2024年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

一、單選題

1.(2024?全國(guó))已知函數(shù)為"x)=「j：2"：a,x<0,在R上單調(diào)遞增，則。取值的范圍

[e*+ln(x+l),尤20

是()

A.SO]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0收)

2.(2024?全國(guó))已知函數(shù)為了⑴的定義域?yàn)镽,/?>/(x-l)+/(x-2),且當(dāng)x<3時(shí)

f(x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

3.(2024?全國(guó))設(shè)函數(shù)/(x)=a(x+l)2—l,g(尤)=cosx+2辦，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)了=/(x)

與V(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，則。=()

A.-1B.1C.1D.2

4.（2024?全國(guó)）設(shè)函數(shù)/（x）=(x+a)ln(x+6),若/(x)20,則/+〃的最小值為()

B.1

C.yD.1

5.（2024?全國(guó)）曲線(xiàn)/（x）=x'>+3x-l在(0,-1)處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的面積為()

A?:B-TC.1D.-f

6.（2024?全國(guó)）函數(shù)=代+.-/卜iiu在區(qū)間［-2.8,2.8］的大致圖像為()

7.（2024?全國(guó)）設(shè)函數(shù)=￥詈，則曲線(xiàn)y=〃x）在（0,1）處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸圍

成的三角形的面積為（）

A.-B.-C.1D.|

6323

8.（2024?北京）己知（4M）,（%2，%）是函數(shù)y=2,圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是（）

A.叱丁/:B.…廣

J1

C.log2必>玉+/D.log22''<x,+x2

9.（2024?天津）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）

x22x

Ae-x「cosx+x八e-x-sinx+4x

A.=———B.y=-------C.y-.........D.y=-w

x+1x+1'尤+1e

10.(2024?天津)若。=4.2一°3,1=4.2。3,

c=log420.2,則“，b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

11.（2024?上海）下列函數(shù)/（x）的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cosxB.sinxcosx

C.sm?2x+cos2xD.sin2x-cos2x

12.（2024?上海）已知函數(shù)"X）的定義域?yàn)镽,定義集合

Af={x0|x0eR,xe(-a>,x0),/(x)</(x0)),在使得M=[-1』的所有/(x)中，下列成立的

是（）

A.存在/（x）是偶函數(shù)B.存在/（x）在x=2處取最大值

C.存在f（x）是嚴(yán)格增函數(shù)D.存在“X）在h-1處取到極小值

二、多選題

13.(2024?全國(guó))設(shè)函數(shù)/(x)=(x—l)2(x—4),則()

A.x=3是/(X)的極小值點(diǎn)B.當(dāng)0<x<l時(shí)，/W</(x2)

C.當(dāng)l<x<2時(shí)，-4</(2x-l)<0D.當(dāng)-l<x<0時(shí)，/(2-x)>/(x)

14.(2024?全國(guó))設(shè)函數(shù)/(x)=2/—3加+1,則()

A.當(dāng)。＞1時(shí)，〃x）有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)。<0時(shí)，x=0是/(x)的極大值點(diǎn)

C.存在0,6,使得x=b為曲線(xiàn)了=/(x)的對(duì)稱(chēng)軸

D.存在a,使得點(diǎn)(1J⑴)為曲線(xiàn)了=/(x)的對(duì)稱(chēng)中心

三、填空題

15.(2024?全國(guó))若曲線(xiàn)y=e'+x在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)了=ln(x+l)+。的切線(xiàn)，貝|

a=.

115

16.(2024?全國(guó))已知。〉1,---------------7二-7，貝.

logWlog.42

17.(2024?全國(guó))曲線(xiàn)>與了=-(尤-1『+。在(o,+動(dòng)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則。的

取值范圍為.

18.(2024?天津)若函數(shù)/(X)=2A/7=--2|+1有唯一零點(diǎn)，則。的取值范圍為.

19.(2024?上海)已知無(wú))=[4戶(hù)貝4/(3)=_____.

l,x<0

四、解答題

20.(2024?全國(guó))已知函數(shù)/(x)=>*+ax+6(x-l)3

2-x

(1)若6=0,且廣(x”0,求。的最小值;

(2)證明：曲線(xiàn)V=/(x)是中心對(duì)稱(chēng)圖形；

(3)若/。)>一2當(dāng)且僅當(dāng)1<%<2,求6的取值范圍.

21.(2024,全國(guó))已知函數(shù)/(x)=e"-依一/.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線(xiàn)了=/(%)在點(diǎn)(1，/⑴)處的切線(xiàn)方程;

⑵若〃x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

22.(2024?全國(guó))已知函數(shù)〃x)=a(x-l)-lnx+l.

