三角形的概念和性質【十六大題型】（解析版）-2024年中考數(shù)學一輪復習

三角形的概念和性質【十六大題型】

?題型梳理

【題型1畫三角形的高、中線、角平分線】......................................................2

【題型2等面積法求三角形的高】..............................................................6

【題型3利用網(wǎng)格求三角形的面積】............................................................9

【題型4根據(jù)三角形的中線求解】..............................................................13

【題型5與垂心性質有關的計算】..............................................................16

【題型6利用三角形的三邊關系求解】.........................................................21

【題型7利用三角形內角和定理求解】.........................................................24

【題型8三角形內角和與平行線的綜合應用】...................................................27

【題型9三角形內角和與角平分線的綜合應用】.................................................30

【題型10利用三角形內角和定理解決三角板問題】...............................................34

【題型11利用三角形內角和定理探究角的數(shù)量關系】.............................................41

【題型13利用三角形外角的性質求角度】......................................................52

【題型14三角形的外角性質與平行線的綜合】...................................................55

【題型15利用三角形的外角性質解決折疊問題】.................................................60

【題型16三角形內角和定理與外角和定理綜合】.................................................67

〉舉一反三

【知識點三角形】

1.三角形的基本概念

⑴三角形的概念

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

(2)三角形的分類

①按邊之間的關系分：

三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形；

有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形；

三邊都相等的三角形叫做等邊三角形。

②按角分類：

三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；

有一個角是直角的三角形叫做直角三角形；

有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。

(3)三角形的三邊之間的關系

三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊。

三角形三邊關系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形

②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關系。

(4)三角形的高.中線.角平分線

角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形

的角平分線。

中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

高線：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線(簡稱三角形

的高)。

(5)三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性質在生產(chǎn)生活中應

用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。

(6)三角形的角

①三角形的內角和等于180%

推論：直角三角形的兩個銳角互余。有兩個角互余的三角形是直角三角形。

②三角形的外角

定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

內外角的關系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它

不相鄰的內角。

三角形的外角和等于360。。

⑺三角形的面積

三角形的面積=Lx底X高

2

【題型1畫三角形的高、中線、角平分線】

【例1】(2023?河北石家莊?校聯(lián)考模擬預測)嘉淇剪一個銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折

痕與BC交于點0,連接4D,則線段4D分別是△4BC的()

A.高，中線，角平分線B.高，角平分線，中線

C.中線，高，角平分線D.高，角平分線，垂直平分線

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可.

【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段2D是△4BC的高線，

圖②中，線段AD是△4BC的角平分線，

圖③中，線段4。是△力的中線，

故選：B.

【點睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關鍵.

【變式1-1](2023?吉林長春?校聯(lián)考二模)圖①、圖②、圖③均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂

點稱為格點，小正方形的邊長為1，在給定的網(wǎng)格中，按照要求作圖(保留作圖痕跡).

(1)在圖①中作的中線BD.

(2)在圖②中作A48C的高BE.

(3)在圖③中作A42C的角平分線BF.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)找出對角線為4C的矩形，連接另一條對稱線，兩條對角線的交點就是。，連接BD即可;

(2)找出與線段4c相等的線段BT,AC與交于點E,連接BE即可；

（3）延長BC到H,使CH的長為小方格的正方形的邊長，貝MB=BH=5,連接4H交外圍大正方形的邊于

點W,則W是線段4H的中點，連接8勿即可.

【詳解】（1）如圖①中，線段8。即為所求;

（2）如圖②中，線段即為所求:

（3）如圖③中，線段2尸即為所求.

【點睛】本題考查了用網(wǎng)格作圖，矩形的性質，勾股定理，等腰三角形的三線合一，全等三角形的判定和

性質，正方形的性質，熟練運用這些知識是解題的關鍵.

【變式1-2］（2023?河北石家莊?統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（N2是鈍角），他打

算用折疊的方法折出NC的角平分線、邊上的中線和高線，能折出的是（）

A.4B邊上的中線和高線B.NC的角平分線和ZB邊上的高線

C.NC的角平分線和AB邊上的中線D.NC的角平分線、4B邊上的中線和高線

【答案】c

【分析】由折疊的性質可求解.

【詳解】解：當4C與BC重合時，折痕是NC的角平分線；

當點/與點8重合時，折疊是4B的中垂線，

故選：C.

【點睛】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質是本題的關鍵.

【變式1-3](2023下?黑龍江哈爾濱?三模)如圖，在小正方形的邊長均為1的方格紙中，△A8C的頂點均

在小正方形的頂點上.

(1)在圖1中畫出△4BC中BC邊上的高力D,垂足為。；

(2)在圖2中畫出△ABC中4B邊上的中線CE；

(3)直接寫出圖2中三角形2CE的面積.

