2025屆河南省部分校高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)摸底考試卷（附答案解析）

2025屆河南省部分校高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)摸底考試卷

考試時間：120分鐘試卷滿分：150分

主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

已知集合4={-1，°，1}6{般—41＜。},則AB=1

1)

A.0B.{0}C.{0,1}D.{-1,0,1}

若二一-=-i,則2=()

2.

z

11.

A.iB.2ic.-+-iD.1+i

22

3.已知向量］=（0,1）,若（a+2b）j_b,則無=（）

A.-1B.1C.2D.0

4.已知sin2a-cos2i=l,且cos。。。，則tana=()

A.0B.1C.；D.A/2

5.將4個不同的小球放入3個不同的盒子中，且每個盒子最多只能裝3個球，則不同的放法有（)

A60種B.64種C.78種D.81種

6.已知2"=42"=3,log86=c,則()

A.b+l=acB.3b+a=cC.ac+a=2bD.b=ac

7.已知函數(shù)/(X)=Asin(Gx+o)(A>0,G>0,0<°V7i)部分圖象如圖所示，將/(x)的圖象向左

平移:個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x0)=l，則,(%)|=()

1

A.1B.2C.2百D.幅

2

8.已知E是雙曲線C:V—2L=1左焦點，過點E的直線與。交于A3兩點（點A,3在C的同一支

3

上）,&\BF\=2\AF\,則|AB|=（）

1327

A.6B.8C.—D.—

24

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.為了解某新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：千克）情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產(chǎn)量

的樣本均值元=500,樣本方差$2=400.己知原品種玉米的畝產(chǎn)量X服從正態(tài)分布N（430,202）,假

設(shè)新品種玉米的畝產(chǎn)量F服從正態(tài)分布N（元,$2）,則（）（若隨機變量z服從正態(tài)分布N（〃,b2）,

則P（Z<"一a0.1587）

A.P(X>480)<0.2B,P(X<480)>0.8C.P(r<480)<0.2D.P(r>520)>0.2

io.已知函數(shù)了⑴的定義域為R/（◎）=wa）+?（y）,則（）

A./(O)=OB./(-l)=0C.y(x)是偶函數(shù)D.

11.如圖，球。被一個距離球心d（d>0）的平面截成了兩個部分，這兩個部分都叫作球缺，截面叫作球

缺的底面，球缺的曲面部分叫作球冠，垂直于截面的直徑被截后所得的線段叫作球缺的高.球冠的面積公

式為S=2成球缺的體積公式為V=g?i（3R-"）”2,其中R為球的半徑，”為球缺的高，記兩

個球缺的球冠面積分別為S],S2（S]<S2）,兩個球缺的體積分別為乂，匕則下列結(jié)論正確的

是（）

13

A.若d=—R,則兩個球缺的底面面積均為一兀A9?

216

2

s.1y5

B.若另一§,則呢一句

RS.1

C.若則不《弓

3，

R匕、7

D.若公才則由今

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項乘積為北，若則"=

X

13.已知廠為橢圓。：一=1的右焦點，0為坐標原點，P為。上一點，若△OEP為等邊三角形,

a

則C的離心率為.

14.已知函數(shù)〃x)=4'+(a—2)x2—2女2有4個不同的零點，則4的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.ABC內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,瓦c,已知b+Lc=3Ea,A=”.

273

⑴求cos。；

(2)若c=2,。為3C邊上一點，且ADLAC,求.ACD的面積.

16.如圖，在三棱錐P—A5C中，0為AC的中點，平面P05,平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,

(1)證明：PA=PC；

(2)求二面角C—B4—5的正弦值.

3

17.在拋物線=2py（p〉0）上有一系列點6（石,%）,6（%2，%），?，%（X〃，%），“GN+，以點月

為圓心的圓匕與x軸都相切，且圓匕與圓月+i彼此外切.已知占=1,點4到c的焦點的距離為

（2）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

2

（3）設(shè)2=袈，求數(shù)列｛%｝的前〃項和S”.

18.設(shè)函數(shù)7（%）的定義域為。，若存在正實數(shù)。，使得對于任意尤e。，有x+ae￡>,且

/（%+?）>/（%）,則稱"％）是。上的距增函數(shù)”.

