2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

一、單選題

1.(2024?全國)已知函數(shù)為"x)=「j：2"：a,x<0,在R上單調(diào)遞增，則。取值的范圍

[e*+ln(x+l),尤20

是()

A.SO]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0收)

2.(2024?全國)已知函數(shù)為了⑴的定義域為R,/?>/(x-l)+/(x-2),且當x<3時

f(x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

3.(2024?全國)設(shè)函數(shù)/(x)=a(x+l)2—l,g(尤)=cosx+2辦，當時，曲線了=/(x)

與V(x)恰有一個交點，則。=()

A.-1B.1C.1D.2

4.（2024?全國）設(shè)函數(shù)/（x）=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,則/+〃的最小值為()

B.1

C.yD.1

5.（2024?全國）曲線/（x）=x'>+3x-l在(0,-1)處的切線與坐標軸圍成的面積為()

A?:B-TC.1D.-f

6.（2024?全國）函數(shù)=代+.-/卜iiu在區(qū)間［-2.8,2.8］的大致圖像為()

7.（2024?全國）設(shè)函數(shù)=￥詈，則曲線y=〃x）在（0,1）處的切線與兩坐標軸圍

成的三角形的面積為（）

A.-B.-C.1D.|

6323

8.（2024?北京）己知（4M）,（%2，%）是函數(shù)y=2,圖象上不同的兩點，則下列正確的是（）

A.叱丁/:B.…廣

J1

C.log2必>玉+/D.log22''<x,+x2

9.（2024?天津）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

x22x

Ae-x「cosx+x八e-x-sinx+4x

A.=———B.y=-------C.y-.........D.y=-w

x+1x+1'尤+1e

10.(2024?天津)若。=4.2一°3,1=4.2。3,

c=log420.2,則“，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

11.（2024?上海）下列函數(shù)/（x）的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.sm?2x+cos2xD.sin2x-cos2x

12.（2024?上海）已知函數(shù)"X）的定義域為R,定義集合

Af={x0|x0eR,xe(-a>,x0),/(x)</(x0)),在使得M=[-1』的所有/(x)中，下列成立的

是（）

A.存在/（x）是偶函數(shù)B.存在/（x）在x=2處取最大值

C.存在f（x）是嚴格增函數(shù)D.存在“X）在h-1處取到極小值

二、多選題

13.(2024?全國)設(shè)函數(shù)/(x)=(x—l)2(x—4),則()

A.x=3是/(X)的極小值點B.當0<x<l時，/W</(x2)

C.當l<x<2時，-4</(2x-l)<0D.當-l<x<0時，/(2-x)>/(x)

14.(2024?全國)設(shè)函數(shù)/(x)=2/—3加+1,則()

A.當。＞1時，〃x）有三個零點

B.當。<0時，x=0是/(x)的極大值點

C.存在0,6,使得x=b為曲線了=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點(1J⑴)為曲線了=/(x)的對稱中心

三、填空題

15.(2024?全國)若曲線y=e'+x在點(0,1)處的切線也是曲線了=ln(x+l)+。的切線，貝|

a=.

115

16.(2024?全國)已知?！?,---------------7二-7，貝.

logWlog.42

17.(2024?全國)曲線>與了=-(尤-1『+。在(o,+動上有兩個不同的交點，則。的

取值范圍為.

18.(2024?天津)若函數(shù)/(X)=2A/7=--2|+1有唯一零點，則。的取值范圍為.

19.(2024?上海)已知無)=[4戶貝4/(3)=_____.

l,x<0

四、解答題

20.(2024?全國)已知函數(shù)/(x)=>*+ax+6(x-l)3

2-x

(1)若6=0,且廣(x”0,求。的最小值;

(2)證明：曲線V=/(x)是中心對稱圖形；

(3)若/。)>一2當且僅當1<%<2,求6的取值范圍.

21.(2024,全國)已知函數(shù)/(x)=e"-依一/.

(1)當。=1時，求曲線了=/(%)在點(1，/⑴)處的切線方程;

⑵若〃x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

22.(2024?全國)已知函數(shù)〃x)=a(x-l)-lnx+l.