【答案】(1)圖見解析

(2)圖見解析

⑶4

【分析】(1)根據(jù)高線的定義，畫出4。即可;

(2)取48的中點E,連接CE即可；

(3)利用面積公式進行求解即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，4。即為所求；

（2）如圖所示，CE即為所求;

（3）三角形4CE的面積為^X2x4=4.

【點睛】本題考查畫高線，中線，求三角形的面積.熟練掌握高線和中線的定義，是解題的關鍵.

【題型2等面積法求三角形的高】

【例2】（2023?陜西西安??？既＃┤鐖D，將△ABC放在正方形網(wǎng)格圖中（圖中每個小正方形的邊長均為

1），點N、B、C恰好在網(wǎng)格圖中的格點上，那么△ABC中BC邊上的高的長度是（）

A.竽B.7V13C.甯D.曾

101717

【答案】D

【分析】由勾股定理求得8C=717,由割補法求得S^BC=7,設△ABC中8c邊上的高的長度是兒利用三

角形面積公式列方程求解即可.

2

【詳解】解：由題意可知，BC=V1+42=V17,5A^BC=4x4-|x2x3-|x2x4-|x1X4=7,

設△4BC中BC邊上的高的長度是h,

S^ABC=］八,BC=7,

._14Vly

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理，割補法求面積，一元一次方程的應用你，分母有理化，利用屬數(shù)形結合的

思想解決問題是解題關鍵.

【變式2-1］（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考三模）數(shù)學活動課上，小敏、小穎分別畫了A45c和△￡）￡￡數(shù)據(jù)如圖,

如果把小敏畫的三角形面積記作小穎畫的三角形面積記作&QER那么你認為（）

小敏畫的三角形

A.S^ABOS^DEFB.S^ABC<S^DEF

C.S^ABC=S^DEFD.不能確定

【答案】C

【分析】在兩個圖形中分別作8C、所邊上的高，欲比較面積，由于底邊相等，所以只需比較兩條高即可.

【詳解】解：如圖，過點4。分別作/GL8C,DHLEF,垂足分別為G、H,

D

小穎畫的三角形

在zMBG和中，AB=DE=5,

Z5=5O°,Z_DEN=180°-130°=50°,

:.乙B=3EH,UGB=3HE=90°,

.??△JG8三△Olffi(AAS),

：.AG=DH.

■.BC=4,EF=4,

.■.S^ABC=SADEF.

故選：C.

【點睛】要題考查全等三角形的判定和性質，等底等高兩三角形面積相等.證明A4G8三是解題的關

鍵.

【變式2-2］（2023上?陜西延安?二模）如圖，aABC在平面直角坐標系中，A,B,C三點在方格線的交點

上.

(1)請在圖中作出△48C中力B邊上的高.

(2)求△TWC的面積.

(3)點8到4C邊所在直線的距離為費，求4C的長度.

【答案】(1)見解析

⑵8

(3)4C=5

【分析】(1)根據(jù)高線的定義結合網(wǎng)格特點作圖即可;

(2)利用三角形的面積公式計算即可；

(3)根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可.

【詳解】(1)解：如圖，4B邊上的高即為所作；

(2)如圖，SAABC=IAB-CD=IX4X4=8；

(3)???點B到4C邊所在直線的距離為青

?',SAABC=x—=8,

.,.AC=5.

【點睛】本題考查了三角形的高線，三角形的面積計算，熟練掌握網(wǎng)格特點是解題的關鍵.

【變式2-3］（2023?河北張家口?統(tǒng)考一模）如圖，在點，，B,C,。中選一個點；與點N為頂點構成

一個三角形，其面積等于△?"可的面積，這個點為（）

A.點/B.點8C.點CD.點。

【答案】C

【分析】與點M,N為頂點構成一個三角形，其面積等于△KMN的面積，即尋找以MN為底邊，高為KN長

的三角形.根據(jù)兩平行線間的距離處處相等，只需要找到過點K且與MN平行的直線即可.

【詳解】解：由于平行線間的距離處處相等，所有在過點K且與MN平行的直線上的點與N組成的三

角形都滿足其面積與△KMN的面積相等，有網(wǎng)格的特點可知只有過點K、C的直線與MN平行，

故選C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角形面積，熟知平行線間的距離處處相等是解題的關鍵.

【題型3利用網(wǎng)格求三角形的面積】

【例3】（2023?安徽安慶??？家荒＃┤鐖D，點8在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格的格點上，在網(wǎng)

格格點上除點/，2外任取一點C,則使△力8c的面積為1的概率是.

【答案】I

【分析】根據(jù)△ABC的面積為1,在網(wǎng)格上找到滿足題意的點C,再根據(jù)概率公式，即可.

【詳解】解：：任意放置一點C（除點4B）共有20—2=18種可能的結果，

其中能使△ABC的面積為1的結果有4種，

使△4BC的面積為1的概率為：京4=97

【點睛】本題考查概率的知識，解題的關鍵是全面找到滿足題意的結果，熟練掌握概率的公式.

