高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)：集合與常用邏輯用語(yǔ)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)

集合與常用邏輯用語(yǔ)

集合

1.，合的含義與表示

(1)了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的從屬關(guān)系.

(2)能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題.

2.集合間的基本關(guān)系

(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.

(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義.

3.集合的基本運(yùn)算

(1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集.

(2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.

(3)能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算.

常用邏輯用語(yǔ)

(1)理解命題的概念.

⑵了解“若夕，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相

互關(guān)系.

(3)理解必要條件、充分條件與充要條件的含義.

(4)了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義.

(5)理解全稱量詞與存在量詞的意義.

(6)能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

第一講集合

知識(shí)能力解讀

知能解讀(一)集合的基本概念及表示方法

1集合的概念

一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡(jiǎn)稱集.通常

用大寫(xiě)字母幺，8,C,…表示.集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.通常用小寫(xiě)字

母a,b,c,…表示.

2.集合中元素的三個(gè)特征

⑴確定性

設(shè)Z是一個(gè)給定的集合，。是某一具體的對(duì)象，則。是/的元素，或者不是Z的元素,

兩種情況必有一種且只有一種成立.這個(gè)特性常用來(lái)判斷涉及的總體能否構(gòu)成集合.

(2)互異性

集合中的元素必須是互異的，也就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是

不同的.即集合中的元素不重復(fù)，兩個(gè)或兩個(gè)以上的相同元素都認(rèn)為是一個(gè)元素，在用列舉

法表示時(shí)也只能寫(xiě)一個(gè).例如方程V+2x+1=0的解組成的集合必須寫(xiě)成

Z=｛-1｝.這個(gè)特性常被用來(lái)判斷集合的表示是否正確，或用來(lái)求集合中的未知元素.

(3)無(wú)序性

集合中的元素不考慮順序，對(duì)于元素相同而排列次序不同的集合認(rèn)為是相同的集合.例

如集合(1,2,3,4｝與集合｛4,3,2,1｝是相同的集合.這個(gè)特性常用來(lái)判斷兩個(gè)集合的關(guān)系.

3.集合的分類

(1)集合可以根據(jù)它含有的元素的個(gè)數(shù)分為兩類：含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，

含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.

(2)不含任何元素的集合叫做空集，記作0.

注意：①空集中沒(méi)有任何元素.要區(qū)分0和｛0｝,集合｛0｝中有1個(gè)元素0,而。中沒(méi)

有任何元素，兩者有著本質(zhì)的不同.

②空集在實(shí)際問(wèn)題中是實(shí)實(shí)在在存在的，如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程M+1=0的解集和不等

式1+1<0的解集都是空集.

4.集合的表示方法

⑴列舉法

把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)括起來(lái)表示集合的方法.

使用列舉法時(shí)，需注意以下幾點(diǎn)：

①元素間用分隔號(hào)“，”；②元素不重復(fù)；③元素?zé)o順序；④對(duì)于含較多元素的集合，

如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后才能

用省略號(hào).

如：從1到100的所有整數(shù)組成的集合可以表示為｛1,2,3,…,100｝.

(2)描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法，即其中豎線

“I”左邊表示集合中的代表元素，右邊表示集合中元素滿足的條件.

如：所有的直角三角形的集合可以表示為｛x|x是直角三角形｝.

(3)圖示法

為了形象地表示集合，我們常常畫(huà)一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來(lái)表示一個(gè)集合.如

圖所示，表示集合｛1,3,5,8｝.

5.常用數(shù)集的符號(hào)

為了書(shū)寫(xiě)方便，我們規(guī)定常見(jiàn)的數(shù)集用特定的字母表示，下面是幾種常見(jiàn)的數(shù)集的表示

方法，請(qǐng)牢記.

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集

符號(hào)NN+或N*ZQRC

知能解讀(二)集合間的基本關(guān)系

、、表示文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

關(guān)於、

相等集合A與集合B中的所有元素都相AjB,B=A=A=B

同

子集集合A中任意一個(gè)元素都是集合B/鼠5或534

中的元素

真子集集合A中任意一個(gè)元素均為集合BZUB或BYA

中的元素，且集合B中至少有一個(gè)元

素不是集合A中的元素

空集空集是任何集合的子集，是任何非空0^A,0U5（5^0）

集合的真子集

提示：①“e”是表示集合中的元素與集合關(guān)系的符號(hào)，而“之”與“U”是表示兩

個(gè)集合間包含和真包含關(guān)系的符號(hào)，在書(shū)寫(xiě)時(shí)應(yīng)注意區(qū)分.

