人教版八年級數學 14.2 乘法公式（學習、上課課件）

14.2乘法公式第十四章整式的乘法與因式分解逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2平方差公式完全平方公式添括號知識點平方差公式知1－講11.平方差公式兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.即：用字母表示為(a＋b)(a－b)＝a2－b2.知1－講2.平方差公式的推導(1)代數運算證明法：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2.知1－講(2)幾何圖形證明法：圖14.2－1①中陰影部分的面積為a2－b2，把它分割并拼接成圖14.2－1②中的長方形，長為(a＋b)，寬為(a－b)，故陰影部分的面積為(a＋b)(a－b).故(a＋b)(a－b)＝a2－b2.知1－講3.平方差公式的幾種常見變化及應用變化形式應用舉例位置變化(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2符號變化(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－a2＝b2－a2系數變化(3a＋2b)(3a－2b)

＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2指數變化(a3＋b2)(a3－b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4增項變化(a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)2－c2連用公式(a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4知1－講特別解讀公式的特征：1.等號左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數.2.等號右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方減去相反項的平方.3.理解字母a，b的意義，平方差公式中的a，b既可以代表一個單項式，也可以代表一個多項式.知1－講易錯警示平方差公式的右邊是平方差，不是差的平方，不要把a2－b2與(ab)2混淆.特別提醒只要多項式的乘法符合公式的結構特征，就可以運用這一公式簡化計算.知1－練例1

解題秘方：先確定公式中的“a”和“b”，然后根據平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2進行計算.知1－練解：(5m－3n)(5m＋3n)＝(5m)2－(3n)2＝25m2－9n2；(1)(5m－3n)(5m＋3n)；(2)(－2a2＋5b)(－2a2－5b)；(－2a2＋5b)(－2a2－5b)＝(－2a2)2－(5b)2＝4a4－25b2；知1－練

(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y)＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2.知1－練1－1.下列各式中，可以用平方差公式進行計算的是()A.(a－1)(1－a)B.(－a＋2)(－a－2)C.(a＋2)(2＋a)D.(a－b)(－a＋b)B知1－練1－2.若a＋b＝2，a－b＝1，則a2－b2＝______.2知1－練

原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2；原式＝(－2y)2－x2＝4y2－x2；知1－練(4)(3x＋2)(3x－2)(9x2＋4)；(5)(x＋5)(x－5)＋(x－3)(－3－x)．解：原式＝(9x2－4)(9x2＋4)＝81x4－16；原式＝x2－25＋9－x2＝－16.知1－練計算：(1)10.3×9.7；(2)2022×2024－20232.解題秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式進行計算.例2知1－練(1)10.3×9.7；(2)2022×2024－20232.解：10.3×9.7＝(10＋0.3)×(10－0.3)＝102－0.32＝100－0.09＝99.91；10.3與9.7的平均數為10.2022×2024－20232＝(2023－1)×(2023＋1)－20232＝20232－12－20232＝－1.2022與2024的平均數為2023.知1－練2－1.運用平方差公式進行簡便計算：(1)9.8×10.2；(2)1007×993；解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝102－0.22＝100－0.04＝99.96；原式＝(1000＋7)×(1000－7)＝10002－72＝1000000－49＝999951；知1－練(3)129×127－1282.解：原式＝(128＋1)×(128－1)－1282＝1282－12－1282＝－1.知2－講知識點完全平方公式21.

完全平方公式：兩個數的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.即：用字母表示為(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.知2－講特別提醒(a＋b)2

≠a2＋b2；(a－b)2

≠a2－b2.產生這種錯誤的原因是類比了(ab)2＝a2b2.知2－講2.完全平方公式的推導：(1)代數運算證明法(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2

.知2－講(2)幾何圖形證明法(數形結合思想)圖14.2－2①：大正方形的面積為(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；圖14.2－2②：左下角正方形的面積為(a－b)2＝a2－2ab＋b2.知2－講3.完全平方公式的幾種常見變形(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；知2－講

