蘇科版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 確定圓的條件（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）

專題2.7確定圓的條件（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）

第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】

【知識(shí)點(diǎn)一】確定圓的條件

過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

【要點(diǎn)提示】（1）過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓；（2）過兩點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓；（3）過三個(gè)能作

一個(gè)圓，但前提是三點(diǎn)不共線.

【知識(shí)點(diǎn)二】三角形的外接圓與外心

1、三角形的外接圓：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓

的圓心叫三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

【要點(diǎn)提示】（1）“內(nèi)”“外”是相對(duì)的位置關(guān)系，是以一個(gè)圖形為準(zhǔn)，另一個(gè)圖形相對(duì)在

其內(nèi)還是外；（2）“接”說明三角形的頂點(diǎn)和圓的關(guān)系是頂點(diǎn)在圓上；（3）一個(gè)三角形的

外心有且只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有無窮多個(gè).

2、三角形外心的性質(zhì)：三角形外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的

距離相等.

3、三角形外心的位置：銳角三角形的外心在其內(nèi)部；直角三角形外心是其斜邊的中點(diǎn)；鈍

角三角形外心在其外部.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型1】三角形外接圓的理解與作圖

【例1】（22-23九年級(jí)上?陜西西安?期末）如圖，是AABC的外接圓，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法，作出劣弧

BC的中點(diǎn)。（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【變式1】下列語句中，正確的是（）

A.同一平面上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓

B.三角形的外心到三角形三邊的距離相等

C.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)

D.菱形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上

【變式2】（2022?江蘇泰州?二模）如圖，點(diǎn)。是0ABC的外心，連接OB,若回O8A=17。，貝幗C的度數(shù)

為_______

【題型2】判斷確定圓的條件

【例2】（20-21九年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè)）圖，在四邊形4BC。中，A8=6,BC=8,CD=24,AD=26,ZB=90°,

以A。為直徑作圓O,證明點(diǎn)C在圓。上；

【變式1】（23-24九年級(jí)上?江蘇無錫?期中）下列說法中正確的命題是（）

A.一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓

B.平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧

C.過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓

D.三角形的外心到三角形的三邊距離相等

【變式2】（2023?安徽合肥?二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,M,N分別是BC,CO上

的動(dòng)點(diǎn)，連接40,BN交于點(diǎn)、E,且NBND=ZAMC.

（1）ZAEB=.

（2）連接CE,則CE的最小值為.

【題型3】求外接圓的半徑或外心坐標(biāo)

【例3】（23-24九年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖，在“IBC中，BC=16,AB=AC=10.

（1）尺規(guī)作圖：作AABC的外接圓（保留作圖痕跡）；

（2）求（1）中所作外接圓的半徑R.

【變式1】（23-24九年級(jí)上,河北邯鄲,期中）如圖，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)，AABC外接圓的圓心坐標(biāo)

是（）

A.（2,3）B.（0,4）C.（1,4）D.（3,4）

【變式2】（2023?湖北襄陽?二模）在Rt/XABC中，48=6,BC=8,則這個(gè)三角形的外接圓的半徑是

【題型4】與外心相關(guān)的綜合題

【例4】（2024?江蘇常州?一模）如圖，在△ABD中，ZDAB=ZDBA,AC1BD交班）的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,

交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求證：ABDE冬AADC.

（2）運(yùn)用無刻度的直尺和圓規(guī)畫出“LBC的外接圓，且當(dāng)AD=3,DE=2時(shí)，AABC的外接圓半徑為

cE

【變式1】（21-22九年級(jí)上?湖北武漢?期末）如圖是一個(gè)含有3個(gè)正方形的相框，其中團(tuán)28=回。所=

90°,AB=2,CD=3,EF=5,將它鑲嵌在一個(gè)圓形的金屬框上，使A,G,〃三點(diǎn)剛好在金屬框上，則

該金屬框的半徑是（）

A.—\/10B.一\/5C.5-^2D.—A/2

222

【變式2】（2023?河北滄州,模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)。為A/RC的外心，過點(diǎn)。分別作AB、AC的垂線4、12,

交BC于D、E兩點(diǎn).

