新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：等式與不等式的性質(zhì)（原卷版+解析）

專題03等式與不等式的性質(zhì)

【命題方向目錄】

命題方向一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

命題方向二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

命題方向三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

命題方向四：不等式的綜合問(wèn)題

命題方向五：糖水不等式

【2024年高考預(yù)測(cè)】

2024年仍將與集合運(yùn)算結(jié)合重點(diǎn)考查一元二次不等式解法與分段函數(shù)不等式的解法，基本不等式多在

解析幾何、函數(shù)最值中考查，難度為基礎(chǔ)題或中檔題.

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

1、兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>0<i^a>b,

作差法<a—6=0=a三瓦（a,beR））

a-b<0a<b.

2、等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)稱性：如果a=b,那么b=a；

性質(zhì)2傳遞性：如果a=A,b=c,那a=c；

性質(zhì)3可加（咸）性：如果那么a±c=Z?±c；

性質(zhì)4可乘性：如果。=人，那么ac=Z>c；

?7h

性質(zhì)5可除性：如果〃="cw0,那一=—.

CC

3、不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)稱性：a>b^^b<a；

性質(zhì)2傳遞性：a>b,b>cna>c；

性質(zhì)3可加性：a>b<^>a+c>b+c；

性質(zhì)4可乘性：a>b,c>Q^>ac>bc；a>b,cac<bc

性質(zhì)5同向可加性：a>b,c>d^a+c>b+d；

性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>Q,c>d>Q^>ac>bd；

性質(zhì)7同正可乘方性：?>Z?>O=>a">/?"（neN,H..2）.

【方法技巧與總結(jié)】

1、若ab>0,且a>bo—<—

ab

若>>a>0,根>0=>—>--------

aa+m

【典例例題】

命題方向一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【通性通解總結(jié)】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說(shuō)明.

2、充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷.

3、小題可以用特殊值法做快速判斷.

例1.（2023?北京?人大附中?？寄M預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)。、b滿足標(biāo)>廿>0,則下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.2a>2b

22

C.a>\b\D.log2a>log2b

例2.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若“，b,ceR,且則下列不等式一定成立的是（）

2

A.a+c>b—cB.（tz—Z7）c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

例3.（2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知Iog5〃>log5入則下列不等式一定成立的是（）

A.4a<4bB.log5（tz-/?）>0

C.5a~b>1D.ac>bc

變式1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）兩兩不同的不，%2,%，%，％，為滿足：石+弘=%+%=%3+%且滿足

再<X，尤2<>2，“3<%，+*3%=2%2%>。.則下列一'定成的是（）

+%3>23>

A.玉々B.+x3<2X2C.占%考D.x1x3<xf

變式2.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列不等式正確的是（）

A.若歐2Nbc?,則-N）

B.若￡>￡,則〃<6

C.若1+人>0,c-b>0,貝!

—什八，cla+ma

D.右a>0,Z?>0,m>0,且7則---->—

b+mb

變式3.（2023?北京朝陽(yáng)?統(tǒng)考一模）若a>0>b,貝?。。ǎ?/p>

A.a3>b3B.\a\>\b\C.3GD.ln（a-&）>0

命題方向二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

【通性通解總結(jié)】

比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利用函數(shù)的單調(diào)

性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

U）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論.

作商比較大?。ㄒ话阌脕?lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于。或1比較大

小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是暴或者因式

乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：

bbb

若a>0/>0,貝U—=—<lob<a；—=l=b=a；

aaa

bbb

右a<0,Z?<0,貝！J——<1<^>b>a；—=lob=a.

aaa

例4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若0<a<6,。+人=1,則將a,b,^,2ab,cr+b2從小到大排列為.

例5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)f=a+2b,s=a+b2+\,則s與t的大小關(guān)系是.

例6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知〃=/一3尤,N=-3/+x-3,則的大小關(guān)系是.

