2025屆廣州市嶺南中學數(shù)學高二上期末預測試題含解析

2025屆廣州市嶺南中學數(shù)學高二上期末預測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線在兩個坐標軸上的截距之和為7，則實數(shù)m的值為（）A.2 B.3C.4 D.52．已知拋物線上一點到焦點的距離為3，準線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.C. D.3．已知集合，則（）A. B.C. D.4．已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線過且與橢圓相交于不同的兩點，、不在軸上，那么△的周長（）A.是定值B.是定值C.不是定值，與直線的傾斜角大小有關D.不是定值，與取值大小有關5．過點且斜率為的直線方程為（）A. B.C D.6．命題“若，則”的逆命題、否命題、逆否命題中是真命題的個數(shù)為（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個7．已知等差數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.8．《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點，，，，若，則（）A. B.C. D.9．設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10．在區(qū)間內隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為（）A. B.C. D.11．（2017新課標全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.12．已知m，n表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓錐的母線長為2，母線所在直線與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的側面積大小為____________.(結果保留)14．數(shù)列滿足，則_______________.15．若直線與圓有公共點，則b的取值范圍是_____16．過橢圓的右焦點作兩條相互垂直的直線m，n，直線m與橢圓交于A，B兩點，直線n與橢圓交于C，D兩點，若．則下列方程①；②；③；④．其中可以作為直線AB的方程的是______（寫出所有正確答案的序號）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，是橢圓：的左、右焦點，離心率為，點A在橢圓C上，且的周長為.（1）求橢圓C的方程；（2）若B為橢圓C上頂點，過的直線與橢圓C交于兩個不同點P、Q，直線BP與x軸交于點M，直線BQ與x軸交于點N，判斷是否為定值.若是，求出定值，若不是，請說明理由.18．（12分）某情報站有．五種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周末使用的四種密碼中等可能地隨機選用一種．設第一周使用密碼，表示第周使用密碼的概率（1）求；（2）求證：為等比數(shù)列，并求的表達式19．（12分）如圖，在長方體中，，．點E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值20．（12分）設函數(shù)（1）求的值；（2）求的極大值21．（12分）已知雙曲線（）的一個焦點是，離心率.（1）求雙曲線的方程；（2）若斜率為的直線與雙曲線交于兩個不同的點，線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程22．（10分）已知中心在坐標原點O的橢圓，左右焦點分別為，，離心率為，M，N分別為橢圓的上下頂點，且滿足.（1）求橢圓方程；（2）已知點C滿足，點T在橢圓上（T異于橢圓的頂點），直線NT與以C為圓心的圓相切于點P，若P為線段NT的中點，求直線NT的方程；（3）過橢圓內的一點D（0，t），作斜率為k的直線l，與橢圓交于A，B兩點，直線OA，OB的斜率分別是，，若對于任意實數(shù)k，存在實數(shù)m，使得，求實數(shù)m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出直線方程在兩坐標軸上的截距，列出方程，求出實數(shù)m的值.【詳解】當時，，故不合題意，故，，令得：，令得：，故，解得：.故選：C2、C【解析】先由已知結合拋物線的定義求出，從而可得拋物線的準線方程，則可求出準線l與兩條漸近線的交點分別為，然后由題意可得，進而可求出雙曲線的離心率詳解】依題意，拋物線準線，由拋物線定義知，解得，則準線，雙曲線C的兩條漸近線為，于是得準線l與兩條漸近線的交點分別為，原點為O，則面積，雙曲線C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得故選：C3、B【解析】先求得集合A，再根據(jù)集合的交集運算可得選項.【詳解】解：因為，所以故選：B.4、B【解析】由直線過且與橢圓相交于不同的兩點，，且，為橢圓兩焦點，根據(jù)橢圓的定義即可得△的周長為，則答案可求【詳解】橢圓，橢圓的長軸長為，∴△的周長為故選：B5、B【解析】利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.6、B【解析】先判斷出原命題和逆命題的真假，進而根據(jù)互為逆否的兩個命題同真或同假最終得到答案.