北京第五中學2025屆數學高一上期末學業(yè)水平測試試題含解析

北京第五中學2025屆數學高一上期末學業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．定義在R上的偶函數滿足：對任意的，有，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.2．已知，則函數與函數的圖象可能是（）A. B.C. D.3．定義在上的函數，，若在區(qū)間上為增函數，則一定為正數的是A. B.C. D.4．已知關于的方程的兩個實根為滿足則實數的取值范圍為A. B.C. D.5．設兩條直線方程分別為，，已知，是方程的兩個實根，且，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是A. B.C. D.6．已知，則的最小值為（）.A.9 B.C.5 D.7．函數fxA.0 B.1C.2 D.38．已知函數，且在內有且僅有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是A. B.C. D.9．直線l1的傾斜角,直線l1⊥l2，則直線l2的斜率為A.- B.C.- D.10．某人圍一個面積為32m2的矩形院子，一面靠舊墻，其它三面墻要新建（其平面示意圖如下），墻高3m，新墻的造價為1000元/m2，則當A.9 B.8C.16 D.64二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．不等式的解集為__________.12．有關數據顯示，2015年我國快遞行業(yè)產生的包裝垃圾約為400萬噸.有專家預測，如果不采取措施，快遞行業(yè)產生的包裝垃圾年平均增長率將達到50%.由此可知，如果不采取有效措施，則從___________年(填年份)開始，快遞行業(yè)產生的包裝垃圾超過4000萬噸.(參考數據：，)13．已知tanα=3，則sinα（cosα-sinα）=______14．函數最大值為__________15．已知長方體的長、寬、高分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是________.16．在正方形ABCD中,E是線段CD的中點,若,則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．函數的定義域，且滿足對于任意,有(1)求的值(2)判斷的奇偶性，并證明(3)如果，且在上是增函數，求的取值范圍18．已知，，（1）求實數a、b的值，并確定的解析式；（2）試用定義證明在內單調遞減19．體育課上，小明進行一項趣味測試，在操場上從甲位置出發(fā)沿著同一跑道走到乙位置，有兩種不同的行走方式（以下）.方式一：小明一半的時間以的速度行走，剎余一半時間換為以的速度行走，平均速度為；方式二：小明一半的路程以的速度行走，剩余一半路程換為以的速度行走，平均速度為；（1）試求兩種行走方式的平均速度；（2）比較的大小.20．某工廠進行廢氣回收再利用，把二氧化硫轉化為一種可利用的化工產品．已知該單位每月的處理量最少為200噸，最多為500噸，月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數關系可近似地表示為，且每處理一噸二氧化硫得到可利用的化工產品價值為100元.（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的月平均處理成本最低？（2）該工廠每月進行廢氣回收再利用能否獲利？如果獲利，求月最大利潤；如果不獲利，求月最大虧損額.21．設函數（1）求函數的值域；（2）設函數，若對，求正實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】依題意可得在上單調遞減，根據偶函數的性質可得在上單調遞增，再根據，即可得到的大致圖像，結合圖像分類討論，即可求出不等式的解集；【詳解】解：因為函數滿足對任意的，有，即在上單調遞減，又是定義在R上的偶函數，所以在上單調遞增，又，所以，函數的大致圖像可如下所示：所以當時，當或時，則不等式等價于或，解得或，即原不等式的解集為；故選：C2、D【解析】根據對數關系得，所以函數與函數的單調性相同即可得到選項.【詳解】，所以，，不為1的情況下：，函數與函數的單調性相同，ABC均不滿足，D滿足題意.故選：D【點睛】此題考查函數圖象的辨析，根據已知條件找出等量關系或不等關系，分析出函數的單調性得解.3、A【解析】在區(qū)間上為增函數，即故選點睛：本題運用函數的單調性即計算出結果的符號問題，看似本題有點復雜，在解析式的給出時含有復合部分，只要運用函數的解析式求值，然后利用函數的單調性，做出減法運算即可判定出結果4、D【解析】利用二次方程實根分布列式可解得.【詳解】設,根據二次方程實根分布可列式:,即,即,解得:.故選D.【點睛】本題考查了二次方程實根的分布.屬基礎題.5、B【解析】兩條直線之間的距離為,選B點睛:求函數最值，一般通過條件將函數轉化為一元函數，根據定義域以及函數單調性確定函數最值6、B【解析】首先將所給的不等式進行恒等變形，然后結合均值不等式即可求得其最小值，注意等號成立的條件.【詳解】.，且，，當且僅當，即時，取得最小值2.的最小值為.故選B.