專題02求最值中的幾何模型-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（原卷版）

專題02求最值中的幾何模型題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練模型01將軍飲馬模型將軍飲馬模型在考試中主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，該題型綜合考查學(xué)生的理解和數(shù)形結(jié)合能力具有一定的難度，也是學(xué)生感覺(jué)有難度的題型.在解決幾何最值問(wèn)題主要依據(jù)是：①將軍飲馬作對(duì)稱點(diǎn)；②兩點(diǎn)之間，線段最短；=3\*GB3③垂線段最短，涉及的基本知識(shí)點(diǎn)還有：利用軸對(duì)稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等；希望通過(guò)本專題的講解讓大家對(duì)這類問(wèn)題有比較清晰的認(rèn)識(shí).模型02建橋選址模型建橋選址模型，即沿一個(gè)方向平移的定長(zhǎng)線段兩端到兩個(gè)定點(diǎn)距離和最小，解題時(shí)需要理清楚是否含有定長(zhǎng)平移線段，且利用平移求出最短路徑位置．求解長(zhǎng)度時(shí)若有特殊角，通常采用構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解的方法.該題型主要考查了在最短路徑問(wèn)題中的應(yīng)用，涉及到的主要知識(shí)點(diǎn)有矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵在于如何利用軸對(duì)稱找到最短路徑.模型03胡不歸模型胡不歸PA+k·PB”型的最值問(wèn)題：當(dāng)k等于1時(shí)，即為“PA+PB”之和最短問(wèn)題，可用我們常見的“將軍飲馬”問(wèn)題模型來(lái)處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問(wèn)題來(lái)處理.當(dāng)k不等于1時(shí)，若再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來(lái)解決問(wèn)題，則無(wú)法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路.此類問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖象的不同來(lái)分類，一般分為兩類研究.即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng).其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型通常為“胡不歸”問(wèn)題.模型01將軍飲馬模型考｜向｜預(yù)｜測(cè)將軍飲馬模型問(wèn)題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，綜合性大題中的其中一問(wèn)，難度系數(shù)較大，在各類考試中都以中高檔題為主.本題考查的是軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是將所給問(wèn)題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.答｜題｜技｜巧第一步：觀察所求為橫向還是縱向的線段長(zhǎng)度（定長(zhǎng)），將線段按照長(zhǎng)度方向平移第二步：同側(cè)做對(duì)稱點(diǎn)變異側(cè)，異側(cè)直接連線第三步：結(jié)合兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊等?？贾R(shí)點(diǎn)第四步：利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜模型變成基本模型（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)兩點(diǎn)連線，線段最短例1．（2023·四川）如圖，等邊三角形的邊上的高為6，是邊上的中線，M是線段上的-一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是中點(diǎn)，則的最小值為．（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)例2.（2022·安徽）如圖，在銳角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)P，Q分別是BD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，則AP＋PQ的最小值為（

）A．6 B．6 C．3 D．3模型02建橋選址模型考｜向｜預(yù)｜測(cè)建橋選址模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查軸對(duì)稱－－－最短路徑問(wèn)題、勾股定理、三角形及平行四邊形的判定與性質(zhì)，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”等，但許多實(shí)際問(wèn)題沒(méi)這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題．目前，往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．答｜題｜技｜巧第一步：觀察點(diǎn)或圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化規(guī)律求出已知關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步：分析變化規(guī)律得到一般的規(guī)律看是否具有周期性（如點(diǎn)變的循環(huán)規(guī)律或點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的循環(huán)規(guī)律，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的變化規(guī)律等）第三步：周期性的求最小周期看余數(shù)，不是周期性的可以羅列求解幾組以便發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)最后的變化次數(shù)或者運(yùn)動(dòng)時(shí)間登，確定要求的點(diǎn)與哪個(gè)點(diǎn)重合或在同一象限，或與哪個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相等；第四步：利用有理數(shù)的運(yùn)算解題（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：輔助線：連接AB交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB.例1．（2022·湖北）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．求PD+PQ+QE的最小值為．（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：輔助線：過(guò)點(diǎn)B作關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QB的最小值為AB’.例2．（2023·山東）如圖，在中，，，，直線是中邊的垂直平分線，是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為_________．（3）如圖3，兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：輔助線：過(guò)點(diǎn)A、B作關(guān)于定直線m、n的對(duì)稱點(diǎn)A’、B’，連接A’B’交直線m、n于點(diǎn)P、Q，則PA+PQ+QA的最小值為A’B’.模型03胡不歸模型考｜向｜預(yù)｜測(cè)胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握.本專題就最值模型中的胡不歸問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握.在解決胡不歸問(wèn)題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短.答｜題｜技｜巧第一步：構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型；第二步：借助三角函數(shù)，構(gòu)造銳角α，將另一個(gè)系數(shù)也化為1；第三步：利用“垂線段最短”原理構(gòu)造最短距離；第四步：數(shù)形結(jié)合解題例1．（2023·江蘇）如圖，中，，，，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于．1．（2023·江蘇揚(yáng)州）如圖所示，軍官?gòu)能姞I(yíng)C出發(fā)先到河邊（河流用表示）飲馬，再去同側(cè)的D地開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？你能解決這個(gè)著名的“將軍飲馬”問(wèn)題嗎?下列給出了四個(gè)圖形，你認(rèn)為符合要求的圖形是（

