【高效備課】北師大版八(上) 第5章 二元一次方程組 5 應用二元一次方程組-里程碑上的數(shù) 教案

【高效備課】北師大版八(上)第5章二元一次方程組5應用二元一次方程組——里程碑上的數(shù)教案授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學內(nèi)容北師大版八年級上冊第5章“二元一次方程組”第5節(jié)“應用二元一次方程組——里程碑上的數(shù)”。本節(jié)課主要內(nèi)容包括：

1.通過解決實際問題，讓學生理解并掌握應用二元一次方程組解決問題的方法。

2.學習如何將實際問題抽象為數(shù)學模型，建立方程組，并運用方程組求解。

3.探討里程碑上的數(shù)之間的規(guī)律，運用二元一次方程組解決相關問題。

4.培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力。核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的邏輯思維、數(shù)學抽象、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。通過解決里程碑上的數(shù)問題，學生將學會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，提高抽象思維能力和建模能力。同時，運用二元一次方程組求解問題，鍛煉學生的邏輯推理和數(shù)學運算能力。在分析問題和解決問題的過程中，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力，發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。重點難點及解決辦法重點：

1.理解并掌握二元一次方程組的建立和解法。

2.能夠?qū)嶋H問題抽象為二元一次方程組并求解。

難點：

1.抽象出問題中的等量關系，建立正確的方程組。

2.理解和運用消元法、代入法等解方程組的技巧。

解決辦法：

1.通過具體例題演示，引導學生分析實際問題中的變量關系，逐步引導學生發(fā)現(xiàn)并建立方程組。

2.采用逐步引導、小組討論的方式，讓學生在嘗試中學習，通過解答過程讓學生體會消元法和代入法的應用。

3.設計不同難度的練習題，讓學生在實際操作中鞏固方程組的建立和解法，提高解題技巧。

4.對難點問題進行分解，先解決方程組中的簡單部分，再逐漸過渡到復雜問題，幫助學生逐步克服難點。教學資源準備1.教材：每人一本北師大版八年級上冊數(shù)學教材。

2.輔助材料：準備相關例題和練習題的打印資料，以及使用多媒體設備展示的教學PPT。

3.教學工具：準備黑板、粉筆、投影儀等基本教學工具。

4.教室布置：將教室座位安排為小組合作模式，以便學生進行討論和小組活動。教學流程1.導入新課（5分鐘）

詳細內(nèi)容：通過展示一道簡單的實際問題，如“兩地之間的距離和速度問題”，引導學生思考如何用數(shù)學方法解決。接著提出本節(jié)課的主題：“我們將會學習如何使用二元一次方程組來解決這類問題。”

2.新課講授（15分鐘）

詳細內(nèi)容：

-首先，介紹二元一次方程組的定義和基本形式，讓學生理解方程組中變量的關系。

-其次，通過例題講解如何將實際問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，重點分析等量關系的建立。

-最后，演示消元法和代入法解二元一次方程組的步驟，并通過例題讓學生跟隨演示進行解題。

3.實踐活動（10分鐘）

詳細內(nèi)容：

-讓學生獨立完成教材上的練習題，鞏固二元一次方程組的建立和解法。

-設計一道與里程碑上的數(shù)相關的實際問題，讓學生嘗試建立方程組并求解。

-讓學生分組討論，分享解題過程中的思考和遇到的問題，互相學習解決方法。

4.學生小組討論（10分鐘）

詳細內(nèi)容：

-方程組的建立：討論如何從實際問題中抽象出等量關系，建立正確的方程組。

-解題方法的選擇：討論在解方程組時，何時使用消元法，何時使用代入法，以及兩種方法的優(yōu)缺點。

-實際應用的拓展：討論二元一次方程組在生活中的其他應用，舉例回答如商品定價、旅行計劃等問題。

5.總結(jié)回顧（5分鐘）

詳細內(nèi)容：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)二元一次方程組在解決實際問題中的應用。通過提問方式讓學生復述方程組的建立和解法，確保學生掌握了本節(jié)課的重點。同時，指出在解題過程中可能遇到的問題和解決策略，為學生后續(xù)的學習打下堅實的基礎。