【詳解】“若a=0，則ab=0”，命題為真，則其逆否命題也為真；逆命題為：“若ab=0，則a=0”，顯然a=1，b=0時滿足ab=0，但a≠0，即逆命題為假，則否命題也為假.故選：B.7、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出公差，再結合即可得的值.【詳解】因為是等差數(shù)列，設公差為，所以，即，所以，所以，故選：D.8、C【解析】建立坐標系，坐標表示向量，求出點坐標，進而求出結果.【詳解】以為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系.不妨令，則，，，，，.因為，所以，則，，，，則解得，，，故.故選：C9、C【解析】對于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對于C是正確的10、C【解析】求解不等式，利用幾何概型的概率計算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計算公式可得：在區(qū)間內隨機取一個數(shù)則該數(shù)滿足的概率為.故選：.11、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.12、D【解析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關系判斷【詳解】若，，也可以有，A錯；若，，也可以有，B錯；若，，則或，C錯；若，，則，這是線面垂直的判定定理之一，D正確故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題設知：圓錐的軸截面為等邊三角形，進而求圓錐的底面周長，由扇形面積公式求圓錐的側面積大小.【詳解】由題設，圓錐的軸截面為等邊三角形，又圓錐的母線長為2，∴底面半徑為1，則底面周長為，∴圓錐的側面積大小為.故答案為：.14、【解析】利用來求得，進而求得正確答案.【詳解】，，是數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：15、【解析】直線與圓有交點，則圓心到直線的距離小于或等于半徑.【詳解】直線即，圓的圓心為，半徑為，若直線與圓有交點，則，解得,故實數(shù)取值范圍是.故答案為：16、①②【解析】①②結合橢圓方程得到與橢圓參數(shù)的關系，即可判斷；③④聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求，即可判斷.【詳解】由題設，且右焦點為，①時直線，故，則符合題設；②時，同①知：符合題設；③時直線，聯(lián)立直線AB與橢圓方程并整理得：，則，同理可得，則，不合題設；④時，同③分析知：，不合題設；故答案為：①②.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的定義可得，而離心率，解方程組，即可得解；（2）設直線的方程為，將其與橢圓的方程聯(lián)立，由，，三點的坐標寫出直線，的方程，進而知點，的坐標，再結合韋達定理，進行化簡，即可得解【小問1詳解】解：因為的周長為，所以，即，又離心率，所以，，所以，故橢圓的方程為【小問2詳解】解：由題意知，直線的斜率一定不可能為0，設其方程為，，，，，聯(lián)立，得，所以，，因為點為，所以直線的方程為，所以點，，直線的方程為，所以點，，所以，即為定值18、（1），，，（2）證明見解析，【解析】(1)根據(jù)題意可得第一周使用A密碼，第二周使用A密碼的概率為0，第三周使用A密碼的概率為，以此類推；(2)根據(jù)題意可知第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為，進而可得，結合等比數(shù)列的定義可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求出結果.【小問1詳解】，，，【小問2詳解】第周使用A密碼，則第周必不使用A密碼（概率為），然后第周從剩下的四種密碼中隨機選用一種，恰好選到A密碼的概率為故，即故為等比數(shù)列且，公比故，故19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，分別寫出，，的坐標，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫出平面法向量，按照公式求解即可.【小問1詳解】在長方體中，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系因為，，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為20、（1）-3（2）2【解析】（1）利用導數(shù)公式和法則求解；（2）令，利用極大值的定義求解.【小問1詳解】解：因為函數(shù)，所以，所以；【小問2詳解】令，得，當或時，，當時，，所以當時，取得極大值.21、（1）（2）【解析】（1）由已知及離心率公式直接計算；（2）設直線方程為，聯(lián)立方程組可得中點及中垂線方程，根據(jù)三角形面積可得的值.【小問1詳解】解：由已知得，，所以，，所以所求雙曲線方程為.【小問2詳解】解：設直線的方程為，點，聯(lián)立整理得.(*)設的中點為，則，，所以線段垂直平分線的方程為，即，與坐標軸的交點分別為，，可得，得，，此時(*)的判別式，故直線的方程為.22、（1）1（2）或（3）【解析】（1）由已知可得，，再結合可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設直線，代入橢圓方程中消去，解方程可求出點的坐標，從而可得NT中點的坐標，而，可得解方程可求出的值，即可得到直線NT的方程，（3）設直