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若aV2時(shí)，證明：當(dāng)x>l時(shí)，/(x)<ei恒成立.

23.(2024?全國(guó))己知函數(shù)/(x)=(l-ax)ln(l+x)-x.

⑴當(dāng)a=-2時(shí)，求/(x)的極值;

⑵當(dāng)x20時(shí)，〃x絲0恒成立，求a的取值范圍.

24.(2024?北京)2知/(x)=x+Mn(l+x)在⑺)(/>0)處切線(xiàn)為。

⑴若切線(xiàn)/的斜率左=-1,求/(x)單調(diào)區(qū)間;

(2)證明：切線(xiàn)/不經(jīng)過(guò)(0,0)；

⑶己知人=1,"(fj⑺)，C(0J⑺)，0(0,0),其中/>0,切線(xiàn)/與了軸交于點(diǎn)3時(shí).當(dāng)

2S“o=15S^B。，符合條件的A的個(gè)數(shù)為？

(參考數(shù)據(jù)：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

25.(2024?天津)設(shè)函數(shù)/(x)=xlnx.

⑴求圖象上點(diǎn)(1，〃1))處的切線(xiàn)方程；

⑵若在xe(0,+e)時(shí)恒成立，求a的取值范圍；

⑶若玉,馬€(0,1),證明|/(XJ_/(X2)K,_X2?.

26.(2024?上海)若/(x)=logaX(a>0,awl).

(1)廣〃力過(guò)(4,2),求〃2x-2)<"x)的解集;

⑵存在X使得〃X+1)、/(ax),“X+2)成等差數(shù)列，求。的取值范圍.

27.(2024?上海)對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)朋'(a,6),令s(x)=(x-小+(〃x)-爐，若

P(X°J(x0))是s(x)取到最小值的點(diǎn)，則稱(chēng)P是/在/(X)的“最近點(diǎn)”.

⑴對(duì)于〃x)=J(x>0),求證：對(duì)于點(diǎn)M(0,0),存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P是M在/(X)的“最近

X

點(diǎn)”；

⑵對(duì)于〃x)=e',M(l,0),請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)尸，它是“在/(x)的“最近點(diǎn)”，且直線(xiàn)

"P與y=/(x)在點(diǎn)p處的切線(xiàn)垂直；

⑶已知y=〃x)在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)/(X),且函數(shù)g(x)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)

M1(Z-l,/(/)-g(/)),此1+1J⑺+g(。).若對(duì)任意的feR,存在點(diǎn)尸同時(shí)是Mi，/?在

/(x)的“最近點(diǎn)”，試判斷〃x)的單調(diào)性.

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【解析】因?yàn)?(x)在R上單調(diào)遞增，且xNO時(shí)，/■5)=6'+111(》+1)單調(diào)遞增，

—->0

則需滿(mǎn)足2x(7),解得一

-a<e°+In1

即。的范圍是[TO].

故選：B.

2.B

【分析】代入得到/(1)=1,/(2)=2,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，逐漸遞推即可判斷.

【解析】因?yàn)楫?dāng)"3時(shí)/(x)=x,所以/(1)=1J(2)=2,

又因?yàn)椤ㄓ?>/(x-l)+/■(尤-2),

則/(3)>/(2)+/(1)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(H)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233JQ3)>/(12)+/(11)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610,/(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,則依次下去可知"20)>1000,則B正確；

且無(wú)證據(jù)表明ACD一定正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用/⑴=1,〃2)=2,再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì)

/(x)>/(x-l)+/(x-2),代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性，不斷遞推即可.

3.D

【分析】解法一：令b(x)="+a-l,G(x)=cosx,分析可知曲線(xiàn)尸尸(x)與了=G(x)恰有

一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得。=2,并代入檢驗(yàn)即可；

解法二：令〃(x)=/(x)-g(x),尤可知〃(x)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可

知〃(x)的零點(diǎn)只能為0,即可得。=2,并代入檢驗(yàn)即可.

【解析】解法一：令/'(x)=g(x),gpa(x+l)2-l=cosx+2ax,可得ax?+a-l=cosx,

令尸(x)=ax2+a-1,G(x)=cosx,

原題意等價(jià)于當(dāng)xe(-1,1)時(shí)，曲線(xiàn)尸尸(x)與尸G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

注意到尸(x),G(x)均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，

可得網(wǎng)0)=G(0),即a-l=l,解得a=2,

若a=2,令尸(x)=G(x),可得2X?+1—cosx=0

因?yàn)樨悾踻2-±0,1-cosxNO,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

可得2/+1-cosxNO,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

則方程2X2+1-COSX=0有且僅有一個(gè)實(shí)根0,即曲線(xiàn)尸尸(x)與昨G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn),

所以。=2符合題意；

綜上所述：(7=2.