②幺口3有兩種情況：2=8和2。8.

若幺。5,則8中至少存在一個(gè)元素不屬于

知能解讀(三)集合與集合間的運(yùn)算

集合運(yùn)算|自然語(yǔ)言描述符號(hào)表示Venn圖表示

并集一般地，由所有屬于集合/或A\3B={x\xGA,5

屬于集合8的元素組成的集合，

或X￡5}0)B⑷

稱為集合/與5的并集，記作

A\JB,讀作“4并3”.(B顧

交集一般地，由屬于集合/且屬于4nB={x\xeA,

集合5的所有元素組成的集合，

且X￡B}

稱為幺與8的交集，記作

A[}B,讀作“A交B”.0?

全集與補(bǔ)(1)一般地，如果一個(gè)集合含有.4={x\xGU,且

集我們所研究問(wèn)題中涉及的所有

xA}回

元素,那么就稱這個(gè)集合為全集，

通常記作U.

(2)對(duì)于一個(gè)集合A,由全集UO

中不屬于幺的所有元素組成的回

集合稱為集合A相對(duì)于全集U

的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合幺的補(bǔ)集，

記作.

2.集合中常用的運(yùn)算性質(zhì)

(1)若/口8,BA,則2=8；若幺口8,BjC,則ZqC.

(2)0qZ；若Zw0,則0UZ.

⑶幺口幺=幺，AC\B=BC\A,AQ0=0.

(4)AUA=A,ZU5=5UZ,A\J0=A.

⑸/n.N)=。，ZU.N)=U.

⑹(/riB)屋/1(ZUB).

(7.(ZU5)=?力?可，■(NUB)=?力?8).

(8)若/口8,則Zn8=Z,A\3B=B,反之變成立.

知能解讀(四)有限集的子集個(gè)數(shù)公式

設(shè)有限集/中有〃個(gè)元素，則/的子集有2"個(gè)，其中真子集的個(gè)數(shù)為2"-1,非空子

集的個(gè)數(shù)為2"-1,非空真子集的個(gè)數(shù)為2"-2.

解題方法薈萃

I.數(shù)學(xué)思想方法

思想方法(一)分類討論思想

它是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)確定劃分標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類

分別求解，并綜合得出答案的一種數(shù)學(xué)思想.在劃分中要求始終使用同一標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)

該是科學(xué)的、合理的，要滿足無(wú)重復(fù)、無(wú)遺漏、最簡(jiǎn)的原則.

(二)數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的解題方法，就是把數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行探索分析

的思維方法.其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，抽象思維和形象思維結(jié)合

起來(lái)，使抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通過(guò)“數(shù)”和“形”的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，化難為易，

增強(qiáng)直觀性，從而使問(wèn)題得到解決.數(shù)形結(jié)合包含兩重意義：⑴以形助數(shù)(2)以數(shù)解形.所

謂“以形助數(shù)”就是將待研究的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究其對(duì)應(yīng)的幾何圖形，通過(guò)幾何圖形的直

觀性尋找原問(wèn)題的解題思路，從而獲解；所謂“以數(shù)解形”就是借助代數(shù)計(jì)算等確定幾何圖

形的某些屬性.

(三)補(bǔ)集思想

（四）分析法

（五洌舉法

（六）Venn圖法

II.解題規(guī)律技巧

（一）集合語(yǔ)言與集合思想在解題中的應(yīng)用

（二）利用數(shù)軸解決集合間的關(guān)系問(wèn)題

（三）集合中元素的“三性”及應(yīng)用

（四）點(diǎn)集運(yùn)算轉(zhuǎn)化處理

in.易混易錯(cuò)辨析

（一）因沒(méi)有弄清集合的代表元素而導(dǎo)致錯(cuò)誤

（二）勿忘空集防“陷阱”

高考命題研究

縱觀近幾年高考試題，集合部分以考查基礎(chǔ)知識(shí)為主，涉及集合的概念、集合間的基本

關(guān)系、集合的基本運(yùn)算等.核心考點(diǎn)是集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算，既有列舉法表示的集

合，又有描述法表示的集合，有時(shí)還會(huì)與不等式、函數(shù)、方程等知識(shí)結(jié)合，題型為選擇題或

填空題，難度不大.

