2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：常用邏輯用語

第二節(jié)常用邏輯用語

■課程標(biāo)準(zhǔn)

1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，理解定義、判定定理、性質(zhì)定理與充

要條件、充分條件、必要條件的關(guān)系.

2.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.

3.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定.

必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)-----------T課前自修

尸i_____知___識____?_逐____點(diǎn)___夯____實(shí)___口_-__-_-__-_-_-__-_-___________________________________________________________

知識梳理

L充分條件與必要條件

“若P，則4”和“若4，

命題真假“若P,則為真命題“若P，則q”為假命題

則P”都是真命題

推出關(guān)系p=q臺＞p=q

P是q的充分條件,q是p不是q的充分條件，q不是p是q的充分必要條

條件關(guān)系

’、。的必要條件」的必要條件件，簡稱充要條件

2.全稱量詞和存在量詞

類別全稱量詞存在量詞

量詞所有的、任意一個存在一個、至少有一個

符號V

命題含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題臺白存仕重詞的命題叫做存■仕重詞命題

類別全稱量詞存在量詞

命題“對M中任意一個x,p(x)成立”，可用符“存在M中的元素?zé)o，p(x)成立"，可用符號簡

形式號簡記為“VxGM,夕(x)”記為“小好二(X)”

3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對M中任意一x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

簡記VxUM,p(x)3x^M,p(x)

否定(%),□.(x)

提醒對沒有量詞的命題否定時，要結(jié)合命題的含義加上量詞，再改變量詞.

對點(diǎn)自測

1.判斷正誤.(正確的畫“4”，錯誤的畫“x”)

(1)“至少有一個三角形的內(nèi)角和為兀”是全稱量詞命題.(x)

(2)寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.(T)

(3)當(dāng)p是q的充分條件時，q是p的必要條件.(4)

(4)若已知。：工>1和4：工21,貝!]0是4的充分不必要條件.(4)

2.已知命題p：V尤GR,x>sin尤，貝!Jp的否定為()

A.mxGR,尤<sin尤B.VxGR,xWsinx

C.m_rGR,xWsinxD.Vx^R,x<sinx

解析：C對全稱量詞命題的否定既要否定量詞又要否定結(jié)論，p：VxGR,x>sinx,則p的否定為：3x^R,

xWsinx.故選C.

3.(2023?天津高考2題)“層=〃”是“足+8=2曲”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

解析：B由°2=%2,得。=±6,當(dāng)a=-b時，/十"#2aA由/+廿=？"，得(a-b)』0,所以.所以

%2=*，是“4+62=2"”的必要不充分條件.故選B.

4.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形.

解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.故命題的否定是存在一個等邊三角形，它不是等腰三角形.

5.若ax>m"是“尤>3”的充分不必要條件，則/的取值范圍是(3,+8).

解析：因?yàn)椤褒?gt;也”是“x>3”的充分不必要條件，所以Gn,+8)是(3,+8)的真子集，由圖可知%>3.

____i__?

3m%

常用結(jié)論

1.充分(必要、充要)條件與集合間的包含關(guān)系

設(shè)A={尤Ip(x)},B={xI4(x)}:

(1)若AUB,則°是q的充分條件，4是p的必要條件；

(2)若A是2,則p是q的充分不必要條件，g是p的必要不充分條件；

(3)若A=B,則p是q的充要條件.

2.命題p和口。的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可先判斷此命題的否定的真假.

G應(yīng)用

1.設(shè)xdR,則“尤>0”是“2*>2”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：B若2工>2,則x>l,因?yàn)椋?,+8）呈（0,+8）,所以由結(jié)論1得“x>0”是“2工>2”的必要不充

分條件.故選B.

2.若,X2-ax-2a>0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,-8]U[0,+8）.

解析：由結(jié)論2得x2-ox-2aW0為真命題，所以△=層+8〃20,解得（-8,-8]U[0,+<^）.