⑴己知函數(shù)/（x）=x+sinx,證明：對于任意正實數(shù)a,“X）是R上的距增函數(shù)”；

（2）若/（無）=爐—%是R上的“a距增函數(shù)”，求。的取值范圍；

/、fx+l,x<0,

（3）已知/（九）=《，,八是定義在R上的“2距增函數(shù)”，求力的取值范圍.

yx\nx+bx,x>（）

19.甲、乙兩人各有六張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1』,3,3,5,5,乙的卡

片上分別標有數(shù)字2,2,4,4,6,6,兩人進行六輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨

機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪

所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.

（1）求甲的總得分為0的概率；

（2）求甲的總得分為1的概率；

（3）若X,為隨機變量，則E'fx/=fE（Xj.記甲的總得分為丫，求￡”）

[i=\yz=i

4

【答案】

1.C

【分析】解一元二次不等式得集合2,再進行交集運算即可.

【詳解】B=[x\4x—1<。},:.5={用2-75<X<2+75}

A5={0,1}.

故選：C.

2.D

【分析】利用復(fù)數(shù)運算求出z即可.

2-z22

【詳解】依題意，——=——l=-i,則一=1—i,

ZZZ

22(1+i)2+2i

所以z===l+i.

2

故選：D

3.A

【分析】由向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標運算公式可得答案.

【詳解】由a=(l,l)力=(0,1),則。必=1，

因為(a+4b)j_b,所以「“+無;2=o，即1+2=0，解得4=-1.

故選：A

4.B

【分析】利用二倍角公式公式推導(dǎo)出sino=cosa,即可求出tana.

【詳解】因為sin2cr—cos2a=1,所以2sin℃osa-2cos20+1=1，

sina

即sinocosa=cos2。，因為cosaw。，貝！Jsin。=cosa,所以tana=----=1.

cosa

故選：B

5.C

【分析】利用間接法，4個不同的小球放入3個不同的盒子中的放法減去將4個球放入同一個盒子中的

放法即得.

【詳解】不考慮每個盒子最多只能裝3個球，有34種放法.

5

若將4個球放入同一個盒子中，有3種放法.

故不同的放法有34-3=78種.

故選：C.

6.A

【分析】根據(jù)指對數(shù)互化、對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式計算找到關(guān)系式;

【詳解】因為2“=b,2"=3,所以a=log246=log23,,

ac=log,/??logft6=log26=log23+1,故Z?+l=ac

故選：A.

7.D

【分析】由圖象找到周期求出根據(jù)圖象中已知點代入求出口A,得到函數(shù)解析式，再利用函數(shù)的圖

象變換規(guī)律得出g@),計算得出結(jié)果.

OO2兀

【詳解】由圖可知一7—二=——，則7=%=兀，解得悶=2.

4884囪11

因為。＞0,所以0=2.

因為/(%)的圖象經(jīng)過點1個,0),所以/7兀

Asin^+J=0,

所以7+0=E(kwZ),解得夕=左兀一與■(左wZ)

JT

因為0＜夕＜兀，所以夕=

4

因為“X)的圖象經(jīng)過點(0,2后)，所以/⑼二Asin：=2拒，解得A=4.

故/(%)=4sin[2x+：1g(x)=4sin27171=4cosf2x+：

XH--+—

44

￡

因為g(%)=4cos1,所以COS

4

故選：D.

8.D

6

【分析】首先由雙曲線方程求出點尸的坐標，并設(shè)出過點E的直線方程為=沖-2（切>0）,然后借助

直線與雙曲線聯(lián)立，得到M，%和與積的關(guān)系，再由忸司=2\AF\,得至U%,出的等量關(guān)系，從而解出m,%

的值，最后根據(jù)弦長公式求出|A3|得長.

由C:5=1可得F（-2,0）.根據(jù)對稱性，不妨設(shè)過點F的直線為x=my-2（〃/>0）,

x=my-2,

聯(lián)立<2y1可得(3加之一1),2一]2仍；+9=0.

x—1,

I3

設(shè)人(%,%),8(%2，%),則加+%=7^4，"%?①

//3m-13m-1

由忸同=2|AF],則3尸=2E4，又BF=(-2-％2，-％)，取=(無1+2，x)所以-%=2%.②

12m24m12m24m9

由①②可得％=—，所以——7—x——

3川-1'%-3療—13m2-13m25-13m2-1

解得m=痘或m=一正5(舍)，y=hHl,

3535-18

所以|AB|=J1+療J%-y\=—^xSlyJ=—=—.

