高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：平面解析幾何之雙曲線講義

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義平面解析幾何之雙曲線

一、知識(shí)點(diǎn)講解及規(guī)律方法結(jié)論總結(jié)

1.雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)定義

在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)％用的距離的差的①絕對(duì)值等于常數(shù)(小于II且

大于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.定點(diǎn)￡,￡叫做雙曲線的②焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)

間的距離叫做③焦距.

集合語(yǔ)言：P=｛M\I\MF,\-\MFAI=2a,2a<I￡￡I｝,IF,F2I=2c,

其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.

a.當(dāng)2a=2c時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是④兩條射線；

b.當(dāng)2a>2c時(shí)，夕點(diǎn)軌跡不存在.

(2)標(biāo)準(zhǔn)方程

22

a.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑤=一4=1?

>0,，>0)；

22

b.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在二軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為⑥固一意=1(a

>0,6>0).

規(guī)律總結(jié)

焦點(diǎn)位置的判斷

在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，看V項(xiàng)與/項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)，若V項(xiàng)的系數(shù)為正，則

焦點(diǎn)在x軸上；若/項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上，即“焦點(diǎn)位置看正負(fù)，

焦點(diǎn)隨著正的跑”.

思維拓展

雙曲線的第二定義、第三定義

雙曲線的第二定義：｛夕|蘭普=e,e>L庶1,其中b為定點(diǎn)，,為定直線，e

為離心率，d為點(diǎn)P到直線/的距離｝.

雙曲線的第三定義：｛P\kpB=S—l,e>l,其中廄，厘分別表示點(diǎn)P與兩

定點(diǎn)N,8連線的斜率，e為離心率｝(注意，此時(shí)確定的雙曲線不包含兩個(gè)頂

點(diǎn)，且焦點(diǎn)在x軸上).

2.雙曲線的幾何性質(zhì)

(1)雙曲線的幾何性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程今一3=1（a>0,6>0）彳一a=1（a>°，6>0）

azbzazbz

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程

范圍IxINa,y?RIyINa,x?R

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：⑦x軸，y軸；對(duì)稱(chēng)中心：⑧原點(diǎn)

一⑨(一c,0),月⑩――?(0,—c),一?(0,

焦點(diǎn)

(c,0)c)

頂點(diǎn)4(—a,0),Ai(a,0)4(0,—a),A2(0,a)

幾］線段44,人民分別是雙曲線的實(shí)軸和虛軸；實(shí)軸長(zhǎng)為?2a,虛

何軸長(zhǎng)為?2b；實(shí)半軸長(zhǎng)為a,虛半軸長(zhǎng)為6

性焦距"0I=?2。一

，、離心e=?：=J1+卜，e??(1,+8)

漸近線直線飽v=±-x直線?尸±白

UD

a,b,

ca=@）c—l）

的關(guān)系

(2)特殊雙曲線

等軸雙曲線共輾雙曲線

如果一雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一

定實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫

雙曲線的虛軸和實(shí)軸，那么這兩個(gè)雙曲

義做等軸雙曲線.

線互為共輾雙曲線.

(1)a=b；(2)e=V2；(1)它們有共同的漸近線；(2)它們

性

(3)漸近線互相垂直；(4)等的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；(3)它們的離心率的

質(zhì)

軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距倒數(shù)的平方和等于1.

離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中

項(xiàng).

常用結(jié)論

1.雙曲線的焦點(diǎn)三角形與焦半徑

22

R,￡分別為雙曲線七一9=1?>0，力>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是雙曲線上

一點(diǎn)，則

2

(1)h其中"為/"空.

(2)△冏月內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為定值a.

(3)當(dāng)點(diǎn)P(劉，如)在雙曲線右支上時(shí)，IPRI=ex0+a,IPF2I=ex0—

a；當(dāng)點(diǎn)P(%(),%))在雙曲線左支上時(shí)，IPRI=—exQ—a,IPF2I=-ex0+a.

(4)當(dāng)點(diǎn)夕在雙曲線右支上時(shí)，|冏|.=a+c,IPF,Imin=c-a.

2.雙曲線中兩個(gè)常見(jiàn)的直角三角形

14

■1

22,,

如圖所示，R,月分別為雙曲線為一為=1(a>0,力>0)的

a2b2

左、右焦點(diǎn)，/為右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡向漸近線引垂線，垂足為C,

1...