（1）若ND4E=50。，則/B4c的度數(shù)為；

（2）過點(diǎn)。作OP,3c于點(diǎn)RBF=5cm,則VADE的周長(zhǎng)為

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，是銳角三角形A3C的外接圓，OD1AB,OE1BC,OF1AC,

垂足分別為2瓦尸，連接DE,EF,FD.若DE+O歹=6.5,Z\ABC的周長(zhǎng)為21,則跳'的長(zhǎng)為（）

A

A.8B.4C.3.5D.3

【例2】（2021?廣西梧州?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0,1）,B（0,-5）,若在x

軸正半軸上有一點(diǎn)C,使0ACB=3O。，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是（）

A.373+472B.12C.6+36D.6舊

2、拓展延伸

【例1】（2022?云南昆明?一模）如圖，在回ABCD中，點(diǎn)石是8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是BC邊上的點(diǎn)，AF^AD+FC,

由A,E,E三點(diǎn)確定的圓的周長(zhǎng)為/.

（1）求證：AE平分NZMF；

(2)若AE=BE,AB=4,AD=5,求/的值.

【例2】（2022八年級(jí)上?江蘇?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、8分別在x軸負(fù)半軸、y軸正

半軸上C（a，-a）（“為常數(shù)），以C為圓心、適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑作G）C,使點(diǎn)43在0c上.

（1）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出G）C.（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）若。4=8,03=6,直線＞=x+6與。C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，貝=

專題2.7確定圓的條件（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）

第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】

【知識(shí)點(diǎn)一】確定圓的條件

過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

【要點(diǎn)提示】（1）過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓；（2）過兩點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓；（3）過三個(gè)能作

一個(gè)圓，但前提是三點(diǎn)不共線.

【知識(shí)點(diǎn)二】三角形的外接圓與外心

1、三角形的外接圓：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓

的圓心叫三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

【要點(diǎn)提示】（1）“內(nèi)”“外”是相對(duì)的位置關(guān)系，是以一個(gè)圖形為準(zhǔn)，另一個(gè)圖形相對(duì)在

其內(nèi)還是外；（2）“接”說明三角形的頂點(diǎn)和圓的關(guān)系是頂點(diǎn)在圓上；（3）一個(gè)三角形的

外心有且只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有無窮多個(gè).

2、三角形外心的性質(zhì)：三角形外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的

距離相等.

3、三角形外心的位置：銳角三角形的外心在其內(nèi)部；直角三角形外心是其斜邊的中點(diǎn)；鈍

角三角形外心在其外部.

第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】

【題型11三角形外接圓的理解與作圖

【例1】（22-23九年級(jí)上?陜西西安?期末）如圖，是AASC的外接圓，請(qǐng)利用尺規(guī)作圖法，作出劣弧

8c的中點(diǎn)。（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【答案】見解析.

【分析】分別以點(diǎn)5、點(diǎn)C為圓心，大于BC一半長(zhǎng)為半徑在線段BC同側(cè)畫弧，兩弧交于一點(diǎn)；因?yàn)?。

是44BC的外接圓，圓心。到點(diǎn)8與點(diǎn)C的距離相等，即圓心。是線段BC垂直平分線上的點(diǎn)，過兩弧的

交點(diǎn)與圓心。作直線，即線段8C的垂直平分線，其與劣弧BC的交點(diǎn)即所求.

解：如圖，點(diǎn)。即所求.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形外接圓的性質(zhì)、垂直平分線的作法及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確把握垂直平分線的作

法是解這道題的關(guān)鍵.

【變式1】下列語句中，正確的是（）

A.同一平面上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓

B.三角形的外心到三角形三邊的距離相等

C.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)

D.菱形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上

【答案】C

【分析】本題考查外心定義，圓的定義，垂直平分線性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì).根據(jù)題意逐一對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行

分析即可得到本題答案.