【變式3-1]（2023?北京?統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點B,C,。均在格點上，則

【答案】<

【分析】分別求出△力BC的面積和△4CD的面積，即可求解.

【詳解】解：由題意，

19

S&ABC=]X3X3=5，

1Q1

S?ACD=5X（2+3）X5_5_]X2X2=6,

「?SA/BC<SA/CD；

故答案為：V.

【點睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關鍵.

【變式3?2】（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六十九中學校?？既＃┤鐖D，在每個小正方形的邊長均為1

的方格紙中，有線段48和線段DE,點/、B、D、E均在小正方形的頂點上.

（1）在方格紙中畫出以48為斜邊的Rt4ABC,點。在小正方形的頂點上;

(2)在方格紙中畫出以DE為一邊的等腰△DEF,點尸在小正方形的頂點上，且△DEF的面積為號.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】⑴如圖，取格點C,連接北，即可;

(2)如圖，取格點R連接DF,EF即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，RtZkZBC即為所畫，

(2)解：如圖所示，等腰△DEF即為所畫,

???DE=V32+42=5,EF=5,

：.DE=EF,

-I115

^ADEF—3x5——X1X3——X3X4=—.

【點睛】本題考查利用網(wǎng)格作三角形，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

【變式3-3](2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考一模)如圖，在9X9的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,

點4B均在小正方形的頂點上

(1)在圖中，按要求畫一個△4BC,使點C在格點上，使得4C=5,且△48C的面積是8

(2)在圖中，在格點上取一點D,畫一個△ABD,使得的面積是12,且tanB=2；

(3)連接CD,直接寫出的面積

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)7

【分析】(1)由三角形面積可求出48邊高為4,再根據(jù)勾股定理即可確定點C的位置；

(2)由的面積是12,可求出。至IJ4B邊距離為6,再根據(jù)tanB=2即可確定點。的位置;

(3)根據(jù)割補法即可求出三角形面積.

【點睛】此題主要考查網(wǎng)格作圖、勾股定理、三角函數(shù)的應用，解題的關鍵是熟知三角形的面積的求法、

正切的定義及網(wǎng)格的特點.

【題型4根據(jù)三角形的中線求解】

【例4】（2023?湖北?統(tǒng)考中考真題）如圖，點G為A43C的重心，D,E,尸分別為2C,CA,N2的中點,

具有性質：AG：GD=BG：GE=CG：GF=2：1.已知A4FG的面積為3,則A48C的面積為.

【答案】18

【分析】根據(jù)線段比及三角形中線的性質求解即可.

【詳解】解：???CG：GF=2：1,41尸G的面積為3,

-.AACG的面積為6,

.?.A4C尸的面積為3+6=9,

■:點、F為AB的中點，

-.AACF的面積的面積，

.??△^3。的面積為9+9=18,

故答案為：18.

【點睛】題目主要考查線段比及線段中點的性質，熟練掌握線段中點的性質是解題關鍵.

【變式4-1]（2023?福建泉州?模擬預測）如圖，BD是△ZBC的中線，AB=6,BC=4,△ABD^ABCD

【答案】2

【分析】本題主要考查了三角形中線的定義，三角形周長計算，根據(jù)三角形中線的定義得到4。=CD,再分

別求出兩個三角形的周長，然后作差即可得到答案.

【詳解】解：?.?BD是△ABC的中線,

.'.AD=CD,

△48。的周長=AB+BD+AD,

△BCD的周長=BC+CD+BD,

,,?AB=6,BC=4,

?'?AB+BD+AD—(BC+CD+BD)=AB+BD+AD—BC—CD—BD=AB—BC—2,

△ABD和△BCD的周長差為2,

故答案為：2.

【變式4-2](2023?湖南?中考真題)如圖，在aABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線,

1

ZC=45°,sinB-,AD=1.

(1)求BC的長；

(2)求tan/DAE的值.

【答案】(1)2V2+1；(2)V2-1

【分析】(1)先由三角形的高的定義得出NADB=NADC=90。，再解RdADC,得出DC=1；解RCADB,

得出AB=3,根據(jù)勾股定理求出BD=2V2,然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解.

(2)先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE-CD,然后在RtAADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即

可求解.

【詳解】解：(1)在AABC中，rAD是BC邊上的高，

.-?ZADB=Z.ADC=9O°.

在AADC中，??2ADC=90°,zC=45°,AD=1,

???DC=AD=1.

1

itAADB中，??■ZADB=9O°,sinB=jAD=1,

??.BD=VAB2-AD2=V32-12=2V2.

.,.BC=BD+DC=2^2+1.

(2)rAE是BC邊上的中線，.?.CE=3BC=?+g.

.?.DE=CE-CD=V2-1.

DE1

.".tanzDAE=—=V2—

【點睛】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解RtaADC與

RtAADB,得出DC=1,AB=3是解題的關鍵.

【變式4-3](2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題)如圖，BE是△ABC的中線，點廠在8E上，延長4尸交BC于點

D.若BF=3FE,則穿=.