總用時：45分鐘教學資源拓展一、拓展資源

1.拓展閱讀材料：介紹二元一次方程組在現(xiàn)實生活中的應用案例，如經(jīng)濟學中的成本利潤分析、物理學中的運動問題、工程學中的測量問題等。

2.拓展練習題：收集更多涉及二元一次方程組的應用題，包括不同難度級別的題目，以供學生在課后練習。

3.拓展視頻資源：搜索并整理一些教育平臺上的教學視頻，特別是講解二元一次方程組解題技巧和實際應用的視頻。

4.拓展軟件工具：推薦一些數(shù)學軟件或在線工具，如Mathway、Desmos等，這些工具可以幫助學生直觀地解決方程組問題。

二、拓展建議

1.鼓勵學生在課后閱讀相關的拓展閱讀材料，了解二元一次方程組在各個領域的應用，增強學習的興趣和實用性。

-拓展閱讀建議：選擇一些與生活緊密相關的案例，如家庭預算規(guī)劃、購物打折問題等，讓學生感受數(shù)學與生活的聯(lián)系。

2.建議學生完成以下拓展練習：

-完成教材外的拓展練習題，特別是那些需要運用多種方法和策略的題目，以加深對二元一次方程組解法的理解。

-嘗試解決一些綜合性的問題，如涉及兩個變量之間的多個關系式，需要學生綜合運用數(shù)學知識解決問題。

-探索不同類型的實際問題，如線性規(guī)劃問題、最優(yōu)化問題等，讓學生體會數(shù)學模型的建立和解法的多樣性。

3.利用視頻資源進行自主學習：

-觀看教學視頻，特別是那些講解復雜問題解決方法的視頻，幫助學生掌握解題技巧。

-鼓勵學生在觀看視頻后，嘗試解決視頻中提出的問題，或自己尋找類似的問題進行練習。

4.推薦使用數(shù)學軟件工具：

-利用Mathway、Desmos等工具，學生可以輸入方程組并得到圖形化的解答，這有助于直觀理解方程組的意義和解法。

-鼓勵學生在軟件中嘗試不同的方程組，觀察結(jié)果的變化，以加深對方程組解法的理解。課堂1.課堂評價

-提問：在課堂講解過程中，通過提問的方式檢查學生對二元一次方程組基本概念和方法的理解程度。例如，可以詢問學生如何從實際問題中建立方程組，以及如何選擇合適的解法。

-觀察：在學生進行課堂練習時，觀察學生的解題過程，了解他們在建立方程組和求解過程中可能遇到的問題，以及他們是否能夠獨立解決問題。

-測試：在課程結(jié)束時，進行一次小測驗，測試學生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況，包括方程組的建立、解法以及實際應用能力。

2.作業(yè)評價

-批改：對學生的作業(yè)進行認真批改，關注學生在解題過程中的邏輯思維、計算能力和問題解決策略。

-點評：在批改作業(yè)后，對學生的作業(yè)進行集體點評，指出普遍存在的問題，如方程組建立錯誤、解法不當?shù)?，并提供正確的解題思路和方法。

-反饋：及時向?qū)W生反饋作業(yè)評價結(jié)果，對學生的進步給予肯定，對存在的問題提出改進建議，鼓勵學生繼續(xù)努力。

-鼓勵：對于在作業(yè)中表現(xiàn)出色的學生，給予口頭或書面的表揚，增強其學習的自信心和動力。

具體評價流程如下：

-在課堂提問環(huán)節(jié)，教師可以設計不同難度的問題，以檢驗學生對基礎知識和應用能力的掌握。例如，對于基礎性問題，可以詢問：“什么是二元一次方程組？請舉一個例子?！睂τ趹眯詥栴}，可以詢問：“如果你知道兩地之間的距離和各自的速度，如何用二元一次方程組來計算相遇時間？”