111121底1"73584

故選：D.

9.ABC

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)及3o■原則，以及條件一一判斷即可.

【詳解】依題可知，r-7V(5OO,2O2)

P(r<480)=P(Y<500-20)=P(Y>500+20)?0.1587<0.2,故C正確，D錯誤.

因為X~N(430,202),所以P(X>450)=P(X>430+20)=P(X<430-20)?0.1587,

7

P(X>480)<P(X>450)<0.2,A正確.

因為P(X<450)=1-P(X>450)。1—0.1587=0.8413,所以尸(X<480)>P(X<450)>0,8,B

正確.故選：ABC

10.ABD

【分析】A.令x=y=0求解判斷；B.分別令x=y=l,x=y=-l求解判斷；c.令y=—l利用函數(shù)奇

偶性定義判斷；口.令工=^,〉=2求解判斷.

【詳解】令x=y=0,得/(0)=0,A正確.

令x=y=l,得/。)=/(1)+/(1),所以/(1)=0.

令x=y=-1，得=所以/(—1)=0,B正確.

令y=-L得/■(—*)=—y(x),所以"％)是奇函數(shù)，c錯誤.

令x=g,y=2,得/(l)=2/[g[+g/(2)=0,所以

L—12

-2)…出，出卜(2)7屋]<0,D正確.

故選：ABD

11.BCD

【分析】根據(jù)勾股定理結(jié)合圓的面積公式計算判斷A錯誤；根據(jù)截面的面積和球的體積公式根據(jù)不同條

件計算進行判斷BCD.

【詳解】對于A,設(shè)這兩個球缺的底面圓半徑為人則/+/=尺2,

133

因為嚴+[2=尺2,d=~R,解得，=—氏2,該圓的面積為一兀R2,A錯誤.

244

對于B,設(shè)兩個球缺的高分別為4,用(％<4)，則"+色=2心

S112兀H/i11R3

由丁二工，得cEH=Z，則4=3%,所以4+3%=2R,解得％=—,/z2=-H.

1

S232兀尺色322

匕=!兀(3尺—4)4=，兀(3R—=變1,同理得匕=畫1,所以J=正確.

13V?312)(2)2428匕27

8

RR

S[_2兀H4_\_R-d_d

對于c,.設(shè)——xf由一<d<R,得lvx<3,則

S22nRh2bR+d?+]d3

d

S_2

xC正確.

S2x+1x+1

g（3R一%調(diào)2

對于D,1(2R+d)(R-1產(chǎn)_(2x+l)(x-l)2X3-3X2+1

(2R-d)(R+d￥-(2X-1，(X+1)2

；兀（3尺_均）狀2X3+3X2-1

12x2(x2-l)

2X3-3X2+1

由得x23.設(shè)函數(shù)〃x）=,貝J(x)=

322

2X3+3X2-1(2X+3X-1)

/'（可＞0在［3,+8）上恒成立，即〃龍）在［3,w）上單調(diào)遞增,

7V7

所以〃x”〃3）=方即片而D正確.

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：關(guān)于球的截面問題常用勾股定理求解截面半徑和球的半徑;

12.1

【分析】依題意可得。3%=1，再由下標和性質(zhì)計算可得.

【詳解】因為(=￡，即?1?2=3a4，顯然4/0，所以a3a4=1,

貝！]a3a4=aYa6-a2a5=1，故"=a。％-4=1.

故答案為：1

13.73-1##-1+^

【分析】由條件可知△片為直角三角形，結(jié)合橢圓定義確定。，c關(guān)系，由此可求離心率.

【詳解】取橢圓C的左焦點￡,連結(jié)PF1,

由△OEP為等邊三角形，則10H=|。司=|。耳|,

7T

可知△公尸尸為直角三角形，且/母片=4，

設(shè)歸￡|=2c,貝ij|PF|=c,歸用=氐，

2

可得2a=|P^|+|PF|=（V3+I）C,則；|=^7i=Gi,

所以橢圓。的離心率是e=f=6—1.

a

故答案為：V3-1,

14.（-op,-2）＜J（-2,-eln2）

【分析】由方程（2'+6）（2*-2%）=0有4個不同的根，且方程2，-2尤=0有1，2兩個根，則方程

2，+雙=0有2個不同的根，且aw—2,進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2*與函數(shù)丁=一?的圖象有兩個交點求

解.

