2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：常用邏輯用語

第二節(jié)常用邏輯用語

■課程標(biāo)準(zhǔn)

1.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，理解定義、判定定理、性質(zhì)定理與充

要條件、充分條件、必要條件的關(guān)系.

2.通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義.

3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)-----------T課前自修

尸i_____知___識(shí)____?_逐____點(diǎn)___夯____實(shí)___口_-__-_-__-_-_-__-_-___________________________________________________________

知識(shí)梳理

L充分條件與必要條件

“若P，則4”和“若4，

命題真假“若P,則為真命題“若P，則q”為假命題

則P”都是真命題

推出關(guān)系p=q臺(tái)＞p=q

P是q的充分條件,q是p不是q的充分條件，q不是p是q的充分必要條

條件關(guān)系

’、。的必要條件」的必要條件件，簡稱充要條件

2.全稱量詞和存在量詞

類別全稱量詞存在量詞

量詞所有的、任意一個(gè)存在一個(gè)、至少有一個(gè)

符號(hào)V

命題含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題臺(tái)白存仕重詞的命題叫做存■仕重詞命題

類別全稱量詞存在量詞

命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,p(x)成立”，可用符“存在M中的元素?zé)o，p(x)成立"，可用符號(hào)簡

形式號(hào)簡記為“VxGM,夕(x)”記為“小好二(X)”

3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

簡記VxUM,p(x)3x^M,p(x)

否定(%),□.(x)

提醒對(duì)沒有量詞的命題否定時(shí)，要結(jié)合命題的含義加上量詞，再改變量詞.

對(duì)點(diǎn)自測

1.判斷正誤.(正確的畫“4”，錯(cuò)誤的畫“x”)

(1)“至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角和為兀”是全稱量詞命題.(x)

(2)寫全稱量詞命題的否定時(shí)，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.(T)

(3)當(dāng)p是q的充分條件時(shí)，q是p的必要條件.(4)

(4)若已知。：工>1和4：工21,貝!]0是4的充分不必要條件.(4)

2.已知命題p：V尤GR,x>sin尤，貝!Jp的否定為()

A.mxGR,尤<sin尤B.VxGR,xWsinx

C.m_rGR,xWsinxD.Vx^R,x<sinx

解析：C對(duì)全稱量詞命題的否定既要否定量詞又要否定結(jié)論，p：VxGR,x>sinx,則p的否定為：3x^R,

xWsinx.故選C.

3.(2023?天津高考2題)“層=〃”是“足+8=2曲”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

解析：B由°2=%2,得。=±6,當(dāng)a=-b時(shí)，/十"#2aA由/+廿=？"，得(a-b)』0,所以.所以

%2=*，是“4+62=2"”的必要不充分條件.故選B.

4.“等邊三角形都是等腰三角形”的否定是存在一個(gè)等邊三角形，它不是等腰三角形.

解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.故命題的否定是存在一個(gè)等邊三角形，它不是等腰三角形.

5.若ax>m"是“尤>3”的充分不必要條件，則/的取值范圍是(3,+8).

解析：因?yàn)椤褒?gt;也”是“x>3”的充分不必要條件，所以Gn,+8)是(3,+8)的真子集，由圖可知%>3.

____i__?

3m%

常用結(jié)論

1.充分(必要、充要)條件與集合間的包含關(guān)系

設(shè)A={尤Ip(x)},B={xI4(x)}:

(1)若AUB,則°是q的充分條件，4是p的必要條件；

(2)若A是2,則p是q的充分不必要條件，g是p的必要不充分條件；

(3)若A=B,則p是q的充要條件.

2.命題p和口。的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可先判斷此命題的否定的真假.

G應(yīng)用

1.設(shè)xdR,則“尤>0”是“2*>2”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：B若2工>2,則x>l,因?yàn)椋?,+8）呈（0,+8）,所以由結(jié)論1得“x>0”是“2工>2”的必要不充

分條件.故選B.

2.若,X2-ax-2a>0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,-8]U[0,+8）.

解析：由結(jié)論2得x2-ox-2aW0為真命題，所以△=層+8〃20,解得（-8,-8]U[0,+<^）.