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若aV2時，證明：當x>l時，/(x)<ei恒成立.

23.(2024?全國)己知函數(shù)/(x)=(l-ax)ln(l+x)-x.

⑴當a=-2時，求/(x)的極值;

⑵當x20時，〃x絲0恒成立，求a的取值范圍.

24.(2024?北京)2知/(x)=x+Mn(l+x)在⑺)(/>0)處切線為。

⑴若切線/的斜率左=-1,求/(x)單調(diào)區(qū)間;

(2)證明：切線/不經(jīng)過(0,0)；

⑶己知人=1,"(fj⑺)，C(0J⑺)，0(0,0),其中/>0,切線/與了軸交于點3時.當

2S“o=15S^B。，符合條件的A的個數(shù)為？

(參考數(shù)據(jù)：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

25.(2024?天津)設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx.

⑴求圖象上點(1，〃1))處的切線方程；

⑵若在xe(0,+e)時恒成立，求a的取值范圍；

⑶若玉,馬€(0,1),證明|/(XJ_/(X2)K,_X2?.

26.(2024?上海)若/(x)=logaX(a>0,awl).

(1)廣〃力過(4,2),求〃2x-2)<"x)的解集;

⑵存在X使得〃X+1)、/(ax),“X+2)成等差數(shù)列，求。的取值范圍.

27.(2024?上海)對于一個函數(shù)和一個點朋'(a,6),令s(x)=(x-小+(〃x)-爐，若

P(X°J(x0))是s(x)取到最小值的點，則稱P是/在/(X)的“最近點”.

⑴對于〃x)=J(x>0),求證：對于點M(0,0),存在點P,使得點P是M在/(X)的“最近

X

點”；

⑵對于〃x)=e',M(l,0),請判斷是否存在一個點尸，它是“在/(x)的“最近點”，且直線

"P與y=/(x)在點p處的切線垂直；

⑶已知y=〃x)在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)/(X),且函數(shù)g(x)在定義域R上恒正，設(shè)點

M1(Z-l,/(/)-g(/)),此1+1J⑺+g(。).若對任意的feR,存在點尸同時是Mi，/?在

/(x)的“最近點”，試判斷〃x)的單調(diào)性.

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【解析】因為/(x)在R上單調(diào)遞增，且xNO時，/■5)=6'+111(》+1)單調(diào)遞增，

—->0

則需滿足2x(7),解得一

-a<e°+In1

即。的范圍是[TO].

故選：B.

2.B

【分析】代入得到/(1)=1,/(2)=2,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.

【解析】因為當"3時/(x)=x,所以/(1)=1J(2)=2,

又因為〃尤)>/(x-l)+/■(尤-2),

則/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(H)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233JQ3)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知"20)>1000,則B正確；

且無證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用/⑴=1,〃2)=2,再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)

/(x)>/(x-l)+/(x-2),代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.

3.D

【分析】解法一：令b(x)="+a-l,G(x)=cosx,分析可知曲線尸尸(x)與了=G(x)恰有

一個交點，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知該交點只能在y軸上，即可得。=2,并代入檢驗即可；

解法二：令〃(x)=/(x)-g(x),尤可知〃(x)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可

知〃(x)的零點只能為0,即可得。=2,并代入檢驗即可.

【解析】解法一：令/'(x)=g(x),gpa(x+l)2-l=cosx+2ax,可得ax?+a-l=cosx,

令尸(x)=ax2+a-1,G(x)=cosx,

原題意等價于當xe(-1,1)時，曲線尸尸(x)與尸G(x)恰有一個交點，

注意到尸(x),G(x)均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，

可得網(wǎng)0)=G(0),即a-l=l,解得a=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得2X?+1—cosx=0

因為貝［|2-±0,1-cosxNO,當且僅當x=0時，等號成立，

可得2/+1-cosxNO,當且僅當x=0時，等號成立，

則方程2X2+1-COSX=0有且僅有一個實根0,即曲線尸尸(x)與昨G(x)恰有一個交點,

所以。=2符合題意；

綜上所述：(7=2.