解法二：令力(尤)=/(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,xe(-1,1),

原題意等價(jià)于〃(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)椤?-x)=+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=7z(x),

則/z(x)為偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知〃(X)的零點(diǎn)只能為0,

即力(0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,則〃(x)=2x+1-cosx,xe(-1,1),

又因?yàn)?x?20,1-cosxNO當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

可得Mx)W0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

即從“有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0,所以。=2符合題意；

故選：D.

4.C

【分析】解法一：由題意可知：“X)的定義域?yàn)?-4+8),分類(lèi)討論-。與-41-6的大小關(guān)

系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得6=。+1,代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分

析ln(x+6)的符號(hào)，進(jìn)而可得x+a的符號(hào)，即可得6=。+1,代入可得最值.

【解析】解法一：由題意可知："X)的定義域?yàn)?-4+e),

令X+Q=0解得工=一〃；令ln(x+6)=0解得x=l—6；

若-aW-b,當(dāng)了￡(一仇1一6)時(shí)，可知x+〃〉0,ln(x+6)<0,

此時(shí))('KO,不合題意；

若—b〈—a<\—b,當(dāng)工￡(一〃1一6)時(shí)，可知x+〃>0,In(%+/?)<0,

此時(shí)〃x)<0,不合題意；

若一4二1—6,當(dāng)(一仇1一6)時(shí)，可知x+Q<0,ln(x+b)<0,止匕時(shí)/(x)>0；

當(dāng)-仇+8)時(shí)，可知x+Q20,ln(x+Z?)>0,此時(shí)/(x)20；

可知若-〃=1-6,符合題意；

若—a>l—b,當(dāng)X￡(l—"一Q)時(shí)，可知x+a(0,ln(x+6》0,

此時(shí)/(x)<0,不合題意；

綜上所述：一。二1一6,即b=a+l,

^a2+b2=a2+(a+^=2(a+^\當(dāng)且僅當(dāng)a=-1/=1時(shí)，等號(hào)成立，

所以/+〃的最小值為：；

解法二：由題意可知：AM的定義域?yàn)?-6,+8),

令X+Q=0解得工=一〃；令ln(x+b)=O解得％=1—6；

貝lj當(dāng)了￡(一41一人)時(shí)，ln(x+Z))<0,故x+〃V0,所以1—6+Q40；

xw(l—8+8)時(shí)，ln(x+Z?)>0,故x+〃20,所以1—6+aNO；

故1-6+〃=0,則/+/=/+(Q+1)2二+；1+；>；，

當(dāng)且僅當(dāng)。=一!力=:時(shí)，等號(hào)成立，

22

所以片+尸的最小值為

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求x+a=O、ln(x+6)=0的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較

大小分類(lèi)討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.

5.A

【分析】先求出切線(xiàn)方程，再求出切線(xiàn)的截距，從而可求面積.

【解析】r(x)=6x5+3,所以析(0)=3,故切線(xiàn)方程為y=3(x-0)-l=3x-l,

故切線(xiàn)的橫截距為《，縱截距為-1,故切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的面積為］xlx：=J

3236

故選：A.

6.B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/⑴>0,可排除D.

［解析］/(-x)=-X?+(「_e")sin(-x)=-/+(e*-/卜inx=f(x),

又函數(shù)定義域?yàn)椋?2.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

sinl>-l+fe--.兀e1111

又〃1)=T+sin—=——1----->--------->0,

622e42e

故可排除D.

故選：B.

7.A

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)方程，即可得其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)

坐標(biāo)，即可得其面積.

((e*+2cosx)(l+x2)-(e*+2sinx〉2x

［解析］x"(^4'

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

貝U//(°)=----------------------------=3，

,(1+0J)

即該切線(xiàn)方程為V-l=3無(wú)，即尸3尤+1,

令尤=0,貝1Jy=i,令y=。，貝?。輝=-g,

故該切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積s=:xix

故選：A.

8.A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即

可.

