又∵∴這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．專題5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）簡諧運(yùn)動y=4sin5x?πA．5x?π3，π3 B．5x?3C．5x?3，?π3 D．4【解題思路】根據(jù)相位與初相的概念，直接求解即可.【解答過程】相位是5x?π3；當(dāng)x=0時(shí)的相位為初相，即2．（3分）（2022·安徽·高三階段練習(xí)）我們平時(shí)聽到的樂音不只是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為f的基音的同時(shí)，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如2f，3f，4f等.這些音叫諧音，因?yàn)槠湔穹^小，一般不易單獨(dú)聽出來，所以我們聽到的聲音的函數(shù)為y=sinx+12sinA．π B．2π C．23π 【解題思路】函數(shù)的周期主要由f(x+T)=f(x)驗(yàn)證【解答過程】由y=f(x)=對A：f(x+π)=sin(x+π)+對B：f(x+2π)==sin對C：f(x+23對D：f(x+π2故選：B.3．（3分）（2022·湖北·高一階段練習(xí)）一個(gè)半徑為5米的水輪示意圖，水輪的圓心O距離水面2米，已知水輪自點(diǎn)A開始1分鐘逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9圈，水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y（單位：米）與時(shí)間x（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=Asinωx+φ+2，A>0，ω>0A．A=5，ω=3π10 B．A=5C．A=3，ω=2π15 D．A=3【解題思路】根據(jù)題意可得周期，由ω=2πT可得ω，由最值可得【解答過程】因?yàn)樗喿渣c(diǎn)A開始1分鐘逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)9圈，函數(shù)周期T=609由圖知，點(diǎn)P到水面距離的最大值為7，所以A+2=7，得A=5.故選：A.4．（3分）（2022·江西·高三開學(xué)考試（文））時(shí)鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物，從開放到閉合與體內(nèi)的一種時(shí)鐘酶有關(guān).研究表明，當(dāng)氣溫上升到20°C時(shí)，時(shí)鐘酶活躍起來，花朵開始開放；當(dāng)氣溫上升到28°C時(shí)，時(shí)鐘酶的活性減弱，花朵開始閉合，且每天開閉一次.已知某景區(qū)一天內(nèi)5~17時(shí)的氣溫T（單位：°C）與時(shí)間t（單位：h）近似滿足關(guān)系式T=20?10sinπ8t?A．1.4h B．2.4h C．3.2h D．5.6h【解題思路】由函數(shù)關(guān)系式T=20?10sin【解答過程】設(shè)t1時(shí)開始開放，t2時(shí)開始閉合，則20?10sinπ8t1?π8=20,又t1∈5．（3分）（2021·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示為一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動的圖象，則下列判斷中正確的是（

）A．該質(zhì)點(diǎn)的振動周期為0.7s B．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5C．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)振動速度最大 D．該質(zhì)點(diǎn)在0.3s【解題思路】根據(jù)簡諧運(yùn)動的概念判斷AB，運(yùn)動曲線與速度的關(guān)系判斷CD．【解答過程】由圖象可知周期是0.8s，A錯(cuò)，振幅為5cm，B正確；曲線上各點(diǎn)處的切線的斜率（導(dǎo)數(shù)值）才是相應(yīng)的速度，質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)振動速度為0，C錯(cuò)，質(zhì)點(diǎn)在0.3故選：B．6．（3分）（2022·江西贛州·高三期中（文））在西雙版納熱帶植物園中有一種原產(chǎn)于南美熱帶雨林的時(shí)鐘花，其花開花謝非常有規(guī)律.有研究表明，時(shí)鐘花開花規(guī)律與溫度密切相關(guān)，時(shí)鐘花開花所需要的溫度約為20°C，但當(dāng)氣溫上升到31°C時(shí)，時(shí)鐘花基本都會凋謝.在花期內(nèi)，時(shí)鐘花每天開閉一次.已知某景區(qū)有時(shí)鐘花觀花區(qū)，且該景區(qū)6時(shí)～14時(shí)的氣溫T（單位：°C）與時(shí)間t（單位：小時(shí)）近似滿足函數(shù)關(guān)系式T=25+10sinπA．6.7時(shí)～11.6時(shí) B．6.7時(shí)～12.2時(shí)C．8.7時(shí)～11.6時(shí) D．8.7時(shí)～12.2時(shí)【解題思路】由三角函數(shù)的性質(zhì)求解【解答過程】當(dāng)t∈6,14時(shí)，π8t+3π4∈3π2,5π2，則T=25+10sinπ由T2=31，得sinπ故在6時(shí)～14時(shí)中，觀花的最佳時(shí)段約為8.7時(shí)～11.6時(shí).故選：C.7．（3分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖1由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移y(m)和時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系為y=sinωt+φω>0,φ<π，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別為t1，t2A．13s B．23s C．【解題思路】由條件確定函數(shù)y=sinωt+φ的周期，再由周期公式求【解答過程】因?yàn)閠1+t2=2，t2+t3=6所以y=sinπ2t+φ，由所以2kπ+π6<π2t+φ<5π故選：D.8．（3分）（2022·福建泉州·一模（理））海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生潮漲潮落，船只一般漲潮時(shí)進(jìn)港卸貨，落潮時(shí)出港航行，某船吃水深度（船底與水面距離）為4米，安全間隙（船底與海底距離）為1.5米，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以0.3米/小時(shí)的速度減少，該港口某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深如下表所示，若選擇y=Asin(ωx+?)