過(guò)點(diǎn)/向X軸引垂線交漸近線于點(diǎn)8,則△。陽(yáng)絲△力如，且

有|%|=|如|=a,\F2C\=\AB\=b,\0F2\=\0B\=c.

二、基礎(chǔ)題練習(xí)

1.下列說(shuō)法正確的是(D)

A.平面內(nèi)到點(diǎn)月(0,4),F2(0,-4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡

是雙曲線

22

B.關(guān)于x,y的方程二一匕=1(而7>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

mn

c.雙曲線卷一9=1的漸近線方程是_/=±|才

D.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于企

2.［浙江高考］漸近線方程為x土y=0的雙曲線的離心率是(C)

A.—B.1C.V2D.2

2

解析因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為X士y=0,所以無(wú)論雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上

還是在y軸上，都滿足a=5,所以c=V^a,所以雙曲線的離心率e=*=V^.故

a

選C.

3.［2023北京高考］已知雙曲線。的焦點(diǎn)為（一2,0）和（2,0）,離心率為

22

V2,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1一乃=1.

解析解法一因?yàn)殡p曲線。的焦點(diǎn)為（一2,0）和（2,0）,所以c=2,且

焦點(diǎn)在x軸上.又離心率e=V^,所以￡=/，所以a=V^,則力z=c2—a2=2,

a

22

所以雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷一5=1.

解法二因?yàn)殡p曲線。的離心率6=e，所以該雙曲線為等軸雙曲線，即且=

6.又雙曲線。的焦點(diǎn)為（一2,0）和（2,0）,所以c=2,且焦點(diǎn)在X軸上，

所以a2+b2-2=4,所以&2=8=2,所以雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2一三2=1.

22

4.已知等軸雙曲線過(guò)點(diǎn)（5,3）,則該雙曲線方程為J—J=1.

解析設(shè)雙曲線方程為V—7=入（入W0）,將（5,3）代入方程，可得入=

22

52-32=16,所以雙曲線方程為V—4=16,即上一匕=1.

1616

22

5.［教材改編］設(shè)雙曲線^—2z=1">0）的焦點(diǎn)為A,F2,夕為雙曲線上的一

9b

點(diǎn)，若I郎I=5,則I陽(yáng)I=11.

22

解析由雙曲線的方程3—3=1（力>0）,可得a=3,根據(jù)雙曲線的定義可知

\PF±\-\PF2\=±2a=±6,又I掰I=5,則I咫I=11.

22

6.已知雙曲線C：^-=1（a>0,3>0）的焦距為4g,實(shí)軸長(zhǎng)為4/，貝|

雙曲線。的漸近線方程為&X土尸0.

解析由題意知，2c=4V3,2a=4V2,則b=Jc2—a2=2,所以。的漸近線方

程為y=±-^=土&x,即V^x±y=0.

b

三、知識(shí)點(diǎn)例題講解及方法技巧總結(jié)

命題點(diǎn)1雙曲線的定義及應(yīng)用

22

例1（1）［全國(guó)卷HI］設(shè)雙曲線。：3=1（a>0,a>0）的左、右焦點(diǎn)分

a2-b2

別為&&離心率為遮.P是。上一點(diǎn)，且.若△跖￡的面積為4,則

a=（A）

A.1B.2C.4D.8

解析解法一設(shè)I陽(yáng)I=〃\PF2\=n,P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則由雙曲

線的定義得加一〃=2a.由題意得SzwFiFzu/AHd,且必2+〃2=4犬=（ffl—77）2+

2ffl/7=4a2+16,又6=￡=而，故4=^^=5,所以a=l,故選A.

aazaz

h2八

解法二由題意及雙曲線焦點(diǎn)三角形的結(jié)論，得SPFF=』=4,得8=4,

△ZX產(chǎn)”2tan45°

2

又三=5,C=1J+^,所以a=l.

az

（2）已知圓a：（x+3）2+/=1,G：（X—3）2+y=9,動(dòng)圓〃同時(shí)與圓a

和圓G相外切，則動(dòng)圓圓心〃的軌跡為（C）

A.雙曲線B.橢圓

C.雙曲線左支D.雙曲線右支

解析設(shè)動(dòng)圓〃的半徑為r,由動(dòng)圓"同時(shí)與圓G和圓G相外切，得I第I=

1+nIMQI=3+nI眈I—I陽(yáng)I=2V6,所以動(dòng)圓圓心〃的軌跡是以

點(diǎn)G（—3,0）和。2（3,0）為焦點(diǎn)的雙曲線的左支.