變式4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若。=殍，匕=與，貝16（填“>”或

ha

變式5.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）（1）已知cVdVO,求證：——<——；

a-cb-d

（2）設(shè)x,yeR,比較（--丁丫與孫（無(wú)一的大小.

變式6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）（1）試比較（x+l）（x+5）與@+3）2的大小;

（2）已知求證:ab>0.

命題方向三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

【通性通解總結(jié)】

在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí)，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每個(gè)變量的范圍,

否則會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，而只能建立己知與未知的直接關(guān)系.

例7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知YVa-cV-l,-l<4a-c<5,9a-c的取值范圍是

例8.（2023?四川成都?高三成都七中?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x、y滿足-14x+y41,l<x+2y<3,貝|

x+3y的取值范圍是.

例9.（2023?上海?高三專題練習(xí)）x-y<0,x+y-l>0,貝z=x+2y的最小值是.

變式7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x、y滿足-2V元+2y<3,-2<2x-y<0,貝i]3元-4y的取

值范圍為.

變式8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知有理數(shù)a,b,c,滿足a>b>c,且a+b+c=0,那么二的取值范

a

圍是.

變式9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知，〈月〈兀，貝!J2a-與的取值范圍是.

變式10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知-2vav3,2<b<3,則/的取值范圍為_(kāi)_________.

b

變式11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=加一力滿足L—14/⑵45,則式3）的取

值范圍是.

丫2X

變式12.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)羽y為實(shí)數(shù)，滿足3（孫2?8,4<—<9,則不的最小值是

yy

n—2c

變式13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c,當(dāng)c>0時(shí)，b<2a+3c且6c=片，則一一

b

的取值范圍是.

命題方向四：不等式的綜合問(wèn)題

例10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)。也c滿足3。+3〃=3"+J3a+3b+3C=3a+b+c,則c的最大值為

例11.（多選題）（2023?山東?校聯(lián)考二模）已知實(shí)數(shù)a,6,c滿足“>〃>c,且a+b+c=0,則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.--->―-—B.a—c>2bC.a2>b1D.ab+bc>0

a-cb-c

例12.（多選題）（2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模）若6a=26=3,則（）

”1

A.B.ab<—

a4

11

C.a9+b9v—D.h—a>一

25

變式14.（多選題）（2023?山東濰坊?統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)3>5>0,則（）

、bb+2171—八一Ia+bIg?+lgZ?

A.一<----B.QH->b-\—C.cib>baD.1g------->-------------

aa+2ba22

變式15.（多選題）（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知〃，b都是正實(shí)數(shù)，則下列不等式中恒成

立的是（）

A.（。+甸B.（。+由+）6

a1

C.Q2T—>3aD.----------<-

2ci—a+12

變式16.（多選題）（2023?福建?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（）

b

A.b>2B.a>2C.ab>2D.Q2+〃的最小值為6

變式17.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a,b,。滿足〃+/?+c=0,〃2+》2+/=],則〃的最大值是

變式18.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若％,yeR,設(shè)2孫+3/—工+》,則M的最小值為

變式19.（多選題）（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）已知正數(shù)％,y滿足V=y3<i,則下列結(jié)論正確的是（）

A.0<x<y<lB.0<y<x<l

C.H一尤|4D.|/-x2|<^-

命題方向五：糖水不等式

【通性通解總結(jié)】

糖水不等式：若a>6>0,m>0,則一定有"二>?,或者9上

a+mab+mb

例13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知如糖水中含有ag糖若再添加糖完全溶解在其中，

則糖水變得更甜了（即糖水中含糖濃度變大）.根據(jù)這個(gè)事實(shí)，下列不等式中一定成立的是（）

人aa+ma+ma+2m

A.->-------B.-------<---------

bb+mb+mb+2m

2]