口-------精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通---------課堂演練

LI——____考___點(diǎn)____?_分____類___突____破_______________________________________________________________1__________

全稱量詞命題與存在量詞命題

考點(diǎn)一

(定向精析突破)

考向I含量詞命題的否定及真假判定

［例1］(1)已知命題p：3XER,%=-1或x=2，貝［|()

A.EJp：V依R,-1或xW2

B.□"：Vx^R,xW-1且

C.Dp:Vx￡R,x=-1且x=2

D.Op:3,x=-1或x=2

(2)下列命題為真命題的是()

A.SxeR,in(爐+1)<0

B.Vx>2,2X>x1

C.3a,sin(a-p)=sina-sin夕

D.VxW(0,兀)，sinx>cosx

答案：(1)B(2)C

解析：(1)注意“尤=-1或x=2”的否定是“x二-1且xW2”,所以命題。的否定是“VxER,xf-l且

xW2”.

(2)V^+l^l,；.ln(r+1)20,故A是假命題；當(dāng)x=3時，23<32,故B是假命題；當(dāng)a=4=0時，sin

(a-￡)=sina-sinp,故C是真命題；當(dāng)龍(0,兀)時，sinx=|,cosx=?,sinx<cosx,故D是假命題.

故選C.

解題技法

1.對全稱量詞命題與存在量詞命題進(jìn)行否定的方法

(1)改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；

(2)否定結(jié)論：對于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.

2.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法

(1)全稱量詞命題：①要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x,證明p(x)

成立;②要判斷一個全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個特殊值x=xo,使p(xo)不成立即可.

(2)存在量詞命題：要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個尤=沏，使p(無o)成

立即可，否則這一存在量詞命題就是假命題.

考向2含量詞的命題的應(yīng)用

【例2】已知命題F尤GR,使a/-x+2W0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(--,0)B.(0,-)

88

C.(iz+°°)D.(1z+0°)

解析：C因?yàn)槊}使辦2_X+2W0”是假命題，所以命題“Vx￡R,af一%+2>o”是真命題，當(dāng)

a>0,1

解得。*

△=1-8a<0

{z

解題技法

由命題的真假求參數(shù)的方法

(1)全稱量詞命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題；

(2)存在量詞命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題；

(3)全稱量詞、存在量詞命題假可轉(zhuǎn)化為它的否定命題真.

0訓(xùn)練

1.(2024?石家莊模擬)已知命題p：mxG(0,+8),Inx=1-x,則命題p的真假及口〃依次為()

A.真；(0,+°°),InxW1-x

B.真；VxG(0,+8),lnx#l-x

C.jg；VxE(0,+°°),Inx^l-x

D.假；(0,+8)zInx^l-x

解析：B當(dāng)x=l時，lnx=l-x=0,故命題p為真命題；因?yàn)?，?0,+°°),\nx=l-x,所以口〃：

(0,+°°),InxWl-x.

2.若命題(-1,3),f-2%-為真命題，則實(shí)數(shù)〃可取的最小整數(shù)值是()

A.-1B.0

C.lD.3

解析：A由題意，(-1,3),a^x2-2x,令/i(x)=R-2x,因?yàn)楹瘮?shù)/z(%)=R-2x在(-1,1)上

單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，所以。(x)min=/z(1)=1-2=-1,所以〃》-1.所以實(shí)數(shù)〃可取的最小整

數(shù)值是-1.

充分條件、必要條件的判定

考點(diǎn)二

(師生共研過關(guān))

【例3】(1)設(shè)xGR,則3-5尤<0”是“l(fā)x-1I<1”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)(2023?全國甲卷7題)設(shè)甲：si/a+si/Sn,乙：sina+cos”=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案：(1)B(2)B

解析：(1)不等式/-5元<0的解集A={xlO<x<5},由得其解集B—{xIQ<x<

2},則集合8是A的真子集，所以“f-5x<0”是“l(fā)x-11<1"的必要不充分條件，故選B.

(2)甲等價(jià)于sin2a=1-sin2^=cos22，等價(jià)于sina=土cos夕，所以由甲不能推導(dǎo)出sina+cos夕=0,所以甲不是

乙的充分條件；由sina+cos6=0,得sina=-cos￡,平方可得sin2a=8$?夕=1-sin?夕，即sinZa+sii?2=1,所以

由乙可以推導(dǎo)出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.