【解析】由題意不妨設(shè)西<馬，因?yàn)楹瘮?shù)y=2,是增函數(shù)，所以0<2%<2"2,即0<乂<%,

7X17X2I----------明+*2I西+巧

對(duì)于選項(xiàng)AB：可得-------〉巧廬=22，即口也>22>0,

22

X]+x

根據(jù)函數(shù)》=10g2%是增函數(shù)，所以Iog2區(qū)里>log22H2=美寇，故A正確，B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：例如西=0,%2=1，則必=1,必=2,

可得log?匕/=log2ge(0,l),即10g2〃產(chǎn)<1=X|+X2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：例如%=-1,9=-2,貝I]必=；,%=:,

可得log?吟左=bg2]=log23-3e(-2,-l),即bg?匕抖>一3=再+x?,故D錯(cuò)誤，

故選：A.

9.B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【解析】對(duì)A,設(shè)/(工)=學(xué)《，函數(shù)定義域?yàn)镽,但=/(1)=^,貝U

f(T)w/(l)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,設(shè)g(x)=8S：+x2,函數(shù)定義域?yàn)镽,

JX+1

且g(—x)=c°J]：(X)=cos：+：=g(x),則g(x)為偶函數(shù)，故B正確；

(-X)+1X+1

對(duì)C,設(shè)力(x)=*,函數(shù)定義域?yàn)閧X|X*T},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則從力不是偶函數(shù),

故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,設(shè)0(x)=―/——，函數(shù);t義域?yàn)镽,因?yàn)椤?1)=―--,0(-1)=——-——，

則0⑴則夕(x)不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

10.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.

【解析】因?yàn)閥=4.2'在R上遞增，且一0.3<0<0.3,

所以0<4.2?3<4.2°<4.2°3,

所以0<4.2?3<1<4.2°3,BP0<a<1<6,

因?yàn)椤?10g42X在(0,+8)上遞增，X0<0.2<1,

所以log420.2<log421H0,即c<0,

所以6>a>c,

故選：B

11.A

【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判

斷即可.

【解析】對(duì)A,sinx+cosx=V5sin[x+：),周期？=2兀，故A正確；

I27r

對(duì)B,sinxcosx=-sin2x,周期T=彳=兀，故B錯(cuò)誤；

22

對(duì)于選項(xiàng)c,sin2x+cos2x=l,是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯(cuò)誤；

77r

對(duì)于選項(xiàng)D,sin2x-cos2x=-cos2x,周期7=5=兀，故D錯(cuò)誤，

故選：A.

12.B

【分析】對(duì)于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對(duì)

-2,x<—1

于B,構(gòu)造函數(shù)〃到=—,-14*41即可判斷.

l,x>1

【解析】對(duì)于A,若存在了=/(x)是偶函數(shù)，取x0=le[-l,l],

則對(duì)于任意XG(-0),1),/(%)</(1),而/(-1)=/(1),矛盾，故A錯(cuò)誤；

-2,x<_1,

對(duì)于B,可構(gòu)造函數(shù)/(x)=<x,-lWx<1,滿(mǎn)足集合M=[-1,1],

l,x>1,

當(dāng)尤<一1時(shí)，則〃尤)=一2,當(dāng)-L,y(x)G[-i,i],當(dāng)尤>i時(shí)，/(x)=i,

則該函數(shù)f(x)的最大值是八2),則B正確；

對(duì)C,假設(shè)存在“X),使得/'(x)嚴(yán)格遞增，則河=孔與已知M=矛盾，則C錯(cuò)誤；

對(duì)D,假設(shè)存在/(x),使得/(x)在x=-l處取極小值，則在-1的左側(cè)附近存在〃，使得

/(H)>/(-1),這與已知集合”的定義矛盾，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

13.ACD

【分析】求出函數(shù)/'(x)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；

根據(jù)函數(shù)/'(x)在(1,3)上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.

【解析】對(duì)A,因?yàn)楹瘮?shù)/'(x)的定義域?yàn)镽,而

=2(x-l)(x-4)+(x-l)2=3(x-l)(x-3),

易知當(dāng)xe(l,3)時(shí)，/,(x)<0,當(dāng)或無(wú)e(3,+s)時(shí)，fr(x)>0

函數(shù)/(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+。)上單調(diào)遞增，故x=3是函

數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，正確；

對(duì)B,當(dāng)0<x<l時(shí)，x-x2=x(l-x)>0,所以1八>/>0,

而由上可知，函數(shù)/'(x)在(01)上單調(diào)遞增，所以“X)>/(一),錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)1〈尤<2時(shí)，l<2x-l<3,而由上可知，函數(shù)”X)在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以〃l)>/(2x-l)>/(3),即-4<〃2x-l)<0,正確；

對(duì)D,當(dāng)_]<x<0時(shí)，/(2-X)-/(X)=(1-X)2(-2-X)-(X-1)2(X-4)=(X-1)2(2-2X)>0,

所以“2-x)>/(x),正確;

故選：ACD.