【答案】|

【分析】連接助，由BE是△48C的中線，得至IJS^BE=SmcE，S^AED=SAEDC，由BF=3FE,得到

受空=3,產(chǎn)=3,設S^EF=X，SAEF。=%由面積的等量關系解得久=3，最后根據(jù)等高三角形的性質解

、公AFE、4FED3"

得沁=罷，據(jù)此解題即可.

【詳解】解：連接EZ)

BE是△ABC的中線

^AABE—S&BCE，^AAED=^AEDC

???BF=3FE

.S&w尸_3S^BFD_3

S&4FES&FED

設尸=%,S4￡77。=y,

???^AABF=3%,S^BFD=3y

???^AABE=4%,S2\BEC=4%,S2\BEO=4y

???S^EDC=S^BEC—^^BED=4x—4y

???^AADE=S^EDC

?,-%+y=4%—4y

5

???x=-y

???△ZBD與△/DC是等高三角形，

._BP_3久+3y_3x+3y3x|y+3y_8y_3

SAADCDCx+y+4x—4y5x—3y5x-y—3y-y2’

故答案為：

【點睛】本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關

鍵.

【題型5與垂心性質有關的計算】

【例5】（2023?山東威海?統(tǒng)考模擬預測）【信息閱讀】垂心的定義：三角形的三條高（或高所在的直線）

交于一點，該點叫三角形的垂心.

【問題解決】如圖，在△ABC中，^ABC=40°,^ACB=62°,X為△ABC的垂心，貝比8”。的度數(shù)為

（）

A.120°B.115°C.102°D.108°

【答案】C

【分析】如圖，延長分別交于KM證明乙4"。=乙4K8=90。,再利用三角形的內角和定理求

解N4再利用四邊形的內角和定理可得答案.

【詳解】解:如圖，延長BH,C解分別交于KM

為△力BC的垂心，

■.BK1AC.CM1AB,

???Z.AMC=/.AKB=90°,

?-?Z.ABC=40°,zXCB=62°,

???A.BAC=180°-40°-62°=78°,

；.4MHK=360°-^AMC-乙AKB-N4=102°,

：.7.BHC=102°.

故選：C.

【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理，四邊形的內角和定理，垂心的定義，正確理解垂心的定義構

建需要的四邊形是解題的關鍵.

【變式5-1](2023?陜西西安?高新一中?？寄M預測)如圖，H、。分別為aABC的垂心、外心，

ABAC=45°,若△力BC外接圓的半徑為2,則()

A.2V3B.2V2C.4D.V3+1

【答案】B

【分析】連接BO并延長交。。于點D,連接HC,CD,DA,由圓周角定理的推論，可得DC1BC,

DAIAB,由三角形的垂心的定義得AHLBC,CHIAB,從而得四邊形AHCD是平行四邊形，結合

/.BAC=45°,△48C外接圓的半徑為2,即可求解.

【詳解】連接BO并延長交。。于點D,連接HC,CD,DA.

?.?點O是△力BC的外心，

??.BD是。。的直徑，

.?.DC1BC,DA1AB,

又???點H是△4BC的垂心，

???AH1BC,CH1AB,

.?.AHIIDC,CHHDA,

.??四邊形AHCD是平行四邊形，

.?,AH=DC,

=45°,△4BC外接圓的半徑為2,

.-.ZBDC=ZBAC=45°,BD=4,

???AH=DC=BD-V2=4-V2=2V2.

故選B.

【點睛】本題主要考查三角形外心與垂心的定義，圓周角定理及其推論，平行四邊形的判定和性質定理，

掌握三角形外心與垂心的定義，添加合適的輔助線，構造平行四邊形和等腰直角三角形，是解題的關鍵.

【變式5-2］（2023?河北?模擬預測）已知銳角△A8C的頂點4到垂心H的距離等于它的外接圓的半徑，則乙4

的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】設AABC的外心為O,D為BC的中點，BO的延長線交。。于點E,連CE,AE.因為銳角4ABC

的垂心在三角形內部，得到平行四邊形AHCE,根據(jù)已知條件和三角形的中位線定理，得

OB=AH=CE=2OD,根據(jù)直角三角形的邊角關系求得NBOD=60。，進一步根據(jù)圓周角定理求解.

【詳解】解：如圖，設aABC的外心為O,D為BC的中點，B0的延長線交。0于點E,連CE,AE,

?.BE為OO的直徑，

.-.ZBCE=ZBAE=9O°,即AE1AB,EC1BC,

,??銳角4ABC的垂心在三角形內部，且H為三角形的垂心，

貝UCE//AH,AE//CH,

???四邊形AHEC為平行四邊形，

???AH=EC,

而4到垂心H的距離等于它的外接圓的半徑，

.--0B=AH=CE=20D,0D//EC,

.?.sinNOBD螳=；,0D1BC,

UDZ

.-.ZOBD=30°,

.-.ZBOD=60°,

連接oc,

.-.ZBOC=120°,

1

.-.zA-zBOC=60°.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質、三角形的中位線定理、圓周角定理以及垂心、外心的概念,

三角形的垂心即為三角形的三條高的交點，三角形的外心即為三角形的垂直平分線的交點.