口-------精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通---------課堂演練

LI——____考___點(diǎn)____?_分____類___突____破_______________________________________________________________1__________

全稱量詞命題與存在量詞命題

考點(diǎn)一

(定向精析突破)

考向I含量詞命題的否定及真假判定

［例1］(1)已知命題p：3XER,%=-1或x=2，貝［|()

A.EJp：V依R,-1或xW2

B.□"：Vx^R,xW-1且

C.Dp:Vx￡R,x=-1且x=2

D.Op:3,x=-1或x=2

(2)下列命題為真命題的是()

A.SxeR,in(爐+1)<0

B.Vx>2,2X>x1

C.3a,sin(a-p)=sina-sin夕

D.VxW(0,兀)，sinx>cosx

答案：(1)B(2)C

解析：(1)注意“尤=-1或x=2”的否定是“x二-1且xW2”,所以命題。的否定是“VxER,xf-l且

xW2”.

(2)V^+l^l,；.ln(r+1)20,故A是假命題；當(dāng)x=3時(shí)，23<32,故B是假命題；當(dāng)a=4=0時(shí)，sin

(a-￡)=sina-sinp,故C是真命題；當(dāng)龍(0,兀)時(shí)，sinx=|,cosx=?,sinx<cosx,故D是假命題.

故選C.

解題技法

1.對(duì)全稱量詞命題與存在量詞命題進(jìn)行否定的方法

(1)改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；

(2)否定結(jié)論：對(duì)于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.

2.全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法

(1)全稱量詞命題：①要判斷一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素x,證明p(x)

成立;②要判斷一個(gè)全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)特殊值x=xo,使p(xo)不成立即可.

(2)存在量詞命題：要判斷一個(gè)存在量詞命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個(gè)尤=沏，使p(無o)成

立即可，否則這一存在量詞命題就是假命題.

考向2含量詞的命題的應(yīng)用

【例2】已知命題F尤GR,使a/-x+2W0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(--,0)B.(0,-)

88

C.(iz+°°)D.(1z+0°)

解析：C因?yàn)槊}使辦2_X+2W0”是假命題，所以命題“Vx￡R,af一%+2>o”是真命題，當(dāng)

a>0,1

解得。*

△=1-8a<0

{z

解題技法

由命題的真假求參數(shù)的方法

(1)全稱量詞命題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題；

(2)存在量詞命題可轉(zhuǎn)化為存在性問題；

(3)全稱量詞、存在量詞命題假可轉(zhuǎn)化為它的否定命題真.

0訓(xùn)練

1.(2024?石家莊模擬)已知命題p：mxG(0,+8),Inx=1-x,則命題p的真假及口〃依次為()

A.真；(0,+°°),InxW1-x

B.真；VxG(0,+8),lnx#l-x

C.jg；VxE(0,+°°),Inx^l-x

D.假；(0,+8)zInx^l-x

解析：B當(dāng)x=l時(shí)，lnx=l-x=0,故命題p為真命題；因?yàn)椋?0,+°°),\nx=l-x,所以口〃：

(0,+°°),InxWl-x.

2.若命題(-1,3),f-2%-為真命題，則實(shí)數(shù)〃可取的最小整數(shù)值是()

A.-1B.0

C.lD.3

解析：A由題意，(-1,3),a^x2-2x,令/i(x)=R-2x,因?yàn)楹瘮?shù)/z(%)=R-2x在(-1,1)上

單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，所以。(x)min=/z(1)=1-2=-1,所以〃》-1.所以實(shí)數(shù)〃可取的最小整

數(shù)值是-1.

充分條件、必要條件的判定

考點(diǎn)二

(師生共研過關(guān))

【例3】(1)設(shè)xGR,則3-5尤<0”是“l(fā)x-1I<1”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(2)(2023?全國甲卷7題)設(shè)甲：si/a+si/Sn,乙：sina+cos”=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案：(1)B(2)B

解析：(1)不等式/-5元<0的解集A={xlO<x<5},由得其解集B—{xIQ<x<

2},則集合8是A的真子集，所以“f-5x<0”是“l(fā)x-11<1"的必要不充分條件，故選B.