）A．B． C． D．2．（2023.浙江）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若AE＝2，當(dāng)EF＋CF取得最小值時(shí)，則∠ECF=.3．（2022·安徽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB＝30°，P（5，0），在OB上找一點(diǎn)M，在OA上找一點(diǎn)N，使△PMN周長(zhǎng)最小，則此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)為．4．（2023·廣東）如圖，在中，，，，，是的平分線，若點(diǎn)、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．5．（2023·江蘇）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個(gè)最短距離為．

6．（2023·浙江）已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=（

）A． B． C．6 D．7．（2023·浙江）如圖，平行四邊形中，，，，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于（

）

A． B． C． D．8．（2023·四川）如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．129．（2023·湖南）某班級(jí)在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線上存在點(diǎn)，使得的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作A點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為，且的最小值為．請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題：(1)幾何應(yīng)用：如圖2，中，，，是的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；(2)幾何拓展：如圖3，中，，，若在、上各取一點(diǎn)、使的值最小，畫出圖形，求最小值并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．10．（2023·陜西）在學(xué)習(xí)對(duì)稱的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，我們認(rèn)識(shí)了如下圖所示的“將軍飲馬”模型求最短距離．問(wèn)題提出：(1)如圖1所示，已知A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．在直線l上確定一點(diǎn)P，并連接與，使的值最?。?/p>

問(wèn)題探究：(2)如圖2所示，正方形的邊長(zhǎng)為2，E為的中點(diǎn)，P是上一動(dòng)點(diǎn)．連接和，則的最小值是___________；

問(wèn)題解決：(3)某地有一如圖3所示的三角形空地，已知，P是內(nèi)一點(diǎn)，連接后測(cè)得米，現(xiàn)當(dāng)?shù)卣谌切慰盏刂行抟粋€(gè)三角形花壇，點(diǎn)分別是邊上的任意一點(diǎn)（不與各邊頂點(diǎn)重合），求周長(zhǎng)的最小值．

1．（2023·山東）如圖，已知點(diǎn)，，，，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的對(duì)角線的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．2．（2023·上虞市）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=6cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN周長(zhǎng)的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．603．（2023·山東）如圖，矩形的邊，E為上一點(diǎn)，且，F(xiàn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，若以為邊向右側(cè)作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．4．（2023·四川）如圖，點(diǎn)M是菱形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（

）A．2 B． C． D．15．（2023·湖北）如圖，將△ABC沿AD折疊使得頂點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)M處，D在BC上，點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，則△PMB周長(zhǎng)的最小值為．6．（2023·北京）如圖，是內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上運(yùn)動(dòng)，若，，則的周長(zhǎng)的最小值為.

7．（2023·廣東）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠B＝120°．點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)A重合），則AP+PD的最小值為_____．8．（2023·廣東）如圖，在中，，，.，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．9．（2023·內(nèi)蒙古）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=120°，則MA+MB+MD的最小值是________．10．（2023·浙江）如圖，河的兩岸有，兩個(gè)水文觀測(cè)點(diǎn)，為方便聯(lián)絡(luò)，要在河上修一座木橋（河的兩岸互相平行，垂直于河岸），現(xiàn)測(cè)得，兩點(diǎn)到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且，兩點(diǎn)之間的水平距離為12米，則的最小值是米．

11．（2023·廣東）如圖所示，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形（點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合）的頂點(diǎn)D、B分別在x軸、y軸上，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為，連接，將沿直線翻折至，交于點(diǎn)E．

(1)求點(diǎn)坐標(biāo)．(2)試在x軸上找點(diǎn)P，使的長(zhǎng)度最短，請(qǐng)求出這個(gè)最短距離．12．（2023·吉林）數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)課上，小致將等腰的底邊與直線重合．（1）如圖(1)，在中，，點(diǎn)在邊所在的直線上移動(dòng)，根據(jù)“直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”，小致發(fā)現(xiàn)的最小值是____________．（2）為進(jìn)一步運(yùn)用該結(jié)論，在（1）的條件下，小致發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最短時(shí)，如圖(2)，在中，作平分交于點(diǎn)點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)小致嘗試探索的最小值，小致在上截取使得連結(jié)易證，從而將轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化到（1）的情況，則的最小值為；（3）解決問(wèn)題：如圖(3)，在中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段連結(jié)，求線段的最小值．13．（2023·河南）唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——將軍飲馬問(wèn)題：如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng)．請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？作法如下：如圖1，從出發(fā)向河岸引垂線，垂足為，在的延長(zhǎng)線上，取關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與河岸線相交于，則點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到，飲馬之后