【變式5-3](2023?福建泉州?南安市實驗中學?？寄M預測)如圖1,設2MBe是一個銳角三角形，且

ABAC,r為其外接圓，0、”分別為其外心和垂心，CD為圓r直徑，M為線段BC上一動點且滿足

AH=20M.

(1)證明：M為8c中點；

(2)過0作BC的平行線交48于點E,若尸為4H的中點，證明：EF1FC-

(3)直線2M與圓廠的另一交點為N(如圖2),以AM為直徑的圓與圓廠的另一交點為P.證明：若AP、BC、

?！比€共點，貝M”=HN；反之也成立.

A

圖1圖2

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【分析】（1）連接AD,BD,得N408=N08C=90。，結合H為垂心，〃4H,得出四邊形力

為平行四邊形，得到BD=4"，結合平行，。為CD中點，可得M為BC中點;

（2）過E作EGLBC,由EGHF,EGF4為平行四邊形，證明H為“"GC的垂心，從而得到EFLFC；

（3）設AM與。尸交點為/,得到MH14P,證明H是ZL4MQ的垂心，證明4P、BC、?！叭€共點得O,H,Q三

點共線，得到4”="N.

【詳解】解：（1）連接則DALAC,DBVBC

又H為ZL4BC垂心

.-.BH1AC,AHLBC

.-.AD//BH,BD//AH

.?.四邊形4DBH為平行四邊形

.?.DB=AH=20M,又。為CD中點

.?.M為BC中點

(2)過E作EG1BC

連接GH,由（1）可知四邊形EGHF為平行四邊形，四邊形EGB4為平行四邊形

■,-CHLAB,AB||GF

.-.CH1GF

為/FGC垂心

:.GH1CF,而GH||EF

：.EF1FC

（3）設AM與。F交點為/

由（1）可知四邊形。河凡4為平行四邊形

???/為直徑4M中點

而圓/與圓門1交弦為2P

.-.OF14P,而MH||OF

.-.MH1AP

設MC/P交于Q

則H為A4MQ垂心

:.QH1AM

AP、BC、。"三線共點=。，從Q三點共線

=OHLAN=AH=HN

【點睛】本題考查了圓內的綜合問題，熟知圓的性質，平行四邊形的判定和性質，垂心的作用是解題的關

鍵.

【題型6利用三角形的三邊關系求解】

【例6】（2023?四川?中考真題）若實數(shù)x、y滿足|x—4|+J曰=0,則以x、y的值為邊長的等腰三角形

的周長為—.

【答案】20

【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質列式求出x、y的值，再分4是腰長與底邊兩種情況討論求解：

【詳解】根據(jù)題意得，x-4=0,y-8=0,解得x=4,y=8.

①4是腰長時，三角形的三邊分別為4、4、8,

「4+4=8,.?.不能組成三角形，

②4是底邊時，三角形的三邊分別為4、8、8,

能組成三角形，周長=4+8+8=20.

所以，三角形的周長為20.

【變式6-1］（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm）,其中

能搭成一個三角形的是（）

A.5,7,12B.7,7,15C.6,9,16D.6,8,12

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的三邊關系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進行分析判斷.

【詳解】A、5+7=12,不能構成三角形，故此選項不合題意；

B、7+7=14<15,不能構成三角形，故此選項不合題意；

C、6+9=15<16,不能構成三角形，故此選項不合題意；

D、6+8=14>12,能構成三角形，故此選項符合題意.

故選：D.

【點睛】此題考查了三角形三邊關系，看能否組成三角形的簡便方法：看較小的兩個數(shù)的和能否大于第三

個數(shù).

【變式6-2]（2023?貴州?統(tǒng)考中考真題）平面內，將長分別為1,5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成

5

A.1B.2C.7D.8

【答案】C

【分析】如圖（見解析），設這個凸五邊形為4BCDE,連接力&CE,并設力C=a,CE=b,先在△力BC和△CDE

中，根據(jù)三角形的三邊關系定理可得4<a<6,0<b<2,從而可得4<a+b<8,2<a-b<6,再在

△4CE中，根據(jù)三角形的三邊關系定理可得a—b<d<a+b,從而可得2Vd<8,由此即可得出答案.

【詳解】解：如圖，設這個凸五邊形為力BCDE,連接2C,CE,并設4C=a,CE=b,

在△4BC中，5-l<a<l+5,即4<a<6,

在△?）￡1中，l-l<b<l+l,即0<6<2,

所以4<a+b<8,2<a—b<6,

在中，a—b<d<a+b,

所以2<d<8,

觀察四個選項可知，只有選項C符合，

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形的三邊關系定理，通過作輔助線，構造三個三角形是解題關鍵.

