天津市某中學2023-2024學年高二年級下冊期末考試數(shù)學試卷（含答案解析）

天津市南開中學2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合初={-1,04,2},"=卜卜2一7x+10>0},則（）

A.{-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{152}

2.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）

AL5----------1--------------1--------------1--------------1--------------1--------------1--------------O'------------1------------1------------1------------1------------1------------1----------3-

0510152025303505101520253035

相關(guān)系數(shù)為尸1相關(guān)系數(shù)為尸2

35

30

25

20

15

10

5

0

相關(guān)系數(shù)為小相關(guān)系數(shù)為Q

A.r2<r4<0<r3<r[B.r4<r2<0<r1<r3

C.r4<r2<0<r3<D.々<〃<0<4<々

3.已知集合/={0,片},2={1,4+1,。-1},則“a=l”是=的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.根據(jù)分類變量x與y的觀測數(shù)據(jù)，計算得到方=3.974.依據(jù)a=0.05的獨立性檢驗，結(jié)論

為（）

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

A.變量x與y不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01

B.變量x與y不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05

C.變量x與F獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05

試卷第1頁，共4頁

D.變量x與y獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01

5."掛”是我國古代的一■種長度單位，最早見于金文時代，“一揮”指張開大拇指和中指兩端

間的距離.某數(shù)學興趣小組為了研究右手一掛長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的

關(guān)系，從所在班級隨機抽取了15名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)X和N具有線性相關(guān)關(guān)

1515

系，其經(jīng)驗回歸直線方程為，=6.5x+K且=270,=2550.已知小明的右手一揮

i=li=l

長為20厘米，據(jù)此估計小明的身高為（)

A.187厘米B.183厘米C.179厘米D.175厘米

6.下列不等式中成立的是（）

A.若。<b<0,則/>否+加B.若ci<b<0j貝—<—

ab

C.若a>6>0,則2>"+2D.若°>6>0,貝!Ja-2>6

aQ+2ab

7.已知函數(shù)/'(x)=xlnx-2x+a2-。，若/（x）W0在xe[l,e[上恒成立，則實數(shù)。的取值

范圍是（）

A.[-1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,1]

8.為豐富同學們的勞動體驗，增強勞動技能，認識到勞動最光榮、勞動最偉大，高二年級

在社會實踐期間開展“打填作畦”“移苗定植”“挑水澆園”“插架”四項勞動技能比賽項目.某宿

舍8名同學積極參加，若每名同學必須參加且只能參加1個項目，且每個項目至多三人參加,

則這8個人中至多有1人參加“打填作畦”的不同參加方法數(shù)為（）

A.2730B.10080C.20160D.40320

二、填空題

9.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2,b）且P（2<XW2.5）=0.3,則尸（X<1.5）=.

10.若FT展開式中的常數(shù)項為-160,則實數(shù)。=.

11.已知函數(shù)/（x）=2alnx-L其中.>（）,b>0,若/'（1）=1,則包唄絲的最小

xab

值為.

12.在南開中學建校120周年即將到來之際，我校舉辦校史知識競答活動，每班各選派兩名

同學代表共回答4道題，每道題隨機分配給其中一個同學回答.甲、乙兩位同學代表高二1

試卷第2頁，共4頁

12

班答題，假設(shè)每道題甲答對的概率為7,乙答對的概率為；，且每道題是否答對相互獨立.記

高二1班答對題目的數(shù)量為隨機變量X,則X的數(shù)學期望為.

13.甲乙兩人射擊，甲射擊兩次，乙射擊一次.甲每次射擊命中的概率是:，乙命中的概率

2

2

是],兩人每次射擊是否命中都互不影響，則甲乙二人全部命中的概率為；在兩人至

少命中兩次的條件下，甲恰好命中兩次的概率為.

14.若存在實數(shù)6,使得關(guān)于x的不等式2+lnxWax+6Ve”恒成立，則實數(shù)。的取值范圍

是.

三、解答題

15.已知函數(shù)[@)=(辦-6)(%-1),(。,6€11).

(1)若關(guān)于x的不等式2辦-6>0的解集為(-雙1),求/(尤)>0的解集；

(2)若a=l,解不等式/(x)>0的解集.

