湖北省十堰市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE17-湖北省十堰市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）本試卷共4頁(yè),22題,滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.留意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡與試卷上,并將考號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào).答在試題卷、草稿紙上無(wú)效.3.非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆將答案干脆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).答在試題卷,草稿紙上無(wú)效.4.考生必需保持答題卡的整齊.考試結(jié)束后,只交答題卡.一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由可求出，再結(jié)合即可求得.【詳解】解：因?yàn)?，所?又，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交、并、補(bǔ)的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2.已知點(diǎn)O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn),且向量,滿意等式,則四邊形ABCD是()A.等腰梯形 B.正方形 C.菱形 D.平行四邊形【答案】D【解析】【分析】由向量的減法運(yùn)算可得，再結(jié)合相等向量的定義即可得解.【詳解】解：由,得,即,故,得四邊形ABCD是平行四邊形，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的減法運(yùn)算及相等向量，屬基礎(chǔ)題.3.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的最小正周期是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三角函數(shù)圖像的平移變換求出，再結(jié)合三角函數(shù)的周期的求法求解即可.【詳解】解：將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,則,即函數(shù)的最小正周期是，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的平移變換，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的周期，屬基礎(chǔ)題.4.函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增和,得到答案.【詳解】是單調(diào)遞增函數(shù),且,,所以的零點(diǎn)所在的區(qū)間為故選：【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)所在的區(qū)間，意在考查學(xué)生對(duì)于零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用.5.我國(guó)聞名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō):“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微,數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬(wàn)事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和探討中,常用函數(shù)的圖象來(lái)探討函數(shù)的性質(zhì),也常用函數(shù)的解析式來(lái)探究函數(shù)的圖象特征,如函數(shù)的圖象大致是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，可得是偶函數(shù)，且,,再推斷即可得解.【詳解】解：由，有，即是偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，結(jié)合特別值,,即可推斷選項(xiàng)A符合題意，故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)圖像的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題.6.若函數(shù)是冪函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】由冪函數(shù)的定義及冪函數(shù)的單調(diào)性可得，再求值即可得解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù),所以,解得或.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以,所以,即,從而，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義及冪函數(shù)的單調(diào)性，重點(diǎn)考查了求值問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.7.設(shè),,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)冪及對(duì)數(shù)值的求法可得，得解.【詳解】解：因?yàn)?,,所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了求指數(shù)冪及對(duì)數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則()A. B. C.2 D.5【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)，則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且，再求解即可.【詳解】解：由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且，得,所以,即,則，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，重點(diǎn)考查了求值問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.9.在平面坐標(biāo)系中,,,,是單位圓上的四段弧(如圖),點(diǎn)在其中一段上,角以軸的非負(fù)半軸為始邊,為終邊,若,且,則所在的圓弧是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】假設(shè)點(diǎn)在指定象限,得到的符號(hào),驗(yàn)證,是否成馬上可【詳解】若點(diǎn)在第一象限,則,,則,與題意不符,故解除A,B；若點(diǎn)在其次象限,則,,則,與題意不符,故解除C；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)的應(yīng)用,考查解除法處理選擇題10.函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)在R上單調(diào)遞增,可得不等式組,求解即可得解.【詳解】解：由函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，重點(diǎn)考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.11.在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，滿意，，連接交于點(diǎn)M，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，將用向量表示，再由，把向量用向量表示，依據(jù)E，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線的關(guān)系式特征，即可求得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)镋，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線，所以，所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性表示和向量基本定理，考查三點(diǎn)共線的向量結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.12.已知函數(shù),若在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),可得，再結(jié)合求解即可.【詳解】解：因?yàn)?,所以.因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),所以.解得.因?yàn)?所以,因?yàn)?所以或.當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬中檔題.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知函數(shù)則______.