人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：正多邊形與圓（解析版）

專題24.3正多邊形與圓

目錄

正多邊形求線段長(zhǎng)度..........................................................1

正多邊形求角度..............................................................4

正多邊形求面積..............................................................6

正多邊形與坐標(biāo)軸...........................................................10

正多邊形與規(guī)律.............................................................13

綜合運(yùn)用...................................................................16

正多邊形求線段長(zhǎng)度

/正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。

正多邊形的有關(guān)計(jì)算

(1)首先要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O,正多邊形的半徑

R——就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距r,正多邊形的中心角a,正多邊形

的邊長(zhǎng)a?

(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角

就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距

i又把這n個(gè)等腰三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。

【例1】如圖，正方形ABC。內(nèi)接于O。，點(diǎn)￡為我上一點(diǎn)，連接8E,若NCBE=15

BE=5,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為()

C.V10D.2V5

【解答】解：連接。4,OB,OE,

:正方形ABC。內(nèi)接于O。，

360°

：

.OA=OB=OE,ZAOB=q=90°,AB=BC,ZABC=90°,

：.ZOAB=ZOBA=^(180°-ZAOB)=45°,

：.ZOBC=ZABC-ZOBA=45°,

VZCBE=15°,

ZOBE=ZOBC+ZCBE=60°,

:?△OBE是等邊三角形，

：?OB=BE=5,

：.OA=5,

：.AB=y/OA2+OB2=5V2,

???正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5V2.

故選：B.

【變式訓(xùn)練1】如圖，面積為18的正方形ABC。內(nèi)接于。0,則。。的半徑為（）

???四邊形A3CO是正方形，

AZAOB=90°,

???AOAB是等腰直角三角形,

???正方形A3CO的面積是18,

：.AB=V18=3V2,

：.0A=0B=^AB=3,

故選：C.

【變式訓(xùn)練2】如圖,正六邊形ABCDEP內(nèi)接于O。，QO的半徑為1,則邊心距的長(zhǎng)

1=

C.-D.2遮

2

【解答】解：連接。8,

:六邊形ABCDEF是OO內(nèi)接正六邊形,

360°

?"加厘=3°0

OM=OB-cosZBOM=1X曰=號(hào)

［變式訓(xùn)練3】如圖，在正六邊形ABCDEF中,點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，若AB=4,則CG的長(zhǎng)

C.7D.8

【解答】解：如圖，連接AC,EC.

是正六邊形，

...△ACE是等邊三角形，

"：AB=4,

：.AC=CE=AE=4V3,

,:AG=GE=2很,

：.CGLAE,

：.CG=yjAC2-AG2=J(4百/一(2次尸=6,

故選：B.

正多邊形求角度

【例2】如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長(zhǎng)相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則N1的度數(shù)

為（）

B.25°C.30°D.45°

【解答】解：??,正方形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是90°,正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是

二120。，

6

：.Z1=12O°-90°=30°,

故選C.

【變式訓(xùn)練1】如圖，正五邊形ABCOE和正三角形AMN都是。。的內(nèi)接多邊形，則N8OM

的度數(shù)是（）

A

C.48°D.60°

:△AMN是等邊三角形，

AZANM=60°,

AZAOM=2ZANM=120°,

??NBCOE是正五邊形，

360°

AZAOB==72°,

：.ZBOM=120°-72°=48°.

故選：C.

【變式訓(xùn)練2】如圖，正六邊形ABC。跖內(nèi)接于OO,點(diǎn)M在曲上，則NCME的度數(shù)為（)

【解答】解：連接OC,OD,OE,

???多邊形ABCDEF是正六邊形，

：.ZCOD=ZDOE=60°,

ZCOE=2ZCOD=120°,

1

AZCME^^ZC0E=6Q°,

【變式訓(xùn)練3】如圖，在正六邊形ABC。所中，M,N分別為邊CDBC的中點(diǎn)，AN與BM

相交于點(diǎn)尸，則/APM的度數(shù)是()

【解答】解：.??六邊形A8C。M是正六邊形，

；.NABC=NBCD=622義180二⑵。,AB=BC=CD,

o

VM,N分別為邊CD,3c的中點(diǎn)，

；?BN=CM,

:?△ABNWABCM(SAS),

:./BNP=/CMB,

*.*ZCBM=/PBN,

，/BPN=/BCD=120°,

ZAPM=120°,

故選：B.