解題技法

充分條件、必要條件的兩種判定方法

(1)定義法：根據(jù)pnq,qnp進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；

(2)集合法：根據(jù)p,g對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.

0訓(xùn)練

1.已知6都是實(shí)數(shù)，那么“。>2”是“方程/+V-2X-2"+/-。=0表示圓”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：A方程f+V-2尤-2勿+/-a—Q表示圓■程(x-1)2+(y-b『=a+l表示圓>Oc>-1.由

a>2能推出a>-1,但是a>-\推不出a>2,故"a>2"是"方程x2-t-y2-2x-2by-\-b2-a=O表示圓”的充分

不必要條件.

2.記數(shù)歹Maj的前”項(xiàng)和為S,,貝!J"S3=3a2”是“｛斯｝為等差數(shù)列”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：B若數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)列，則$3=。1+。2+的=3。2；當(dāng)數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和滿足&=3.2時,數(shù)列不一定是

等差數(shù)列，如：ai=l,痣=2,43=3,04=5；所以"S3=3a2”是“｛斯｝為等差數(shù)列”的必要不充分條件，故選B.

充分、必要條件的探究與應(yīng)用

考點(diǎn)三

(師生共研過關(guān))

【例4】已知尸=｛xIx2-8x-20W0｝,非空集合3=■1-初若%￡尸是的必要條件，則機(jī)的

取值范圍為［0,3］.

解析：由r-8元-20?0,得-2WxW10,，尸=｛xI-2WxW10｝「??x金尸是的必要條件，貝?。軸CP,

1-m>-2,

l+m<10,解得0WmW3,故0WntW3時，尤ep是尤es的必要條件.

kl-m<1+mz

0變式

(變條件)|本例中條件“若xep是的必要條件”變?yōu)椤?尸是xes的充分不必要條件”，其他條件不

變，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：由例題知p={xl-2WxW10}.：xGP是XWS的充分不必要條件，...年10］呈［1-加,

3/o1-m<-2,

1+根］".1-mW-2，或(.?.根29,則機(jī)的取值范圍是［9,+8).

11+m>10{1+m>10,

解題技法

應(yīng)用充分、必要條件求解參數(shù)范圍的方法

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式

(不等式組)求解；

(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號取

決于端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.

0訓(xùn)練

設(shè)p：l<x<2；q：(x-?)(x-1)W0.若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［2,18).

解析：由題意知11<x<2}曙{xI(x-a)(x-1)WO},貝U〃>1,即{xI1<x<2}麋{%I1WxWa},從而〃22.

尸課時?跟蹤檢測口----------關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升---------T課后練習(xí)

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A級?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.命題FxdR,1</(了)W2”的否定形式是()

A.VxGR,1</(x)W2

B.mxGR,l</(x)W2

CJxCR,7(x)W1或/(x)>2

D.VxGR,7(x)W1或>2

解析：D存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，原命題的否定形式為“VxGR,/(尤)W1或/(x)>2”.故選

D.

2.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是()

A.VxGR,/+2x+l>0

B.對任意實(shí)數(shù)若a-b<0,則a<b

C.若2x為偶數(shù)，則xGN

D.7T是無理數(shù)

解析：B對于A,VxeR,X2+2X+1=(x+1)2三0,故A錯誤；對于B,含有全稱量詞“任意”，是全稱量詞

命題且是真命題，故B正確；對于C,當(dāng)x=-l時，2x=-2,為偶數(shù)，但xqN,故C錯誤；對于D,n是無理數(shù)

不是全稱量詞命題，故D錯誤.故選B.

3.已知向量a=（機(jī)2,-9）4=（1,-1），貝廣相=-3”是“。〃6”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：A若m=-3,則a=（9,-9）=9b,所以a//b；若a//b,貝l|m2X（-1）-（-9）X1=0,解得

根=±3,得不出，"=-3.所以“m=-3”是的充分不必要條件.故選A.

