浙江省協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三年級上冊開學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題

2024學(xué)年第一學(xué)期浙江省名校協(xié)作體試題

高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科

考生須知：

1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘：

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫學(xué)校、班級、姓名、試場號、座位號及準(zhǔn)考證號；

3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；

4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷

選擇題部分

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4=｛小訓(xùn),5=｛也%2—5x—3<o｝則()

A.>11<xx>>C.<x1<x<^>D.^x|l<x<3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足5z+3亍=8—2i,則歸=()

A.1B.2C.V2D.2V2

3.已知等比數(shù)列｛%｝的前2項和為12,%—4=6,則公比的值為()

11

A.—B.2C.一D.3

23

4.已知平面向量西元滿足：慟=|同=2,且應(yīng)在萬上的投影向量為;方則向量成與向量萬一成的夾角

為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

5.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+e)(0>0)滿足=1,最小正周期為兀,函數(shù)g(x)=sin2x,則將/(x)

的圖象向左平移()個單位長度后可以得到g(x)的圖象

兀兀5兀1171

A.—B.-C.—D.——

126612

6.已知圓錐的底面半徑為1,高為3,則其內(nèi)接圓柱的表面積的最大值為()

2222

7.已知43是橢圓上+匕=1與雙曲線土--=1的公共頂點(diǎn)，M是雙曲線上一點(diǎn)，直線〃分

4343

別交橢圓于C,。兩點(diǎn)，若直線CD過橢圓的焦點(diǎn)尸，則線段CD的長度為（）

A.—B.3C.2A/3D.—A/3

22

8.正三棱臺4BC—481G中，48=244=26,441=2,點(diǎn)。為棱48中點(diǎn)，直線/為平面內(nèi)

的一條動直線.記二面角C-/-。的平面角為。，則cos。的最小值為（）

A.0B.-C.—D.-

8147

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（〃,b2）,b越小，表示隨機(jī)變量X分布越集中

B.數(shù)據(jù)1,9,4,5,16,7,11,3的第75百分位數(shù)為9

C.線性回歸分析中，若線性相關(guān)系數(shù)H越大，則兩個變量的線性相關(guān)性越弱

D.已知隨機(jī)變量X?8

10.設(shè)函數(shù)/（x）與其導(dǎo)函數(shù)/'（x）的定義域均為R,且/'（x+2）為偶函數(shù)，/（l+x）-/（l-x）=0,

則（）

A.r（i+x）=r（i-x）B.〃3）=0

C./（2025）=0D./（2+x）+/（2-x）=2/（2）

11.已知正項數(shù)列｛4｝滿足%=1,%+2（%+1-%）=%（%+2一%+1）（〃?N*）,記

=a1a2+a2a3+—}-anan+i,Tn=4.貝!J()

A.{%}是遞減數(shù)列B.。2024=r篇

4ioo

C.存在“使得（=—D.2%〉1°

3；=i

非選擇題部分

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.的展開式中，常數(shù)項為?

13.已知正實(shí)數(shù)a滿足（JZ）“＜。后，則a的取值范圍是.

14.將12張完全相同的卡牌分成3組，每組4張.第1組的卡牌左上角都標(biāo)1,右下角分別標(biāo)上1,2,3,

4；第2組的卡牌左上角都標(biāo)2,右下角分別標(biāo)上2,3,4,5；第3組的卡牌左上角都標(biāo)3,右下角分別標(biāo)

上3,4,5,6.將這12張卡牌打亂放在一起，從中隨機(jī)依次不放回選取3張，則左上角數(shù)字依次不減小且

右下角數(shù)字依次構(gòu)成等差數(shù)列的概率為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟

15.（13分）已知在△48C中，角/，民。所對的邊分別為見仇。，且滿足a=亞力,。＞c,

siib4+cos（5+C）=cos（5-C）;

（1）求角。的值；

（2）若△45C的面積為工，求△45。的周長。

4

16.（15分）已知三棱錐P—48C滿足AB±AC,AB±PB,AC1PC,且AP=3,BP=?BC=2.

（1）求證：APVBC-,

（2）求直線BC與平面ZAP所成角的正弦值，

17.（15分）已知函數(shù)/（%）=工2+2x+4,g（x）=21nx+2x+5.

（1）判斷函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；

（2）求曲線歹=/（x）與y=g（x）的所有公切線方程。

18.（17分）如圖，已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸（-1,2）作一條不經(jīng)過尸的直線/,若直線/與

拋物線交于異于原點(diǎn)的48兩點(diǎn)，點(diǎn)5在x軸下方，且Z在線段P3上.

（1）試判斷：直線E4,四的斜率之積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

（2）過點(diǎn)8作尸尸的垂線交直線4r于點(diǎn)C,若△必C的面積為4,求點(diǎn)3的坐標(biāo)，

19.（17分）對于一個四元整數(shù)集/="c,d｝,如果它能劃分成兩個不相交的二元子集｛a,6｝和｛c,d｝,

滿足ab-cd=l,則稱這個四元整數(shù)集為“有趣的”.