正多邊形求面積

S空白

【例3】如圖，正六邊形ABC?？谥?，點(diǎn)跖N分別為邊3CE尸上的動(dòng)點(diǎn)，則^―=()

S陰影

FNE

M

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：連接AD作尸尸，AD于點(diǎn)尸，于點(diǎn)。，

???正六邊形各內(nèi)角為120。，

：.ZEAP=60°,

設(shè)各邊長(zhǎng)為〃，則

1

.\AP=QD=嚴(yán)，

：.AD=2a,FP=y/AF2-AP2=Ja2-(1a)2=^-a,

S四邊形AMfwuAD.FPuZax-^-a—V5a

c_3732

o正六邊形=~2~a，

?'?S陰影=S正六邊形-S四邊形AMDN=V3<22=孚a2,

.S空白V3a2

??====2,

,陰影-ya

故選：A.

【變式訓(xùn)練1】如圖所示的“六芒星”圖標(biāo)是由圓的六等分點(diǎn)連接而成，若圓的半徑為4,

則圖中陰影部分的面積為()

C.16D.16V3

【解答】解：如圖，連接。2交AC與點(diǎn)

由題意△ABC是等邊三角形，。8=4,0H=BH=2,

'JOBLAC,

...陰影部分的面積=6x苧x（手）2=8A/3.

故選：A.

【變式訓(xùn)練2】如圖，邊長(zhǎng)相等的正八邊形和正方形部分重疊擺放在一起，己知正方形面積

是2,那么非陰影部分面積是（）

A.6B.6+V2C.2+4&D.8

【解答】解：???正方形面積是2,

二其邊長(zhǎng)為：V2,

如圖，將正八邊形的每一條邊延長(zhǎng)可得正方形ABCQ,

???正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為180°—嗒=135°,

O

AZAEF=45°,

???AAEF為等腰直角三角形,

D

在RtZXAEB中，AE=EF?sin45°=近乂芍=3

.?.AB=V2+1X2=72+2

.??正邊形的面積為：S正方形ABC。-4szxAEF

=(V2+2)2-4x|xlxl

=4+4-\/2,

非陰影部分面積是S正八邊形-S正方形=4+4V2-2=2+4夜.

故選：C.

【變式訓(xùn)練3】如圖所示的正八邊形的邊長(zhǎng)為2,則對(duì)角線AB的長(zhǎng)為(

【解答】解：???多邊形是正八邊形,

ZACD=ZBDC=(8-2儼801=135?,

過(guò)C作CE1AB于E,過(guò)。作DF±AB于F,

則四邊形CEDF是矩形，

：.CD=EFAC=BD=2,ZDCE=ZCEA=ZCEF=900,

AZACE=45°,

:.AE=BF=孝x2=V2,

：.AB=V2+2+V2=2V2+2,

故選：A.

正多邊形與坐標(biāo)軸

【例4】如圖，正六邊形ABCDEF的半徑OA=2,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（）

-1,V3)C.(-2,-V3)D.(-V3,2)

:正六邊形ABCDEF的半徑。4=。。=2,

AOB=OA=AB=2,ZABO=Z60°,

：.Z0BH=6Q°,

:.BH=^OB=1,OH=OBcosZOBH=亨x2=V3,

：.B(-V3,1),

故選：A.

【變式訓(xùn)練1】如圖，正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，邊CD〃x軸，若點(diǎn)E坐

標(biāo)為（3,2）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（）

A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)

【解答】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：該正五邊形關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以點(diǎn)E和點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，

:點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,2),

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,2),

故選：B.

【變式訓(xùn)練2】如圖，A8CD跖是中心為原點(diǎn)。頂點(diǎn)A,。在x軸上，半徑為4的正六邊

形，則頂點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()

A.(2,2V3)B.(-2,2)C.(-2,2V3)D.(-1,V3)

【解答】解：連接OF.