【變式6-3]（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）如圖，在八42。中，BC=3,將A42c平移5個單位長度得到

△AIBJCI，點、P、0分別是N8、4G的中點，的最小值等于.

A

A

BiQ

【答案】|

【分析】取力C的中點M,41%的中點N,連接PM,MQ,NQ,PN,根據(jù)平移的性質和三角形的三邊關系即

可得到結論.

【詳解】解：取4c的中點M,的中點N,連接PM,MQ,NQ,PN,

?.?將448c平移5個單位長度得到△力道道1，

.血的=BC=3,PN=5,

???點P、Q分別是48、&Q的中點，

13

???NQ=萬BiCi=

33

.?-5--<PQ<5+-,

即朵PQ號，

???PQ的最小值等于［，

故答案為：

【點睛】本題考查了平移的性質，三角形的三邊關系，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵.

【題型7利用三角形內角和定理求解】

【例7】（2023?黑龍江哈爾濱??？寄M預測）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90。，得到△力方

C,連接44,若〃4B'=20°,則NCB7T的度數(shù)是（）.

A.70°B.65°C.60°D.55°

【答案】B

【分析】由旋轉的性質可得2C=A1C,乙4a4'=90°,從而得到△ACA是等腰直角三角形，則NC44="A

A=45。，從而得到NB7TC=25,最后由NCB0=90°-AB0c進行計算即可得到答案.

【詳解】解：，?,將RtaABC繞直角頂點C順時針旋轉90。，得到連接44,

：.AC=A'C,AACA'=90°,

.?.△ac4是等腰直角三角形，

???/.CAA'=Z.CA'A=45°,

???/.AA'B'=20°,

???^.B'A'C=^CA'A-^AA'B'=45°-20°=25°,

???/LCB'A'+^B'A'C=90°,

???^LCB'A'=90°-^B'A'C=90°-25°=65°,

故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質、等腰直角三角形的判定與性質、三角形內角和定理，熟練掌握以上知識

點是解題的關鍵.

【變式7-1］（2023?青海西寧?統(tǒng)考中考真題）在△力BC中，AB=AC,ABAC=100°,點。在BC邊上，連

接2D,若△4BD為直角三角形，貝叱4DB的度數(shù)是.

【答案】50?；?0。

【分析】由題意可求出NB=ZC=40°,故可分類討論①當NBA。=90。時和②當N4DB=90。時，進而即可

求解.

【詳解】解：?."B=AC,ABAC=100°,

?.■△48。為直角三角形，

可分類討論：①當NB4D=90。時，如圖1,

：.^ADB=180°-4BAD-ZB=50°；

②當乙4DB=90。時，如圖2,

綜上可知N4DB的度數(shù)是50。或90。.

故答案為：50。或90。.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，三角形內角和定理.解答本題的關鍵是明確題意，利用等腰三

角形的性質和分類討論的數(shù)學思想解答.

【變式7-2］（2023?湖北?中考模擬）如圖，△4BC中，以2為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交力C、AB于

D、E兩點，并連接BD、DE.若44=30。，AB=AC,則NBDE的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質、三角形內角和等知識點，熟練運用“等邊對等角”求角的度數(shù)是解

題關鍵.

根據(jù)三角形內角和定理以及“等邊對等角“可得乙48c=^ACB=75。，再利用三角形的內角和定理可得

乙DBE=45°,最后再利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出48DE的度數(shù)即可.

【詳解】解：???4B=4C,

：.Z-ABC=Z-ACB,

???乙4=30°,

1

??/ABC=乙ACB=-(180°-30°)=75°,

??,以3為圓心，8c長為半徑畫弧，

.,.BE=BD=BC,

"BDC=乙ACB=75°,

"CBD=180°-75°-75°=30°,

"DBE=75°-30°=45°,

；/BED=乙BDE=|(180°-45°)=67.5°.

故選：A.

【變式7-3］（2023?江蘇?無錫市第一女子中學?？贾锌寄M）如圖，在△2C8和△DCE中,"==CE,

^ACB=ADCE=90°,連接力E、BD交于點。，4E與DC交于點M,BD與力C交于點N.試判斷AE、BD之間的

關系，并說明理由.

E

【答案】4E=BD且力E1BD,理由見解析

【分析】根據(jù)N4CB=NDCE=90。，可得乙DCB=4ACE,已知AC=BC,CD=CE,可得△ACE三△BCD,

則4E=BD,乙CEA=4BDC,由NCME=NDM。，理由三角形內角賀可知

^CEA+ACME=ABDC+Z.DMO,進而可得NDOM=NECM=90。，AE1BD,即4E=B。且4E1BD.