方法技巧

1.雙曲線定義的主要應(yīng)用

（1）確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡是否為雙曲線；

（2）解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離或范圍問(wèn)題.

2.解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用雙曲線的定義以及余弦定理.

2

訓(xùn)練1（1）已知月是雙曲線。：菅一/=i右支上一點(diǎn)，直線/是雙曲線。的

一條漸近線.p在/上的射影為a6是雙曲線。的左焦點(diǎn)，則I跖I+"6

的最小值為（D）

A.1B.2+—

5

C.4+WD.2V2+1

解析設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為&因?yàn)镮冏I—I咫I=2V2,所以I必；I=

2V2+\PF2\,\PF,\+\PQ\=2V2+\PF2\+\PQ\.當(dāng)且僅當(dāng)Q,P,￡

三點(diǎn)共線，且P在Q,￡之間時(shí)，I咫I+I凰I最小，且最小值為點(diǎn)￡到直

線1的距離.點(diǎn)打到直線1的距離d=\,故I可I+I件"的最小值為2遮十

1,故選D.

(2)已知月，￡分別為雙曲線C：/=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在。上，

NF陽(yáng)=60°,則△月陽(yáng)的面積為2遮.

解析解法一不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，貝1HMi—I坐I=2a=

222

2V2,在△￡陽(yáng)中，由余弦定理，得cos/RPE="乃?+JP&?TF/2I=4

所以I郎I?I陽(yáng)I=8,所以50皿2嚀|冏I?I咫I?sin60°=2V3.

22

解法二由題意可得雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為合一；=1,所以可得方2=2,由雙

曲線焦點(diǎn)三角形的面積公式鼻可得S/\F1PF2=日=28.

2

命題點(diǎn)2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2(1)已知定點(diǎn)/(—2,0),F2(2,0),N是圓0：系+/=1上任意一

點(diǎn)，點(diǎn)￡關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為團(tuán)線段的垂直平分線與直線￡〃相交于點(diǎn)

P,則點(diǎn)P的軌跡方程是(B)

A.V+^=IB./-^=I

33

C.—+y=lD.--y=l

33

解析如圖，當(dāng)點(diǎn)〃在y軸左側(cè)時(shí)，連接如陽(yáng),因?yàn)?6m

=

|IF2MI=1,所以IF2MI=2,由/W所在直線為線段姐的一--x

垂直平分線，可得I跖I=I網(wǎng)I=I二I—I￡加=I"f

PF2I-2,所以I陽(yáng)I—I郎I=2<IF,F2I=4.同理，當(dāng)點(diǎn)。在y軸右側(cè)

時(shí)，I郎I—I陽(yáng)I=2<IF1F2I=4.故點(diǎn)月的軌跡是以R,￡為焦點(diǎn)的雙曲

2

線，對(duì)應(yīng)的方程為f一7=1.

22

（2）［2023天津高考］雙曲線京一會(huì)=1（a>0,力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

R,￡.過(guò)月作其中一條漸近線的垂線，垂足為￡已知I陽(yáng)I=2,直線期的

斜率為圣則雙曲線的方程為（D）

23222

xvXv

A.---=1B.---=1

8448

2222

C.L—匕=1D.±—匕=1

4224

解析解法一由題意可知該漸近線方程為尸〉直線陽(yáng)的方程為尸一￡

2

X_--a,

（…），與尸川關(guān)立并解得即夕（貯，-）.因?yàn)橹本€陽(yáng)與漸近

ab

y=-^

線尸"垂直,所以陽(yáng)的長(zhǎng)度即為點(diǎn)￡（c,0）到直線（即bx-ay=

a

0）的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式得IPF|=y^=-=b,所以6=2.因

2la2~hb2C

ab

為4i0）,P%2,爭(zhēng)，且直線歷的斜率為中r，所以舌;二去r化簡(jiǎn)

得察又b=2,+4,所以占=烏整理得a?—2V^a+2=0,

a2+c242az+44

222

即（a—魚(yú)）=0,解得a=V^.所以雙曲線的方程為三一?=1,故選D.

