遼寧省葫蘆島市2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

遼寧省葫蘆島市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.下列各角中與985°終邊相同的角為（）

A.165°B.265°C.85°D.-105°

2.已知復(fù)數(shù)二（其中i為虛數(shù)單位），貝”在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若平面向量萬(wàn)與B滿足同=1，W=2,且2與B的夾角為60。，貝怩-3%（）

A.1B.V31C.V30D.31

4.斛是我國(guó)古代的一種量器，如圖所示的斛可視為正四棱臺(tái)，若該正四棱臺(tái)的上、下底面邊

長(zhǎng)分別為2,4,側(cè)面積為24,則該正四棱臺(tái)的體積為（）

A.56B.言C.?V3D.竽

5.已知函數(shù)/（x）=2si?2xqj，若將函數(shù)/（x）的圖象向右平移（＞。）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函

數(shù)g（x）的圖象.若函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，貝心的最小值是（）

兀75兀

A.B.D.

612~6

6.已知。角的始邊與1軸非負(fù)半軸重合，尸（-2,3）是。角終邊上一點(diǎn)，則

tan(-7i+cr)cos(兀一a)

的值為（

47473131

A.B.C.D.

121212

7.在V45C中，"是BC中點(diǎn)且|砌二|碉=四，則向量就在向量無(wú)上的投影向量（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

1―?V3775

A.-CBB.-----Cn

44

3—?-^-CB

C.——CBD.

44

A=tan^-271371ku

8.設(shè)集合4=+tan--------Ftan--------b??+tan水￡歌＞0,則集合4的

I2025202520252025

元素個(gè)數(shù)為（）

A.1013B.1014C.2024D.2025

二、多選題

jr

9.在VNBC中，/8=2,/C=3,4=］。為邊3C上一動(dòng)點(diǎn)，貝!］（）

A.BC=y/7

B.VNBC的外接圓半徑為亨

C.當(dāng)/。為角A的角平分線時(shí)，/。=述

5

D.當(dāng)。為8c中點(diǎn)時(shí)，AD=419

10.設(shè)ae（0,7t）,已知sina,cosa是方程3/-x-%=0的兩根，則下列等式正確的是（）

4

A.m=——B.sintr-cos<7=------

33

72?2y1'

C.tancr=——D?cos(7-sina=--------

139

11.如圖，正方體/8CO-44GA的棱長(zhǎng)為1,尸為2C的中點(diǎn)，。為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)4己。的平面截該正方體所得截面記為S,則下列命題正確的是（）

A.直線NP與直線G2所成角的正切值為g

B.當(dāng)CQ=；時(shí)，S為等腰梯形

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

31

c.當(dāng)時(shí)，s與GA交于點(diǎn)4,貝(1GR]=§

3

D.當(dāng)二<。?！?時(shí)，S為五邊形

4

三、填空題

12.已知aeR,且泊+工=2(其中i為虛數(shù)單位)，貝.

2-1

13.2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖1所示，它是由4個(gè)直角三角形與

中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若圖2中直角三角形的兩銳角分別為名/，大正方

形的面積為25,小正方形的面積為1,則cos(a-￡)=.

圖1圖2

14.足球起源于中國(guó)古代的蹴鞠游戲，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革內(nèi)飾

米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng).已知某鞠(球)的表面上有四個(gè)點(diǎn)

7T4

S,A,B,C,滿足山平面若三棱錐S-4BC體積為—，則該“鞠”

23

的體積最小值為.

四、解答題

15.在同一平面內(nèi)的三個(gè)向量a及,，若@=(-1,-1).

⑴若切/同可=2,求B的坐標(biāo)；

⑵若同=1,且1+23與己-23垂直，求方與1的夾角6的余弦值.

16.已知函數(shù)/(x)=/sin((?x+0)(/>0,0>0,忸|<：]的部分圖如如圖所示.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

⑴求函數(shù)/(X)的解析式；

(2)xe-鼠,求函數(shù)〃x)的值域;

⑶若x求滿足不等式2[/(x)r-3/(x)V0的x的取值范圍.