知2－講特別解讀★弄清公式的特征：公式的左邊是一個二項式的完全平方，公式的右邊是一個三項式，其中兩項分別是左邊二項式的各項的平方，另一項是二項式各項的乘積的2倍.知2－講★理解字母a，b的意義：公式中的字母a，b可以表示具體的數，也可以表示含字母的單項式或多項式.★口訣記憶：首平方，尾平方，二倍乘積在中央，中央符號看前方.知2－練計算：(1)(x＋7y)2；(2)(－4a＋5b)2；(3)(－2m－n)2；(4)(2x＋3y)(－2x－3y).解題秘方：確定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式進行計算.例3知2－練(1)(x＋7y)2；(2)(－4a＋5b)2；解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2＝x2＋14xy＋49y2；括號不能漏掉.(－4a＋5b)2＝(5b－4a)2＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2＝25b2－40ab＋16a2；不能漏掉“2ab”項且符號與完全平方中的符號一致.知2－練(3)(－2m－n)2；(4)(2x＋3y)(－2x－3y).解：(－2m－n)2＝(2m＋n)2＝(2m)2＋2·(2m)·n＋n2＝4m2＋4mn＋n2；(2x＋3y)(－2x－3y)＝－(2x＋3y)2＝－［(2x)2＋2·(2x)·(3y)＋(3y)2］＝－(4x2＋12xy＋9y2)＝－4x2－12xy－9y2.兩個二項式相乘，若有一項相同，另一項相反，則用平方差公式計算；若兩項都相同或都相反，則用完全平方公式計算.知2－練方法總結：求二項式的平方時，當所給二項式中兩項的符號相同時，一般選用“和”的完全平方；當二項式中兩項的符號相反時，一般選用“差”的完全平方.知2－練3－1.[期中·唐山路北區(qū)]下列多項式乘法中能用完全平方公式計算的是()A.(m－n)(－m－n)B.(m＋n)(－m＋n)C.(m－n)(－m＋n)D.(m＋2)(m－1)C知2－練

C知2－練3－3.計算：(1)(2y－1)2；(2)(3a＋2b)2；(3)(－x＋2y)2；(4)(－2xy－1)2.解：原式＝4y2－4y＋1；原式＝9a2＋12ab＋4b2；原式＝x2－4xy＋4y2；原式＝4x2y2＋4xy＋1.知2－練

解題秘方：將原數轉化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展開計算即可.例4知2－練

解：9992＝(1000－1)2＝10002－2×1000×1＋12＝1000000－2000＋1＝998001；

知2－練

解：原式＝(100＋2)2＝10000＋400＋4＝10404；原式＝(100－0.2)2＝10000－40＋0.04＝9960.04；知3－講知識點添括號31.添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.即：用字母表示為a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝a－(－b－c)；a－b－c＝a－(b＋c)＝a＋(－b－c).知3－講2.

添括號法則的應用：添括號在利用乘法公式計算中應用廣泛，先利用添括號使原式變成符合乘法公式的形式，再運用乘法公式計算.知3－講特別解讀1.添括號只是一個變形，不改變式子的值.2.添括號時，如果括號前面是負號，括號里的各項都要改變符號，而不是只改變括號里第一項的符號.3.添括號是否正確，可利用去括號檢驗.知3－練例5計算：(1)(2x－y＋4)(2x＋y－4)；(2)(m－2n＋1)(－2n－1＋m)；(3)(2a＋3b－1)(1－2a－3b)；(4)(3a－b＋c)2.解題秘方：先通過添括號把式子轉化為符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式進行計算.知3－練(1)(2x－y＋4)(2x＋y－4)；(2)(m－2n＋1)(－2n－1＋m)；解：(2x－y＋4)(2x＋y－4)＝[2x－(y－4)][2x＋(y－4)]＝(2x)2－(y－4)2＝4x2－y2＋8y－16；(m－2n＋1)(－2n－1＋m)＝[(m－2n)＋1][(m－2n)－1]＝(m－2n)2－12＝m2－4mn＋4n2－1；應用加法的交換律和結合律(3)(2a＋3b－1)(1－2a－3b)；知3－練解：(2a＋3b－1)(1－2a－3b)＝(2a＋3b－1)[－(2a＋3b－1)]＝－[(2a＋3b)－1]2＝－[(2a＋3b)2－2(2a＋3b)＋12]＝－(4a2＋12ab＋9b2－