C.（67+2m）（&+m）<（tz+m）（&+2m）D.不-->^q-

b

例14.（2023?四川涼山?統(tǒng)考一模），克糖水中含有b克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為一，這個(gè)質(zhì)量比決

a

定了糖水的甜度，如果再添加加克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，對(duì)應(yīng)的不等式為/7把+二w>上h

a+ma

（a>A>0,機(jī)>0）.若再=1（^2,x2=log1510,x3=log4520,則

A.xx<x2<x3B.\<x3<x2

C.玉<再<%2D.X3<X2<Xj

例15.（2023?山西?統(tǒng)考一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會(huì)更甜.這句話用數(shù)學(xué)符號(hào)可表

示為：2h〈竺h+竺m，其中且〃，b,meR+.據(jù)此可以判斷兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，比如85黑436罷623胃9

aa+m998763421

854366236（填,y）.

998763418

b

變式20.（2023?福建?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若?？瞬伙柡吞撬泻衎克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為一，這個(gè)

a

質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，從而可抽象出

不等式/7竺+絲w7>h2（a>6>0,〃?>0）數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出log?2

a+ma

log/。（用“〈”或""填空）；并寫(xiě)出上述結(jié)論所對(duì)應(yīng)的一個(gè)糖水不等式.

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2023?天津?統(tǒng)考一模）設(shè)。>0,b>0,貝廣是/<[”的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知a-6e[0,l],a+6e[2,4],則4a-26的取值范圍是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

3.（2023?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x<>,設(shè)。=打工+丁，b=yey+x,c=yex+x（其中e為

自然對(duì)數(shù)：e?2.71828）,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“x>y”的一個(gè)充分條件可以是（）

A.2x~y>-B.x2>345/

2

V

C.->1D.xt2>yt2

y

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)a,b,。滿足a>h>c,則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.aob2B.ab2>cb*1

-217111

C.QHz->b-\—D.------>-------

abb—ca—c

6.（2023?貴州銅仁?高三統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)無(wú)，y分別是方程1〃+上-1|=1的解，則2x+y的取值范圍是

)

A.[0,2]B.[-2,2]C.[0,3]D.[-3,3]

7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某城市有一個(gè)面積為Ikmz的矩形廣場(chǎng)，該廣場(chǎng)為黃金矩形（它的寬與長(zhǎng)的

比為鋁），現(xiàn)在在中央設(shè)計(jì)一個(gè)矩形草坪，四周是等寬的步行道，能否設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)牟叫械赖膶挾仁咕匦?/p>

草坪為黃金矩形？則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.步行道的寬度10mB.步行道的寬度20m

C.步行道的寬度30mD.草坪不可能為黃金矩形

x+y>1

8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)羽y滿足5x+2”2'則的取值范圍（)

A.口+8）B.[3,+QO)C.[4,+oo)D.[9,+oo)

二、多選題

9.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考一模）已知a,b,ce（O,y）,則下列說(shuō)法正確的是（)

A.若b<c,則B.若a>b,貝！J"〉。，

C.a+b+J—>2A/2D.

yJabab

10.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知。/為實(shí)數(shù)，且痣，則下列不等式正確的是（)

A.a2>b2B-

b+1bD.b+-^—>\

C.------>—

a+1ab+1

11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x,y滿足-3<%+2y<2,-1<2%-丁<4,則()

A.X的取值范圍為（-1,2）B.y的取值范圍為（-2,1）

C.x+y的取值范圍為（-3,3）D.X—V的取值范圍為（-1,3）

12.（2023?湖南永州?統(tǒng)考三模）已知a,〃,cwR,下列命題為真命題的是（）

A.若b<a<0,^]b-c2<ac2B.若b>a>。>c,貝!]—<—

ab

b--H-,八rmaa+c

C.若c>Z?>a>0,貝Ua>D.右a>b>c>0,貝----

c-ac-bbb+c

三、填空題

13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若整數(shù)尤滿足5+&?<x（回+2,則無(wú)的值是.