OO

17.已知V/3C的內(nèi)角42,C的對(duì)邊為瓦c,且駒吆二!回=到出.

siMc+b

(1)求sin。；

(2)已知E為3c的中點(diǎn)，V4BC底邊8C上中線/E長(zhǎng)為孚時(shí)，求V48c面積的最大值.

18.如圖，是圓柱的底面直徑，48=2//是圓柱的母線且尸4=2百，點(diǎn)C是圓柱底面

圓周上的點(diǎn).

C

⑴求圓柱的表面積；

(2)證明：平面P2C_L平面PNC；

⑶若/C=l,。是P3的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段尸工上，求CE+E。的最小值.

19.設(shè)尸為多面體"的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)尸處的離散曲率為

1-(ZQPe2+ZQ2PQ3+■■■+ZQt_tPQk+ZQkPQt),其中0,(i=l,2,…，k,左23)為

多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面已尸。2,平面。2尸。3,…，平面2-尸&和平面

以尸。1為多面體M的所有以尸為公共點(diǎn)的面.已知在直四棱柱NBCD-NgCA中，底面

/BCD為菱形，且初i=/3=l.

⑴求直四棱柱/BCD-42?？谠诟鱾€(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和；

(2)若直四棱柱N8CD-/與G3在點(diǎn)/處的離散曲率為x,直四棱柱體積為

/(x),求函數(shù)/=/(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案BDBCCDCAABCBD

題號(hào)11

答案BCD

1.B

【分析】運(yùn)用終點(diǎn)相同的角的概念可解.

【詳解】運(yùn)用終點(diǎn)相同的角概念知道,與985。終邊相同的角為985。+左360。(keZ)

則當(dāng)上=2,985°—360°x2=265°.

故選：B.

2.D

【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)幾何意義得解.

1-i1-i11.

【詳解】z=5------=---------1

(l+i)0-i)222

則2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)求模公式及數(shù)量積公式即可求解.

【詳解】a-b=忖=lx2x；=l,

忸一3畫(huà)="51一34=725a-3Qa^b+96=V25x1-30x1+9x2

故選：B

4.C

【分析】先根據(jù)正四棱臺(tái)的側(cè)面積求出斜高，再求正四棱臺(tái)的高，根據(jù)四棱臺(tái)的體積公式求

解.

【詳解】由巳[4(2+4)].h'=24n%'=2為四棱臺(tái)的斜高.

設(shè)四棱臺(tái)的高為/z，則八=一(2—1)2=后

所以四棱臺(tái)的體積為：!Z=|xV3x(4+16+V4x16)=

故選：C

5.C

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

【分析】根據(jù)平移變換知識(shí)先求出g(x)的解析式g(x)=2si“2x-2-￡j,再根據(jù)三角函數(shù)

JT

的奇偶性得關(guān)于t的方程一=kK,keZ即可計(jì)算求解.

6

【詳解】由題意g(x)=/(x-。=2sin2(x-t)=2sin|^2x-2?|,

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)為奇函數(shù)，所以-2"C=板左eZ,=t=駕-三keZ,

6212

5兀

又經(jīng)0,所以當(dāng)左=-1時(shí)，，有最小值是名.

12

故選：C.

6.D

【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)定義可解.

tan（一兀+a）cos（兀一atana-cosa

）+*I

cosf|+acosa（-sina）sina

sin兀+a

sina

COSaCOS6Z_1COS6Z

cosa（-sina）sinacos2asina

32

根據(jù)三角函數(shù)定義sina=-^=,cosa=--F=.

713VI3

2

——1—------—13?2——13-12—3—1

一（2Y343-43-12-

故選：D.

7.C

【分析】由已知得為等邊三角形，結(jié)合投影向量的定義即可求解.

【詳解】由|叫=|闞=網(wǎng)，得為等邊三角形，

故過(guò)點(diǎn)A作4ELBC交2C于點(diǎn)E,則E為BM中點(diǎn)，

所以向量%在向量在上的投影向量為前，反與無(wú)方向相反,

—■3—?

由W是5c中點(diǎn)，￡為5M中點(diǎn)，有EC=「CB.