(3)若°=1,對于xe[l,2],/(x)>6-4恒成立，求b的取值范圍.

16.同學們，歡迎大家來到“南德瑣艾科學劇場”.在這里，歐陽南德與上官瑣艾將為大家上

演統(tǒng)計學史上著名的“女士品茶”試驗.

(1)上官瑣艾認為：“將茶倒進牛奶里和將牛奶倒進茶里的味道是不同的.”為了驗證這一說法,

歐陽南德利用“假設(shè)檢驗”的思想設(shè)計了如下試驗.他首先提出零假設(shè)：“將茶倒進牛奶里和將

牛奶倒進茶里的味道是相同的，即上官瑣艾無法判斷兩種飲品味道的區(qū)別.”下面，他準備了

8杯外觀完全一致的飲品，其中4杯為“茶奶”(即將茶倒進奶里所得的飲品)，4杯為“奶茶”

(即將奶倒進茶里所得的飲品)，然后請上官瑣艾通過品嘗味道來從中選出4杯她認為是“奶

茶”的飲品.設(shè)隨機變量X表示上官瑣艾選出的4杯飲品中確為“奶茶”的杯數(shù)，隨后我們通過

計算尸(X=月化=0,1,2,3,4)的值來對零假設(shè)作出判斷，其原理為：在零假設(shè)下，如果

尸(X=左)的值很小，小到我們可以將其認為是小概率事件，那么我們就有充分的理由拒絕

零假設(shè)，即認為上官同學確有區(qū)分兩種飲品味道的能力.

(i)請求出隨機變量X的分布列(概率請用數(shù)值表示)；

(ii)當小概率值為0.05時，請你求出上官瑣艾至少要選擇正確多少杯“奶茶”，我們才有充

分的理由拒絕零假設(shè)？該推斷犯錯誤的概率是多少？

試卷第3頁，共4頁

（2）下面進入“劇場花絮”時間，離開劇情，回歸現(xiàn)實，兩位同學其實都沒有區(qū)分“茶奶”與“奶

茶”味道的能力，即當他們品嘗一杯飲品時，判斷正確的概率均為現(xiàn)在，為了不浪費道

具材料，歐陽與上官兩位同學請一位劇場觀眾利用剩下的茶與奶又新制作了9杯飲品（只有

觀眾知道這9杯飲品中哪些是“茶奶”與“奶茶”），他們決定做一個名為“心有靈犀”的游戲，

規(guī)則如下：對于這9杯飲品，歐陽與上官二人逐杯進行品嘗（每一杯二人均品嘗），并獨自

作出判斷，如果二人對同一杯飲品的判斷均是正確的（即判斷對了其為“茶奶”還是“奶茶”）,

那么他們共同積1分，否則積0分；在進行所有品嘗前，他們要先選定一個“心有靈犀數(shù)”，

如果在品嘗完所有飲品后所獲得的總積分恰為該“心有靈犀數(shù)”，那么他們將“攜手取勝”.請

問，歐陽、上官二人應(yīng)該選擇哪一個“心有靈犀數(shù)”才能最有機會“攜手取勝”呢？

17.已知函數(shù)/（X）=爾-（a+2）x+lnx,其中aeR.

⑴討論/'（x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)8（尤）=/卜）-“/有兩個不同的零點公，x2.

①求實數(shù)a的取值范圍；

2

②證明：xtx2>e.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678

答案BABBBDBB

1.B

【分析】本題解出一元二次不等式，求得集合N,再求其與集合M的交集即可得出結(jié)果.

【詳解】因為N={x|x〈2或r〉5},集合M={-1,0,1,2},

因此，Mn2V={-1,0,1).

故選：B

2.A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合給定的散點圖，結(jié)合相關(guān)性的概念，即可求解.

【詳解】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點圖，可得：

圖1和圖3是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)大于0,

圖2和圖4是負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)小于0,

圖1和圖2的點相對更加集中，所以相關(guān)性要強，所以6接近于1,弓接近于-1,

由此可得々＜〃＜%＜，;.

故選：A.