已知（X-1）2>4,則在:的取值范圍是

14.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）

15.（2023?北京房山?統(tǒng)考一模）能夠說(shuō)明“設(shè)。也。是任意實(shí)數(shù)，若a<b<c,則ac<be”是假命題的一組整

數(shù)°,反c的值依次為

16.（2。23.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，九滿足"2則z=2xf的取值范圍是

.（用區(qū)間表示）

四、解答題

17.（2023?河北?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知l<a<4,2Vb<8,分別求

a

⑴工

b

（2）2。+38

（3）a-b的取值范圍.

ab

18.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）比較丁+乙=與6+JF（a>0,力>0）的大小.

7b7a

22

〃2AA〃2

19.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知&>1,M=—+—,N=—+—.

a-1b-1a-1b-\

（1）試比較M與N的大小，并證明；

（2）分別求M,N的最小值.

20.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知2<b<S,試求。一6與￡的取值范圍.

21.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）求出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一提出與原來(lái)問(wèn)題有關(guān)

的新問(wèn)題，我們把它稱為原來(lái)問(wèn)題的一個(gè)“逆向”問(wèn)題.例如，原來(lái)問(wèn)題是“若直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分

別為3和4,求該直角三角形的面積”，求出面積6后，它的一個(gè)“逆向”問(wèn)題可以是“若直角三角形的面積

為6,一條直角邊長(zhǎng)為3,求另一條直角邊的長(zhǎng)”.試給出問(wèn)題“已知c=a+b,若”aW2,-l4芯3,求c的

取值范圍”的一個(gè)‘逆向”問(wèn)題，并解答你所給出的“逆向”問(wèn)題.

22.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知下列三個(gè)不等式：①ab>0；②￡>?；③bead,以其中兩個(gè)作為

ab

條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，則可組成幾個(gè)正確命題？并選取一個(gè)結(jié)論證明.

專題03等式與不等式的性質(zhì)

【命題方向目錄】

命題方向一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

命題方向二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

命題方向三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

命題方向四：不等式的綜合問(wèn)題

命題方向五：糖水不等式

[2024年高考預(yù)測(cè)】

2024年仍將與集合運(yùn)算結(jié)合重點(diǎn)考查一元二次不等式解法與分段函數(shù)不等式的解法,

基本不等式多在解析幾何、函數(shù)最值中考查，難度為基礎(chǔ)題或中檔題.

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

1、兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a-b>0a>b,

作差法<a-b=0=a三b,（a,beR））

a-b<0<i^a<b.

2、等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)稱性：如果。=〃，那么匕=。；

性質(zhì)2傳遞性：如果a=/?,b=c,那4=。；

性質(zhì)3可加（咸）性：如果。=匕，那么a土c=b土c；

性質(zhì)4可乘性：如果。=人，那么ac=Z>c；

性質(zhì)5可除性：如果a=A,c/0,那^=上.

cc

3、不等式的性質(zhì)

性質(zhì)1對(duì)稱性：a>bob<a；

性質(zhì)2傳遞性：a>b,b>cna>c；

性質(zhì)3可加性：a>b<^a+c>b+c；

性質(zhì)4可乘性：a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0=ac<bc

性質(zhì)5同向可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；

性質(zhì)6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0^ac>bd；

性質(zhì)7同正可乘方性：a〉b〉O=>a">夕（〃eN,4.2）.

【方法技巧與總結(jié)】

1、若ab>0,且a>bo—<—

ab

b—b+mb+m

2、若a>>>0,根>0=>

aa

若方>a>0,根>0=>—>--------

aa+m

【典例例題】

命題方向一：不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【通性通解總結(jié)】

1、判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說(shuō)明.

2、充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷.

3、小題可以用特殊值法做快速判斷.

例L（2023?北京?人大附中校考模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)。、。滿足標(biāo),則下列不等式中

成立的是（）

A.a>bB.2">2"

22

C.a>\b\D.log2a>log2Z?

