人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用 重難點(diǎn)題型精講及檢測（原卷版）

第第頁專題5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型精講）1．函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0中各量的物理意義在物理中，描述簡諧運(yùn)動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0中的常數(shù)有關(guān).2．三角函數(shù)的簡單應(yīng)用(1)三角函數(shù)應(yīng)用的步驟(2)三角函數(shù)的常見應(yīng)用類型

①三角函數(shù)在物體簡諧運(yùn)動問題中的應(yīng)用.

物體的簡諧運(yùn)動是一種常見的運(yùn)動，它的特點(diǎn)是周而復(fù)始，因此可以用三角函數(shù)來模擬這種運(yùn)動狀態(tài).

②三角函數(shù)在幾何、實(shí)際生活中的圓周運(yùn)動問題中的應(yīng)用.

物體的旋轉(zhuǎn)顯然具有周期性，因此也可以用三角函數(shù)來模擬這種運(yùn)動狀態(tài).

③三角函數(shù)在生活中的周期性變化問題中的應(yīng)用.

大海中的潮汐現(xiàn)象、日常生活中的氣溫變化、季節(jié)更替等都具有周期性，因此常用三角函數(shù)模型來解決這些問題.【題型1三角函數(shù)在物體簡諧運(yùn)動問題中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】物體的簡諧運(yùn)動是一種常見的運(yùn)動，它的特點(diǎn)是周而復(fù)始，因此可以用三角函數(shù)來模擬這種運(yùn)動狀態(tài).【例1】如圖所示是某彈簧振子做簡諧運(yùn)動的部分圖象，則下列判斷錯誤的是（

）A．該彈簧振子的振幅為2cmB．該彈簧振子的振動周期為1.6sC．該彈簧振子在0.2s和1.0s時振動速度最大D．該彈簧振子在0.6s和1.4s時的位移為零【變式1-1】在圖中，點(diǎn)O為做簡諧運(yùn)動的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)動到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時開始計(jì)時．則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）和時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．x=32sinC．x=32sin【變式1-2】如圖為一簡諧運(yùn)動的圖象，則下列判斷正確的是A．該質(zhì)點(diǎn)的振動周期為0.7sB．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為C．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時的振動速度最大D．該質(zhì)點(diǎn)在0.3s和【變式1-3】我們來看一個簡諧運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)：將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗，再掛在架子上，就做成一個簡易單擺．在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標(biāo)系的橫軸，把漏斗灌上細(xì)沙拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運(yùn)動的圖象．它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標(biāo)）隨時間t（橫坐標(biāo)）變化的情況．如圖所示．已知一根長為Lcm的線一端固定，另一端懸掛一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是s=2cosgLt，其中g(shù)≈980cm/s2A．3.6 B．3.8 C．4.0 D．4.5【題型2三角函數(shù)在圓周運(yùn)動問題中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】這類題一般明確地指出了周期現(xiàn)象滿足的變化規(guī)律，例如，周期現(xiàn)象可用形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的函數(shù)來刻畫，只需根據(jù)已知條件確定參數(shù)，求解函數(shù)解析式，再將題目涉及的具體的數(shù)值代入計(jì)算即可.【例2】一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)P0）開始計(jì)時，則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與tA．?=2sinπ30C．?=2sinπ30【變式2-1】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4m，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為2m，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動4圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)（即P0時的位置）時開始計(jì)算時間，且以水輪的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O的水平直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy.設(shè)盛水筒M從點(diǎn)P0運(yùn)動到點(diǎn)P時所經(jīng)過的時間為t（單位：s），且此時點(diǎn)P距離水面的高度為h（單位：m），則點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時間為（

）sA．2 B．3 C．5 D．10【變式2-2】石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風(fēng)格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑88米，總高約100米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為18分鐘，配有42個球形全透視360度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進(jìn)入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學(xué)通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進(jìn)入各自座艙的時間相差6分鐘.這兩名同學(xué)在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為（

）A．78米 B．112米 C．156米 D．188米【變式2-3】如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要30min.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開始轉(zhuǎn)動tmin后距離地面的高度為Hm，則在轉(zhuǎn)動一周的過程中，高度H關(guān)于時間t的函數(shù)解析式是（