3.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】當“=1時，4={0,1}]={0,1,2},則/=8；

反之，當N=3時，。+1=0或。-1=0,解得。=-1或。=1,

若。=一1,/={0,1},5={0,1,-2},滿足/=若。=1,顯然滿足/=

因止匕a=—1或0=1,

所以“a=1”是“A=B”的充分不必要條件.

故選：B

4.B

【分析】根據(jù)a=0.05找出對應(yīng)的乙的值，并比較4與卡方值得大小,進而由卡法的定義推

出相應(yīng)結(jié)論即可.

【詳解】因為&=0.05時/=3.841,所以力2=3.974)％=3.841,

答案第1頁，共10頁

所以變量X與y不獨立，且這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.05.

故選:B.

5.B

【分析】根據(jù)題意求出37-進而可得回歸直線方程，再將x=20代入，即可求解.

_11511151

【詳解】由題意，7=—=--x2550=170,

13i=i1113j=]13

又y=6.5x+6,即170=6.5x18+0,解得3=53,

故經(jīng)驗回歸直線方程為j>=6.5x+53,

當x=20時，9=6.5x20+53=183,估計小明的身高為183厘米，

故選：B

6.D

【分析】作差結(jié)合已知條件比較大小可判斷ABCD.

【詳解】對于A,若貝！一6<0,。+6〈0,

以蘇+Z?3—a2b—ab?=/(Q—6)+Z?2(b—a)

222322

=(fl-Z>)(a-Z>)=(a+6)(fl-&)<0,+b<ab+ab,故A錯誤;

對于B,若。<6<0,則6-Q〉0,ab>0,

所以工一：=與￡>0,所以故B錯誤；

ababab

對于C,若a〉b〉0,貝!<0,a+2>0,

b6+26(a+2)-(6+2)a20-a)八2bb+2

所以"_R_-------------------------<0,所以一<一-故c錯誤;

a(a+2)a@+2)aQ+2

對于D,若Q>6>0,則。-6>0,。+6>0,

,b,a,八(a-b)(a+b),Ja+b\

CC以HQ------bH—=(ci-bjH--------------------(a-b]\1H--------->0,n

ababVabJ

所以。-->b--,故D正確.

ab

故選：D.

7.B

【分析】分析可知/(X)max〈0,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/(力在[1，/]上的最大值，可得出關(guān)于

實數(shù)。的不等式，解之即可.

答案第2頁，共10頁

【詳解】因為/(x)=xlnx-2x+/-a,則/(x)=lnx-l,其中xe[l,e2],

令/?>0,解得e<xWe2,令/'(x)<0,解得lVx<e.

所以/'(x)在[l,e)上單調(diào)遞減，在(e,e1上單調(diào)遞增，

2222

因為=/(e)=a-a,所以，/(^)max=/(e)=a-a,

因為/'(x)WO在xe[l,e2]上恒成立，所以，/(x)111ax=/-a<0,解得OVaVL

故選：B.

8.B

【分析】分兩種情況根據(jù)分組與分配問題的求解方法求解即可.

【詳解】若沒有人參加“打填作畦”，則有=1680種不同的方法,

C氾C；人；+笠￡6[=8400種不同的方法,

若有一人參加“打填作畦”，則有C；

又A2)

所以這8個人中至多有1人參加“打填作畦”的不同參加方法數(shù)為1680+8400=10080.

故選：B.

9.0.2/1

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計算即可.

【詳解】因為正態(tài)分布曲線的對稱軸為x=2,

P(2<X<2.5)+尸(X>2.5)=0.5,P(2<XM2.5)=0.3,

所以P(X>2.5)=0.2,所以P(X<1.5)=P(X>2.5)=0.2.

故答案為：0.2.

10.1

【分析】求得二項展開式的通項，結(jié)合通項求得，?的值，代入列出方程，即可求解.

【詳解】由二項式展開式的通項為=C[(2x)j(-鄉(xiāng)，=(-42~加-2,,

令6-2廠=0,可得廠=3,代入可得方=(-a)323或=一160/=一160,解得。=1.

故答案為：1.