14.AD

【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0,x=。，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判

斷出“X)在(-1,0),(0,。),(。,2。)上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)

行分析；c選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的。力，使得x=b為"X)的對(duì)稱(chēng)軸，則/■(無(wú))=/(2b-x)為恒

等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的使得(1,3-3a)為Ax)的對(duì)稱(chēng)中心，則

/(尤)+/(2-尤)=6-6。，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.

【解析】A選項(xiàng)，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于。>1,

故xe(-8,0)"a,+句時(shí)>0,故f(x)在(-oo,0),(a,+oo)上單調(diào)遞增,

xe(0,a)時(shí)，f\x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

則/?在x=0處取到極大值，在x=。處取到極小值，

3

由/(0)=1>0,/(?)=l-a<0,則/(0)/(。)<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理“X)在上有一個(gè)零點(diǎn)，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2?)=4a3+l>0,則/(一1)/(0)<0,/(a)/(2a)<0,

則/(X)在(-1,0),(凡2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是a>1時(shí)，"X)有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，/'(x)=6x(x—a),a<0時(shí)，xe(a,0),/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

xe(0,+co)時(shí)/''(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

此時(shí)/(x)在x=0處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的6,使得x=b為的對(duì)稱(chēng)軸，

即存在這樣的。涉使得f(x)=f(2b-x),

即2x3-3ax2+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊(2b-x)3展開(kāi)式含有V的項(xiàng)為2c(2，)°(-4=-2x3,

于是等式左右兩邊M的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的。力，使得x=b為“X)的對(duì)稱(chēng)軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，

方法一：利用對(duì)稱(chēng)中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)

/(1)=3-3?,若存在這樣的。，使得(1,3-3a)為/(x)的對(duì)稱(chēng)中心，

則〃x)+〃2-x)=6-6a,事實(shí)上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+l=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12。

12-6a=0

即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1J(1))是/⑴的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.

18—12Q=6—6a

方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，

/(x)=2x3-3av2+1,/'(%)=6x2-6ax,/"(%)=12x-6a,

由/"(x)=0oX=■!,于是該三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為||

由題意(1J(1))也是對(duì)稱(chēng)中心，故?|=1。。=2,

即存在。=2使得(1J⑴)是"X)的對(duì)稱(chēng)中心，D選項(xiàng)正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)/(x)的對(duì)稱(chēng)軸為x=bo/(x)=/(26-x)；(2)/(x)關(guān)于(a,6)對(duì)稱(chēng)

o〃x)+/(2a-x)=2b；(3)任何三次函數(shù)/0)=辦3+/+”+3都有對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)稱(chēng)中

心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)是/口)=0的解，即是三次函數(shù)

的對(duì)稱(chēng)中心

15.In2

【分析】先求出曲線(xiàn)y=e*+x在(0,1)的切線(xiàn)方程，再設(shè)曲線(xiàn)y=ln(x+l)+。的切點(diǎn)為

(x0,ln(x0+1)+?),求出了，利用公切線(xiàn)斜率相等求出號(hào),表示出切線(xiàn)方程，結(jié)合兩切線(xiàn)方

程相同即可求解.

f

［解析］由V=e"+X得V=e'+1,y|x=0=e°+1=2,

故曲線(xiàn)y=e'+x在(0,1)處的切線(xiàn)方程為＞=2x+l；

由y=ln(x+l)+q得j/=^—f

x+1

設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn)V=111(》+1)+。相切的切點(diǎn)為(％,皿/+l)+a),

由兩曲線(xiàn)有公切線(xiàn)得了=2=2,解得/=-〈，則切點(diǎn)為+

X。+12I22)

切線(xiàn)下呈V=2+5)+tz+In—=2x+1+Q—In2,

根據(jù)兩切線(xiàn)重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案為：In2

16.64

【分析】將log84,10g,4利用換底公式轉(zhuǎn)化成Iog2a來(lái)表示即可求解.

113115,、2

【解析】由題:；整理得

j--------------7=1----------log2^=--,(vlog2a)7-51og22?-6=0,

log8aloga4log2a22

=^＞log2a=-l^log2(7=6,又。＞1,

6

^T^log2?=6=log22,故Q=26=64

故答案為：64.

17.(-2,1)

【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令d-3x=-(尤-iy+。，分離參數(shù)a,構(gòu)造新函數(shù)

g(x)=d+/_5x+1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得g(x)單調(diào)區(qū)間，畫(huà)出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.