解法二：令力(尤)=/(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,xe(-1,1),

原題意等價于〃(x)有且僅有一個零點，

因為〃(-x)=+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=7z(x),

則/z(x)為偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知〃(X)的零點只能為0,

即力(0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,則〃(x)=2x+1-cosx,xe(-1,1),

又因為2x?20,1-cosxNO當且僅當x=0時，等號成立，

可得Mx)W0,當且僅當x=0時，等號成立，

即從“有且僅有一個零點0,所以。=2符合題意；

故選：D.

4.C

【分析】解法一：由題意可知：“X)的定義域為(-4+8),分類討論-。與-41-6的大小關(guān)

系，結(jié)合符號分析判斷，即可得6=。+1,代入可得最值；解法二：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分

析ln(x+6)的符號，進而可得x+a的符號，即可得6=。+1,代入可得最值.

【解析】解法一：由題意可知："X)的定義域為(-4+e),

令X+Q=0解得工=一〃；令ln(x+6)=0解得x=l—6；

若-aW-b,當了￡(一仇1一6)時，可知x+〃〉0,ln(x+6)<0,

此時)('KO,不合題意；

若—b〈—a<\—b,當工￡(一〃1一6)時，可知x+〃>0,In(%+/?)<0,

此時〃x)<0,不合題意；

若一4二1—6,當(一仇1一6)時，可知x+Q<0,ln(x+b)<0,止匕時/(x)>0；

當-仇+8)時，可知x+Q20,ln(x+Z?)>0,此時/(x)20；

可知若-〃=1-6,符合題意；

若—a>l—b,當X￡(l—"一Q)時，可知x+a(0,ln(x+6》0,

此時/(x)<0,不合題意；

綜上所述：一。二1一6,即b=a+l,

^a2+b2=a2+(a+^=2(a+^\當且僅當a=-1/=1時，等號成立，

所以/+〃的最小值為：；

解法二：由題意可知：AM的定義域為(-6,+8),

令X+Q=0解得工=一〃；令ln(x+b)=O解得％=1—6；

貝lj當了￡(一41一人)時，ln(x+Z))<0,故x+〃V0,所以1—6+Q40；

xw(l—8+8)時，ln(x+Z?)>0,故x+〃20,所以1—6+aNO；

故1-6+〃=0,則/+/=/+(Q+1)2二+；1+；>；，

當且僅當。=一!力=:時，等號成立，

22

所以片+尸的最小值為

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：分別求x+a=O、ln(x+6)=0的根，以根和函數(shù)定義域為臨界，比較

大小分類討論，結(jié)合符號性分析判斷.

5.A

【分析】先求出切線方程，再求出切線的截距，從而可求面積.

【解析】r(x)=6x5+3,所以析(0)=3,故切線方程為y=3(x-0)-l=3x-l,

故切線的橫截距為《，縱截距為-1,故切線與坐標軸圍成的面積為］xlx：=J

3236

故選：A.

6.B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/⑴>0,可排除D.

［解析］/(-x)=-X?+(「_e")sin(-x)=-/+(e*-/卜inx=f(x),

又函數(shù)定義域為［-2.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

sinl>-l+fe--.兀e1111

又〃1)=T+sin—=——1----->--------->0,

622e42e

故可排除D.

故選：B.

7.A

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得其在點(0,1)處的切線方程，即可得其與坐標軸交點

坐標，即可得其面積.

((e*+2cosx)(l+x2)-(e*+2sinx〉2x

［解析］x"(^4'

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

貝U//(°)=----------------------------=3，

,(1+0J)

即該切線方程為V-l=3無，即尸3尤+1,

令尤=0,貝1Jy=i,令y=。，貝！］x=-g,

故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積s=:xix

故選：A.

8.A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即

可.