）A．H=55B．H=55C．H=?55D．H=?55【題型3三角函數(shù)在生活中的周期性變化問題中的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】大海中的潮汐現(xiàn)象、日常生活中的氣溫變化、季節(jié)更替等都具有周期性，因此常用三角函數(shù)模型來解決這些問題.【例3】如圖是某市夏季某一天從6時到14時的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asinωx+φ+BA．25°C B．26°C C．27°C【變式3-1】夏季來臨，人們注意避暑．如圖是某市夏季某一天從6時到14時的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y=Asinωx+φ+B，則該市這一天中午12A．25°C B．26°C C．【變式3-2】某市一年12個月的月平均氣溫y與月份x的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=a+Acosπ6x?6（x=1,2,3,???,12）來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高，為28°A．25.5°C B．22.5°C C．【變式3-3】月均溫全稱月平均氣溫，氣象學(xué)術(shù)語，指一月所有日氣溫的平均氣溫．某城市一年中12個月的月均溫y（單位：°C）與月份x（單位：月）的關(guān)系可近似地用函數(shù)y=Asinπ6x?3+a（x=1,2,3,?,12）來表示，已知6月份的月均溫為29°C，A．20°C B．20.5°C C．【題型4用擬合法建立三角函數(shù)模型】【方法點(diǎn)撥】數(shù)據(jù)擬合問題的實(shí)質(zhì)是根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)畫出簡圖，求相關(guān)函數(shù)的解析式進(jìn)而研究實(shí)際問題.在求解與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)擬合問題時，需弄清楚SKIPIF1<0的具體舍義，只有掌握了這三個參數(shù)的含義，才可以實(shí)現(xiàn)符號語言(解析式)與圖形語言(函數(shù)圖象)之間的相互轉(zhuǎn)化.【例4】某港口的水深y(單位：m)是時間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：t03691215182124y10139.9710139.9710一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于4.5m(1)若有以下幾個函數(shù)模型：y=at+b，y=Asinωt+?(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？【變式4-1】“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行潮水漲落與時間的關(guān)系的數(shù)學(xué)建?；顒?，通過實(shí)地考察某港口水深y（米）與時間0≤t≤24（單位：小時）的關(guān)系，經(jīng)過多次測量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：t（小時）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識儲備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運(yùn)用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)知識，給該船舶公司提供安全進(jìn)此港時間段的建議．【變式4-2】）某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y（米）隨著時間t（0≤t≤24，單位：小時）而周期性變化．每天各時刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：t（時）03691215182124y（米）1.01.41.00.61.01.40.90.41.0(1)試在圖中描出所給點(diǎn)；(2)觀察圖，從y=at+b，y=Asinωt+φ+b(3)如果確定在一天內(nèi)的7時至19時之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時間．【變式4-3】平潭國際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個觀測點(diǎn)觀測到該處水深y（米）是隨著一天的時間t（0≤t≤24，單位小時）呈周期性變化，某天各時刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：t（時）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）．觀察散點(diǎn)圖，從①y=Asin(ωt+φ)，②y=Acos(ωt+φ)+b，③(2)為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的5～18時且水深不低于1.05米的時候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．專題5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（重難點(diǎn)題型檢測）一．選擇題1．簡諧運(yùn)動y=4sin5x?πA．5x?π3，π3 B．5x?3C．5x?3，?π3 D．42．我們平時聽到的樂音不只是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為f的基音的同時，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如2f，3f，4f等.這些音叫諧音，因?yàn)槠湔穹^小，一般不易單獨(dú)聽出來，所以我們聽到的聲音的函數(shù)為y=sinx+12sinA．π B．2π C．23π 3．一個半徑為5米的水輪示意圖，水輪的圓心O距離水面2米，已知水輪自點(diǎn)A開始1分鐘逆時針旋轉(zhuǎn)9圈，水輪上的點(diǎn)P到水面的距離y（單位：米）與時間x（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=Asinωx+φ+2，A>0，ω>0A．A=5，ω=3π10 B．A=5C．A=3，ω=2π15 D．A=34．時鐘花是原產(chǎn)于南美熱帶雨林的藤蔓植物，從開放到閉合與體內(nèi)的一種時鐘酶有關(guān).研究表明，當(dāng)氣溫上升到20°C時，時鐘酶活躍起來，花朵開始開放；當(dāng)氣溫上升到28°C時，時鐘酶的活性減弱，花朵開始閉合，且每天開閉一次.已知某景區(qū)一天內(nèi)5~17時的氣溫T（單位：°C）與時間t（單位：h）近似滿足關(guān)系式T=20?10sinπ8t?A．1.4h B．2.4h C．3.2h D．5.6h5．如圖所示為一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動的圖象，則下列判斷中正確的是（