【解析】令—3x=—(尤一1)~+a,BPer=x3+x2-5x+1,令g(x)=x，+x~—5x+l(尤>。),

則g'(x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-l),令g[x)=O(x>。)得x=l,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(l,+8)時(shí),g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增,g(O)=l,g(l)=-2,

因?yàn)榍€(xiàn)y=/-3x與y=-(x-lp+。在(0,+8)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以等價(jià)于與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以ae(-2,1).

故答案為：(-2,1)

18.(-73,-1)u(l,V3)

【分析】結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與兩函數(shù)的交點(diǎn)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)g(x)=24rq與

ux—3,x之一

=<則兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，分。=0、。>0與a<0進(jìn)行討論，當(dāng)。>0

\-ax,x<—

、a

時(shí)，計(jì)算函數(shù)定義域可得x2?；騲40,計(jì)算可得ae(0,2]時(shí)，兩函數(shù)在7軸左側(cè)有一交點(diǎn)，

則只需找到當(dāng)ae(O,2]時(shí)，在了軸右側(cè)無(wú)交點(diǎn)的情況即可得；當(dāng)a<0時(shí)，按同一方式討論

即可得.

【解析】令/(x)=0,即2&一亦=|冰一2|-1,

由題可得一分20,

當(dāng)。=0時(shí)，xeR,有2值=卜=則x=±等，不符合要求，舍去;

“、2

ux—3,x2一

當(dāng)〃>0時(shí)，則2，工2一辦二|辦一21—1=<a

12'

1-ax,x<—

a

ax-3,x>—

即函數(shù)g(無(wú))=2五2一°尤與函數(shù)為(x)=?;有唯一交點(diǎn),

1-ax,x<—

、a

由一辦20,可得％之。或X40,

當(dāng)xWO時(shí)，貝!JQX—2<0,則24%2一辦二|亦_21-1=1一辦，

2

即4x—4ax=(1—ax)?,整理得(4—/卜？_2ax—1=[(2+Q)X+1][(2—a)x—1]=0,

當(dāng)〃=2時(shí)，即4x+l=0,gpx=-l

4

當(dāng)ae(O,2),x=-J-或x=——>0(正值舍去)，

2+a2-a

當(dāng)aw(2,+oo)時(shí)，x=-1—<0或x=J—<0,有兩解，舍去，

2+Q2-a

即當(dāng)ae(0,2]時(shí)，2尸工-2|+l=0在xWO時(shí)有唯一解，

則當(dāng)ae(0,2]時(shí)，2尸弓-麻-2|+1=0在xNa時(shí)需無(wú)解，

當(dāng)ae(O,2],且xNa時(shí),

ax-3,x>—

由函數(shù)Mx)=:關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，令〃(x)=0,可得x=L或x=3,

2aaa

且函數(shù)〃(力在上單調(diào)遞減，在［2,上單調(diào)遞增,

\aa)\aaJ

令g(x)=y=2Jx?_辦,即J，

a

4

('Jy2

故xNa時(shí)，g(x)圖象為雙曲線(xiàn)丁一/二1右支的x軸上方部分向右平移三所得,

4

(x)y2_a_

由丁一萬(wàn)的漸近線(xiàn)方程為'一一-

T2

即g(x)部分的漸近線(xiàn)方程為y=2(x-￡|,其斜率為2,

'c2

ax-3,x>—

又ae(O,2],即“尤)=:在xN?時(shí)的斜率ae(O,2],

1-ax,x<—

令8(%)=2，X2一辦二o,可得x=q或x=0(舍去),

且函數(shù)g(H在(見(jiàn)+°°)上單調(diào)遞增,

1

一<a

故有;解得故1<0<6符合要求;

—>a

、a

ax-3,x<—

當(dāng)a<0時(shí)，則2>/x2—ux=1ax-2|—1=*；

l-ax,x>—

a

。2

ax-3,x<—

即函數(shù)g(x)=242一"與函數(shù)〃(無(wú))=,;有唯一交點(diǎn),

1-ax,x>—

a

由一辦20，可得XN0或

當(dāng)x20時(shí)，則ax—2<0,則2，％2_"二|辦一2|-1二1一辦,

即4x2—4ax=（1—ax）?,整理得（4—/卜？_2ax—1=[（2+Q）X+1][（2—Q）X—1]=0,

當(dāng)〃=一2時(shí)，即4x—1=0,BPx=—,

4

當(dāng)ae（-2,0）,x=-—1—<0（負(fù)值舍去）或工=丁1-0,

2+a2-a

當(dāng)ae（-oo,2）時(shí)，x=->0或尤=J—>0,有兩解，舍去，

即當(dāng)。e[-2,0）時(shí)，2,當(dāng)-辦辦-2|+1=0在x?0時(shí)有唯一解,

貝lj當(dāng)q￡[-2,0）時(shí),2,X）-辦-1辦-2|+1=0在x?Q時(shí)需無(wú)解，

當(dāng)?！闧-2,0),且時(shí),

ax-3,x<—

由函數(shù)〃(x)=:關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，令%(x)=o,可得x=L或x=2,