【答案】D

【解析】由題意，a2>b2>0,所以logz">k>g"2,故D正確;

當(dāng)。=一2,6=-1時(shí)，a2>&2>0,但a<6,2"<2"，同，故A,B,C錯(cuò)誤.

故選：D.

例2.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若“，b,ceR,且a>6,則下列不等式一定成立

的是（）

2

A.a+c>b—cB.（tz-&）c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

【答案】B

【解析】若。=2,b=l,c=-2,滿足但a+c=0,b-c=3,a+c>b—c不成

立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

a>b,c2>0,則有〃/之兒2,gp^-^c^O,B選項(xiàng)正確；

a>b,當(dāng)c<0時(shí)，反不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

2

當(dāng)°2=0時(shí)，」c—=0,則D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

a-b

故選：B

例3.(2023?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知觀5。>1唱6,則下列不等式一定成立的是()

A.4a<y/bB.Iog5(a-Z?)>0

C.5a~b>1D.ac>be

【答案】C

【解析】由logs。>logs"可知a>b>0,所以而>揚(yáng)，所以A錯(cuò)誤；

因?yàn)?6>0,但無(wú)法判定與1的大小，所以B錯(cuò)誤；

當(dāng)cWO時(shí)，ac<bc,故D錯(cuò)誤；

因?yàn)椤?6>0,所以5~>5°=1,故C正確.

故選：C.

變式1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))兩兩不同的尤-尤2,毛，%，%，為滿足：

%%=9+%=退+%且滿足為<%<%，工<%，為%+W為=2%%>°.則下列一定

成立的是()

A.\+x3>2X2B.占+無(wú)3<2X2C.xtx3>D.x1x3<xf

【答案】A

【解析】方法1：設(shè)條件①:%+%=無(wú)2+%=無(wú)3+%，

②：xl<yl,x2<y2,x3<y3,

③XM+W%=2x2y2>0,

由題設(shè)x1+y1=x2+y2=x3+y3=k,

并令f(^x)=x[k-x)=-x1-\-kx,

則占%=%((一期)=/(%),

同理,工3%=『(W)，

條件③轉(zhuǎn)化為'叫“』)=/(%),

考慮到函數(shù)/'(x)為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，如圖所示：

它在定義域內(nèi)整體為上凸函數(shù),

因此）（占）；/口3）=/（/）.

由條件①可得，x,.<^1>=|（z=l,2,3）,

且函數(shù)/a）在'”，■!）上單調(diào)遞增，

因此/（%2）<兀2<"1,

即2X2<玉+工3恒成立,

故選：A.

方法2：由題設(shè)石+X=%2+%=*3+%=9,并令X]=1,%2=2,%3=4,

則X=8,%=7,必=5,滿足條件，

則選項(xiàng)A,B,玉+F>2%=1+4>2X2,故A正確，B不正確；

此時(shí)用W>考=1x4=22,故C,D均不正確，

故選：A.

變式2.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列不等式正確的是（）

A.若ac?N雨,則a

B.若￡〉，，則〃</?

ab

C.若a+b>0,c-b>0,則Q>C

,a+ma

D.右〃>0,b>0,m>0,且〃</?,則---->—

b+mb

【答案】D

【解析】對(duì)于A,當(dāng)c=0,a=-l,0=2時(shí)滿足aH之人/,但〃〈匕，所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,當(dāng)。=一1,〃=一2,人=一3時(shí)，滿足￡〉，，但所以B錯(cuò)誤;

ab

3

對(duì)于C,由不等式的基本性質(zhì)易知a+c>0,當(dāng)1=-1b=一,c=2時(shí)滿足a+b>0,

2

c—Z?>0,但a<c,所以C錯(cuò)誤;

a+maa+m)b-a(b+m)(b-a)m0LLAI〃+機(jī)a,,__

對(duì)于D,所以^——>：,故D正確.

b+mb[b+m)b[b+m)bb+mb

故選：D.