+K（A．5:00至5:30 B．5:30至6:00 C．6:00至6:30 D．6:30至7:00【解題思路】根據(jù)題意，求出函數(shù)的表達(dá)式為y=2.5sin【解答過程】由題意得，函數(shù)y=f(x)的周期為T=12，振幅A=2.5,B=5，所以w=2π又因?yàn)閤=3?y=7.5達(dá)到最大值，所以由7.5=2.5sin(π所以φ=2kπ,k∈Z，所以函數(shù)的表達(dá)式為y=2.5sin令2.5sinπ6x+5≥5.5，解得二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·湖北·模擬預(yù)測）阻尼器是一種以提供運(yùn)動的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置.由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移scm和時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系式為s=2sinωt+φ，其中ω>0，若該阻尼器模型在擺動過程中位移為1的相鄰時(shí)刻差為π3A．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】令2sinωt+φ=1得t=2kπ+π6?φω或【解答過程】解：令2sinωt+φ=1得t=2kπ+π6?φω或當(dāng)2π3ω=π3時(shí)，得ω=2，當(dāng)10．（4分）（2021·全國·高一專題練習(xí)）如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，則下列說法正確的是（

）A．該函數(shù)的周期是16B．該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線x＝14C．該函數(shù)的解析式是y＝10sin(π8x+D．這一天的函數(shù)關(guān)系式也適用于第二天【解題思路】根據(jù)圖象得出該函數(shù)的周期，可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)圖象可知該函數(shù)在x=14取得最大值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；結(jié)合圖象求出該函數(shù)的解析式，可判斷C選項(xiàng)的正誤；第二天的函數(shù)關(guān)系與第一天的情況不一定一樣，所以，可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【解答過程】對于A選項(xiàng)，由圖象可知，該函數(shù)的最小正周期為T=2×14?6對于B選項(xiàng)，該函數(shù)在x=14取得最大值，所以，該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線x=14，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由圖象可得A+B=30?A+B=10，解得A=10B=20，∵圖象經(jīng)過點(diǎn)14,30，∴30=10sinπ8∵0<φ<π，∴7π4<7π4所以，函數(shù)解析式為y=10sin這一天的函數(shù)關(guān)系式不一定適用于第二天，要具體情況具體分析，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.11．（4分）（2022·全國·高一）如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動的圖象，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動周期為0.7sB．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5C．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時(shí)運(yùn)動速度為零D．該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動周期為0.8s【解題思路】由題圖求得質(zhì)點(diǎn)的振動周期可判定A錯(cuò)，D正確；由該質(zhì)點(diǎn)的振幅，可判定B正確；由簡諧運(yùn)動的特點(diǎn)，可判定C正確．【解答過程】由題圖可知，質(zhì)點(diǎn)的振動周期為2×(0.7－0.3)＝0.8s，所以A錯(cuò)，D正確；該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5，所以B正確；由簡諧運(yùn)動的特點(diǎn)知，質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置時(shí)的速度最大，即在0.3s和0.7s時(shí)運(yùn)動速度最大，在0.1s和0.5s時(shí)運(yùn)動速度為零，故C正確．綜上，BCD正確．故選：BCD.12．（4分）（2022·山東·高二階段練習(xí)）一半徑為3.6米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1.8米.已知水輪按逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動，每60秒轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水面浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0位置）開始計(jì)時(shí)，則下列判斷正確的有（

A．點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B．在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有40秒的時(shí)間，點(diǎn)P在水面的上方C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動95秒時(shí)，點(diǎn)P在水面上方，點(diǎn)P距離水面1.8米D．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動50秒時(shí)，點(diǎn)P在水面下方，點(diǎn)P距離水面0.9米【解題思路】結(jié)合周期性以及角度判斷出正確答案.