解：田同一平面內(nèi)，不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故A選項(xiàng)不正確；

團(tuán)三角形外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離

相等，故B選項(xiàng)不正確，C選項(xiàng)正確；

團(tuán)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，菱形對(duì)角相加不一定等于180。，故D選項(xiàng)不正確,

故選：c.

【變式2】（2022?江蘇泰州?二模）如圖，點(diǎn)。是因1BC的外心,連接08,若團(tuán)。及1=17°,則國(guó)C的度數(shù)

為_______

【分析】連接Q4,OC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：連接Q4,OC,

???點(diǎn)。是A4BC的外心，

:.OA=OB=OC,

/.ZOBA=ZOAB,ZOAC=ZOCA,ZOBC=ZOCB,

???ZOBA=17°,

.\ZGWB=17°,

???ZOBC+ZOCB+ZOCA+ZACO=180-ZOBA-ZOAB=180。-17?！?7。=146°

即ZOBC-^-ZOCB+ZOCA+ZACO=146°,

/.2ZOCB+2ZACO=146°,

.-.ZOCB+ZACO=73°,

:.ZBCA=73°.

故答案為：73.

【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形的外接圓與外心，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

【題型2】判斷確定圓的條件

【例2】(20-21九年級(jí)下?全國(guó)?課后作業(yè))圖，在四邊形4BC。中，AB=6,8C=8,8=24,4)=26,ZB=90°,

以為直徑作圓O,證明點(diǎn)C在圓。上；

【答案】證明見解析

【分析】連接CO；由勾股定理求出AC,利用勾股定理的逆定理證明AAC。是直角三角形，得出/AC￡)=90。；

再根據(jù)斜邊上中線的性質(zhì)和圓的對(duì)稱性分析，即可完成證明.

解：圖，連接C。

VAB=6,BC=8,ZB=90°,

AC=7AB2+BC2=10

：CD=24,AD=26

AD2=AC2+CD2

?,.△ACD是直角三角形，

ZACD=90°

：AD為。O的直徑

.?.AO=OD

AOC為RtAACD斜邊上的中線

OC=-AD^AO=OD

2

...點(diǎn)C在圓O上.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、勾

股定理及其逆定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解.

【變式1】（23-24九年級(jí)上,江蘇無錫?期中）下列說法中正確的命題是（）

A.一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓

B.平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧

C.過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓

D.三角形的外心到三角形的三邊距離相等

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形的外接圓、垂徑定理的推論、確定圓的條件、三角形的外心的概念判斷即可.本題考查的是命題的真假

判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

解：A、一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓，命題正確，符合題意；

B、平分弦（不是直徑）的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；

C、過不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；

D、三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：A.

【變式2】（2023?安徽合肥?二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,M,N分別是BC,CD±.

的動(dòng)點(diǎn)，連接40,BN交于點(diǎn)、E,且=

（1）ZAEB=.

（2）連接CE,則CE的最小值為.

【答案】90°/90度2

【分析】（1）由=N3N。+ZBNC=180。推出+=180。，最后利用矩形的性

質(zhì)即可得解；

（2）先確定￡點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是個(gè)圓，再利用圓的知識(shí)和兩點(diǎn)這間線段最短確定CE最短長(zhǎng)度，然后利用勾

股定理即可得解.

解：（1）?NBND=ZAMC,NBND+NBNC=180。,

0ZBNC+ZAMC=180°,

0Z.NEM+Z.NCM=180°

.回四邊形ABCD是矩形，

0ZBCD=90°,NNEM=90。,

0ZAEB=9O°,

故答案為90。.

（2）回NA￡B=90。，點(diǎn)E在以A3為直徑的圓上，設(shè)A3的中點(diǎn)為O,則當(dāng)。，E,C三點(diǎn)共線時(shí)，CE的

值最小，此時(shí)CE=OC—OE=OC—0B

回OB=—AB=3,

2

^OC^yJOB1+BC2=V32+42-5，

^\CE=OC-OB=2,

故答案為2.