變式3.（2023?北京朝陽(yáng)?統(tǒng)考一模）若a〉0>b,貝U（）

33問(wèn)〉網(wǎng)1<1

A.a>bB.C.a<bD.ln(tz-Z?)>0

【答案】A

33

【解析】a>O>bf:.a>0,b<0,即/>/,故A正確；

取〃=11=-2,則同>同不成立，故B錯(cuò)誤；

取。=1/=-2,則上<4不成立，故C錯(cuò)誤；

ab

^.a=—,b=――,則ln（a-〃）=Ini=0,故D錯(cuò)誤.

故選：A

命題方向二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式

【通性通解總結(jié)】

比較數(shù)（式）的大小常用的方法有比較法、直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)、基本不等式、利

用函數(shù)的單調(diào)性.

比較法又分為作差比較法和作商比較法.

作差法比較大小的步驟是：

（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論.

作商比較大?。ㄒ话阌脕?lái)比較兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：

（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論.

其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利

于。或1比較大小.

作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，

且是事或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法，作商法比較大小的原理是：

bbb

若a>0,b>0,則一>10>Q;—<1b<a；—=1<^>b=a

aaa

bbb

若a<0,b<0,則一>l=b<a；一=；—=\<=>b=a

aaa

例4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若0<〃<反。+6=1,則將〃也，2HM2十〃從小到大排列

為.

【答案】ci<lab<—<a2+b2<b

2

19

【解析】0<a<b,a+b=lf不妨令〃=

則有2M=§4,片+。2=§5,

.,.有b>+/>j_>2ab>a,

即a<lab<—<a2+b2<b.

2

故答案為：a<2ab<—<a~+b~<b.

2

例5.(2023?全國(guó)二專題練習(xí))設(shè)/_=a+2Z?,s=a+b2+1>則s與/'的大小關(guān)系是

【答案】s>t

【解析】s-t=a+b2+l-(a+2b)=b2-2b+l=(b-iy>0,

:.s>t.

故答案為：s>t.

例6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知M=爐-3x,N=-3x?+x-3,則M,N的大小關(guān)系

是.

【答案】M>N

【解析】因?yàn)榧?尤2-3尤，'=-3/+彳-3

所以加_"二#_3尤卜(_3彳2+犬—3)=4工2_4*+3=41_￡|+2>0

所以M>N.

故答案為：M>N.

變式4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若。=野，6=?，貝I。/填或

【答案】V

【解析】易知。，b都是正數(shù)，-=—=^4=—=log89>l,所以

a3In2ln23In8

故答案為：v

hn

變式5.(2023?高三課時(shí)練習(xí))(1)已知〃>b>0,cVdVO,求證：——<--；

a-cb-d

(2)設(shè)X,yeR,比較一/丫與xy(x-y)2的大小.

【解析】(1)由〃>。>0,cVdVO,得一c>—d>0,a—c>b—d>0,從而得

0<^—.

a—cb-d

又a>b>0,所以上〈二.

a-cb-d

(2)因?yàn)?犬2一>2『一孫(x-y)2=犬+；/一工3>-盯3=x3(x-y)+y3(〉-x)

=(x-y)(x3-/)=(x-y)2(x2+x^+y2)=(x-y)2(X+會(huì)］+|/20,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等

號(hào)成立，

所以當(dāng)x=y時(shí)，(x2-y2)2=xy(x-y)2；

當(dāng)時(shí)，(f_y2)2>盯(1_,)2.

變式6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))(1)試比較(x+l)(x+5)與(％+3『的大小;

(2)已知求證：ab>0.

ab

【解析】(1)由題意，(%+1)(%+5)—(X+3)2

—X2+6x+5—x2—6%—9——4<0,

所以(％+1)(X+5)<(X+3)2.