【詳解】解：由題意可得方程（2工+汨（2＜2x）=0有4個不同的根，

方程2*—2x=0的2個根為占=1,々=2,

則方程2"+ax=0有2個不同的根，且aw—2,

即函數(shù)y=2、與函數(shù)丁=一?的圖象有兩個交點.

當直線丁=一?與函數(shù)y=2,的圖象相切時，

設(shè)切點為（后，2'°），因為y'=21n2,所以＜:“一

—CIXQ_/,

解得%~~~-loge,a=-eln2.

In22

要使函數(shù)y=2"與函數(shù)丁=一依的圖象有兩個交點，

只需直線y=-ax的斜率大于eln2,

故〃的取值范圍為（—8,—2）D（—2,—eln2）.

故答案為：（—8,-2）D（―2,—eln2）

10

15.（1）cosC=氈-（2）B

74

【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行邊角互化，sinB+-sinC=—,再由三角形內(nèi)角和可得

27

sinB=^-cosC--sinC>即可求解；

22

（2）先應(yīng)用正弦定理和余弦定理求邊長。力，再結(jié)合面積公式即可求解.

【小問1詳解】

因為b+=c=^-a，所以sin3+LsinC=^^sinA=^^sin^=@.

2727737

因為sinB=sin（A+C）=乎cosC-gsinC，

所以^^cosC-LsinC+'sinC=,解得cosC=■

22277

【小問2詳解】

?「一叵

sinC—-----

7

由正弦定理一J=解得a=J7.

sinAsmC

由余弦定理a?=b2+/-2）OCOSA，得/+26—3=0，解得Z?=1（/?=—3舍去）.

在RtzXAC。中，S==立，

cosC2

所以s,=-CA-CDsinC=—.

-ACrDa24

16.（1）證明見解析（2）B

3

【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC，08,結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AC，平面尸03,

然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合條件可得.

（2）作PD_L8O,垂足為D,連接DA,。。，由面面垂直的性質(zhì)可得PD_L平面A3CD，再由三角

11

形全等，得出m，。。，從而建立空間坐標系利用空間向量解決問題.

【小問1詳解】

證明：因為A5C是等腰直角三角形，A5L5C,。為AC中點，

所以ACLOB,ACu平面A3C,

又因為平面P05L平面A3C,平面P08】平面ABC=O5,

所以AC,平面P08

因為POu平面尸03,所以ACLPO,又。為AC的中點，

所以△B4C是等腰三角形，故B4=PC.

【小問2詳解】

在平面「03上，作PD上BO,垂足為。，連接

平面平面ABC,平面尸05平面ABC=05,

又PDu平面尸05,所以？D_L平面ABCZ）.

由（1）PA=PC,又AC=PA=?，則△Z4C為等邊三角形.

所以。必=Ja/2一4。2=逅,。5=生=受，

222

所以cosZBOP=。匕+0B--8匕=—立，所以cosNDOP=—，

2OPOB33

DO=P0yosNDOP=%,DP=>JOP2-DO2=1-

所以AD=DC=JAP?—DP?=1,在等腰直角三角形-ABC中,AB=BC=1,

所以ABC與△QAC全等，故NADC=NA5C=90°，即ZMLDC,

以。為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則P(0,0,1),A。,0,0),5(1,1,0)((0,1,0).

12

PA=(1,0,-1),AB=(0,1,0),AC=(-1,1,0).

設(shè)平面PAB的法向量為〃=(菁,％,4),

n-PA-0,Xy~Zy=0,

則即｛二取石=1,可得〃=(1,0,1).

n-AB-0,

設(shè)平面PAC的法向量為加=(X2，》2，Z2)，

m-PA=0,x2-z2=0,

則《即《取必二L可得沅=(1,1,1).

m-AC=0,-%2+%=°，

設(shè)二面角c—以―3的大小為e,

回i=逅sin￡=也

貝|]cos6)=|cosn,77z|=

14H-33

故二面角C—K4—3的正弦值為且

3

17.(1)p=l(2)a“=n(3)S=6-，；+477+6

nn2八

【分析】⑴先計算片1,—,結(jié)合設(shè)拋物線定義可得歸川=丁+4=1,解得夕的值.