解法二因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)￡向其中一條漸近線作垂線，垂足為R且I郎I=2,所以

6=2,（雙曲線中焦點(diǎn)到漸近線的距離為b）

22

再結(jié)合選項(xiàng)，排除選項(xiàng)B,C.若雙曲線方程為土一一=1,則￡（-2V3,0）,

84

￡（2V3,0）,漸近線方程為y=土'x,由題意可知該漸近線方程為

則直線空的方程為y=-四（x-2V3）,與漸近線方程尸爭(zhēng)聯(lián)立，得P

（竽，乎），則如&=,又直線期的斜率為鼻所以雙曲線方程：一［=1

33154o4

不符合題意，排除A.故選D.

方法技巧

求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法

1.定義法

先根據(jù)雙曲線定義確定a,b,c的值，再結(jié)合焦點(diǎn)的位置求出雙曲線方程.

2.待定系數(shù)法

(1)先確定焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由題中條件確定才，

6,的值；若不能確定焦點(diǎn)位置，可以設(shè)雙曲線的方程為勿4+〃爐=1(靦<0).

(2)常見(jiàn)設(shè)法

2222

①與雙曲線號(hào)一卷=1(a>0,6>0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為等一3=入

(<3>0,Z?>0,入WO);

2222

②與雙曲線［―2=1(a>0,方>0)共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為^—言7=1

az匕za*2—Ab2+/l

(—b2<A<3,且入WO).

訓(xùn)練2(1)［浙江高考］已知點(diǎn)0(0,0),A(-2,0),B(2,0).設(shè)點(diǎn)月

滿足伊川—|PB|=2,且P為函數(shù)/=314一如圖象上的點(diǎn)，則|冰|=

(D)

A旁B.等C.V7D.V10

解析由I以I—I?I=2<IAB|=4,知點(diǎn)尸的軌跡是雙曲線的右支，點(diǎn)

夕的軌跡方程為*—1=1(xNl),又尸3/4—源,所以/=§,所

以I0I=Jx2+y2=后+］=舊,故選D.

22

(2)與雙曲線上一匕=1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(3/，2)的雙曲線的標(biāo)

164

22

準(zhǔn)方程為三v一yj三=1.

12o

解析解法一設(shè)所求雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為￡,&則￡(-2V5,

2

0),F2(2V5,0),則I陽(yáng)I—I空I=J(3V2+2V5)+4-

J(3V2—2V5)2+4=2-/12=2a,a=V12,/.A2=c2—a2=8,故雙曲線的

丫2A.2

標(biāo)準(zhǔn)方程為三一5=1.

1Zo

22

解法二設(shè)所求雙曲線的方程為一—入=1(-4〈入〈16).

16—A4+A

：雙曲線過(guò)點(diǎn)夕(3或，2),...1，解得入=4.

16—Z4+A

22

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為三一3=1.

128

命題點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)

角度1漸近線

例3(1)[2022北京高考]已知雙曲線/+?=1的漸近線方程為

貝!Jm=—3.

2iV3

解析依題意得加＜0,4/--=0,±—X,解得m=~3.

—m3

22

(2)[2021新高考卷n]已知雙曲線C：^-=1(a>0,40)的離心率e=

azbz

2,則雙曲線。的漸近線方程為.

解析e=-=ll+(-)2=2,得'相,所以雙曲線。的漸近線方程為y=

ayaa

+-x=±V3x

a

方法技巧

2222

(1)求雙曲線J—2=1(a>0,6>0)的漸近線方程的方法：令自一2=0，

即得兩漸近線方程為2±[=0,也就是尸±±x.

aba

22

(2)在雙曲線J—3=1(a>0,6>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜

率4=±&滿足關(guān)系式^=e2—1.

a

角度2離心率

例4(1)[2021全國(guó)卷甲]已知￡是雙曲線。的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為。上一點(diǎn),

且NA陽(yáng)=60°,I郎I=3I陰I,則。的離心率為(A)

A.yB.手C.V7D.V13

解析設(shè)I與I=m,IPFiI=3m,則I￡￡I=

Im2+9m2—2x3mxmxcos600=夕勿，所以。的離心率e=-=—=

Ya2a

I&尸2I_77徵_77

\PF±\-\PF2\2m2'

22

（2）雙曲線。：器一k=1（a>0,力>0）的左頂點(diǎn)為4右焦點(diǎn)為應(yīng)過(guò)點(diǎn)/

的直線交雙曲線。于另一點(diǎn)B,當(dāng)郎工小時(shí)滿足\AF\>2\BF\,則雙曲線

離心率e的取值范圍是(B)

A.(1,2)B.(1,-)

2

C.(-,2)D.(1,—)

22

解析由郎工期可得IBF\=-a,又I>2|跖|,|AF\=a+c,所以

a-\-c>2,—,即?即（才），兩邊同時(shí)除以才，

aa+ac>2^——,1+ac>21—

整理可得2e?—e—3<0,又e>L則lVe〈|.