【解析】由題意不妨設(shè)西<馬，因為函數(shù)y=2,是增函數(shù)，所以0<2%<2"2,即0<乂<%,

7X17X2I----------明+*2I西+巧

對于選項AB：可得-------〉巧廬=22，即口也>22>0,

22

X]+x

根據(jù)函數(shù)》=10g2%是增函數(shù)，所以Iog2區(qū)里>log22H2=美寇，故A正確，B錯誤；

對于選項C：例如西=0,%2=1，則必=1,必=2,

可得log?匕/=log2ge(0,l),即10g2〃產(chǎn)<1=X|+X2,故C錯誤；

對于選項D：例如%=-1,9=-2,貝I]必=；,%=:,

可得log?吟左=bg2]=log23-3e(-2,-l),即bg?匕抖>一3=再+x?,故D錯誤，

故選：A.

9.B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【解析】對A,設(shè)/(工)=學(xué)《，函數(shù)定義域為R,但=/(1)=^,貝U

f(T)w/(l)，故A錯誤；

對B,設(shè)g(x)=8S：+x2,函數(shù)定義域為R,

JX+1

且g(—x)=c°J]：(X)=cos：+：=g(x),則g(x)為偶函數(shù)，故B正確；

(-X)+1X+1

對C,設(shè)力(x)=*,函數(shù)定義域為{X|X*T},不關(guān)于原點對稱，則從力不是偶函數(shù),

故C錯誤；

對D,設(shè)0(x)=―/——，函數(shù);t義域為R,因為°(1)=―--,0(-1)=——-——，

則0⑴則夕(x)不是偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

10.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.

【解析】因為y=4.2'在R上遞增，且一0.3<0<0.3,

所以0<4.2?3<4.2°<4.2°3,

所以0<4.2?3<1<4.2°3,BP0<a<1<6,

因為》=10g42X在(0,+8)上遞增，X0<0.2<1,

所以log420.2<log421H0,即c<0,

所以6>a>c,

故選：B

11.A

【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判

斷即可.

【解析】對A,sinx+cosx=V5sin[x+：),周期？=2兀，故A正確；

I27r

對B,sinxcosx=-sin2x,周期T=彳=兀，故B錯誤；

22

對于選項c,sin2x+cos2x=l,是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；

77r

對于選項D,sin2x-cos2x=-cos2x,周期7=5=兀，故D錯誤，

故選：A.

12.B

【分析】對于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對

-2,x<—1

于B,構(gòu)造函數(shù)〃到=—,-14*41即可判斷.

l,x>1

【解析】對于A,若存在了=/(x)是偶函數(shù)，取x0=le[-l,l],

則對于任意XG(-0),1),/(%)</(1),而/(-1)=/(1),矛盾，故A錯誤；

-2,x<_1,

對于B,可構(gòu)造函數(shù)/(x)=<x,-lWx<1,滿足集合M=[-1,1],

l,x>1,

當尤<一1時，則〃尤)=一2,當-L,y(x)G[-i,i],當尤>i時，/(x)=i,

則該函數(shù)f(x)的最大值是八2),則B正確；

對C,假設(shè)存在“X),使得/'(x)嚴格遞增，則河=孔與已知M=矛盾，則C錯誤；

對D,假設(shè)存在/(x),使得/(x)在x=-l處取極小值，則在-1的左側(cè)附近存在〃，使得

/(H)>/(-1),這與已知集合”的定義矛盾，故D錯誤；

故選：B.

13.ACD

【分析】求出函數(shù)/'(x)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；

根據(jù)函數(shù)/'(x)在(1,3)上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.

【解析】對A,因為函數(shù)/'(x)的定義域為R,而

=2(x-l)(x-4)+(x-l)2=3(x-l)(x-3),

易知當xe(l,3)時，/,(x)<0,當或無e(3,+s)時，fr(x)>0

函數(shù)/(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+。)上單調(diào)遞增，故x=3是函

數(shù)/(x)的極小值點，正確；

對B,當0<x<l時，x-x2=x(l-x)>0,所以1八>/>0,

而由上可知，函數(shù)/'(x)在(01)上單調(diào)遞增，所以“X)>/(一),錯誤；

對C,當1〈尤<2時，l<2x-l<3,而由上可知，函數(shù)”X)在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以〃l)>/(2x-l)>/(3),即-4<〃2x-l)<0,正確；

對D,當_]<x<0時，/(2-X)-/(X)=(1-X)2(-2-X)-(X-1)2(X-4)=(X-1)2(2-2X)>0,

所以“2-x)>/(x),正確;

故選：ACD.