12aaa

I-ax,x>—

、a

且函數(shù)〃(x)在上單調(diào)遞減，在僅,2]上單調(diào)遞增，

\aajyaaJ

(x)2y2

同理可得：xW。時(shí)，g(力圖象為雙曲線(xiàn)「一7二1左支的1軸上方部分向左平移￡所得,

T

g(X)部分的漸近線(xiàn)方程為歹=-21+￡|,其斜率為-2,

'r2

ax-3,x>—

又ae[-2,0),即//(%)=<(在x<2時(shí)的斜率。?-2,0),

12a

令g(x)=2飛x?-ax=。,可得x=a或x=0(舍去),

且函數(shù)g(x)在(-8,a)上單調(diào)遞減,

1

—>CL

故有《，解得故-符合要求;

—<a

、a

綜上所述，6/e(-V3,-l)U(l,V3).

故答案為：(-V3,-l)u(1,6).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于將函數(shù)“X)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=2E^

。2

ax-3,x>—

與函數(shù)〃(%)=<;的交點(diǎn)問(wèn)題，從而可將其分成兩個(gè)函數(shù)研究.

1—UX,X<一

a

19.百

【分析】利用分段函數(shù)的形式可求/(3).

【解析】因?yàn)?故〃3)=6,

Lx<0

故答案為：百.

20.(1)-2

(2)證明見(jiàn)解析

2

⑶

【分析】（1）求出了'（X）1nhi=2+。后根據(jù)八x）20可求a的最小值；

（2）設(shè)尸（私〃）為*=/（力圖象上任意一點(diǎn),可證尸（見(jiàn)〃）關(guān)于（1,。）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

。（2-機(jī),2。-〃）也在函數(shù)的圖像上，從而可證對(duì)稱(chēng)性；

（3）根據(jù)題設(shè)可判斷/⑴=-2即〃=—2,再根據(jù)/（%）>-2在（1,2）上恒成立可求得

【解析】（1）6=0時(shí)，/（x）=ln-^—+6zx,其中XE（0,2）,

2,—x

112

則/⑴二十二二產(chǎn)6+0武叮），

因?yàn)閤（2一-;+xj=i,當(dāng)且僅當(dāng)》=1時(shí)等號(hào)成立，

故/'（AjZ+a,而/'（x"0成立，故a+2?0即a12,

所以。的最小值為-2.,

（2）/（x）=lnA+"+6（x-l）3的定義域?yàn)椋?,2）,

設(shè)尸（刃,〃）為y=/（x）圖象上任意一點(diǎn)，

尸仇〃）關(guān)于（l,a）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。（2-%2a-〃）,

因?yàn)槭?〃）在了=/（x）圖象上，^n=\nm+am+b（m-].）3,

2-m

/_ytqqyyi->

而/（2—加）=ln-------ba（2—加）+6（2—加-1）=-In--------am+b[m-\^+2a,

m[_2—m

=-n+2a,

所以。（2-〃[,2"〃）也在了=/（力圖象上，

由P的任意性可得V=/（x）圖象為中心對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心為（L。）.

（3）因?yàn)?（力>-2當(dāng)且僅當(dāng)l<x<2,故x=l為/'（"=-2的一個(gè)解，

所以7（1）=-2即°=_2,

先考慮l<x<2時(shí)，恒成立.

此時(shí)〃x)>-2即為加7匚+2(1-X)+6(X-1)3>0在(1,2)上恒成立,

2—x

設(shè)￡=%-1?0,1),則In罟-2/+#>0在(0,1)上恒成立，

?2_t~(~3bt~+2+3Z))

貝nUg，⑺=3_2+3bt2=」-----5——

'71-2I-/2

當(dāng)620,-3bt2+2+3b>-3b+2+3b=2>0,

故g'?)>0恒成立，故g(f)在(0』)上為增函數(shù),

故g(t)〉g(o)=o即/(x)>-2在。2)上恒成立.