所以雙曲線離心率e的取值范圍是（1,|）.

22

（3）[2023新高考卷I]已知雙曲線C：^-=1（a>0,b>0）的左、右焦

a2bz

點(diǎn)分別為片，凡點(diǎn)/在。上，點(diǎn)方在p軸上，F(xiàn)^AIF^B,碗=一|用，則。

的離心率為薩.

解析解法一由題意可知，A（一c,0）,F2（c,0）,設(shè)N（豆，％）,B

（0,%）,所以不1=（為一c,ri）,F2B=（一c,%）,因?yàn)榉?=一療，

X1-C=-C,（%1=~C,u）

2即132所以/（能，一%）.

（%=—*，（%=—1為，

M=（%，一|K），F(xiàn)iB=（。，%），因?yàn)橥卟牛呤?，所以瓦?后另=0,即

豺號(hào)光=0,解得羽=45

因?yàn)辄c(diǎn)4字,一%）在雙曲線（上,所以薯一第=1，又吠=",所以震

16c2_]D|-|25(a2+d2)_16(a2+d2)_1,化簡(jiǎn)得與=g所以e2=l+m=g

9b2'9a29匕2az5az5

所以e=W.

解法二由前面解法一得/（|c,—J）,%=4*所以\AFA=

/Z5_LA2_LZ2164c24詔_\MC2,16C2_4A/5C\\_

J(/+c)+(—*)-J—+v-J—+—=-)AL7

J（1—C）2+（一9。）2=[?+等=修平=半，由雙曲線的定義

可得“￡一"￡I=2a,即竽一等=2a,即生=a,所以雙曲線的離心

方法技巧

1.求雙曲線的離心率的方法

（1）直接利用公式求離心率：e=-=11+（-）\

a\a

（2）利用雙曲線的定義求離心率：在焦點(diǎn)三角形￡跖中，設(shè)./F\PFz=0,

/PFE=a,/"=B,則e=￡=Hsine

a|\PF1I—IPF2IIIsina—sin^I

（3）構(gòu)造關(guān)于a,b,c的齊次式求離心率：由已知條件得出關(guān)于a,b,c的齊

次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.

2.求雙曲線離心率的取值范圍的方法

（1）借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系求解，如焦半徑IPRI?[c—a,+8）

或1陽(yáng)|?[a+c,+8）、三角形中兩邊之和大于第三邊等；

（2）考慮平面幾何圖形的臨界位置，建立關(guān)于a,c的不等關(guān)系求解.

角度3與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題

22

例5（1）[全國(guó)卷II]設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線戶a與雙曲線C：京一棄=1?

>0,6>0）的兩條漸近線分別交于〃￡兩點(diǎn).若△勿￡的面積為8,則。的焦

距的最小值為（B）

A.4B.8C.16D.32

解析由題意知雙曲線的漸近線方程為y=±2*因?yàn)椤ā攴謩e為直線x=a與

a

雙曲線。的兩條漸近線的交點(diǎn)，所以不妨設(shè)。（a,b）,￡（a,—b）,所以

aX|DEI=|xaX2/?=a^=8,所以d=a2+力2a力=16,當(dāng)且僅當(dāng)

a=6=2魚(yú)時(shí)等號(hào)成立.所以c,4,2c,8,所以。的焦距的最小值為8,故選

B.

22

（2）已知雙曲線C：今一3=1（a>0,b>Q）的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為4,4,F為

azbz

雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，6為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，若在線段筋上（不含端點(diǎn)）存在兩

點(diǎn)X,鳥(niǎo)，使得N4X4=N4￡4=],則雙曲線的漸近線的斜率/的平方的取

值范圍是（A）

A.(1,d)(1,國(guó))

2B.2

(V3+i三)

C.(0,—2)D.2’2,

解析不妨設(shè)點(diǎn)尸為雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)8在y軸正半軸

上，則F（—c,0）,B（0,5）,直線"的方程為"一cy=—A.