【答案】5【解析】【分析】先將代入解析式可得,再求即可【詳解】由題,,所以故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值,考查指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算14.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則____________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋瑒t,所以,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題.15.已知為第三象限角,則____________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的關(guān)系可將原式變形為，再結(jié)合三角函數(shù)象限角的符號(hào)求解即可.【詳解】解：，又為第三象限角,則，故原式，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)象限角的符號(hào)問(wèn)題，重點(diǎn)考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.16.定義在R上的偶函數(shù)滿意,且當(dāng)時(shí),,則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.【答案】10【解析】【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)作圖視察即可得解.【詳解】解：由于定義在R上的偶函數(shù)滿意,所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,畫(huà)出時(shí)，部分的圖象如圖,在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出的圖象,由圖可知：當(dāng)時(shí),有5個(gè)交點(diǎn),又和都是偶函數(shù),所以在上也是有5個(gè)交點(diǎn),所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是10，故答案為：10.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，屬中檔題.三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合或,.(1)當(dāng)時(shí),求;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）計(jì)算，或，再計(jì)算得到答案.（2）依據(jù)得到，故或，計(jì)算得到答案.【詳解】(1)因?yàn)?所以,即,當(dāng)時(shí),或,所以或.(2)因?yàn)?所以,,則或,即或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了并集的計(jì)算，依據(jù)包含關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)于集合學(xué)問(wèn)的綜合應(yīng)用.18.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),求下列各式的值.（1）;（2）.【答案】（1）-2（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的定義可得，再結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.（2）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】解:（1）由角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),可知,則.（2）由已知有，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的關(guān)系，重點(diǎn)考查了運(yùn)算實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.19.已知函數(shù)（且）.（1）推斷并證明奇偶性;（2）求使的的取值范圍.【答案】（1）奇函數(shù),證明見(jiàn)解析（2）當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),【解析】分析】（1）先推斷函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再推斷，得解.（2）由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解對(duì)數(shù)不等式即可.【詳解】解:（1）由,得,解得,即函數(shù)的定義域?yàn)?明顯關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又,所以是定義域上的奇函數(shù).（2）由,得,即,當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)于,解得,當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)于,解得,綜上,當(dāng)時(shí),的取值范圍為;當(dāng)時(shí),的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，重點(diǎn)考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，屬中檔題.20.節(jié)約資源和愛(ài)護(hù)環(huán)境是中國(guó)的基本國(guó)策.某化工企業(yè),主動(dòng)響應(yīng)國(guó)家要求,探究改良工藝,使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量漸漸削減.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為.設(shè)改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為,則第n次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量,可由函數(shù)模型給出,其中n是指改良工藝的次數(shù).（1）試求改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型;（2）依據(jù)國(guó)家環(huán)保要求,企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過(guò),試問(wèn)至少進(jìn)行多少次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo).（參考數(shù)據(jù):?。敬鸢浮浚?）（2）6次【解析】【分析】（1）先閱讀題意，再解方程求出函數(shù)模型對(duì)應(yīng)的解析式即可；（2）結(jié)合題意解指數(shù)不等式即可.【詳解】解:（1）由題意得,,所以當(dāng)時(shí),,即,解得,所以,故改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型為.（2）由題意可得,,整理得,,即,兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù),得,整理得,將代入,得,又因?yàn)?所以.綜上,至少進(jìn)行6次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo).【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了閱讀實(shí)力及解決問(wèn)題的實(shí)力，屬中檔題.21.已知函數(shù)的最大值是2,函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是,一個(gè)對(duì)稱中心是.（1）求的解析式;（2）已知B是銳角,且,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)的最值列方程，分別求出即可；（2）由B是銳角，結(jié)合求解即可.【詳解】解:（1）設(shè)的最小正周期為T(mén),∵圖象的一條對(duì)稱軸是,一個(gè)對(duì)稱中心是,,,,,,∴.圖象的一條對(duì)稱軸是,,.,.又∵的最大值是2,∴,從而.（2）∵,∴,又，∴,∴.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)解析式的求法，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)求角問(wèn)題，屬中檔題.22.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)證明:在上單調(diào)遞增；(2)函數(shù)，假如總存在，對(duì)隨意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函數(shù)定義證明；（2）分別求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范圍．【詳解】（1）設(shè)，則