14.AD

【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為x=0,x=。，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判

斷出“X)在(-1,0),(0,。),(。,2。)上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進

行分析；c選項，假設(shè)存在這樣的。力，使得x=b為"X)的對稱軸，則/■(無)=/(2b-x)為恒

等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的使得(1,3-3a)為Ax)的對稱中心，則

/(尤)+/(2-尤)=6-6。，據(jù)此進行計算判斷，亦可利用拐點結(jié)論直接求解.

【解析】A選項，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于。>1,

故xe(-8,0)"a,+句時>0,故f(x)在(-oo,0),(a,+oo)上單調(diào)遞增,

xe(0,a)時，f\x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

則/?在x=0處取到極大值，在x=。處取到極小值，

3

由/(0)=1>0,/(?)=l-a<0,則/(0)/(。)<0,

根據(jù)零點存在定理“X)在上有一個零點，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2?)=4a3+l>0,則/(一1)/(0)<0,/(a)/(2a)<0,

則/(X)在(-1,0),(凡2a)上各有一個零點，于是a>1時，"X)有三個零點，A選項正確；

B選項，/'(x)=6x(x—a),a<0時，xe(a,0),/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

xe(0,+co)時/''(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

此時/(x)在x=0處取到極小值，B選項錯誤；

C選項，假設(shè)存在這樣的6,使得x=b為的對稱軸，

即存在這樣的。涉使得f(x)=f(2b-x),

即2x3-3ax2+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根據(jù)二項式定理，等式右邊(2b-x)3展開式含有V的項為2c(2，)°(-4=-2x3,

于是等式左右兩邊M的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的。力，使得x=b為“X)的對稱軸，C選項錯誤；

D選項，

方法一：利用對稱中心的表達式化簡

/(1)=3-3?,若存在這樣的。，使得(1,3-3a)為/(x)的對稱中心，

則〃x)+〃2-x)=6-6a,事實上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+l=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12。

12-6a=0

即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1J(1))是/⑴的對稱中心，D選項正確.

18—12Q=6—6a

方法二：直接利用拐點結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導(dǎo)數(shù)的零點，

/(x)=2x3-3av2+1,/'(%)=6x2-6ax,/"(%)=12x-6a,

由/"(x)=0oX=■!,于是該三次函數(shù)的對稱中心為||

由題意(1J(1))也是對稱中心，故?|=1。。=2,

即存在。=2使得(1J⑴)是"X)的對稱中心，D選項正確.

故選：AD

【點睛】結(jié)論點睛：(1)/(x)的對稱軸為x=bo/(x)=/(26-x)；(2)/(x)關(guān)于(a,6)對稱

o〃x)+/(2a-x)=2b；(3)任何三次函數(shù)/0)=辦3+/+”+3都有對稱中心，對稱中

心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是/口)=0的解，即是三次函數(shù)

的對稱中心

15.In2

【分析】先求出曲線y=e*+x在(0,1)的切線方程，再設(shè)曲線y=ln(x+l)+。的切點為

(x0,ln(x0+1)+?),求出了，利用公切線斜率相等求出號,表示出切線方程，結(jié)合兩切線方

程相同即可求解.

f

［解析］由V=e"+X得V=e'+1,y|x=0=e°+1=2,

故曲線y=e'+x在(0,1)處的切線方程為＞=2x+l；

由y=ln(x+l)+q得j/=^—f

x+1

設(shè)切線與曲線V=111(》+1)+。相切的切點為(％,皿/+l)+a),

由兩曲線有公切線得了=2=2,解得/=-〈，則切點為+

X。+12I22)

切線下呈V=2+5)+tz+In—=2x+1+Q—In2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案為：In2

16.64

【分析】將log84,10g,4利用換底公式轉(zhuǎn)化成Iog2a來表示即可求解.

113115,、2

【解析】由題:；整理得

j--------------7=1----------log2^=--,(vlog2a)7-51og22?-6=0,

log8aloga4log2a22

=^＞log2a=-l^log2(7=6,又。＞1,

6

^T^log2?=6=log22,故Q=26=64

故答案為：64.