）A．該質(zhì)點(diǎn)的振動周期為0.7s B．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5C．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時振動速度最大 D．該質(zhì)點(diǎn)在0.3s6．在西雙版納熱帶植物園中有一種原產(chǎn)于南美熱帶雨林的時鐘花，其花開花謝非常有規(guī)律.有研究表明，時鐘花開花規(guī)律與溫度密切相關(guān)，時鐘花開花所需要的溫度約為20°C，但當(dāng)氣溫上升到31°C時，時鐘花基本都會凋謝.在花期內(nèi)，時鐘花每天開閉一次.已知某景區(qū)有時鐘花觀花區(qū)，且該景區(qū)6時～14時的氣溫T（單位：°C）與時間t（單位：小時）近似滿足函數(shù)關(guān)系式T=25+10sinπA．6.7時～11.6時 B．6.7時～12.2時C．8.7時～11.6時 D．8.7時～12.2時7．阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置．我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖1由物理學(xué)知識可知，某阻尼器的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移y(m)和時間t(s)的函數(shù)關(guān)系為y=sinωt+φω>0,φ<π，如圖2，若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時間分別為t1，t2A．13s B．23s C．8．海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生潮漲潮落，船只一般漲潮時進(jìn)港卸貨，落潮時出港航行，某船吃水深度（船底與水面距離）為4米，安全間隙（船底與海底距離）為1.5米，該船在2:00開始卸貨，吃水深度以0.3米/小時的速度減少，該港口某季節(jié)每天幾個時刻的水深如下表所示，若選擇y=Asin(ωx+?)+K（A．5:00至5:30 B．5:30至6:00 C．6:00至6:30 D．6:30至7:00二．多選題9．阻尼器是一種以提供運(yùn)動的阻力，從而達(dá)到減振效果的專業(yè)工程裝置.由物理學(xué)知識可知，某阻尼器模型的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移scm和時間ts的函數(shù)關(guān)系式為s=2sinωt+φ，其中ω>0，若該阻尼器模型在擺動過程中位移為1的相鄰時刻差為π3A．2 B．3 C．4 D．610．如圖是某市夏季某一天的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，則下列說法正確的是（

）A．該函數(shù)的周期是16B．該函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線x＝14C．該函數(shù)的解析式是y＝10sin(πD．這一天的函數(shù)關(guān)系式也適用于第二天11．如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動的圖象，則下列結(jié)論正確的是（

）A．該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動周期為0.7sB．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5C．該質(zhì)點(diǎn)在0.1s和0.5s時運(yùn)動速度為零D．該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動周期為0.8s12．一半徑為3.6米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1.8米.已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每60秒轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水面浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)P0位置）開始計(jì)時，則下列判斷正確的有（

A．點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B．在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有40秒的時間，點(diǎn)P在水面的上方C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動95秒時，點(diǎn)P在水面上方，點(diǎn)P距離水面1.8米D．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點(diǎn)P在水面下方，點(diǎn)P距離水面0.9米三．填空題13．如圖，是彈簧振子做簡諧振動的圖象，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振動的位移，則這個振子振動的函數(shù)解析式是.14．下面是一半徑為2米的水輪，水輪的圓心O距離水面1米，已知水輪自點(diǎn)M開始以1分鐘旋轉(zhuǎn)4圈的速度順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)M距水面的高度d（米）（在水平面下d為負(fù)數(shù)）與時間t（秒）滿足函數(shù)關(guān)系式d=Asin(ωt+φ)+1A>0,ω>0,|φ|<π2，則函數(shù)關(guān)系式為15．某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y=a+Acos[π6(x?6)](A>0,x=1,2,3,?,12)來表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28°C，12月份的月平均氣溫最低，為18°C，則16．某地為發(fā)展旅游事業(yè)，在旅游手冊中給出了當(dāng)?shù)匾荒?2個月每個月的平均氣溫表（氣溫單位：℃），如圖.根據(jù)圖中提供的數(shù)據(jù)，試用y=Asinωx+φ+b近似地?cái)M合出月平均氣溫與時間（單位：月）的函數(shù)關(guān)系為四．解答題17．某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：℃）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：ft(1)求實(shí)驗(yàn)室這一天上午8時的溫度；(2)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差．18．如圖，某地一天從4～18時的溫度變化曲線近似滿足fx=Asinωx+φ+b