【解答過程】設(shè)水面為P0P3，過O作直徑P依題意OA=1.8米，所以∠AOP0=60°P第一次到達(dá)最高點(diǎn)P1需要的時(shí)間為120根據(jù)對稱性可知，P由P0運(yùn)動到P3，需要時(shí)間當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動95秒時(shí)，位置與95?60=35秒時(shí)相同，35秒轉(zhuǎn)過的角度為3560如圖中P2的位置，其中OP1⊥OP當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動50秒時(shí)，位于P4的位置，距離水面3.6?1.8=1.8三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2021·全國·高一單元測試）如圖，是彈簧振子做簡諧振動的圖象，橫軸表示振動的時(shí)間，縱軸表示振動的位移，則這個(gè)振子振動的函數(shù)解析式是y＝2sin(52【解題思路】根據(jù)題意，進(jìn)行求解即可.【解答過程】A＝2，T＝2(0.5－0.1)＝0.8，∴ω＝2π0.8＝5π∴y＝2sin(5π2x+φ)，將(0.1,2)代入得：5π2×0.1＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴y14．（4分）（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下面是一半徑為2米的水輪，水輪的圓心O距離水面1米，已知水輪自點(diǎn)M開始以1分鐘旋轉(zhuǎn)4圈的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M距水面的高度d（米）（在水平面下d為負(fù)數(shù)）與時(shí)間t（秒）滿足函數(shù)關(guān)系式d=Asin(ωt+φ)+1A>0,ω>0,|φ|<π2，則函數(shù)關(guān)系式為【解題思路】先閱讀題意，再求出A,ω,φ即可得解.【解答過程】解：∵水輪的半徑為2，水輪圓心O距離水面1，∴A=2.又∵水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，故轉(zhuǎn)一圈需要15秒，∴T=15=2πω，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∵t=0時(shí)，ωt+φ=2kπ?π6，∵|φ|<π2，∴φ=?π6.15．（4分）（2021·福建省高一階段練習(xí)）某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y=a+Acos[π6(x?6)](A>0,x=1,2,3,?,12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28°C，12月份的月平均氣溫最低，為18°C，則【解題思路】由最低與最高氣溫可得a=23，A=5，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，令x=10，可得解.【解答過程】依題意知，a=28+182=23所以y=23+5cos[π6(x?6)]，當(dāng)x=1016．（4分）（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某地為發(fā)展旅游事業(yè)，在旅游手冊中給出了當(dāng)?shù)匾荒?2個(gè)月每個(gè)月的平均氣溫表（氣溫單位：℃），如圖.根據(jù)圖中提供的數(shù)據(jù)，試用y=Asinωx+φ+b近似地?cái)M合出月平均氣溫與時(shí)間（單位：月）的函數(shù)關(guān)系為y=6sin【解題思路】從氣溫曲線找到最高氣溫：27、最低氣溫:15求A，由周期T=2(8?1)=14求ω，利用最高點(diǎn)、最低點(diǎn)坐標(biāo)求φ、b，得函數(shù)解析式.【解答過程】若以1月份為最低氣溫，8月份為最高氣溫，則可得A=27?152=6,T=2(8?1)=14ω=2πT=π7,當(dāng)x=6,8π7四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·河南·高二階段練習(xí)）某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：℃）隨時(shí)間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：ft(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天上午8時(shí)的溫度；(2)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差．【解題思路】（1）由題意，將8代入三角函數(shù)中，可得答案；（2）根據(jù)輔助角公式，化簡三角函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【解答過程】（1）f8=10-3cos8故實(shí)驗(yàn)室上午8時(shí)的溫度為10℃．（2）ft=10-3cosπ因?yàn)?≤t<24，所以π3當(dāng)t=2時(shí)，sinπ12t+故ft∈8,12，于是f故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃．18．（6分）（2022·遼寧丹東·高一期末）如圖，某地一天從4～18時(shí)的溫度變化曲線近似滿足fx=Asinωx+φ+b，其中A>0(1)求A，b，ω，φ；(2)求這一天4～12時(shí)的最大溫差近似值.參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3【解題思路】（1）由圖象可確定fx的最值和最小正周期，由此可得A,b,ω；根據(jù)f14=30（2）根據(jù)單調(diào)性可知fxmin=f【解答過程】(1)由圖象可知：fxmax=30，fxmin∴A=fxmax?fx∵f14=10sin∴7π4+φ=π2+2kπk∈Z(2)由圖象可知：fx在4,6上單調(diào)遞減，在6,12∴fxmin=f∴fxmax?fxmin19．（8分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）下圖是某簡諧運(yùn)動的圖像.試根據(jù)圖像回答下列問題：（1）寫出這個(gè)簡諧運(yùn)動的振幅?周期與頻率（2）從O點(diǎn)算起，到曲線上的哪一點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動？如果從A點(diǎn)算起呢？（3）寫出這個(gè)簡諧運(yùn)動的函數(shù)表達(dá)式.【解題思路】(1)從圖像中可以直接得到振幅、計(jì)算周期和頻率；(2)從圖像中可以看出；(3)設(shè)這個(gè)簡諾動的函數(shù)解析式為y=Asinωx+φ,x∈【解答過程】(1)從圖像中可以看出：這個(gè)簡諧運(yùn)動的振幅為2cm，周期為0.8s,頻率為10.8(2)如果從O點(diǎn)算起，到曲線上D點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動；如果從A點(diǎn)算起，到曲線上E點(diǎn)，表示完成了一次往復(fù)運(yùn)動；(3)設(shè)這個(gè)簡諧運(yùn)動的函數(shù)解析式為y=Asinωx+φ,x∈0,+∞,由圖像可知：A=2，φ=0，又由T=20．（8分）（2022·浙江寧波·高一期末）某地一天的時(shí)間x(0?x?24，單位：時(shí))隨氣溫yoC變化的規(guī)隼可近似看成正