11.18

答案第3頁，共10頁

【分析】首先求出導(dǎo)函數(shù)，得2〃+6=1,然后利用力”的代換結(jié)合基本不等式求最值即可

2ab

【詳解】由/(x)=2alnx—得/'(%)=

又/'(1)=1,即/'(1)=2Q+6=1,a>0,b>0,

(2(7+1)(6+1)(2a+2a+6)(b+2Q+9(4Q+9(26+24

故

ababab

4a+b26+2〃.b22a\88〃〃2fb2t組］8,

4+-2+——=110A+—FT10+2

ababbaba

1

8。2ba——

4

當且僅當ba時，即,時,等號成立,

2a+b=lb=-

2

則（2。+1）（6+1）的最小值為18

ab

故答案為：18

12'?

（7，由題意由二項分布的期望公式

【分析】先計算答對某道題的概率4

12

求解即可.

【詳解】高二1班答對某道題的概率耳=191；+132義.=高7

乙乙乙JX乙

由題意知，X的可能取值為0,1,2,3,4,

則—“壯77

,所以E(X)=4XF="

7

故答案為：—

3

13.

67

【分析】利用互斥事件的概率加法公式、相互獨立事件的概率乘法公式，分別計算對應(yīng)概率,

即可選出答案.根再根據(jù)條件概率的計算公式即可求解.

【詳解】甲射擊目標恰好命中兩次的概率為3><；=：'則甲乙二人全部命中的概率為

121

—X—=—

436

兩人至少命中兩次為事件4甲恰好命中兩次為事件

B,P(A)=1-P(A)=I——x—x——2x—X—x----X—X—=一

v7v722322322312

答案第4頁，共10頁

1111123

P[AB)=—X—X—HX—x—

22322312

3

所以外")=常=號=3

12

故答案為：：1,土3

67

14.\<a<e

【分析】令“x)=2+lnx,g(x)=e"求出函數(shù)令(x),g(x)的公切線的斜率,再結(jié)合圖形求出

。的范圍.

【詳解】令〃x)=2+lnx,g(x)=e',依題意，直線>=如+6的斜率在函數(shù)〃x),g(x)圖象公

切線斜率之間,

設(shè)公切線與函數(shù)/(無),g。)圖象相切的切點分別為(再,2+1-),(馬戶)，

求導(dǎo)得f'(x)=Lg'(x)=e*,顯然切線y-W=產(chǎn)a-工?)過點&,2+lnxJ,

x

,x1,

即2+lnX]-e*2=e*(X]—工2),又e"=一,且X2=-111占，

再

于是2+lnX]----=—(X]+Inxj,整理得(1-----)(l+lnxJ=O,解得/=1或國=,，

X[X]X]e

因此兩條公切線4,的斜率分別為/=1，魚=e,如圖，

觀察圖象，得當14aWe時，存在實數(shù)6,使得關(guān)于尤的不等式2+lnxWax+6We，恒成立,

所以實數(shù)。的取值范圍是1WaVe.

【點睛】思路點睛：解決過某點的函數(shù)作)的切線問題，先設(shè)出切點坐標(%,%),求導(dǎo)并求

出切線方程y-%=/'(%)(x-%),然后將給定點代入切線方程轉(zhuǎn)化為方程根的問題求解.

15.⑴。，2)；

(2)答案見解析；

答案第5頁，共10頁

(3)S3)

【分析】(1)根據(jù)一元一次不等式的解法，得到。<0且6=2°,再結(jié)合一元二次不等式的

解法，即可求解；

(2)化簡不等式為(x-6)(x-l)>0,分類討論，即可求解;

14

(3)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為xe[rl,2]時，6<x+2-l恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】(1)因為不等式2依-6>0的解集為(一嗎1),可得。<0且6=2°,

因為/(x)=("-6)(xT),所以/(x)>0,等價于(x-2)(x-l)<0,

解得l<x<2,即不等式/卜)>0的解集為。,2).

(2)當”=1時，不等式/(力>0,即為

①當6>1時，不等式的解集為(-%l)U(6,+s)；

②當6=1時，不等式的解集為(華，1)D(L+8)；

③當6<1時，不等式的解集為(-*6)UQ,+8).

(3)由題意，當xe[l,2]時，/(尤)>6-4恒成立，即x?-(b+l)x+4>0恒成立，

即xe[l,2]時，6<》+±—1恒成立，

X

由基本不等式得x+3-122、1工-1=3,當且僅當x=W即x=2時，等號成立，

XVXX

所以6<3,所以實數(shù)6取值范圍是(-8,3).