高考熱點(diǎn)（一）集合的基本概念

（二）集合間的基本關(guān)系的判定與應(yīng)用

（三）集合的基本運(yùn)算

（四）集合中的新定義題

附錄常用公式定理

i.常用符號(hào)

e-----屬于e------不屬于

c——包含于U——真包含于

?！琘——真包含

U——不包含于U——不包含

0——空集符號(hào)=——集合相等符號(hào)

n——交集符號(hào)u——并集符號(hào)

H—補(bǔ)集符號(hào)

u一—全集符號(hào)

N——自然數(shù)集z——整數(shù)集

N+（N*）——正整數(shù)集Q——有理數(shù)集

R——實(shí)數(shù)集，Q--無(wú)理數(shù)集

C——復(fù)數(shù)集eZ}----奇數(shù)集

（x|x=2n,neZ}----偶數(shù)集

2.常用公式

AC\A=AAQ0=0AC\U=A

A\JA=AA\J0=AA\JU=U

■(Zn5)=.Z)U.5).(ZUBb.Rn.B)

3.常用定理

傳遞性：若集合ZqB,BjC,則若集合幺。8,5UC,則NUC.

第二講常用邏輯用語(yǔ)

知識(shí)能力解讀

知能解讀（一）四種命題及其關(guān)系

1.命題的定義

用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句稱為命題.其中判斷為真的語(yǔ)句叫

做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題.

例如：“3是12的約數(shù)”“0.5是整數(shù)”都是命題.

說(shuō)明：（1）并不是任何語(yǔ)句都是命題.一般來(lái)說(shuō)，疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句等都不是命

一題.（2）一個(gè)命題，一般可以用小寫(xiě)英文子母表示，如p,q,r,….

2.四種命題

對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論，分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我

們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題.其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做原命題的逆

命題.

一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個(gè)命題

叫做互否命題.把其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題就叫做原命題的否命題.

一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個(gè)命題

叫做互為逆否命題.把其中的一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題就叫做原命題的逆否命

題.

3.表示形式

一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用「p和」q分別表示p和q的否定,

于是四種命題的形式就是：

原命題：若p,則q；逆命題：若q,則夕；否命題：若可，則「q；逆否命題：若

—iq,則—7?.

4.四種命題的關(guān)系

四種命題的關(guān)系如圖所示：

點(diǎn)撥：互為逆否的兩個(gè)命題的真假性相同，互逆或互否的兩個(gè)命題的真假性沒(méi)有關(guān)

系.

（二）充分條件、必要條件、充要條件

定義從集合觀點(diǎn)看

若pnq，則P是q的充分條件若集合尸口0,則。是0的充分條件

若q=>p,則夕是q的必要條件若集合?？谑?，則尸是。的必要條件

若夕=>q且q幺p,則夕是q的充分

若集合尸U0,則尸是。的充分不必要條件

不必要條件

若q=>P且p幺q,則夕是q的必要

若集合尸丫0,則尸是。的必要不充分條件

不充分條件

若pQq,則夕是q的充分必要條件若集合尸=0,則尸是0的充分必要條件

若p幺q,q幺p,則夕是夕的既不若集合尸且。。尸，則尸是。的既不充

充分也不必要條件分也不必要條件

說(shuō)明：由上表可知，判斷充分條件、必要條件、充要條件時(shí)應(yīng)采用以下方法：（1）確定

條件?是什么，結(jié)論q是什么；（2）嘗試從條件推結(jié)論，如果夕nq,則充分性成立，p是

q的充分條件（3）再考慮從結(jié)論推條件，如果qnp,則夕是q的必要條件，必要性成立;

（4）證明命題的條件是充要的，則既要證明充分性又要證明必要性.

（三）邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”“且”“非”

（1）或：聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題?，q,得到新命題P或q.記作夕vq.

(2)且：聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題夕，q,得到新命題P且q.記作夕Aq.

(3)非：對(duì)一個(gè)命題?全盤(pán)否定，得到新命題非p.記作

(四)真值表

(五)命題的否定與否命題

(1)命題的否定只否定命題的結(jié)論，它和原命題真假相反；而否命題是既否定條件，又

否定結(jié)論，它和原命題的真假性無(wú)關(guān).

(2)寫(xiě)“非夕”或否命題時(shí)，必須使用否定詞語(yǔ)對(duì)正面敘述的詞語(yǔ)進(jìn)行否定.因此掌握

常見(jiàn)的正面敘述詞語(yǔ)以及它們的否定同語(yǔ)卜分必要，具《本列表如下：

正面詞語(yǔ)等于(=)大于(>)小于(<)能是都(全)是

否定詞語(yǔ)不等于(W)不大于(W)不小于(2)不能不是不都(全)是

正面詞語(yǔ)至多一個(gè)至少有一個(gè)至多n個(gè)p或q夕且q

否定詞語(yǔ)至少兩個(gè)一個(gè)也沒(méi)有至少〃+1個(gè)非夕且非q非p或非q

(3)命題“2人已”與"prq”的否定

①「(P八4)=(/”(「1)；②「(Pvq)=(/)△(「1)?