【詳解】解：=且AELBD.理由如下：

■,■/.ACB=乙DCE=90°,

：.Z-ACB+^DCA=乙DCE+ZDC4,即NDCB=AACE,

-AC=BC,CD=CE,

△ACE=△BCD（SAS）,

：-AE=BD,Z-CEA=乙BDC,

???乙CME=^DMO,^DCE=90°,

貝！Jz_CEZ+乙CME=（BDC+乙DMO=90°

：,Z.DOM=乙ECM=90°,

：.AE1BD,

.'.AE=BDS.AELBD.

【點睛】本題考查全等三角形的性質及判定，三角形的內角和定理，證明△力CE三△BCD是解決問題的關

鍵.

【題型8三角形內角和與平行線的綜合應用】

【例8】（2023?四川?中考真題）如圖，在△ABC中,/.CAB=70°,將△ABC繞點A逆時針旋轉到△ABC

的位置，使得COII4B,戈此艮4B，的度數(shù)是（）

A.35°B.40°C.50°D.70°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質，結合旋轉性質，由等腰三角形性質及三角形內角和定理求解即可得到答案.

【詳解】解：■CC||AB,"AB=70°,

.-.Z.CCA=/.CAB=70°,

?.,將△4BC繞點4逆時針旋轉到△4BC的位置，

■.^C'AB'=^CAB=70°,AC=AC,

：./.AC'C=/.CCA=70°,

.-.AC'AC=180°-70°-70°=40°,

?-?Z.BAB'=乙CAB-CAB',/.CAC=Z.CAB'-CAB',

:ZBAB，=乙CAC=40°,即旋轉角的度數(shù)是40。，

故選：B.

【點睛】本題考查旋轉性質求角度，涉及平行線的性質、旋轉性質、等腰三角形的判定與性質及三角形內

角和定理，熟練掌握旋轉性質，數(shù)形結合，是解決問題的關鍵.

【變式8-1]（2023?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在△ABC中，CD1AB,垂足為點。，DEWAC,

交BC于點￡.若44=50。，貝此CDE的度數(shù)是（）

B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【分析】首先根據(jù)平行線的性質得NBDE=44=50。，再根據(jù)垂直的定義得NCDB=90。，進而根據(jù)

乙CDE=4CDB-N8DE即可得出答案.

【詳解】解：-??DE||AC,N4=50°,

???Z.BDE==50°,

vCDLAB,

：.Z.CDB=90°,

???Z.CDE=4CDB-乙BDE=90°-50°=40°,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質是解答此題的關鍵.

【變式8-2]（2023?江蘇?統(tǒng)考中考真題）如圖，AD//BC,AADC=120°,ABAD=3^CAD,E為/C上一

點，且N4BE=2NCBE,在直線NC上取一點P,^ABP=ADCA,則NCBP：N4BP的值為.

【答案】2或4

【分析】分點P在線段AC上、在CA的延長線上兩種情況，分別畫出圖形，結合圖形，利用三角形內角和、

平行線的性質，等量代換，得出各個角之間的倍數(shù)關系.

【詳解】如圖，①當NABPi=NDCA時，即N1=N2時，

VZD=120°,

???Z1+Z3=180°-120°=60°,

vZ.BAD=3ZCAD,匕ABE=2ZCBE,AD//BC,

3z3+3zEBC=180°,

???z3+Z.EBC=60°,

?e.Z.EBC=z.1=z.2=zPiBE,

???NCBPi：/ABPi的值為2,

②當NABP2=NDCA時，由①貝有NCBP2：NABP2的值為4,

故答案為：2或4.

【點睛】本題考查了三角形內角和定理、平行線的性質，以及分類討論思想的應用等知識，畫出相應圖形,

利用等量代換得出各個角之間的關系是解決問題的關鍵.

【變式8-3]（2023?浙江金華?一模）如圖，已知/8IICD,小妍同學進行以下尺規(guī)作圖：

①以點/為圓心，NC長為半徑作弧，交射線48于點E；

②以點￡為圓心，小于線段CE的長為半徑作弧，與射線CE交于點M,N；

③分別以點“，N為圓心，大于的長為半徑作弧，交于點尸，直線昉交CD于點G.若NCGE=a,

則入4的度數(shù)可以用a表示為（）

A.90?！猘B.90°-|aC.180°-4aD.2a

【答案】D

【分析】由作圖可知：/C=/￡,CELCE,所以UCE=，4EC,4CEG=90°,則NCGE+NECG=90。,所以乙項其7=90。-。,

再根據(jù)平行線的性質得々￡C=〃CG=9()o-a,即可由三角形內角和定理求解.

【詳解】解：由作圖可知：AC=AE,CEVCE,

：./-ACE=/-AEC,Z.CEG=90°,

.?ZCGE+N￡CG=9O。，

■■■/.ECG=90°-a,

■■■ABWCD,

:.UCE=UEC=^ECG=90°-a,

ZJ=180。-乙ICE-乙4EC=180°-2乙4EC=180°-2(90°-a)=2a,故D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查作線段等于已知線段，經(jīng)過上點作直線的垂線，平行線的性質，等腰三角形的性質，三

角形內角和定理，熟練掌握尺規(guī)基本作圖和三角形內角和定理是解題的關鍵.

