北師大學(xué)附中2025屆數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

北師大學(xué)附中2025屆數(shù)學(xué)高一上期末監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．“是第一或第二象限角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖像是（）A. B.C. D.3．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是A. B.C. D.4．已知，則（）A. B.C.2 D.5．已知弧長(zhǎng)為cm的弧所對(duì)的圓心角為，則這條弧所在的扇形面積為（）cm2A. B.C. D.6．已知函數(shù)，則（）A. B.3C. D.7．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A.// B.C. D.8．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的是（）A.y=x B.C.y=x D.9．設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為A.3a2 B.6a2C.12a2 D.24a210．為了節(jié)約水資源，某地區(qū)對(duì)居民用水實(shí)行“階梯水價(jià)”制度：將居民家庭全年用水量（取整數(shù)）劃分為三檔，水價(jià)分檔遞增，其標(biāo)準(zhǔn)如下：階梯居民家庭全年用水量（立方米）水價(jià)（元/立方米）其中水費(fèi)（元/立方米）水資源費(fèi)（元/立方米）污水處理費(fèi)（元/立方米）第一階梯0-180（含）52.071.571.36第二階梯181-260（含）74.07第三階梯260以上96.07如該地區(qū)某戶(hù)家庭全年用水量為300立方米，則其應(yīng)繳納的全年綜合水費(fèi)（包括水費(fèi)、水資源費(fèi)及污水處理費(fèi)）合計(jì)為元．若該地區(qū)某戶(hù)家庭繳納的全年綜合水費(fèi)合計(jì)為1180元，則此戶(hù)家庭全年用水量為（）A.170立方米 B.200立方米C.220立方米 D.236立方米二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)是周期函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中，所有正確命題的序號(hào)是___________.12．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若，且，求的值；13．函數(shù)的定義域是________14．已知，，則的值為_(kāi)__________.15．若命題p是命題“”的充分不必要條件，則p可以是___________.（寫(xiě)出滿(mǎn)足題意的一個(gè)即可）16．已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．函數(shù)的定義域，且滿(mǎn)足對(duì)于任意,有(1)求的值(2)判斷的奇偶性，并證明(3)如果，且在上是增函數(shù)，求的取值范圍18．已知點(diǎn)及圓.(1)若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與圓心的距離為1，求直線(xiàn)的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求以線(xiàn)段為直徑的圓的方程；(3)設(shè)直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由19．已知（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式20．現(xiàn)有銀川二中高一年級(jí)某班甲、乙兩名學(xué)生自進(jìn)入高中以來(lái)的歷次數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分），具體考試成績(jī)?nèi)缦拢杭祝?、、、、、、、、、、、、；乙：、、、、、、、、、、、、?）請(qǐng)你畫(huà)出兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖；（2）根據(jù)莖葉圖，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)兩人的成績(jī)進(jìn)行比較.（最少寫(xiě)出兩條統(tǒng)計(jì)結(jié)論）21．如圖，在中，為邊上的一點(diǎn)，，且與的夾角為.（1）設(shè)，求，的值；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】利用充分必要條件的定義判斷.【詳解】若角的終邊在第一或第二象限，則，反過(guò)來(lái)，若，則的終邊可能在第一或第二象限，也有可能在軸正半軸上.所以“是第一或第二象限角”是“”的充分不必要條件.故選：A2、D【解析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)和對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)性，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由于，所以為上的遞減函數(shù)，且過(guò)；為上的單調(diào)遞減函數(shù)，且過(guò)，故只有D選項(xiàng)符合.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)單調(diào)性判斷，考查函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】通過(guò)計(jì)算，判斷出零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】由于，，，故零點(diǎn)在區(qū)間，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查零點(diǎn)的存在性定理的應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】先求出，再求出，最后可求.【詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，而，故，所以，故，所以，故選：B5、C【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算出半徑，再利用面積公式得到答案.【詳解】弧長(zhǎng)為cm的弧所對(duì)的圓心角為，則故選【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積，求出半徑是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，令代入先求出，進(jìn)而可求出的結(jié)果.【詳解】解：，則令，得，所以.故選：D.7、B【解析】采用排除法，根據(jù)向量平行，垂直以及模的坐標(biāo)運(yùn)算，可得結(jié)果【詳解】因?yàn)椋訟不成立;由題意得：，所以，所以B成立；由題意得：，所以，所以C不成立；因?yàn)椋?，所以，所以D不成立.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】根據(jù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)閳D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是奇函數(shù)，所以有：A：函數(shù)y=xB：設(shè)f(x)=x3，因?yàn)镃：設(shè)g(x)=x，因?yàn)間(-x)=D：因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，y=1，所以該函數(shù)的圖象不過(guò)原點(diǎn)，因此不是奇函數(shù)，不符合題意，故選：B9、B【解析】方體的長(zhǎng)、寬、高分別為,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)就是外接球的直徑，所以球直徑為：，所以球的半徑為，所以球的表面積是，故選B10、C【解析】根據(jù)用戶(hù)繳納的金額判定全年用水量少于260，利用第二檔的收費(fèi)方式計(jì)算即可.