-在觀察環(huán)節(jié)，教師應注意學生的解題習慣和思維過程，及時指出錯誤并提供幫助。例如，如果發(fā)現(xiàn)學生在建立方程組時遺漏了某些條件，教師應引導學生重新審視問題，找出遺漏的部分。

-在測試環(huán)節(jié)，教師可以設計一些綜合性的測試題，要求學生在規(guī)定時間內(nèi)完成。測試后，教師應分析學生的答題情況，對錯誤率高的題目進行講解，幫助學生理解。

-在作業(yè)批改環(huán)節(jié)，教師應詳細記錄每位學生的錯誤類型，如計算錯誤、概念不清等，以便在點評時能夠有針對性地講解。

-在作業(yè)點評環(huán)節(jié)，教師應總結(jié)學生的常見錯誤，并通過實例講解正確的解題方法。同時，教師應鼓勵學生提問，解答他們在作業(yè)過程中遇到的問題。

-在反饋環(huán)節(jié)，教師可以采用個別反饋或集體反饋的方式，確保每位學生都能了解自己的學習情況。對于需要改進的地方，教師應提供具體的建議和指導。

-在鼓勵環(huán)節(jié)，教師應關注學生的點滴進步，及時給予肯定，激發(fā)學生的學習熱情。例如，可以表揚學生在某次作業(yè)中正確地建立了方程組，或者在解決問題時運用了創(chuàng)造性的方法。板書設計①教學重點知識點：

-二元一次方程組的定義

-等量關系的建立

-消元法和代入法的解題步驟

②關鍵詞：

-二元一次方程組

-等量關系

-消元法

-代入法

③重點句子：

-“二元一次方程組是由兩個二元一次方程構成的方程組。”

-“建立方程組的關鍵是找出問題中的等量關系?！?/p>

-“消元法是通過消去一個變量來簡化方程組的方法?！?/p>

-“代入法是將一個方程的解代入另一個方程中求解的方法?！钡湫屠}講解例題1：一本書的厚度是2厘米，如果已知封面比封底厚0.5厘米，求封面和封底的厚度。

解：設封面的厚度為x厘米，封底的厚度為y厘米。根據(jù)題意，可以列出方程組：

x+y=2

x-y=0.5

解得x=1.25,y=0.75。所以封面的厚度是1.25厘米，封底的厚度是0.75厘米。

例題2：甲、乙兩人分別從相距120公里的A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，甲的速度是每小時15公里，乙的速度是每小時10公里。問幾小時后兩人相遇？

解：設兩人相遇需要t小時。根據(jù)題意，可以列出方程組：

15t+10t=120

25t=120

解得t=4.8。所以兩人相遇需要4.8小時。

例題3：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，一種產(chǎn)品的利潤是每件30元，另一種產(chǎn)品的利潤是每件20元。如果一個月內(nèi)總共生產(chǎn)100件產(chǎn)品，且利潤總額為2800元，求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)了多少件？

解：設生產(chǎn)第一種產(chǎn)品x件，第二種產(chǎn)品y件。根據(jù)題意，可以列出方程組：

x+y=100

30x+20y=2800

解得x=60,y=40。所以第一種產(chǎn)品生產(chǎn)了60件，第二種產(chǎn)品生產(chǎn)了40件。

例題4：一個兩位數(shù)，十位數(shù)字是個位數(shù)字的兩倍。如果交換這兩個數(shù)字的位置，得到的新數(shù)比原數(shù)大36。求原來的兩位數(shù)。

解：設原數(shù)的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為2x。根據(jù)題意，可以列出方程組：

10(2x)+x=10x+2x+36

20x+x=12x+36

解得x=4。所以原數(shù)的個位數(shù)字是4，十位數(shù)字是8，原來的兩位數(shù)是84。

例題5