全國(guó)統(tǒng)考2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第3講二次函數(shù)與冪函數(shù)1備考試題文含解析

其次章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第三講二次函數(shù)與冪函數(shù)練好題·考點(diǎn)自測(cè)1.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①二次函數(shù)y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值肯定是4ac②二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)不行能是偶函數(shù).③二次函數(shù)y=x2+mx+1在[1,+∞)上單調(diào)遞增的充要條件是m≥-2.④冪函數(shù)的圖象不行能出現(xiàn)在第四象限.⑤當(dāng)n>0時(shí),冪函數(shù)y=xn在(0,+∞)上是增函數(shù).⑥若冪函數(shù)y=xn是奇函數(shù),則y=xn是增函數(shù).A.2 B.3 C.4 D.52.[2024浙江,5,4分]若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則M-m()A.與a有關(guān),且與b有關(guān) B.與a有關(guān),但與b無(wú)關(guān)C.與a無(wú)關(guān),且與b無(wú)關(guān) D.與a無(wú)關(guān),但與b有關(guān)圖2-3-13.若四個(gè)冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖2-3-1所示,則a,b,c,d的大小關(guān)系是()A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c4.[2024江蘇,7,5分]已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x23,則f(-8)的值是5.[2024上海,7,5分]已知α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3},若冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù),且在(0,+∞)上遞減,則α拓展變式1.已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3),且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2,若對(duì)隨意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),則f(x)=.

2.(1)將示例2中的條件“在0≤x≤1時(shí)有最大值2”改為“在0≤x≤1時(shí)有最小值2”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

(2)將示例2中的條件“在0≤x≤1時(shí)有最大值2”改為“f(x)≤2在[0,1]上恒成立”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

(3)將示例2中的條件“在0≤x≤1時(shí)有最大值2”改為“f(x)≥2在[a,a+1]上恒成立”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

3.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若函數(shù)f(x)的定義域和值域均為[1,a],則實(shí)數(shù)a的值為;

(2)若f(x)在區(qū)間(-∞,2]上單調(diào)遞減,且對(duì)隨意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

4.(1)[2024全國(guó)卷Ⅱ,10,5分][文]設(shè)函數(shù)f(x)=x3-1x3,則f(x)(A.是奇函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減C.是偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減(2)若(2m+1)12>(m2+m-1)12,則實(shí)數(shù)5.(1)若二次函數(shù)f(x)=x2-2x+m在區(qū)間(1,4)內(nèi)存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

(2)若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的兩根中,一個(gè)根在0和1之間,另一個(gè)根在1和2之間,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

答案其次章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第三講二次函數(shù)與冪函數(shù)1.B因?yàn)閤的取值有范圍限制,所以函數(shù)最值不肯定是4ac-b24a,故①錯(cuò)誤;當(dāng)b=0時(shí),二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)為偶函數(shù),故②錯(cuò)誤;由-m2≤1得,m≥-2,故③正確;由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知④⑤正確;當(dāng)n=-1時(shí),冪函數(shù)2.B由題意得f(x)=(x+a2)2-a24+b,分狀況探討:①當(dāng)0≤-a2≤1時(shí),f(x)min=m=f(-a2)=-a24+b,f(x)max=M=max{f(0),f(1)}=max{b,1+a+b},∴M-m=max{a24,1+a+a24}與a有關(guān),與b無(wú)關(guān);②當(dāng)-a2<0時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,∴M-m=f(1)-f(0)=1+a與a有關(guān),與b無(wú)關(guān);③當(dāng)-a2>1時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,∴M-m=f(0)-3.B由冪函數(shù)的圖象可知,在(0,1)上,冪函數(shù)的指數(shù)越大,函數(shù)圖象越接近x軸,由題圖知a>b>c>d,故選B.4.-4由題意可得f(-8)=-f(8)=-823=-(23)25.-1∵α∈{-2,-1,-12,12,1,2,3},冪函數(shù)f(x)=xα為奇函數(shù),且在(0,+∞)上遞減,∴α是奇數(shù),且α<0,∴1.x2-4x+3因?yàn)閒(2-x)=f(2+x)對(duì)隨意x∈R恒成立,所以f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2.又因?yàn)閒(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2,所以f(x)=0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),因?yàn)閒(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.2.(1)?易知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a(0≤x≤1)的最小值在端點(diǎn)處取得,故f(0)=2,f(0)≤f(2)[-1,2]由題意知f(x)max≤2,由示例2可知,①a<0,1-a≤2,解得-1≤a<0;②0≤綜上,a的取值范圍是[-1,2].(3)(-∞,-1]∪[2,+∞)由示例2可知f(x)在[a,a+1]上的最小值為f(a+1),由題意知f(x)min≥2,∴f(a+1)≥2.即-(a+1)2+2a(a+1)+1-a≥2,解得a≥2或a≤-1.3.(1)2因?yàn)閒(x)=x2-2ax+5在(-∞,a]上單調(diào)遞減,所以f(x)=x2-2ax+5(a>1)在[1,a]上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(1)=6-2a=a,f(x)min=f(a)=-a2+5=1,解得a=2.即實(shí)數(shù)a的值為2.(2)2≤a≤3因?yàn)閒(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為直線x=a,所以a≥2.所以f(x)在[1,a]上單調(diào)遞減,在[a,a+1]上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(a)=5-a2,f(x)max=max{f(1),f(a+1)},又f(1)-f(a+1)=6-2a-(6-a2)=a(a-2)≥0,所以f(x)max=f(1)=6-2a.因?yàn)閷?duì)隨意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4,所以f(x)max-f(x)min≤4,即6-2a-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,又a≥2,所以2≤a≤3.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為2≤a≤3.4.(1)A函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),因?yàn)閒(-x)=(-x)3-1(-x)3=-x3+1x3=-(x3-1x3)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),解除C,D.因?yàn)楹瘮?shù)y=x3,y=-1x(2)5-12≤m<2因?yàn)楹瘮?shù)y=x12的定義域?yàn)閇0,+∞),且在定義域內(nèi)為增函數(shù),所以不等式等價(jià)于2m+1≥0,m2+m-1≥0,2m+1>m2+m-1,解2m+1≥0,得m≥-12;解綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是5-12≤5.(1)(-8,1)二