(2)甲等價(jià)于sin2a=1-sin2^=cos22，等價(jià)于sina=土cos夕，所以由甲不能推導(dǎo)出sina+cos夕=0,所以甲不是

乙的充分條件；由sina+cos6=0,得sina=-cos￡,平方可得sin2a=8$?夕=1-sin?夕，即sinZa+sii?2=1,所以

由乙可以推導(dǎo)出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.

解題技法

充分條件、必要條件的兩種判定方法

(1)定義法：根據(jù)pnq,qnp進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；

(2)集合法：根據(jù)p,g對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問題.

0訓(xùn)練

1.已知6都是實(shí)數(shù)，那么“。>2”是“方程/+V-2X-2"+/-。=0表示圓”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：A方程f+V-2尤-2勿+/-a—Q表示圓■程(x-1)2+(y-b『=a+l表示圓>Oc>-1.由

a>2能推出a>-1,但是a>-\推不出a>2,故"a>2"是"方程x2-t-y2-2x-2by-\-b2-a=O表示圓”的充分

不必要條件.

2.記數(shù)歹Maj的前”項(xiàng)和為S,,貝!J"S3=3a2”是“｛斯｝為等差數(shù)列”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：B若數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)列，則$3=。1+。2+的=3。2；當(dāng)數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和滿足&=3.2時(shí),數(shù)列不一定是

等差數(shù)列，如：ai=l,痣=2,43=3,04=5；所以"S3=3a2”是“｛斯｝為等差數(shù)列”的必要不充分條件，故選B.

充分、必要條件的探究與應(yīng)用

考點(diǎn)三

(師生共研過關(guān))

【例4】已知尸=｛xIx2-8x-20W0｝,非空集合3=■1-初若%￡尸是的必要條件，則機(jī)的

取值范圍為［0,3］.

解析：由r-8元-20?0,得-2WxW10,，尸=｛xI-2WxW10｝「??x金尸是的必要條件，貝?。軸CP,

1-m>-2,

l+m<10,解得0WmW3,故0WntW3時(shí)，尤ep是尤es的必要條件.

kl-m<1+mz

0變式

(變條件)|本例中條件“若xep是的必要條件”變?yōu)椤?尸是xes的充分不必要條件”，其他條件不

變，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：由例題知p={xl-2WxW10}.：xGP是XWS的充分不必要條件，...年10］呈［1-加,

3/o1-m<-2,

1+根］".1-mW-2，或(.?.根29,則機(jī)的取值范圍是［9,+8).

11+m>10{1+m>10,

解題技法

應(yīng)用充分、必要條件求解參數(shù)范圍的方法

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式

(不等式組)求解；

(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號(hào)取

決于端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.

0訓(xùn)練

設(shè)p：l<x<2；q：(x-?)(x-1)W0.若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［2,18).

解析：由題意知11<x<2}曙{xI(x-a)(x-1)WO},貝U〃>1,即{xI1<x<2}麋{%I1WxWa},從而〃22.

尸課時(shí)?跟蹤檢測口----------關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升---------T課后練習(xí)

|_________________________________________________________________________________________________

A級(jí)?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.命題FxdR,1</(了)W2”的否定形式是()

A.VxGR,1</(x)W2

B.mxGR,l</(x)W2

CJxCR,7(x)W1或/(x)>2

D.VxGR,7(x)W1或>2

解析：D存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，原命題的否定形式為“VxGR,/(尤)W1或/(x)>2”.故選

D.

2.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是()

A.VxGR,/+2x+l>0

B.對(duì)任意實(shí)數(shù)若a-b<0,則a<b

C.若2x為偶數(shù)，則xGN

D.7T是無理數(shù)

解析：B對(duì)于A,VxeR,X2+2X+1=(x+1)2三0,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,含有全稱量詞“任意”，是全稱量詞

命題且是真命題，故B正確；對(duì)于C,當(dāng)x=-l時(shí)，2x=-2,為偶數(shù)，但xqN,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,n是無理數(shù)

不是全稱量詞命題，故D錯(cuò)誤.故選B.

3.已知向量a=（機(jī)2,-9）4=（1,-1），貝廣相=-3”是“。〃6”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：A若m=-3,則a=（9,-9）=9b,所以a//b；若a//b,貝l|m2X（-1）-（-9）X1=0,解得

根=±3,得不出，"=-3.所以“m=-3”是的充分不必要條件.故選A.