【點睛】本題主要考查基本不等式求最值的方法，代數式的變形技巧，屬于中等題.7、B【解析】作出函數圖像，數形結合求解即可.【詳解】解：根據題意，x3-1故函數y=x3與由于函數y=x3與所以方程x3所以函數fx故選：B8、C【解析】由，即，分別作出函數和的圖象如圖，由圖象可知表示過定點的直線，當過時，此時兩個函數有兩個交點，當過時，此時兩個函數有一個交點，所以當時，兩個函數有兩個交點，所以在內有且僅有兩個不同的零點，實數的取值范圍是，故選C.9、C【解析】由題意可得L2的傾斜角等于30°+90°＝120°，從而得到L2的斜率為tan120°，運算求得結果【詳解】如圖：直線L1的傾斜角α1＝30°，直線L1⊥L2，則L2的傾斜角等于30°+90°＝120°，∴L2的斜率為tan120°＝﹣tan60°，故選C【點睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率的關系，體現了數形結合的數學思想，屬于基礎題10、B【解析】由題設總造價為y=3000(x+64x)，應用基本不等式求最小值，并求出等號成立時的【詳解】由題設，總造價y=1000×3×(x+2×32當且僅當x=8時等號成立，即x=8時總造價最低.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由不等式，即，所以不等式的解集為.12、2021【解析】根據條件列指數函數，再解指數不等式得結果.【詳解】設快遞行業(yè)產生的包裝垃圾為萬噸，表示從2015年開始增加的年份數，由題意可得，，得，兩邊取對數可得，∴，得，解得，∴從2015+6=2021年開始，快遞行業(yè)產生的包裝垃圾超過4000萬噸.故答案為：202113、【解析】利用同角三角函數基本關系式化簡所求，得到正切函數的表達式，根據已知即可計算得解【詳解】解：∵tanα＝3，∴sinα（cosα﹣sinα）故答案為【點睛】本題主要考查了同角三角函數基本關系式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基本知識的考查14、3【解析】分析:利用復合函數的性質求已知函數的最大值.詳解：由題得當=1時，函數取最大值2×1+1=3.故答案為3.點睛：本題主要考查正弦型函數的最大值，意在考查學生對該基礎知識的掌握水平.15、【解析】長方體的外接球的直徑就是長方體的對角線，求出長方體的對角線，就是求出球的直徑，然后求出球的表面積【詳解】長方體的一個頂點上的三條棱長分別是3，4，5，且它的8個頂點都在同一個球面上，所以長方體的對角線就是球的直徑，長方體的對角線為：，所以球的半徑為：，則這個球的表面積是：故答案為：【點睛】本題考查球的內接多面體的有關知識，球的表面積的求法，注意球的直徑與長方體的對角線的轉化是本題的解答的關鍵，考查計算能力，空間想象能力16、【解析】詳解】由圖可知，，所以))所以，故，即，即得三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0；（2）偶函數；（3）見解析【解析】(1)令，代入，即可求出結果；(2)先求出，再由，即可判斷出結果；(3)先由，求出，將不等式化為，根據函數在上是增函數，分和兩種情況討論，即可得出結果.【詳解】(1)因為對于任意,有，令，則，所以；(2)令，則，所以，令，則，所以函數為偶函數；(3)因為，所以，所以不等式可化為；又因為在上是增函數，而函數為偶函數，所以或；當時，或；當時，或；綜上，當時，的取值范圍為或；當時，的取值范圍為或.【點睛】本題主要考查函數奇偶性與單調性的綜合，以及抽象函數及其應用，常用賦值法求函數值，屬于?？碱}型.18、（1），；（2）證明見解析【解析】（1）根據條件解出即可；（2）利用單調性的定義證明即可.【小問1詳解】由，，得解得，，∴【小問2詳解】設，則∵，，∴，即，∴在上單調遞減19、（1），（2）【解析】（1）直接利用平均速度的定義求出；（2）利用作差法比較大小.【小問1詳解】設方式一中小明行走的總路程為s，所用時間為，由題意得，可知設方式二中所用時間為，總路程為s，則【小問2詳解】.因為且，所以，即.20、（1）400噸；（2）該工廠每月廢氣回收再利用不獲利，月最大虧損額為27500元.【解析】（1）由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為，化簡后再利用基本不等式即可求出最小值．（2）該單位每月獲利為元，則，由的范圍，利用二次函數的性質得到的范圍即可得結論【詳解】（1）由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為，當且僅當，即時等號成立，故該單位月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為150元.（2）不獲利，設該單位每月獲利為元，則，因為，所以時取最大值，時取最小值，所以.故該工廠每月廢氣回收再利用不獲利，月最大虧損額為27500元.【點睛】方法點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”（即條件要求中字母為正數）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應用，否則會出現錯誤.21、（1）函數的值域為.（2）【解析