4

故選：C

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

8.A

【分析】運(yùn)用正切函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性和周期性可解題.

【詳解】當(dāng)14斤41012時(shí)，1211選€（0看），由正切函數(shù)性質(zhì)知道，此時(shí)x單調(diào)遞增，則集

合A至少有1012個(gè)元素.

71712兀712兀3兀1012K

即為tan-------,tan+tantan+tanbtan1—tan

2025------2025-------2025-----------2025-------2025--------2025-------------2025

兀1012K101371

當(dāng)20232左21013時(shí)，由于正切函數(shù)關(guān)于,0（左EZ）對(duì)稱，則tan=-tan---------

220252025

1011711014兀?2兀201371

tan-=-----t-a--n---------,Ltan-------=-tan---------

2025202520252025

則當(dāng)先增加時(shí)，元素X與前面的重復(fù),

當(dāng)先=2024時(shí),元素X等于0,

當(dāng)后22025時(shí)，運(yùn)用正切函數(shù)的周期性知道，又元素尤重復(fù)出現(xiàn)了,

則集合/的元素個(gè)數(shù)為1013個(gè).

故選：A.

9.ABC

【分析】對(duì)于A,由余弦定理即可得解；對(duì)于B,由A結(jié)合正弦定理即可得解；對(duì)于C,由

—?1—■1—.

=+計(jì)算即可得解；對(duì)于D,由/D=5/3+]/C兩邊平方計(jì)算即可得解.

【詳解】對(duì)于A,由題意及余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosA=22+32-2x2x3x-=7,

2

=>BC=41,故A正確；

R=BC=S=屈

對(duì)于B,由A結(jié)合正弦定理可知V/5C的外接圓半徑為“一前1一一五一飛一，故B正

2x——

2

確；

對(duì)于C,當(dāng)40為角A的角平分線時(shí)，則由S/Bc=S“m+S”s，

ABxACsinA=—ABxADsm——F—NDxZCsin—，

22222

x2x3sin—=—x2xADsin—+—ADx3sin—,

232626

即3°_J_AD+—AD=—AD=>AD==后,故C正確；

22445

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

對(duì)于D,當(dāng)。為8C中點(diǎn)時(shí)，有力=1而+g太，

22

所以ZD?方+=-AB2+-AC2+-ABAC

(22J442

1c21c21cc7T,9319

=一義2+—x3+—x2x3cos—=1+—+—=——,

424

所以"，故D錯(cuò)誤

42

故選：ABC.

10.BD

sina+cosa=一

【分析】由韋達(dá)定理有,由(sin。+coscr)=sin2a+2sina?cosa+cos2a,

sma-coscr=-

求出m的值判斷選項(xiàng)A；由(sinor-coscr)2=sin2cr-2sin<7-cosa+cos2a,計(jì)算判斷選項(xiàng)B；

由sina,cosa的值，計(jì)算tana判斷選項(xiàng)C；由cos2a-sin2a=(cosa+sina)(cosa-sina“十

算結(jié)果判斷選項(xiàng)D.

sma+cosa=—

【詳解】sina,cosa是方程3%2_工_加=。的兩根，則有＜

sina-cosa=-

由(sina+costz)2=sin?。+2sina?cosa+cos2a,

得g解得機(jī)=g,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

戊￡(0,兀)，有sina>0,由sina-cosa=—%=一3〈0,有cosa<0,

v739

/.、2.2c,21817

sina-coscr=sina-2sina?cosa+cosa=I+—=——,

v799

…/n

由sina-cosa〉0,所以sina—cosa=-----,B選項(xiàng)正確；

3

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

1.1+V17

sina+cosa=—

6sincr心’c選項(xiàng)錯(cuò)誤;

由《tana=-------

i-Vncosa

sina-cosa=

316

cos%-sin%=(cosa+sina)(cosa-sina)=—D選項(xiàng)正確.

故選：BD.

11.BCD

【分析】根據(jù)線線角的概念，構(gòu)造異面直線縮成的角，求角的三角函數(shù)，判斷A的真假;

根據(jù)C。的長(zhǎng)度，確定界面的形狀，判斷截面的形狀，可判斷BCD的真假.