2

當(dāng)一時(shí)，-3次+2+3622+3620,

故g'⑺20恒成立，故g(。在(0,1)上為增函數(shù)，

故g")>g(o)=0即/(x)>-2在(1,2)上恒成立.

當(dāng)方<4,則當(dāng)時(shí)，g'(f)<0

故在上g(/)為減函數(shù)，故g⑺<g(o)=o,不合題意，舍；

綜上，/"(力>-2在(1,2)上恒成立時(shí)62-：

2

而當(dāng)時(shí),

而62、時(shí)，由上述過(guò)程可得g?)在(0,1)遞增，故g?)>0的解為(0,1),

即/(力>-2的解為(1,2).

2

綜上，b>—y.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一個(gè)函數(shù)不等式成立的充分必要條件就是函數(shù)不等式對(duì)應(yīng)的解，而解的

端點(diǎn)為函數(shù)對(duì)一個(gè)方程的根或定義域的端點(diǎn)，另外，根據(jù)函數(shù)不等式的解確定參數(shù)范圍時(shí),

可先由恒成立得到參數(shù)的范圍，再根據(jù)得到的參數(shù)的范圍重新考慮不等式的解的情況.

21.(l)(e-l)x-j^-l=0

⑵(l，+s)

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線(xiàn)方程；

(2)解法一：求導(dǎo)，分析。40和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得

Y+lna-l〉。，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可;解法二:求導(dǎo)，可知/'(x)=e，-a有零點(diǎn)，可得a>0,

進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求/'(x)的單調(diào)性和極值，分析可得Y+ina—l〉。，構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.

【解析】(1)當(dāng)。=1時(shí)，貝ij/(x)=e*-x-l,f\x)=ev-1,

可得f(l)=e-2,r(l)=e-l,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(Le-2),切線(xiàn)斜率左=e-l,

所以切線(xiàn)方程為了-(e-2)=(e-l)(x-l),即(e-l)x-y-l=0.

(2)解法一：因?yàn)椤癤)的定義域?yàn)镽,且尸(x)=e-a,

若a40,則/'(無(wú)”0對(duì)任意xeR恒成立，

可知〃x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；

若a>0,令/''(x)>0,解得尤>Ina；令/''(x)<0,解得x<lna；

可知〃x)在(-內(nèi)單調(diào)遞減，在(ina,+(?)內(nèi)單調(diào)遞增，

貝l|/(x)有極小值/(lna)=a-aln。-/,無(wú)極大值，

由題意可得：/(lna)=a-alna-a3<0,gpa2+ln<7-l>0,

構(gòu)建8(々)=々2+lna—l,a>0,貝［|g，(a)=>0,

可知g(a)在(0,+功內(nèi)單調(diào)遞增，且g(l)=0,

不等式Y(jié)+ln“_l>0等價(jià)于g(a)>g(l),解得。>1,

所以a的取值范圍為(L+8);

解法二：因?yàn)椤癤)的定義域?yàn)镽,且法(x)=e*-a,

若/(x)有極小值，貝1/'。)=/-。有零點(diǎn)，

令f\x)=ex-a=0,可得e*=a,

可知〉=e，與V=4有交點(diǎn)，貝|a>0,

若。>0,令/'(無(wú))>0,解得尤>lna；令/''(無(wú))<0,解得尤<lna；

可知/(x)在(-8,In。)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

則/(x)有極小值/(lna)=a-alna-a3,無(wú)極大值，符合題意,

由題意可得：/(lna)=a—?lnfl—?3<0,BP?2+Ina-1>0,

構(gòu)建g(a)=/+ln"l,a>0,

因?yàn)閯t歹=。2,7=111。_1在(0,+動(dòng)內(nèi)單調(diào)遞增,

可知g(a)在(0,+動(dòng)內(nèi)單調(diào)遞增,且g⑴=0,

不等式a2+lna-l>0等價(jià)于g(a)>g(l),解得。>1,

所以a的取值范圍為(1,+8).

22.⑴見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)求導(dǎo)，含參分類(lèi)討論得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性;

(2)先根據(jù)題設(shè)條件將問(wèn)題可轉(zhuǎn)化成證明當(dāng)x>l時(shí)，ei-2x+l+lnx>0即可.

【解析】(1)“X)定義域?yàn)?0,+s),f\x)=a--=^

XX

當(dāng)aV0時(shí)，/'(x)=巴匚<0,故"X)在(0,a)上單調(diào)遞減；

X

當(dāng)a>0時(shí),時(shí),f'(x)>0,/⑺單調(diào)遞增，

當(dāng)xe［o,￡|時(shí)，/'(x