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，最短距離，圓等知識(shí)的應(yīng)用，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的

關(guān)鍵.

【題型3】求外接圓的半徑或外心坐標(biāo)

【例3】（23-24九年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖，在中，BC=16,AB=AC=10.

（1）尺規(guī)作圖：作AABC的外接圓（保留作圖痕跡）；

（2）求（1）中所作外接圓的半徑R.

A

BC

【答案】⑴作圖見解析。述二可

【分析】(1)根據(jù)題意，AASC是等腰三角形，作出邊AC、3c的中垂線，交點(diǎn)即為AABC的外接圓圓心

0,連接圓心與A/RC的一個(gè)頂點(diǎn)以這個(gè)線段長(zhǎng)為半徑作圓即可得到答案；

(2)如圖所示，由垂徑定理可知3c于。，且O3=OC,再由勾股定理求出線段長(zhǎng)即可得到答案.

(1)解：如圖所不：

.?.0。即為所求;

(2)解：如圖所示:

OA_LBC于Z),且=BC=16,AB=10f

:.BD=-BC^8,

2

在Rt/VU?中，NAZ陽=90。，則ADAAB-Bif=JlO?-8?=6,

在RUB0D中，ZDOB=90°,貝U。左=。。之十臺(tái)。?，

25

設(shè)O5=R,貝lJOD=H—6,即尺2=(R_6)9+64,解得R=§,

(1)中所作外接圓的半徑H=?25.

【點(diǎn)撥】本題考查尺規(guī)作圖及圓中求線段長(zhǎng)，涉及中垂線尺規(guī)作圖、圓的確定、垂徑定理與勾股定理等知

識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式1】（23-24九年級(jí)上?河北邯鄲?期中）如圖，點(diǎn)A、B、C都是格點(diǎn)，AABC外接圓的圓心坐標(biāo)

A.（2,3）B.（0,4）C.（1,4）D.（3,4）

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的外接圓的外心，作線段AC8c的垂直平分線交于點(diǎn)。，點(diǎn)。即為的

外接圓的圓心.

解：如圖，作線段AC的垂直平分線交于點(diǎn)。，點(diǎn)。即為A/RC的外接圓的圓心，

由圖可知，點(diǎn)。的坐標(biāo)是：（0,4）,

故選：B.

【變式2】（2023?湖北襄陽?二模）在Rt^ABC中，AB=6,BC=8,則這個(gè)三角形的外接圓的半徑是.

【答案】4或5

【分析】本題考查了直角三角形外接圓半徑，掌握理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，斜邊長(zhǎng)

的一半為半徑的圓是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)外接圓直徑是斜邊長(zhǎng)，分斜邊為3c和AC兩種情況進(jìn)行討論計(jì)算即可.

解：當(dāng)3C為Rt^ABC斜邊時(shí)，BC=8

■■■/A是直角，

二三角形外接圓直徑8c=8,

???半徑是4；

當(dāng)AC為RtAABC斜邊時(shí)，

?.?/3為直角，

AC2=AB2+BC2,

:.AC=^62+82=10>

???三角形外接圓直徑為AC=10

二半徑是5；

綜上所述：半徑為4或5.

【題型4】與外心相關(guān)的綜合題

【例4】(2024?江蘇常州?一模)如圖，在△ABD中，ZDAB=NDBA,AC1交3。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,

3ELAD交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：ABDE'ADC.

(2)運(yùn)用無刻度的直尺和圓規(guī)畫出AABC的外接圓，且當(dāng)A￡>=3,Z)E=2時(shí)，AABC的外接圓半徑為

CE

AB

【答案】⑴見解析(2)作圖見解析，叵

2

【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

(1)由“AAS"可證ABDE'ADC;

(2)分別作AB,AC的垂直平分線，兩條直線交于點(diǎn)O,以點(diǎn)。為圓心，Q4長(zhǎng)為半徑畫圓即可畫出AABC

的外接圓，由勾股定理可求BE,的長(zhǎng)，即可求解.

