2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)檢測四十三第五章三角函數(shù)5.2.2同角三角函數(shù)的基本關系含解析新人教A版必修第一冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測四十三同角三角函數(shù)的基本關系(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.(多選題)在△ABC中,給出下列4個說法,其中正確的說法是 ()A.若A<B,則sinA<sinBB.若sinA<sinB,則A<BC.若A>B,則QUOTE>QUOTED.若A<B,則cos2A>cos2B【解析】選A、B、D.A.若A<B,則a<b,2RsinA<2RsinB,所以sinA<sinB,所以該選項是正確的;B.若sinA<sinB,則QUOTE<QUOTE,所以a<b,則A<B,所以該選項是正確的;C.若A>B,設A=QUOTE,B=QUOTE,則QUOTE<0,QUOTE>0,所以該選項錯誤.D.若A<B,則sinA<sinB,sin2A<sin2B,所以-sin2A>-sin2B,所以1-sin2A>1-sin2B,所以cos2A>cos2B,故該選項正確.2.已知sinαcosα=QUOTE,0<α<QUOTE,則sinα+cosα的值是 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為sinαcosα=QUOTE,0<α<QUOTE,則sinα+cosα>0,2sinαcosα=QUOTE,所以1+2sinαcosα=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以sinα+cosα=QUOTE.3.(2024·棗莊高一檢測)若tanα=2,則sin2α-cos2α的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.方法一:由tanα=2,得sinα=2cosα,且sin2α+cos2α=1,所以5cos2α=1,得cos2α=QUOTE,所以sin2α-cos2α=QUOTE.方法二:由tanα=2,得sin2α-cos2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【補償訓練】已知tanα=3,則QUOTE的值是 ()A.2 B.-2 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選D.QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.4.已知QUOTE=2,則sinθcosθ的值是 ()A.QUOTE B.±QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.由題意得sinθ+cosθ=2(sinθ-cosθ),所以(sinθ+cosθ)2=4(sinθ-cosθ)2,解得sinθcosθ=QUOTE.【補償訓練】已知sinα-cosα=-QUOTE,則sinα·cosα等于 ()A.QUOTEB.-QUOTEC.-QUOTED.QUOTE【解析】選C.將所給等式兩邊平方,得1-2sinαcosα=QUOTE,故sinαcosα=-QUOTE.5.函數(shù)y=QUOTE+QUOTE的值域是 ()A.{0,2} B.{-2,0}C.{-2,0,2} D.{-2,2}【解析】選C.y=QUOTE+QUOTE.當x為第一象限角時,y=2;當x為第三象限角時,y=-2;當x為其次、四象限角時,y=0.6.已知tanα=3,則QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為tanα=3,所以cos2α≠0,于是有QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【補償訓練】若π<α<QUOTE,則QUOTE+QUOTE的化簡結(jié)果為 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選D.原式=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,因為π<α<QUOTE,所以原式=-QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)7.已知sinα+2cosα=0,則tanα=________;sin2α-2cos2α=________.

【解析】由sinα+2cosα=0得QUOTE=-2即tanα=-2;sin2α-2cos2α=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:-2QUOTE【補償訓練】已知cosα=-QUOTE,且tanα>0,則QUOTE=________.

【解析】由cosα<0,tanα>0知α是第三象限角,則sinα=-QUOTE,故原式=QUOTE=QUOTE=sinα(1+sinα)=QUOTE×QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE8.在△ABC中,QUOTEsinA=QUOTE,則∠A=________.