17.(-2,1)

【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令d-3x=-(尤-iy+。，分離參數(shù)a,構(gòu)造新函數(shù)

g(x)=d+/_5x+1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得g(x)單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.

【解析】令—3x=—(尤一1)~+a,BPer=x3+x2-5x+1,令g(x)=x，+x~—5x+l(尤>。),

則g'(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-l),令g[x)=O(x>。)得x=l,

當xe(O,l)時，g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當xe(l,+8)時,g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(O)=l,g(l)=-2,

因為曲線y=/-3x與y=-(x-lp+。在(0,+8)上有兩個不同的交點，

所以等價于與g(x)有兩個交點，所以ae(-2,1).

故答案為：(-2,1)

18.(-73,-1)u(l,V3)

【分析】結(jié)合函數(shù)零點與兩函數(shù)的交點的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)g(x)=24rq與

ux—3,x之一

=<則兩函數(shù)圖象有唯一交點，分。=0、。>0與a<0進行討論，當。>0

\-ax,x<—

、a

時，計算函數(shù)定義域可得x2?；騲40,計算可得ae(0,2]時，兩函數(shù)在7軸左側(cè)有一交點，

則只需找到當ae(O,2]時，在了軸右側(cè)無交點的情況即可得；當a<0時，按同一方式討論

即可得.

【解析】令/(x)=0,即2&一亦=|冰一2|-1,

由題可得一分20,

當。=0時，xeR,有2值=卜=則x=±等，不符合要求，舍去;

“、2

ux—3,x2一

當〃>0時，則2，工2一辦二|辦一21—1=<a

12'

1-ax,x<—

a

ax-3,x>—

即函數(shù)g(無)=2五2一°尤與函數(shù)為(x)=?;有唯一交點,

1-ax,x<—

、a

由一辦20,可得％之?；騒40,

當xWO時，貝!JQX—2<0,則24%2一辦二|亦_21-1=1一辦，

2

即4x—4ax=(1—ax)?,整理得(4—/卜？_2ax—1=[(2+Q)X+1][(2—a)x—1]=0,

當〃=2時，即4x+l=0,gpx=-l

4

當ae(O,2),x=-J-或x=——>0(正值舍去)，

2+a2-a

當aw(2,+oo)時，x=-1—<0或x=J—<0,有兩解，舍去，

2+Q2-a

即當ae(0,2]時，2尸工-2|+l=0在xWO時有唯一解，

則當ae(0,2]時，2尸弓-麻-2|+1=0在xNa時需無解，

當ae(O,2],且xNa時,

ax-3,x>—

由函數(shù)Mx)=:關(guān)于x=2對稱，令〃(x)=0,可得x=L或x=3,

2aaa

且函數(shù)〃(力在上單調(diào)遞減，在［2,上單調(diào)遞增,

\aa)\aaJ

令g(x)=y=2Jx?_辦,即J，

a

4

('Jy2

故xNa時，g(x)圖象為雙曲線丁一/二1右支的x軸上方部分向右平移三所得,

4

(x)y2_a_

由丁一萬的漸近線方程為'一一-

T2

即g(x)部分的漸近線方程為y=2(x-￡|,其斜率為2,

'c2

ax-3,x>—

又ae(O,2],即“尤)=:在xN?時的斜率ae(O,2],

1-ax,x<—

令8(%)=2，X2一辦二o,可得x=q或x=0(舍去),

且函數(shù)g(H在(見+°°)上單調(diào)遞增,

1

一<a

故有;解得故1<0<6符合要求;