4.已知）：方程，4x+4a=0有實(shí)根；g：函數(shù)=（2-a），為增函數(shù)，則p是q的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：B方程x2-4x+4a=0有實(shí)根，故A=16-16a^0,.'.a^（-1],函數(shù)/（x）=（2-a）*為增函

數(shù)，故2-a>l,（-oo,i）（-oo,1）基（-8,i],.?.〃是q的必要不充分條件，故選B.

5.（2023?北京高考8題）若孫W0，貝！J“x+y=0”是“工+生=-2”的（）

xy

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：C法一因?yàn)閷OW0,且-2<=^2+/=-力^^+產(chǎn)+與=?！?gt;（x+y）2=OG+>=0.所以

yx

ux+y=0^^是，弓+'=-2”的充要條件.

yx

法二充分性：因?yàn)閷O#0,且x~\~j=0,所以x--y,所以-1-1=-2.

必要性：因?yàn)閷OW0,且白+^=-2,所以一十丁=-2孫，即/+》2+2孫=0,即（x+y）2=0,所以九+y=o.所以

yx

“x+y=0"是'心+^=-2”的充要條件.

yx

6.（多選）使|21成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.0<x<1B.O<x<2

C.x<2D.0<尤W2

解析：AB由得0<xW2,依題意由選項(xiàng)組成的集合是（0,2]的真子集，故選A、B.

7.（多選）已知命題p：mxGR,x2-2x+a+6=0,q：VxGR,f+mx+l>0,則下列說法正確的是（）

A.p的否定是“VxGR,x2-2x+a+6W0”

B.q的否定是“mxGR,x2+/nr+1>0”

C.若p為假命題，則a的取值范圍是（-8,-5）

D.若q為真命題，則m的取值范圍是（-2,2）

解析：ADA、B選項(xiàng)，p的否定是“VxGR,x2-2x+a+6W0”，q的否定是“mxGR,f+znx+lWO”，所以

A正確，B不正確；C選項(xiàng)，若p為假命題，則p的否定''VxGR,『-2x+a+6W0”是真命題，即方程/-

2x+a+6=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，A=4-4（a+6）<0,得a>-5,C不正確；D選項(xiàng)，“為真命題，則公二療-

4<0,解得-2<相<2,D正確.故選A、D.

8.命題p：若直線/與平面a內(nèi)的所有直線都不平行，則直線/與平面a不平行.則命題口?是“—命題（填

“真”或“假”）.

解析：若直線/與平面a內(nèi)的所有直線都不平行，則直線/與平面a相交，所以直線/與平面a不平行，所以命題

p為真命題，所以口〃為假命題.

9.能說明命題且xWO,工+旨2”是假命題的x的值可以是-1（答案不唯一）（寫出一個(gè)即可）.

解析：由于當(dāng)x>0時(shí)，工+工22,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)x<0時(shí)，x+工W-2,當(dāng)且僅當(dāng)X—-1時(shí)等號(hào)成

XX

立，所以x取負(fù)數(shù)，即可滿足題意.例如x=-1時(shí)，x+工=-2.

X

10.已知命題p:VxGR,x2-aNO；命題q:2,爐+2辦+2-a=0.若命題p,4都是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為（-8,-21.

解析：由命題p為真，得aWO；由命題q為真，得A=4a2-4（2-a）》0,即aW-2或aNl,所以aW-2.

B級(jí)?綜合應(yīng)用

1L命題“V尤GR,萩GN*,使得〃的否定形式是（）

A.VxGR,3?eN*，使得w〉％2

B.VxeR,V?eN*,者隋

C.3x￡R,3M￡N*，使得

D.3xeR,VnEN*,都有

解析：DV改寫為三，三改寫為V,wWx2的否定是〃則該命題的否定形式為‘勺尤GR,VnEN*,都有"〉

%2”.

12.設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖，則能表示“開關(guān)A閉合”是“燈泡2亮”的必要不充分條件的一個(gè)電路圖是

)

解析：C選項(xiàng)A：“開關(guān)A閉合”是“燈泡B亮”的充分不必要條件；選項(xiàng)B：