【詳解】若該用戶(hù)全年用水量為260，則應(yīng)繳納元，所以該戶(hù)家庭的全年用水量少于260，設(shè)該戶(hù)家庭全年用水量為x，則應(yīng)繳納元，解得.故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②③【解析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)，借助周期函數(shù)的定義判斷①；利用函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)的意義判斷②③；取特值判斷④作答.【詳解】依題意，，因，是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期，①正確；因，，即，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)成對(duì)稱(chēng)中心，②正確；因，，即，因此的圖象關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，③正確；因，，，顯然有，而，因此函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)遞增，④不正確，所以，所有正確命題的序號(hào)是①②③.故答案為：①②③【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，(1)存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(2)存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).12、（1）（2）【解析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的值域即可；（2）由已知得，利用同角之間的關(guān)系求得，再利用湊角公式及兩角差的余弦公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】，，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)知，則【小問(wèn)2詳解】，又，，則則13、##【解析】利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零可求得原函數(shù)的定義域.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.14、【解析】利用和角正弦公式、差角余弦公式及同角商數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)式化為即可求值.【詳解】.故答案為：.15、，（答案不唯一）【解析】由充分條件和必要條件的定義求解即可【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，一定成立，而當(dāng)時(shí)，可能，可能，所以是的充分不必要條件，故答案為：（答案不唯一）16、【解析】利用扇形的面積求出扇形的半徑，再帶入弧長(zhǎng)計(jì)算公式即可得出結(jié)果【詳解】解：由于扇形的圓心角為，扇形的面積為，則扇形的面積，解得：，此扇形所含的弧長(zhǎng).故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）0；（2）偶函數(shù)；（3）見(jiàn)解析【解析】(1)令，代入，即可求出結(jié)果；(2)先求出，再由，即可判斷出結(jié)果；(3)先由，求出，將不等式化為，根據(jù)函數(shù)在上是增函數(shù)，分和兩種情況討論，即可得出結(jié)果.【詳解】(1)因?yàn)閷?duì)于任意,有，令，則，所以；(2)令，則，所以，令，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)；(3)因?yàn)椋?，所以不等式可化為；又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，而函數(shù)為偶函數(shù)，所以或；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或；綜上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為或；當(dāng)時(shí)，的取值范圍為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，以及抽象函數(shù)及其應(yīng)用，常用賦值法求函數(shù)值，屬于?？碱}型.18、（1）或；（2）；（3）不存在.【解析】（1）設(shè)出直線(xiàn)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，計(jì)算參數(shù)，即可．（2）證明得到點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，建立圓方程，即可．（3）將直線(xiàn)方程代入圓方程，結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)，計(jì)算a的范圍，計(jì)算直線(xiàn)的斜率，計(jì)算a的值，即可【詳解】(1)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則方程為，即.又圓的圓心為，半徑，由，解得.所以直線(xiàn)方程為，即.當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程為，經(jīng)驗(yàn)證也滿(mǎn)足條件即直線(xiàn)的方程為或.(2)由于，而弦心距，所以.所以恰為的中點(diǎn)故以為直徑的圓的方程為.(3)把直線(xiàn)代入圓的方程，消去，整理得.由于直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn)，故，即，解得.則實(shí)數(shù)的取值范圍是設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由于垂直平分弦，故圓心必在上．所以的斜率，而，所以.由于，故不存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)垂直平分弦.【點(diǎn)睛】考查了點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，考查了圓方程計(jì)算方法，考查了直線(xiàn)斜率計(jì)算方法，難度偏難19、（1）或；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析.【解析】（1）先因式分解，進(jìn)而解出的范圍，進(jìn)而結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得答案；（2）設(shè)，然后因式分解，進(jìn)而討論a的取值范圍求出t的范圍，最后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，若可得或，即解集為或【小問(wèn)2詳解】令，不等式轉(zhuǎn)化為①當(dāng)時(shí)，不等式解集為；②當(dāng)時(shí)，不等式解集為或；③當(dāng)時(shí)，不等式解集為；④當(dāng)時(shí)，不等式解集為或.綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為或.20、（1）圖見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）直接按照莖葉圖定義畫(huà)出即可；（2）通過(guò)中位數(shù)、平均數(shù)、方差依次比較.【小問(wèn)1詳解】甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示：【小問(wèn)2詳解】①?gòu)恼w分析：乙同學(xué)的得分情況是大致對(duì)稱(chēng)的，中位數(shù)是；甲同學(xué)的得分情況，也大致對(duì)稱(chēng)，中位數(shù)是；②平均分的角度分析：甲同學(xué)的平均分為，乙同學(xué)的平均分為，乙同學(xué)