—>a

、a

ax-3,x<—

當a<0時，則2>/x2—ux=1ax-2|—1=*；

l-ax,x>—

a

。2

ax-3,x<—

即函數(shù)g(x)=242一"與函數(shù)〃(無)=,;有唯一交點,

1-ax,x>—

a

由一辦20，可得XN0或

當x20時，則ax—2<0,則2，％2_"二|辦一2|-1二1一辦,

即4x2—4ax=（1—ax）?,整理得（4—/卜？_2ax—1=[（2+Q）X+1][（2—Q）X—1]=0,

當〃=一2時，即4x—1=0,BPx=—,

4

當ae（-2,0）,x=-—1—<0（負值舍去）或工=丁1-0,

2+a2-a

當ae（-oo,2）時，x=->0或尤=J—>0,有兩解，舍去，

即當。e[-2,0）時，2,當-辦辦-2|+1=0在x?0時有唯一解,

貝lj當q￡[-2,0）時,2,X）-辦-1辦-2|+1=0在x?Q時需無解，

當?！闧-2,0),且時,

ax-3,x<—

由函數(shù)〃(x)=:關(guān)于x=2對稱，令%(x)=o,可得x=L或x=2,

12aaa

I-ax,x>—

、a

且函數(shù)〃(x)在上單調(diào)遞減，在僅,2]上單調(diào)遞增，

\aajyaaJ

(x)2y2

同理可得：xW。時，g(力圖象為雙曲線「一7二1左支的1軸上方部分向左平移￡所得,

T

g(X)部分的漸近線方程為歹=-21+￡|,其斜率為-2,

'r2

ax-3,x>—

又ae[-2,0),即//(%)=<(在x<2時的斜率。?-2,0),

12a

令g(x)=2飛x?-ax=。,可得x=a或x=0(舍去),

且函數(shù)g(x)在(-8,a)上單調(diào)遞減,

1

—>CL

故有《，解得故-符合要求;

—<a

、a

綜上所述，6/e(-V3,-l)U(l,V3).

故答案為：(-V3,-l)u(1,6).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于將函數(shù)“X)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=2E^

。2

ax-3,x>—

與函數(shù)〃(%)=<;的交點問題，從而可將其分成兩個函數(shù)研究.

1—UX,X<一

a

19.百

【分析】利用分段函數(shù)的形式可求/(3).

【解析】因為=故〃3)=6,

Lx<0

故答案為：百.

20.(1)-2

(2)證明見解析

2

⑶

【分析】（1）求出了'（X）1nhi=2+。后根據(jù)八x）20可求a的最小值；

（2）設(shè)尸（私〃）為*=/（力圖象上任意一點,可證尸（見〃）關(guān)于（1,。）的對稱點為

。（2-機,2。-〃）也在函數(shù)的圖像上，從而可證對稱性；

（3）根據(jù)題設(shè)可判斷/⑴=-2即〃=—2,再根據(jù)/（%）>-2在（1,2）上恒成立可求得

【解析】（1）6=0時，/（x）=ln-^—+6zx,其中XE（0,2）,

2,—x

112

則/⑴二十二二產(chǎn)6+0武叮），

因為x（2一-;+xj=i,當且僅當》=1時等號成立，

故/'（AjZ+a,而/'（x"0成立，故a+2?0即a12,

所以。的最小值為-2.,

（2）/（x）=lnA+"+6（x-l）3的定義域為（0,2）,

設(shè)尸（刃,〃）為y=/（x）圖象上任意一點，

尸仇〃）關(guān)于（l,a）的對稱點為。（2-%2a-〃）,

因為尸（加,〃）在了=/（x）圖象上，^n=\nm+am+b（m-].）3,

2-m

/_ytqqyyi->

而/（2—加）=ln-------ba（2—加）+6（2—加-1）=-In--------am+b[m-\^+2a,

m[_2—m

=-n+2a,

所以。（2-〃[,2"〃）也在了=/（力圖象上，

由P的任意性可得V=/（x）圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為（L。）.

（3）因為/（力>-2當且僅當l<x<2,故x=l為/'（"=-2的一個解，

所以7（1）=-2即°=_2,

先考慮l<x<2時，恒成立.

此時〃x)>-2即為加7匚+2(1-X)+6(X-1)3>0在(1,2)上恒成立,

2—x

設(shè)￡=%-1?0,1),則In罟-2/+#>0在(0,1)上恒成立，

?2_t~(~3bt~+2+3Z))

貝nUg，⑺=3_2+3bt2=」-----5——

'71-2I-/2

當620,-3bt2+2+3b>-3b+2+3b=2>0,

故g'?)>0恒成立，故g(f)在(0』)上為增函數(shù),

故g(t)〉g(o)=o即/(x)>-2在。2)上恒成立.