(六)量詞與命題

1.全稱量詞

短語(yǔ)“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)

“V”表示.

2.全稱命題

含有全稱量同的命題，叫做全稱命題.全稱命題就是形如“對(duì)M中的所有x,有夕(x)

成立”的命題，用符號(hào)簡(jiǎn)記為VxeM,p(x).

3.存在量詞

短語(yǔ)“有一個(gè)”或“有些”或“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，邏

輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“三”表示.

4.特稱命題(存在性命題)

含有存在量詞的命題，叫做特稱命題(存在性命題)，用符號(hào)簡(jiǎn)記為三毛€河,夕(/).

5.全稱命題與特稱命題的否定

命題命題的否定

VXGM,—

全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題.

解題方法薈萃

I.數(shù)學(xué)思想方法

思想方法(一)轉(zhuǎn)化與化歸思想

在處理問(wèn)題時(shí)，把待解決或難解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或

較易解決的問(wèn)題，最終解決問(wèn)題，這就是轉(zhuǎn)化與化歸思想.轉(zhuǎn)化后的新問(wèn)題與原問(wèn)題實(shí)質(zhì)一

樣時(shí)，這樣的轉(zhuǎn)化我們叫它等價(jià)轉(zhuǎn)化.

(二)數(shù)形結(jié)合思想

（三）分類討論思想

（四）反證法

（1）反證法是常用的間接證法之一.它的實(shí)質(zhì)是當(dāng)證明“若夕，則q”感到困難時(shí)，改

證命題“若夕，則不成立.

（2）反證法證題的步驟：第一步，假設(shè)結(jié)論的反面成立；第二步，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，推

理論證，得出矛盾；第三步，由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定結(jié)論正確.由于反證法是很

有用的方法，所以應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)使用反證法來(lái)證明用直接法證明感到困難的問(wèn)題，在立體兒何中

經(jīng)常使用這種方法.證明否定形式的命題也經(jīng)常用反證法.

II.解題規(guī)律技巧

規(guī)律技巧（一）應(yīng)用互為逆否命題的等價(jià)性解題

由于原命題與它的逆否命題等價(jià)，即具有相同的真假性，在直接證明原命題有困難時(shí)，

可以考慮證明與它等價(jià)的逆否命題，這種方法是間接證明命題的方法.

（二）利用集合關(guān)系判斷充要條件

設(shè)與夕相應(yīng)的集合為Z=,與4相應(yīng)的集合為3=｛七（必，則有如下結(jié)論

（1）若2口8,則夕是q的充分條件，若則夕是q的充分不必要條件；

（2）若BJ幺,則夕是q的必要條件，若則夕是q的必要不充分條件；

（3）若A=B,則P與q互為充要條件（也稱等價(jià)條件）；

（4）若且5。幺，則P既不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

（三）全稱命題與特稱命題的真假判定方法

要判定全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x

驗(yàn)證p（x）成立；若要判定全稱命題“VxeM,p（x）是假命題，只要能找出某一個(gè)

x=x0&M,使得夕（與）不成立即可（舉反例法）.

要判定一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)x=%,使得P（與）

成立即可；如果在集合M中，使P（x）成立的元素不存在，那么這個(gè)特稱命題是假命題.

II.易混易錯(cuò)辨析

易混易錯(cuò)（一）分不清條件的充分性與必要性而致誤

在利用充分條件、必要條件解題時(shí)，常因弄反條件的充分性與必要性致錯(cuò).

（二）對(duì)命題的否定與否命題區(qū)別不清而致誤

命題的否定只否定命題的結(jié)論，不否定命題的條件，而否命題既要否定命題的結(jié)論，又

要否定命題的條件.

高考命題研究

命題、邏輯聯(lián)結(jié)詞與充要條件在高考中的考查，以命題的基本概念及充要條件為主，重

點(diǎn)考查命題真假的判定、充要條件的判定，考題多為選擇題.另外，高考中這部分知識(shí)也可

以和其他知識(shí)如函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等相結(jié)合在知識(shí)交匯點(diǎn)處命制綜合性

大題，以考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

全稱命題、特稱命題的否定及其真假判斷也是高考的熱點(diǎn).

高考熱點(diǎn)（一）命題的四種形式與關(guān)系及