16.(1)(i)分布列見解析；(ii)4杯；5

⑵2

【分析】(1)(i)求出X的所有可能取值后計算對應(yīng)概率即可得其分布列；(ii)將尸(、=人)

的概率與0.05比較大小即可得解；

(2)二人所獲得的總積分符合二項分布，計算兩人對某一杯飲品判斷均正確的概率后可得

其分布列，即可計算其概率的單調(diào)性，即可得解.

【詳解】(1)(i)X的可能取值為04,2,3,4,

答案第6頁，共10頁

r4iC'c3：8

尸（x=o）=N=上,P（X=1）=N

；

''C70535

P（X=2）=喑Lg尸W=3”等二g尸（X=4）=*',

則其分布列為:

X01234

181881

P

7035353570

11Q21

（ii）由——<——=0.05,—>—>—=0.05,

7020353520

故上官瑣艾至少要選擇正確4杯“奶茶”，我們才有充分的理由拒絕零假設(shè),

該推斷犯錯誤的概率為、;

（2）設(shè)y為二人所獲得的總積分，則y可能為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,

兩人對某一杯飲品判斷均正確的概率P=gx；=:，則…叼1，

4

9—加

3

則尸"=加）=瑪，其中加e{（M,2,3,4,5,6,7,8,9},

4

則當〃?e{0,1,2,3,4,5,6,7,8},

9!3

----------x—

P（Y=m）!（9-m）!4_3@+1）

有

9!

F（7=m+l）x]_9-m

94（根+1）!（8-機）！4

令3（加+1）3

<i,解得加三；,故當機=2時，尸（丫=加）有最大值,

9-m

即歐陽、上官二人應(yīng)該選擇2為“心有靈犀數(shù)”才能最有機會“攜手取勝.

P（Y=m）

【點睛】關(guān)鍵點點睛：最后一問關(guān)鍵點在于通過解出v1得到其概率的單調(diào)性,

P（y=m+l）

即可得解.

17.（1）答案見詳解

-2,1-2j；②證明見詳解

答案第7頁，共10頁

【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論最高項系數(shù)的符號和兩根大小，利用導(dǎo)數(shù)分析原函數(shù)的單調(diào)性;

（2）①分析可知。+2=皿，構(gòu)建G（x）=@±（x＞0）,利用導(dǎo)數(shù)判斷G（x）的單調(diào)性和最值,

2盧-1）

結(jié)合圖象分析求解；②分析可知原不等式等價于In三＞2（X2-=」,換元令

龍1%+西上+i

不

”巡＞1,構(gòu)建尸⑺=|班-吟D,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析證明.

【詳解】（1）由題意可知：/（"的定義域為（0,+功，且

廠（x）=2辦一（.+2）+，=（2xT）（axl）,

若則“X-1W0,

當0＜x＜g,則r（x）＞0；當x＞；，貝（無）＜0;

可知/'（X）在（0,￡|內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；

若a＞0,令/，（x）=0,解得x=:或x=L

2a

當即0＜。＜2時，令/'（x）＞0,解得0＜x＜］或無〉工令/'（x）＜0,解得:＜尤＜_L；

a22a2a

可知/'（X）在。內(nèi)單調(diào)遞增，在、,J內(nèi)單調(diào)遞減；

當）=；，即a=2時，則廣（同=包北20，

可知/'（X）在（0,+。）內(nèi)單調(diào)遞增；

當工＜（，即a＞2時，令/'（x）＞0,解得0＜x＜1或x＞:；^r（x）＜0＞解得!＜尤＜（；

可知/'（》）在。內(nèi)單調(diào)遞增，在［,￡|內(nèi)單調(diào)遞減；

綜上所述：若維0,小）在內(nèi)單調(diào)遞增，在［,+，］內(nèi)單調(diào)遞減；

若0＜a＜2,/（X）在（0,￡|,&,+3內(nèi)單調(diào)遞增，在g,￡|內(nèi)單調(diào)遞減；

若“=2,〃x）在（0,+動內(nèi)單調(diào)遞增；

若a＞2,/（x）在［o,￡|,