如圖所示，以。為圓心，44為直徑作圓0,則X,2在圓。

上.

b>a,b>a,

由題意可知be7即,_______解得1<與〈且，即雙

I_<a,川b222

lb2-hc2<Va+2b,。

曲線的漸近線的斜率N的平方的取值范圍是（1,罟）.

方法技巧

求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題的方法

1.幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性

質(zhì)來(lái)求解，特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求解.

2.代數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)或不等式，利用函數(shù)或不等式的性質(zhì)求解.

22

訓(xùn)練3⑴[2023綿陽(yáng)二診]設(shè)雙曲線C：,一會(huì)=1（a>0,^>0）的右焦點(diǎn)

為F,A,6兩點(diǎn)在雙曲線C上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若IN6I=2I⑺|（。為坐標(biāo)

原點(diǎn)），I/I=3IAF\,則該雙曲線的漸近線方程為（A）

A.V6.Y±2y=0B.2x±V6y=0

C.2x±3y=0D.3x±2y=0

解析記/為雙曲線。的左焦點(diǎn)，連接//，BF）,則人/關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又

A,8也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以四邊形/%'為平行四邊形，又I/刀|=2||,

所以四邊形廠為矩形.因?yàn)椤?=3I,所以II=3I"I,所

以II—I"I=2I"I=2a,所以I"I=a,\AF'\=3a.在

Rt△為尸'中，RFF+=|FP|2,所以，+（3a）2=（2c）2,所以d=

孚，又孑+6=九所以"字所以2=9，所以雙曲線C：馬一［=1（a>

22a2a"匕'

0,6>0）的漸近線方程為尸土*r,即V^x±2y=o,故選A.

（2）如圖，設(shè)雙曲線C：9=1的左、右焦點(diǎn)分別是月、用，點(diǎn)/是。右支

24

解析由雙曲線G入2—些=1可得，=1,右2=24,所以犬=且2+力2=25,所以a

24

=1,c=5.由雙曲線的定義可得\AFX\—\AF2\=2a=2,所以MAI=I

AF2I+2,所以IIIAF2I+^^+2.由雙曲線的性質(zhì)可知I

AF2I2c—a=4,令I(lǐng)/￡I=b則224,所以IARI+'=l+±+2.令f

IAF2It

（t）=t+^+2（1三4）,則/Q）在［4,+8）上單調(diào)遞增，（易忽視|AF?I

的范圍，錯(cuò)誤地使用基本不等式求最值）

所以當(dāng)力=4時(shí)，/1（玲取得最小值4+：+2=7,此時(shí)點(diǎn)/為雙曲線的右頂點(diǎn)

4

（1,0）,即II的最小值為7.故選C.

IAF2I

22

（3）［2023湖北省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考］若雙曲線號(hào)一9=1（a>0,A>0）的右支上

azbz

存在兩點(diǎn)4B,使△/四為正三角形（其中〃為雙曲線的右頂點(diǎn)），則離心率

e的取取范圍為（1,半）.

解析由題意，雙曲線的漸近線方程為y=±￡.要使該雙曲線右支上存在兩點(diǎn)

a

A,B,使△/陽(yáng)為正三角形，則需過(guò)右頂點(diǎn)必且斜率為/的直線與雙曲線的右

支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即只需斜率大于漸近線/=%的斜率，所以空>2,即力

a3a

<^-5,即62V所以c?〈才+#,即.又e>l,所以IVeV4三

四、命題點(diǎn)習(xí)題講解

22

i.［命題點(diǎn)2隹國(guó)卷ni］已知雙曲線a^-=i（a>o,力>o）的一條漸近線

azbz

方程為尸裊且。與橢圓5+1=1有公共焦點(diǎn)，則。的方程為（B）

久2y2久2y2

A.±-匕=1B.±—匕=1

81045

%2y2%2丫2

c.上一匕=1D.上一匕=1

5443

解析解法一根據(jù)雙曲線。的一條漸近線方程為尸梟，可知口半①.因

2a2

22

為橢圓卷+?=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）和（一3,0）,所以a?+力2=9②，

22

根據(jù)①②可知a=4,6=5.所以雙曲線。的方程為號(hào)一3=1.

45

解法二因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為所以可設(shè)雙曲線方程為9一?=

22

入（入>0）,即一一匕=1（入>0）.又因?yàn)殡p曲線。與橢圓有公共焦點(diǎn)（3,

4A5A

0）,（-3,0）,所以可得4入+5入=9,則入=1,所以雙曲線。的方程為

次_"=］

45?