【題型9三角形內角和與角平分線的綜合應用】

【例9】(2023?山東淄博?統(tǒng)考一模)如圖，在△ABC中，NB=30。，ZC=50°,通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡，

ADE4的度數(shù)是().

A.35°B.60°C.70°D.85°

【答案】D

【分析】由題可得，直線DF是線段力B的垂直平分線，4E為AD4C的平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質、

角平分線的定義以及三角形內角和定理求解即可.

【詳解】解:由題可得，直線。尸是線段4B的垂直平分線，4E為N04C的平分線，

：.AD=BD,乙DAE=Z.CAE,

:.乙B—Z.BAD—30°,

：.Z-ADC=Z-B+Z.BAD=60°,

vzC=50°,

：,Z.DAC=180°-60°-50°=70°,

i

.-.ADAE=^CAE="/.DAC=35°,

.-./.DEA=Z.C+/.CAE=85°.

故選D.

【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質、角平分線的定義、三角形內角和定理，熟練掌握線段垂直平分

線的性質、角平分線的定義是解答本題的關鍵.

【變式9-1]（2023?浙江?中考真題）如圖，在A42。中，點P是AIBC的內心，則NP3C+NPC4+NP4B=

度.

【答案】90

【分析】根據(jù)三角形的內心的定義知內心是三角形三角平分線的交點，根據(jù)三角形內角和定理可以得到題

目中的三個角的和.

【詳解】解：?.,點尸是△ABC的內心，

；.PB平分UBC,P/平分乙B/C,尸C平分乙4C8,

■.■^ABC+^ACB+^BAC=ISO°,

：.Z.PBC+ZJ）CA+ZJ）AB=9O°,

故答案是：90.

【點睛】考查了三角形的內心的性質，解題的關鍵是正確的理解三角形的內心的定義，是三角形三內角的

平分線的交點.

【變式9-2]（2023?廣東佛山?校考一模）如圖，已知△A8C的三個內角的平分線交于點。，點。在C4的延

長線上，5.AD=A0,CB=CD,連接BD.

D

A

(1)求證：(OBD=乙ODB；

(2)若48AC=80。，求乙4cB的長度.

【答案】(1)見解析

(2)乙=60°

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質；

(1)由“SAS”可證△C。。三△COB,可得。0=。8,即可得結論；

(2)根據(jù)4員4c=80。，得48/0=100。，由角平分線可得444。=40。，從而得出4ZM。=140。，根據(jù)

AD=A0可得出乙。64=20。，即可得出NCB。=20。，則乙4BC=40。，最后算出=60。.

9

【詳解】(1)解：證明：???△/BC三個內角的平分線交于點。，

Z.ACO=Z.BCO,

在△COD和△COB中，

(CD=CB

\^OCD=乙OCB,

ICO=CO

???△COD三△COB(SAS),

OD=OB,Z,OBC=Z-ODC,

Z-OBD=Z.ODB；

(2)解：vL.BAC=80°,

???4BAD=100°,

???/,BAO=40°,

???^DAO=140°,

vAD—AO,

???AODA=20°,

???乙CBO=20°,

???AABC=40°,

???Z.BCA=60°.

【變式9-3］（2023?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△A8C中，AB=4C/D為△ABC的角平分線.以點

4圓心，4D長為半徑畫弧，與AB/C分別交于點E,F,連接DE,DF.

（1）求證：AADE=AADF；

（2）若ABAC=80°,求NBDE的度數(shù).

【答案】（1）見解析

QMBDE=20°

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出=由作圖可得力E=4F,即可證明△4DE三△4DF；

（2）根據(jù)角平分線的定義得出4E4D=40。，由作圖得出=則根據(jù)三角形內角和定理以及等腰三角

形的性質得出NADE=70。，AD1BC,進而即可求解.

【詳解】（1）證明：?./￡＞為△ABC的角平分線，

■■■/-BAD=Z.CAD,

由作圖可得4E=AF,

在△2DE和△4DF中，

（AE=AF

1/.BAD=/.CAD,

IAD=AD

AADE=AADF（SAS）;

（2）-ABAC=80°,4D為△ABC的角平分線，

■.^EAD=40°

由作圖可得4E=4。，

：.^ADE=70°,

■：AB=AC,4。為△ABC的角平分線,

.-.AD1BC,

"BDE=20°

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，角平分線的定義，熟練掌握等

腰三角形的性質與判定是解題的關鍵.

【題型10利用三角形內角和定理解決三角板問題】

【例10】（2023?青海?統(tǒng)考中考真題）一副三角板疊在一起如圖放置，最小銳角的頂點。恰好放在等腰直

角三角板的斜邊上，/C與DM、ON分別交于點￡、F,把△兒QN繞點。旋轉到一定位置，使得DE=D尸,

A.105°B.115°C.120°