(2)證明：因?yàn)樯?lt;1，所以,一;<0,即”<。，

ababab

而a>〃，所以b—4<0,貝!得證.

命題方向三：已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍

【通性通解總結(jié)】

在約束條件下求多變量函數(shù)式的范圍時(shí)，不能脫離變量之間的約束關(guān)系而獨(dú)立分析每

個(gè)變量的范圍，否則會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大，而只能建立已知與未知的直接關(guān)系.

例7.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知TVo-cW-l,-l<4a-c<5,9a-c的取值范圍

是_______________

【答案】[一1,20]

【解析】設(shè)9a-c=m(a-c)+〃(4o-c),即9a-c=(〃7+4〃)a-(〃z+〃)c,

5

m=-

m+477=93

解得。

m+n=l

58

9Q—c———^u-c)+1(4q—c),

55/、20…

VM<^-c<-l,——(a—c)W—①，

33V73

QQA(\

V-l<4a-c<5,A-|<|(4<7-C)<—(2),

①+②，得—149a—cW20,即9〃一。的取值范圍[—1,20].

故答案為：[-1,20].

例8.(2023?四川成都?高三成都七中校考階段練習(xí))若實(shí)數(shù)x、y滿足-iWx+yWl,

l<x+2y<3,則尤+3y的取值范圍是.

【答案】[1,7]

\m+n=l\m=—V.

【解析】設(shè)％+3y=Mx+y)+〃(x+2y),則1々解得1。所以

m+2n=3\n=2

x+3y=—(x+y)+2(x+2加由情+2,3得｛2融(x+2y)6所以2(…+2(x+2y)7,

即1瓢+3y7.

故x+3y的取值范圍是[1,7].

故答案為：[L7].

例9.(2023?上海?高三專題練習(xí))X—y<0,x+y—l>0,貝ljz=%+2y的最小值是

3

【答案】1/1.5

I+〃=]

【解析】設(shè)x+2y=〃z(x+y)+”(x—y)=(m+“)x+(m—")y,貝時(shí),解得

[m—n=2

[3

m=—

,2

1，

n=----

[2

313

所以，z=x+2y=-(x+y)--(x-y)>-)

3

因此，z=x+2y的最小值是].

3

故答案為：

變式7.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)x、y滿足-2<x+2y<3,-2<2x-y<0,

則3x-4y的取值范圍為.

【答案】[-7,2]

fm+2n=3(m=-l

【解析】設(shè)力—4、=皿尤+2丁)+〃(2元一〉)，貝葉,，解得c，

\2m—n=-^[〃=2

所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y),

因?yàn)椤?Vx+2yV3,-2<2.x-y<0,

所以一34一(尤+2y)V2,-4<2(2x-y)<0,

所以-7W3x-4y<2,

故答案為：[-7,2].

變式8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知有理數(shù)a,b,c,滿足a>b>c,且a+6+c=0,

那么反的取值范圍是

a

【答案】-2<-<4

a2

【解析】由于a>Z?>c,且a+Z?+c=0,

以a>0,cvO,b——Q—c,—a—c<a,2Q>—c,—>—2,

a

—a—c>c,—a>2c,一<—,

a2

c1

所以—2<上<一上.

a2

c1

故答案為：-2<-<-4

a2

變式9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知0<a<Q,]<兀，貝!J2a-g的取值范圍是

715兀

【答案】

jr

【解析】因?yàn)椤?lt;二<大，所以0<2。<兀,

2

因?yàn)椋ㄘ?，所以?<一，<一?

2336

所以4<2"§<去

715兀

故答案為:

3,~6

變式10.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知-2vav3,2<&<3,則/的取值范圍為

b

3

【答案】（—1,：）

【解析】因?yàn)?<〃<3,所以:<?<!，因?yàn)椤?<a<3,

3b2

當(dāng)一2vav0時(shí)，Ov—a<2,所以0<----<1,所以—1<—<0；