4.已知）：方程，4x+4a=0有實(shí)根；g：函數(shù)=（2-a），為增函數(shù)，則p是q的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：B方程x2-4x+4a=0有實(shí)根，故A=16-16a^0,.'.a^（-1],函數(shù)/（x）=（2-a）*為增函

數(shù)，故2-a>l,（-oo,i）（-oo,1）基（-8,i],.?.〃是q的必要不充分條件，故選B.

5.（2023?北京高考8題）若孫W0，貝！J“x+y=0”是“工+生=-2”的（）

xy

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：C法一因?yàn)閷OW0,且-2<=^2+/=-力^^+產(chǎn)+與=?！?gt;（x+y）2=OG+>=0.所以

yx

ux+y=0^^是，弓+'=-2”的充要條件.

yx

法二充分性：因?yàn)閷O#0,且x~\~j=0,所以x--y,所以-1-1=-2.

必要性：因?yàn)閷OW0,且白+^=-2,所以一十丁=-2孫，即/+》2+2孫=0,即（x+y）2=0,所以九+y=o.所以

yx

“x+y=0"是'心+^=-2”的充要條件.

yx

6.（多選）使|21成立的一個充分不必要條件是（）

A.0<x<1B.O<x<2

C.x<2D.0<尤W2

解析：AB由得0<xW2,依題意由選項(xiàng)組成的集合是（0,2]的真子集，故選A、B.

7.（多選）已知命題p：mxGR,x2-2x+a+6=0,q：VxGR,f+mx+l>0,則下列說法正確的是（）

A.p的否定是“VxGR,x2-2x+a+6W0”

B.q的否定是“mxGR,x2+/nr+1>0”

C.若p為假命題，則a的取值范圍是（-8,-5）

D.若q為真命題，則m的取值范圍是（-2,2）

解析：ADA、B選項(xiàng)，p的否定是“VxGR,x2-2x+a+6W0”，q的否定是“mxGR,f+znx+lWO”，所以

A正確，B不正確；C選項(xiàng)，若p為假命題，則p的否定''VxGR,『-2x+a+6W0”是真命題，即方程/-

2x+a+6=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，A=4-4（a+6）<0,得a>-5,C不正確；D選項(xiàng)，“為真命題，則公二療-

4<0,解得-2<相<2,D正確.故選A、D.

8.命題p：若直線/與平面a內(nèi)的所有直線都不平行，則直線/與平面a不平行.則命題口?是“—命題（填

“真”或“假”）.

解析：若直線/與平面a內(nèi)的所有直線都不平行，則直線/與平面a相交，所以直線/與平面a不平行，所以命題

p為真命題，所以口〃為假命題.

9.能說明命題且xWO,工+旨2”是假命題的x的值可以是-1（答案不唯一）（寫出一個即可）.

解析：由于當(dāng)x>0時，工+工22,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立，當(dāng)x<0時，x+工W-2,當(dāng)且僅當(dāng)X—-1時等號成

XX

立，所以x取負(fù)數(shù)，即可滿足題意.例如x=-1時，x+工=-2.

X

10.已知命題p:VxGR,x2-aNO；命題q:2,爐+2辦+2-a=0.若命題p,4都是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為（-8,-21.

解析：由命題p為真，得aWO；由命題q為真，得A=4a2-4（2-a）》0,即aW-2或aNl,所以aW-2.

B級?綜合應(yīng)用

1L命題“V尤GR,萩GN*,使得〃的否定形式是（）

A.VxGR,3?eN*，使得w〉％2

B.VxeR,V?eN*,者隋

C.3x￡R,3M￡N*，使得

D.3xeR,VnEN*,都有

解析：DV改寫為三，三改寫為V,wWx2的否定是〃則該命題的否定形式為‘勺尤GR,VnEN*,都有"〉

%2”.

12.設(shè)計(jì)如圖所示的四個電路圖，則能表示“開關(guān)A閉合”是“燈泡2亮”的必要不充分條件的一個電路圖是

)

解析：C選項(xiàng)A：“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的充分不必要條件；選項(xiàng)B：