22

2.［命題點(diǎn)3角度3/024安徽合肥模擬］已知直線/過(guò)雙曲線C,3一2=1?

az

>0,b>G）的左焦點(diǎn)￡,與雙曲線的左、右兩支分別交于R0兩點(diǎn)，月為雙

曲線的右焦點(diǎn)，若（9+西）?訊=0,N9G（，口），則?的取值范圍

為［逐，2近）.

解析如圖，???（麗+麗）?配=0,???I帆I(xiàn)=I你I,”<

又IQF\|—IQF?I=2a=IPF\\,/?IPF\I=2a,IPF?I—

4a,不妨設(shè)/￡咫=9,則有N￡絲=n—2（n—。）

E［pn）,可得。?苧口），在△￡/洱中，由余弦定理/'

可知，cos9=16a+4a—4c-E（—1,—i］,得7a飛（/<9才，則6a2V

16a22

8a2,即組［V6,2V2）.

a

22

3.［命題點(diǎn)3角度2/024全國(guó)高三模擬］已知雙曲線公^--=1（a>0）的上

az8

焦點(diǎn)為吊點(diǎn)夕在雙曲線的下支上，若N（4,0）,且I冏I+I為I的最小

值為7,則雙曲線￡的離心率為（D）

A.2或等B.3或等

C.2D.3

解析設(shè)雙曲線少的下焦點(diǎn)為￡(0,—c),則。=

Var+S,連接力￡,PF2,如圖，由雙曲線的定義知，|朗|

~\PF2\=2a,即I郎I=I陽(yáng)I+2a,

則I郎I+I為I=I陽(yáng)I+I為I+2aNIAAI+2a=

V16+c2+2a=Va2+24+2a,

當(dāng)且僅當(dāng)4P,兄三點(diǎn)共線，即點(diǎn)夕位于夕'位置時(shí)，等號(hào)成立，

由題意可得人出+24+2a=7,解得a=l或a=§,

又7—2a=Va2+24＞0,所以a=g不滿足題意，舍去，故a=l,則c=

不值=3,所以雙曲線￡的離心率為e=-=3.

a

故選D.

五、習(xí)題實(shí)戰(zhàn)演練

22

1.[2024遂寧月考]已知雙曲線二—2T=1（加＞0）的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，

mm+6

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（D）

y2y.2v2y.2

A.---=1B.---=1

2448

C./-^=lD.--^=1

828

22

解析由題意，得2標(biāo)=后彳瓦解得勿=2,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為三一j

28

=1.故選D.

2.半徑不等的兩定圓Q,“無(wú)公共點(diǎn)（。，a是兩個(gè)不同的點(diǎn)），動(dòng)圓。與圓

a,a都內(nèi)切，則圓心。的軌跡是（D）

A.雙曲線的一支

B.橢圓或圓

C.雙曲線的一支或橢圓或圓

D.雙曲線的一支或橢圓

解析兩定圓a,a無(wú)公共點(diǎn)，則它們的位置關(guān)系是外離或內(nèi)含.設(shè)兩定圓Q,

a的半徑分別為打，8（打＞8）,圓。的半徑為兄又圓。與圓a,a都內(nèi)切，

則當(dāng)兩圓Q,。外離時(shí)，I00.I=R-n,IOQI=R-r2,：.\00,\-\OOA

=r-r2<IaaI,此時(shí)圓心。的軌跡是雙曲線的一支；當(dāng)兩圓Q,“內(nèi)含

時(shí)，IOQI=r-R,IOaI=R-r2,II+IOQI=r-r2>\aa\,

此時(shí)圓心。的軌跡是橢圓.故選D.

22

3.[2024深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考]已知￡,￡分別是雙曲線。：^-^=1(a>0,b

>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)內(nèi)的直線與雙曲線。交于46兩點(diǎn).若力是破的中

點(diǎn)，豆BF」B%則該雙曲線的漸近線方程為(A)

A.y=±2V3TB.y=±2V2x

C.y=+y/3xD.y=±V2T

解析連接AB\=\AF2\=m,則I力￡I=I4￡I+2a=〃+2a,

229

2

=IBF2I-2a=2m-2a,IBFrI+II=UfiI,BFj+

IBF2I之=IF/2I之，即(2T?—2a)2+/Z72=(〃+2a)2①，(2R—2a)2+W=

4c②，由①可得%=3a,代入②式化簡(jiǎn)得13a2=d,，12a2=4,.,.2=28，

a

??.雙曲線的漸近線方程為尸±-x=±2V3x故選A.