解：(1))證明：-.ZDAB=ZDBA,

AD=BD,

又ACLBD.BELAD,

ZC=ZE=90°,

在△3DE和AADC,

ZE=ZC

<NBDE=/ADC,

BD=AD

.?.△BZ>E^AAZ）C（AAS）；

。一-—

⑦DE=2,BD=AD=3,

⑦BE=dBlf-DE2=5AE=AD+DE=5,

^AB=^BE2+AE2=^（V5）2+52=730,

.?△ABC的外接圓半徑=148=畫，

22

故答案為：叵.

2

【變式1】（21-22九年級(jí)上?湖北武漢?期末）如圖是一個(gè)含有3個(gè)正方形的相框，其中aBCD=aDEF=

90。，43=2,CD=3,EF=5,將它鑲嵌在一個(gè)圓形的金屬框上，使A,G,X三點(diǎn)剛好在金屬框上，則

該金屬框的半徑是（）

A.—y/10B.—s/5C.5V2D.—A/2

222

【答案】A

【分析】如圖，記過A，G,〃三點(diǎn)的圓為eQ,則Q是用，AG的垂直平分線的交點(diǎn)，QH=QG^QA,記

尸加上尸的交點(diǎn)為認(rèn)的交點(diǎn)為M,延長(zhǎng)交QM于P,P”為用的垂直平分線，結(jié)合正方形的

性質(zhì)可得：人「人尸加,再設(shè)尸Q=x，利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.

解：如圖，記過4G,H三點(diǎn)的圓為e。,則。是用，AG的垂直平分線的交點(diǎn)，QH=QG^QA,

記的交點(diǎn)為N,的交點(diǎn)為M,延長(zhǎng)AB交于P,為龍的垂直平分線，結(jié)合正

方形的性質(zhì)可得：AP人PM,

???四邊形"GEE為正方形，則“G〃斯,

\QM人HG,QM八EF,

設(shè)尸。=%而AB=2,CD=3,EF=5,結(jié)合正方形的性質(zhì)可得:

\NQ=5-X,

ffi]HM2+MQ2=HQ2,

HM=；HG=；EF=g,MN=EF=5,MQ=5+5-x=10-尤,

\HQ2=y+（10-尤），

XAQ2=PQ2+AP2,AP=2+3+|=y,

\+鼠

\25、22225

'彳+（/i1n°叫+工，

【點(diǎn)撥】本題考查的是正方形的性質(zhì)，三角形外接圓圓心的確定，圓的基本性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次

根式的化簡(jiǎn)，確定過4G,H三點(diǎn)的圓的圓心是解本題的關(guān)鍵.

【變式2】（2023?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)。為“LBC的外心，過點(diǎn)。分別作43、AC的垂線八%,

交8C于。、E兩點(diǎn).

(1)若/D4E=50。，則/BAC的度數(shù)為；

(2)過點(diǎn)。作3c于點(diǎn)RBF=5cm,則VADE的周長(zhǎng)為

A

【答案】115°10cm

【分析】(1)由線段垂直平分線的性質(zhì)得NB4D=NABC,ZCAE=ZACB,從而有NADE=2ZABC,

ZAED=2ZACB,由三角形內(nèi)角和定理NAOE+NAED=130。，從而由4AC=NB4D+NC4E+NZME可

求得結(jié)果；

(2)連接。4、OB、OC,由已知可得點(diǎn)。在線段3C的垂直平分線上，則可得8c=10cm；再利用線段

垂直平分線的性質(zhì)得也=5￡>,EA=EC,最后可求得周長(zhǎng)的值.