2

當一時，-3次+2+3622+3620,

故g'⑺20恒成立，故g(。在(0,1)上為增函數(shù)，

故g")>g(o)=0即/(x)>-2在(1,2)上恒成立.

當方<4,則當時，g'(f)<0

故在上g(/)為減函數(shù)，故g⑺<g(o)=o,不合題意，舍；

綜上，/"(力>-2在(1,2)上恒成立時62-：

2

而當時,

而62、時，由上述過程可得g?)在(0,1)遞增，故g?)>0的解為(0,1),

即/(力>-2的解為(1,2).

2

綜上，b>—y.

【點睛】思路點睛：一個函數(shù)不等式成立的充分必要條件就是函數(shù)不等式對應(yīng)的解，而解的

端點為函數(shù)對一個方程的根或定義域的端點，另外，根據(jù)函數(shù)不等式的解確定參數(shù)范圍時,

可先由恒成立得到參數(shù)的范圍，再根據(jù)得到的參數(shù)的范圍重新考慮不等式的解的情況.

21.(l)(e-l)x-j^-l=0

⑵(l，+s)

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)解法一：求導(dǎo)，分析。40和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得

Y+lna-l〉。，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可;解法二:求導(dǎo)，可知/'(x)=e，-a有零點，可得a>0,

進而利用導(dǎo)數(shù)求/'(x)的單調(diào)性和極值，分析可得Y+ina—l〉。，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.

【解析】(1)當。=1時，貝ij/(x)=e*-x-l,f\x)=ev-1,

可得f(l)=e-2,r(l)=e-l,

即切點坐標為(Le-2),切線斜率左=e-l,

所以切線方程為了-(e-2)=(e-l)(x-l),即(e-l)x-y-l=0.

(2)解法一：因為“X)的定義域為R,且尸(x)=e-a,

若a40,則/'(無”0對任意xeR恒成立，

可知〃x)在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；

若a>0,令/''(x)>0,解得尤>Ina；令/''(x)<0,解得x<lna；

可知〃x)在(-內(nèi)單調(diào)遞減，在(ina,+(?)內(nèi)單調(diào)遞增，

貝l|/(x)有極小值/(lna)=a-aln。-/,無極大值，

由題意可得：/(lna)=a-alna-a3<0,gpa2+ln<7-l>0,

構(gòu)建8(々)=々2+lna—l,a>0,貝［|g，(a)=>0,

可知g(a)在(0,+功內(nèi)單調(diào)遞增，且g(l)=0,

不等式Y(jié)+ln“_l>0等價于g(a)>g(l),解得。>1,

所以a的取值范圍為(L+8);

解法二：因為“X)的定義域為R,且法(x)=e*-a,

若/(x)有極小值，貝1/'。)=/-。有零點，

令f\x)=ex-a=0,可得e*=a,

可知〉=e，與V=4有交點，貝|a>0,

若。>0,令/'(無)>0,解得尤>lna；令/''(無)<0,解得尤<lna；

可知/(x)在(-8,In。)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

則/(x)有極小值/(lna)=a-alna-a3,無極大值，符合題意,

由題意可得：/(lna)=a—?lnfl—?3<0,BP?2+Ina-1>0,

構(gòu)建g(a)=/+ln"l,a>0,

因為則歹=。2,7=111。_1在(0,+動內(nèi)單調(diào)遞增,

可知g(a)在(0,+動內(nèi)單調(diào)遞增,且g⑴=0,

不等式a2+lna-l>0等價于g(a)>g(l),解得。>1,

所以a的取值范圍為(1,+8).

22.⑴見解析

(2)見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，含參分類討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性;

(2)先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當x>l時，ei-2x+l+lnx>0即可.

【解析】(1)“X)定義域為(0,+s),f\x)=a--=^

XX

當aV0時，/'(x)=巴匚<0,故"X)在(0,a)上單調(diào)遞減；

X

當a>0時,時,f'(x)>0,/⑺單調(diào)遞增，

當xe［o,￡|時，/'(x