（1）寫出集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝的一個“有趣的”四元子集：

（2）證明：集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝不能劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集：

（3）證明：對任意正整數(shù)〃（〃22）,集合｛1,2,3,…,4〃｝不能劃分成〃個兩兩不相交的“有趣的”四元子

集.

高三數(shù)學(xué)參考答案

1—5BCACA6—8CBD

9.AD10.BCD11.ABD

12.3

13.（1,4）

14,二

132

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解析】（1）由題意得：siib4+cosScosC-sinSsinC=cosficosC+sinSsinC,

即：siib4=2sinSsinC

a-A/26,sim4-V2siaB

因此，sinC,=---

2

TT

因為a>c,因此Z〉C,C為銳角，因此。=彳

L、歷

（2）由余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC=2b-+b--2-W--=b2,得：b=c

2

717T

可得：B=C=-,A=-,因此，△45。為等腰直角三角形

42

g1/1弭〃V21

S=—b=—得：b=c=---,Q=]

242

因此，△45C的周長為1+J5

16.【解析】（1）VAP=3,BP=45,AB1PB,:.AB=2

?：BC=2V2,AB±AC,:.AC=2

?：ACLPC,:.PC=45

即：AB=AC=2,PB=PC=#

取BC中點(diǎn)O,連接NO,0O,則且NOCPO=。

:APuAOPBC1AP

（2）解法一：由（1）知，5。_1_面2。尸,，面48。_1_面/0「

作7WJ.49,垂足為X

?.?面48CA面NOP=/O,且PHu面49P

:.PHl^ABC

△ZOP中cosZAOP=PH=PO-sin（71-ZAOP）=1

3

p

記點(diǎn)C到平面ABP的距離為d,BC與平面ABP所成角為。，則sin。=—

BC

SAABCPH2x1_2V5

由—C-ABP%-ABC何：d=

1△ABP

Vio

因此，sin0=—

BClo-

解法二：如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系

由(1)可知/(0,0,0),網(wǎng)O,JI,O),C(O,—虎',0)

△4OP中，cos/PAO=,AP=3,P（-V2,0,l）

AB=（-V2,后,0）,Q=卜2板,0,1）,元=（0,—2立0）

設(shè)公ABP的法向量沅=(x/,z)

AB-m=0f-V2x+V2y=0

由一得：L取沅=（1,1,2收）

AP-m=0-2j2x+z=0

記BC與平面ZAP所成角為。.貝Usin6=cos<犯皿事［塞TF嚕

(如有其它解法，酌情給分)

2

17?【解析】⑴?.?g'（x）=-+2〉0,:.g（x）在（0,+。）單調(diào)遞增

JC

又g（e-3）=g—l<0,g（l）=7〉0,；.g（x）存在唯零點(diǎn),在（1』）之間.

(2)v/r(x)=2x+2,

以/(x)上的點(diǎn)(再J(xj)為切點(diǎn)的切線方程為y-(x；+211+4)=(2、i+2)(x-xJ.

(2、

n

以g(x)上的點(diǎn)(工2這(、2))為切點(diǎn)的切線方程為y一(21^2+2%+5)=—+2(x-x2).

\X2)

2工]+2-...F2

令,、

I2

x；+2玉+4—(2再+2)再—2I1VC2+2%2+5——F2x?

)

則再=_L,代入(2),得l=x；—21叫，即l=x；—lnx；.

%

設(shè)x；=，，函數(shù)為?)=/—In"則一1.

當(dāng)0</<1時，〃'?)<(),〃(。單調(diào)遞減，當(dāng),〉1時，單調(diào)遞增，=

1=X；-Inx；的解為%[=±1,又/〉0,，X[〉0,X]=1.

.-./(X)和g(x)存在唯一一條公切線為j=4x+3.

18?【解析】(1)若4F的斜率不存在，則點(diǎn)8不存在或與原點(diǎn)重合：若3尸的斜率不存在，則點(diǎn)/與原

點(diǎn)重合，因此，直線4F與3尸的斜率均存在，

設(shè)直線/:X=M(>—2)—1,廠(1,0)

代入拋物線方程得：/-Amy+8m+4=0

設(shè)/(國,必),8(%2，%).則％+y2=4m,

%%=8m+4

（2）由題意可知，PE的斜率為-1,方程為y=-x+1,

設(shè)點(diǎn)3,2,2。?<01片—1),所以直線BC:y-2t=x-t2,

V——x+1.——2f+l

解方程組廠,得X二

y—2t=x—t.2

(廣一22+1—〃+2z+l)

因此直線BC與尸尸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M

2/t—1

因為心F=鼻，由（1）得心尸=亍

所以直線4F:y=《匚（》—1）,解方程組<>=;屋（”一1），得》=

5=一

y—2t—x—

所以M為的中點(diǎn)，從而S&FBC=2sAFBM=忸M'|何4

r-2Z+1

V=V2t122

Q4FBC-V2i=!|(r-3)-8|=4

2,—[L

所以，2—3）2—8=±8,因為/<0,解得f=—或/=—J7,

因此，所求的點(diǎn)8的坐標(biāo)為8（3,-26）與（7,-26）.

19?【解析】⑴｛1,2,3,5）（符合要求即可）:

（2）證明：假設(shè)可以劃分，?rab-cd=