I2p2

(2)因為圓匕與圓RM彼此外切，得一X用『+(%—%+)=%+%+]，結(jié)合拋物線方程化簡得

11,11〕

-----------=1,從而數(shù)列〈一卜是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，進而4.

Xn+1Xn[%.

222

(3)由(2)得么=L*,S?=1上+2—+3'++n—,利用錯位相減進而求得答案;

"2"22223V

【小問1詳解】

耳1,—,設(shè)拋物線。焦點、為F,根據(jù)題意可知歸川=丁+￡=1,解得P=L

(2p)2p2

【小問2詳解】

因為圓巴與圓匕M彼此外切，所以=%+y1M，

貝乂七一x“+i『=(yn+%+1『一(％—y”+i『=4%%+1=看看+1.

13

11,

即--------=1

因為0<xn+l<xn,所以％—x〃+i=xnxn+x,

x“+ixn

1,11

因為一=i,所以數(shù)列4一卜是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列，即一="

Xn

故a“=〃.

【小問3詳解】

,_H2_12232+"s〃12232n2

b-^^C--+-+----1-----1-----1-H-----,

n+2223242"+i

兩式相減得gs“=g+宇+萬1x75+芟1x7-+lx（2n-l）n2

2"

“13571352n—l

+中+了+夢+，則----1-----1-----FH-----：-

2"3=2223242用

1112n-l

兩式相減得5北=—+2

+了+夢++吩2向

11

1-

1c?2'T2n—l32n+3

=—+2x——

22"+i22"+I

所以7；=3-誓

所以'”=3-2n+3n2n2+4”+6n2+4〃+6

=3-即S,,=6-

2〃2八+i2n+12"

18.(1)證明見解析(2)(2,+8)(3)(0,+。)

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合增函數(shù)得/(尤+。)>/(%)證明了(%)是R上的“。距

增函數(shù)”；

(2)根據(jù)“。距增函數(shù)”的定義，可得(x+a)3—解不等式求得。的取值范圍;

(3)根據(jù)"％)是定義在R上的“2距增函數(shù)"，有〃x+2)>/(x),對x分類討論結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性

求得〃的取值范圍;

【小問1詳解】

14

證明：因為/(x)=x+sinx,所以/''(xNl+co&x之0,所以在R上單調(diào)遞增.

對于任意正實數(shù)a，x+a>無，所以/(x+a)>/(%),

所以〃龍)是R上的距增函數(shù)”.

【小問2詳解】

因為=是R上的“。距增函數(shù)”，所以/(x+a)>/(x),

即(x+a)'—(x+a)>/一x,化簡得3犬+2)ax+tz2-1>0>

所以#+3御+/-1=0無解,即A=9a2-12(a2—i)<0,

解得a>2(a<—2舍去).所以a的取值范圍為(2,+8).

【小問3詳解】

因為〃龍)是定義在R上的“2距增函數(shù)"，所以/(x+2)>/(x).

①若xe(-oo,-2],則x+2e(-oo,0].

因為"％)在(—8,0]上單調(diào)遞增，所以/(x+2)>/(￡)恒成立.

②若2,0],則x+2e(O,2].

因為/(x+2)>/(x),所以(％+2)111(1+2)+》(1+2)>彳+1.

令f=x+2e(0,2],貝！Jdn/+初>/-1,即b>lTnt—

令函數(shù)g?)=1_1皿_；/€(0,2],則g'("=_；+5=^^.

當此(0,1)時，/(。>0；當時，g'⑺<0.

所以g⑺在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2]上單調(diào)遞減，

所以g⑺max=g(l)=°，所以》>0.

③若X￡(0,+oo),則X+2G(2,+a?),ln(x+2)>0.

由(2)可得，要使得/(力是定義在R上的“2距增函數(shù)”，則必須滿足匕>0.

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當6>0時，/(x+2)=(x+2)ln(x+2)+》(x+2)>xln(x+2)+Zzx>xlnx+Z?x=/(%).

綜上，〃的取值范圍為(0,+。).

19.(1)—(2)-(3)2

909

【分析】(1)根據(jù)對稱性，不妨固定乙六輪選卡的數(shù)字依次為(2,2,4,4,6,6),由甲的總得分為0,得

到甲六輪選卡的數(shù)字依次為(1,1,3,3,5,5),再由甲六輪選卡的數(shù)字有C；Cj=