【解析】因為2sin2A=3cosA,所以2(1-cos2A)=3cosA,即(2cosA-1)(cosA+2)=0,所以cosA=QUOTE,cosA=-2(舍去),所以A=60°.答案:60°三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知sinαcosα=-QUOTE,且0<α<π,求tanα的值.【解析】因為sinαcosα=-QUOTE,sin2α+cos2α=1,所以sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2×QUOTE=QUOTE,所以(sinα+cosα)2=QUOTE,所以sinα+cosα=±QUOTE.同理(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+QUOTE=QUOTE.因為sinαcosα=-QUOTE<0,0<α<π,所以QUOTE<α<π,所以sinα>0,cosα<0,所以sinα-cosα=QUOTE.由QUOTE得QUOTE或QUOTE所以tanα=-QUOTE或tanα=-QUOTE.【一題多法】因為sinαcosα=-QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE,所以12tan2α+25tanα+12=0,所以(3tanα+4)(4tanα+3)=0,所以tanα=-QUOTE或tanα=-QUOTE.10.已知QUOTE=QUOTE,求下列各式的值.(1)QUOTE.(2)1-4sinθcosθ+2cos2θ.【解析】由已知QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得tanθ=2.(1)原式=QUOTE=QUOTE=1.(2)原式=sin2θ-4sinθcosθ+3cos2θ=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.(多選題)下列說法中正確的有 ()A.正角的正弦值是正的,負角的正弦值是負的,零角的正弦值是零B.若三角形的兩內(nèi)角α,β滿意sinα·cosβ<0,則此三角形必為鈍角三角形C.對隨意的角α,都有|sinα+cosα|=|sinα|+|cosα|D.對隨意角αQUOTE,都有QUOTE=QUOTE+QUOTE【解析】選B、D.對于A,正角和負角的正弦值都可正、可負,故A錯誤;對于B,因為sinα·cosβ<0,α,β∈QUOTE,所以sinα>0,cosβ<0,即β∈QUOTE,所以三角形必為鈍角三角形,故B正確;對于C,當sinα,cosα異號時,等式不成立,故C錯誤;對于D,因為tanα,QUOTE的符號相同,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE,故D正確.因此正確的有B,D.2.已知sinα+cosα=QUOTE,α∈QUOTE,則sinα-cosα= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.可得QUOTE=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=QUOTE=QUOTE,所以2sinαcosα=-QUOTE,所以QUOTE=sin2α+cos2α-2sinαcosα=1-QUOTE=QUOTE,因為α∈QUOTE,所以sinα>0,cosα<0,則sinα-cosα>0,所以sinα-cosα=QUOTE.【補償訓練】假如sinx+cosx=QUOTE,且0<x<π,那么tanx的值是 ()A.-QUOTE B.-QUOTE或-QUOTEC.-QUOTE D.QUOTE或-QUOTE【解析】選A.將所給等式兩邊平方,得sinxcosx=-QUOTE,因為0<x<π,所以sinx>0,cosx<0,所以sinx=QUOTE,cosx=-QUOTE,所以tanx=-QUOTE.3.已知tanθ=-QUOTE,則sinθcosθ-cos2θ的值為 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.sinθcosθ-cos2θ=QUOTE=QUOTE,將tanθ=-QUOTE,代入得,原式=-QUOTE.4.函數(shù)y=cos2x+2asinx在區(qū)間QUOTE上的最大值為2,則實數(shù)a的值為()A.1或-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.1或QUOTE【解析】選A.因為y=cos2x+2asinx=1-sin2x+2asinx=-(sinx-a)2+a2+1,令t=sinxQUOTE,故t∈QUOTE,f(t)=y=-(t-a)2+a2+1QUOTE當a≤-QUOTE時,f(t)在QUOTE單調(diào)遞減,所以QUOTE=fQUOTE=-QUOTE+a2+1=QUOTE-a=2,此時a=-QUOTE<-QUOTE,符合要求;當-QUOTE<a<1時,f(t)在QUOTE單調(diào)遞增,在QUOTE單調(diào)遞減,故QUOTE=f(a)=a2+1=2,解得a=±1?QUOTE,舍去.當a≥1時,f(t)在QUOTE單調(diào)遞增,所以QUOTE=f(1)=-(1-a)2+a2+1=2a=2,解得a=1∈QUOTE,符合要求;綜上可知a=1或a=-QUOTE,故選A.二、填空題(每小題5分,共20分)5.若tanα+QUOTE=3,則sinαcosα=________,tan2α+QUOTE=________.

【解析】因為tanα+QUOTE=3,所以QUOTE+QUOTE=3,即QUOTE=3,所以sinαcosα=QUOTE,tan2α+QUOTE=QUOTE-2tanα·QUOTE=9-2=7.答案:QUOTE76.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=QUOTE,則sinθcosθ=________.

【解析】由sin4θ+cos4θ=QUOTE,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=QUOTE,所以sin2θcos2θ=QUOTE,因為θ是第三象限角,所以sinθ<0,cosθ<0,所以sinθcosθ=QUOTE.答案:QUOTE7.在△ABC中,若tanA=QUOTE,則sinA=________.

【解析】因為tanA=QUOTE>0,則A是銳角,則sinA>0,解方程組QUOTE得sinA=QUOTE.答案:QUOTE8.已知sinθ+cosθ=QUOTE,則tanθ+QUOTE=________.

【解析】因為sinθ+cosθ=QUOTE,所以QUOTE=1+2sinθcosθ=QUOTE,所以sinθcosθ=-QUOTE,則tanθ+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE=-4.答案:-4三、解答題(每小題10分,共30分)9.(1)已知sinα+cosα=QUOTE,求sinαcosα及sin4α+cos4α的值.(2)已知tanα=-QUOTE,計算QUOTE的值.【解析】(1)因為sinα+cosα=QUOTE,所以兩邊同時平方得1+2sinαcosα=2,所以sinαcosα=QUO