【詳解】正方體ABCD-44G〃的棱長(zhǎng)為1,尸為2C的中點(diǎn),

對(duì)于A,AB//CD//QD,,直線N尸與直線G2所成角為N8/P，

PB1

所以tan/切尸=不=彳，A錯(cuò)誤；

AB2

對(duì)于B,CQ=即。為CG中點(diǎn)，此時(shí)尸0//BCJ/N，，AP=QDX=

]

PQ=^=-ADl，則截面/PQA為等腰梯形，B正確；

3

對(duì)于C,CQ=連接/尸并延長(zhǎng)交。。延長(zhǎng)線于直線MQ交于A，

由G居//CM,得器=*=：,由尸是2c的中點(diǎn)，CP//AD,得CM=CD=1,

因此Ci與=g,C正確；

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

N

3

對(duì)于D,若W〈CQ〈1，連接/p并延長(zhǎng)交。c延長(zhǎng)線于“，直線"0交G。于4,

交。。延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,連接/N交4。于點(diǎn)7,連接尸。,7瑞得截面/尸。居

過(guò)點(diǎn)4己。的平面與正方體N8CD-44GA的5個(gè)表面相交,

因此截面/P0居7是五邊形，D正確

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截

面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵.

確定截面的依據(jù)如下：（1）平面的四個(gè)公理及推論；（2）直線和平面平行的判定和性質(zhì)；（3）

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)；（4）球的截面的性質(zhì).

12.-1

【分析】由條件變形為（a+l）i+2=2,再利用復(fù)數(shù)相等，即可求。的值.

【詳解】*言55(2+1)

=ai+2+i=(a+l)i+2=2,則a+l=0=>q=—1,

(2T(2+i)

故答案為：-1

24.

13.—/0.96

25

【分析】根據(jù)給定的圖形，利用直角三角形邊角關(guān)系得5cosa-5cos￡=l,5sin夕-5sina=l,

再利用同角公式及差角的余弦公式求解即得.

【詳解】依題意，大正方形的邊長(zhǎng)為5,小正方形的邊長(zhǎng)為1,

結(jié)合圖形知，5COS6Z-5COS/?=1,5sin/7-5sincr=1,即cosa-cos/?=（,sin〃-sina=2,

兩式平方相加得（cosa-cos/J）?+（sin/?—sina）2=—+—,

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

即2-2(cosacos,+sinasin尸)二石，所以cos(a-/7)=—,

故答案為：I2f4.

14.4岳

【分析】根據(jù)三棱錐的外接球的球心到所有頂點(diǎn)距離相等，且都為球半徑，即可找到球心的

位置，然后在直角三角形Z8C中，根據(jù)基本不等式即可求解最小值，進(jìn)而可得球半徑的

最小值.

【詳解】

取48中點(diǎn)為。，過(guò)。作交S3于。，則OD=g"=l,即。為S3中點(diǎn).

因?yàn)椤?，平?8C,所以_L平面.

因?yàn)?C_L3c，所以

所以，OA=OB=OC=OS,

所以，O是三棱錐S-ABC外接球球心,0/為球的半徑.

114

由KXAC-CB^A,

i-1ij—AoRLyC^-3--2-AC-CB-SA3^-^*

XAB2=AC2+BC2>2AC-BC=8，當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=2，等號(hào)成立，此時(shí)AB=1^2,

所以球半徑R=OA=JCH)?+j>卜+(可=V3，故Amin=V3,

該“鞠”的體積最小值為孑*=白(百了=4百兀

故答案為：4A/§71.

15.⑴或卜

⑵-9

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

【分析】(1)利用共線向量定義得很=(-4-彳)，再利用向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示得到方程，解

出即可；

7

(2)根據(jù)向量垂直得(@+28)0-2&)=0,展開(kāi)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得鼠,=-：，最后利用向量

夾角余弦值的公式即可.

【詳解】(1)\,blla.9.,.b=Xa=(―A,—Z),其中

,/忖=2,.*.yjA2+A2=2,.*.Z=±yfl,

B=(也冏或B=(-V2-V2).