解：(工)團(tuán)點(diǎn)。為AABC中的外心，ZjlAB,l2LAC,

回4、4是AB、AC的垂直平分線，

0AD=BD,EA=EC,

^\ZBAD=ZABC,ZCAE=ZACB,

SZADE=ZBAD+ZABC=2ZABC,ZAED=ZCAE+ZACB=2ZACB,

0ZDAE+ZADE+ZAED=180°,

0ZADE+ZAED=180°-50°=130°,

0/BAD+ZCAE=1(ZADE+ZAED)=65°,

0ABAC=/BAD+ZCAE+ZDAE=65°+50°=115°;

故答案為：115。；

(2)連接OA、OB、OC,

別是AB邊的垂直平分線，4是AC邊的垂直平分線，

回OA=OB,OA=OC,

⑦OB=OC,

回點(diǎn)O在線段5C的垂直平分線上，

0OF1BC,

EBC=2BF=10cm,

BAD=BD,EA=EC,

S'VADE的周長(zhǎng)=AD+AE+DE=BD+DE+EC=BC=10cm.

故答案為：10cm.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的外心，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握線段

垂直平分線的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵.

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，。。是銳角三角形ABC的外接圓，OD±AB,OE±BC,OF±AC,

垂足分別為2及尸，連接DE,EF,FD.若DE+。尸=6.5,4A8C的周長(zhǎng)為21,則瓦'的長(zhǎng)為（）

A.8B.4C.3.5D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點(diǎn)。、E、尸分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)及三

角形的周長(zhǎng)求解即可.

解：回。。是銳角三角形A5c的外接圓，

回點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，

S\DF=-BC,DE=-AC,EF=-AB,

222

^DE+DF=6.5,△ABC的周長(zhǎng)為21,

回CB+G4+AB=21即2DF+2DE+2EF=21,

0EF=4,

故選：B.

【點(diǎn)撥】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是

解題關(guān)鍵.

【例2】(2021?廣西梧州?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,1),B(0,-5),若在x

軸正半軸上有一點(diǎn)C,使0AC8=3O。，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是()

A.3肉40B.12C.6+373D.673

【答案】A

【分析】如圖，作AABC的外接圓。。，連接過。作軸于"，作。軸于G,則四

邊形0GoH是矩形，再證明是等邊三角形，再分別求解即可得到答案.

解：如圖，作A/RC的外接圓。，連接DA,Z況￡>C,過。作無軸于“，作。軸于G,則四邊形

A（0,l）,B（0,-5）,ZACB=30°,

AB=6,ZADB=60°,DA=DB,

.\^ABD是等邊三角形，

AG=BG=3,DG=后4=34，

OH=DG=3,DH=OG=AG-AO=2,

:.CH=^Clf-DH-=V62-22=472,

OC=OH+CH=3y/3+4^/2.

.■.C（3^/3+4A/2,0）.

故選：A

【點(diǎn)撥】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，三角形的外接圓的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，矩

形的判定與性質(zhì)，勾股定理分應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵.

2、拓展延伸

【例1】（2022?云南昆明?一模）如圖，在回ABCD中，點(diǎn)后是。。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是3C邊上的點(diǎn)，AF^AD+FC,

由A,E,歹三點(diǎn)確定的圓的周長(zhǎng)為/.

（1）求證：AE平分NZMF；

AD=5,求/的值.

【分析】（1）延長(zhǎng)AE交3c延長(zhǎng)線于點(diǎn)先證VADE回AHCE得AD=HC、AE=HE及

AD+FC=HC+FC,結(jié)合AF=AD+bC得=根據(jù)=即可得證;

(2)先證ZABF=90°得出AF2=AB2+BF2=16+(5-FC)2=(FC+CH)2=(FC+5)2,據(jù)止匕求得尸C的長(zhǎng),

從而得出AF的長(zhǎng)度，再由AE="E、”=切知小_L4/,即AF是尸的外接圓直徑，從而得出答

案.

.-.AD//BC,

:.ZADE=NHCE,ZDAE=ZCHE,

?.?E為。的中點(diǎn)，

CE=ED,

:NADEgAHCE,

：.AD=HC,AE=HE,

:.AD+FC=HC+FC,

由AF