Q

2

4.[2024山西名校聯(lián)考]雙曲線。：^-y=l(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為A,

F2,4為。左支上一動(dòng)點(diǎn)，直線月打與。的右支交于點(diǎn)8,且=3a,△力郎

與△郎￡的周長(zhǎng)相等，貝ijI￡￡I=(B)

A.出B.延C/D.3

3333

解析點(diǎn)/在雙曲線。的左支上，由雙曲線的定義可知I||力￡I=2a.

因?yàn)椤?班與△明￡的周長(zhǎng)相等，所以|4B|+\AFr\+IBFJ=\BF±\+\BF2\+

IF/2I=|BFi|+\AF2\=\AB\+IF/2I，則有IEFI=2|四I+|必I—I

AF2I=4a.設(shè)雙曲線。的半焦距為c,則2c=4a=2，a2+1,所以且=今所

以II=竽.故選B.

22

5.[2023濟(jì)南摸底考試]已知雙曲線C：臺(tái)一白=1(a>0,，>0)的離心率為

azbz

V2,F\,￡分別為。的左、右焦點(diǎn)，過(guò)￡的直線與。的左支交于8兩點(diǎn)，

若IN6I的最小值為4,則△/班周長(zhǎng)的最小值為(C)

A.8B.12C.16D.24

解析因?yàn)殡p曲線的離心率為四，所以3=1+1=2,得a=4當(dāng)弦N8與實(shí)軸

az

垂直時(shí)，IAB\的值最小，所以m=4,所以a=b=2.由雙曲線的定義得I

a

AF2\-\AFA=2a,\BF2\-\BF,\=2a,所以I+|班I=|裕I

+I班I+4a=IAB|+4a,所以△力班的周長(zhǎng)為2|四|+4a,因?yàn)閍=

2,1四|的最小值為4,所以△力班周長(zhǎng)的最小值為2X4+4X2=16,故選C.

22

6.[2024惠州市一調(diào)]設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，R,A分別是雙曲線C：a一左=1

0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，已知雙曲線。的離心率為百，過(guò)￡作一條漸近線的

垂線，垂足為尸，則(D)

IOPI

A.yB.2C.V3D.V6

解析由題意，不妨設(shè)a=l,則c=V3,b=y[2,所以IPRI=b=y/2,I

OP\=a=LcosN尸陽(yáng)=*所以cosNR見(jiàn)u—cosN/3陽(yáng)=一子.由余弦定理

可得，|用|2=|明|?+?冰?2—2?%???op\?cosN尸明=3+1—

2XV3X1X(一爭(zhēng)=6,所以IPF、I=V6,所以需十=①.故選D.

cA,2

7.[全國(guó)卷口設(shè)￡,內(nèi)是雙曲線G/一?=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)夕

在。上且I=2,則△郎￡的面積為(B)

7弓

A.-B.3C.-D.2

22

解析解法一設(shè)如￡分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則由題意可知片(-

2,0),￡(2,0),又I0P\=2,所以|冰|=|班|=|陽(yáng)|,所以

△必語(yǔ)是直角三角形，所以I跖一+I所一="￡I2=出不妨令點(diǎn)P在雙

曲線。的右支上，則有I陽(yáng)I—I二I=2,兩邊平方，得I陽(yáng)I』I跖一

—2|跖|?|二|=4,又I跖I?+I跖I2=16,所以I跖1?I二I=

6,則SAPF]F2=5?PFiI?IPF?I=5X6=3,(還可以直接利用S2xp&Fz=

WP電進(jìn)行求解)

tan—--

故選B.

解法二設(shè)點(diǎn)刀的坐標(biāo)為（&,力），因?yàn)镮OP|=2,所以邸十呼=4,把%彼=

4一%代入雙曲線方程得I%I=|，所以I￡￡IT%I，由題意可

知|FEI=4,所以SapFi6=]*4X]=3.故選B.

22

8.[2024武漢部分學(xué)校調(diào)考]過(guò)雙曲線區(qū)9一3=1（a＞。，力＞。）的左焦點(diǎn)尸

作圓/+y2=a2的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為。該切線與雙曲線￡在第一象限交于

點(diǎn)/，若方=3而，則雙曲線￡的離心率為（C）

A.V3B.V5C.—