(2),/a+2c與己一2方垂直，/.(5+2c)(c-25)=0,

于是，2|c|2-2|5|2-33-C=0,

...同=也同=1,；.鼠？=一2,

16.(l)/(x)=V3sin^2x+y

⑵［。，囪］

i2TT

【分析】(1)由圖可得4：T，借助7=L，求出。，代入點(diǎn)《，0)，求出夕即可.

2|例3

(2)運(yùn)用整體代入求解即可；

(3)運(yùn)用一元二次不等式解法解出，得04/(尤)<5,再借助三角函數(shù)圖像性質(zhì)解函數(shù)不等

式即可

【詳解】(1)由圖可得/=6,，7=把-巴=巴，

2632

T271一

則7=兀，因?yàn)?=阿，且①〉0,所以。=2,

所以/(%)=瓜in(2x+p),

由圖可知/=0,

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

貝!J$+9=兀+2左兀(左￡Z),解得9=2E+g'(左￡Z),

因?yàn)閨同<5,所以夕=?，

故/(x)=VJsin(2x+g).

(2)由(1)知/(x)=Gsin[2x+1),

、rcc兀兀兀八c2兀

Iv0—2%H--,XG---,—,0G0,--,

以3L66」L3J

sin。0,l],〃x)G[0,A/5],

a

(3)由2"(x)『—3〃x)?0,得0"⑴弓

則，0<sin(2x+3,

jrITTT27r

解得2X+§￡2kii,2kTt+—或2x+§e2左兀+?—，2左兀+兀

7T7TJT

解得ku——<x<kTi^kn+—<x<k7i+—.

6l63

―「兀5兀

又二丁，

oo

Ur*i、【兀八兀兀

所以xe--,0u.

6J|_63_

17.(1)—

3

⑵

【分析】（1）由正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再用余弦定理求出cosC,進(jìn)而求出sinC

的值即可;

（2）根據(jù)余弦定理及基本不等式可得浦V16,進(jìn)而可得V/3C面積的最大值.

【詳解】（1）由正弦定理，得3（。-6）=四二生,即/+/一,2=2仍，

ac+b3

2ba2ba3

因?yàn)閏osC〉0,所以c/og]：

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

所以sinC=，l-cos2c=j-g=~~；

（2）由（1）知sinC=Rl,cosC=-,

33

在ZUCE中，由余弦定理可得/"=C￡2+/C2—2.C￡./CCOSC,

32a212ab、lab

即Rn——=——+b2---->——，

3433

所以斜416,當(dāng)且僅當(dāng)［。=6=2行時(shí)，取得到等號(hào)，

此時(shí)V/BC面積的最大值inC<—.

2'/maxs3

18.⑴（46+2）兀

(2)證明見(jiàn)解析

⑶行

【分析】(1)根據(jù)圓柱表面積公式即可求解；

(2)根據(jù)5c1AC,BCLPA,得平面P4C,再由面面垂直的判定定理即可證明;

(3)如圖，確定當(dāng)D,E,C，三點(diǎn)共線時(shí)CE+E。取得最小值C'D,求出BD,3C',結(jié)合余弦定

理計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)圓柱的底面半徑廠=1,4=26，圓柱的側(cè)面積￡=2兀/%=4百兀，

圓柱的底面積為S底=2兀，所以表面積S表=(4行+2)兀.

(2)由題意知8C_L/C,P/_L平面/BC,又BCu平面N8C,

所以BC_LP/,

而/Cc尸/=尸Nu平面P/C,

所以3C_L平面尸/C,

又BCu平面PBC,

故平面PBC1平面PAC；

(3)將AP/C繞著P4旋轉(zhuǎn)到尸/C'使其與平面尸48共面，且。在的反向延長(zhǎng)線上.

當(dāng)。,EC三點(diǎn)共線時(shí)CE+ED取得最小值，為CD，

答案第10頁(yè)，共12頁(yè)

BD=-BP=2,BC'=BA+AC=2+1=3,

2

所以在三角形中，由余弦定理可得：C'D=5,

所以+E。的最小值等于V7.

19.(1)2；

1113

⑵