360°

ZAOF==60°,OA^OF,

o

AA(?F是等邊三角形，

尸=4

設(shè)EF交y軸于G,則/GOF=30°.

在RtZ\GOF中，

VZGOF=30°,。歹=4,

:.GF=2,0G=2W.

：.F(-2,2V3).

【變式訓(xùn)練3】如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形A8C0EF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，A/〃x軸,

將正六邊形48CDE尸繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)〃次，每次旋轉(zhuǎn)60°,當(dāng)“=100時(shí)，頂點(diǎn)A的

坐標(biāo)為()

(-2,-2V3)C.(2,-2A/3)D.(2,2V3)

NAOH=30°,AH=2,

OH=>JOA2-AH2=2V3,

六邊形ABCDEF是正六邊形,

...正六邊形ABCDE尸繞原點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)6次回到原位置,

1004-6=16—4,

.,.當(dāng)”=100時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,-2V3),

正多邊形與規(guī)律

【例5】如圖是一長(zhǎng)條型鏈子，其外型由邊長(zhǎng)為1c機(jī)的正六邊形排列而成.其中每個(gè)黑色六

邊形與6個(gè)白色六邊形相鄰.若鏈子上有59個(gè)黑色六邊形，則此鏈子上的白色六邊形個(gè)數(shù)

D.355

【解答】解：根據(jù)題意分析可得：其中左邊第一個(gè)黑色六邊形與6個(gè)白色六邊形相鄰.

即每增加一個(gè)黑色六邊形，則需增加4個(gè)白色六邊形.

若鏈子上有59個(gè)黑色六邊形，則鏈子共有白色六邊形6+58X4=238（個(gè)）.

故選:B.

【變式訓(xùn)練1】如圖，一組有規(guī)律的正多邊形，各正多邊形中的陰影部分面積均為a,按此

規(guī)律，則第n個(gè)正多邊形的面積為（

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

n(n-l)

<

2

【解答】解：九=1時(shí)，S=a；

〃=2時(shí)，過(guò)A作于E,貝l|N48￡=30°,

設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為2r,則AE=x,BE=V3x,BD=2^x,

BP?=2x-2V3x=4V3?,

又正六邊形面積為6x3X2X->/3X=6V3X2=

"=3時(shí)，作于D,尸GLBE于G,則NA2￡>=45°,

設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為2x,則8O=AO=缶，△483的面積為了,四邊形ABE尸面積為

(2+2V2)/,

貝Ua=2x.(2+2V2)x=(4+4V2)x2,

正八邊形面積為2a.

BE

C

71+1

通過(guò)計(jì)算可以看出，第"個(gè)正多邊形的面積為三%

故選:B.

【變式訓(xùn)練2】如圖,將幾個(gè)全等的正八邊形進(jìn)行拼接,相鄰的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊，

圍成一圖后中間形成一個(gè)正方形.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則該圖形外輪的周長(zhǎng)為20；

若n個(gè)全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個(gè)正多邊形有一條公共邊,

設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為1,則該圖形外輪廓的周長(zhǎng)是27.

【解答】解：由拼圖可知，每個(gè)正八邊形有5條邊在“外圍”，因此周長(zhǎng)為5X4=20,

若n個(gè)全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個(gè)正多邊形有一條公共

邊，可知這個(gè)正多邊形為正十二邊形，

如圖，貝I“外圍”的周長(zhǎng)為(12-3)X3=27,

故答案為：20,

【變式訓(xùn)練3】如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCOEE放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊48在x

軸正半軸上，頂點(diǎn)尸在y軸正半軸上，將正六邊形4BCOEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每

次旋轉(zhuǎn)60°,那么經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一|,一病.

在正六邊形ABCDEF中，

'：AB=1,AD=2,ZABD=90°,

：.BD=y/AD2-AB2=V22-l2=V3,

在RtZXAO/中，AF=1,ZOAF=6Q°,

；./0加=30°,

OA—^AF—

13

???OB=OA+AB=^+1=|,

3

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-,V3),

2

3

故答案為：(;，V3)；

2

??,將正六邊形ABCDEb繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°,

?,?6次一個(gè)循環(huán)，

???2025+6=337……3,

經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的03的坐標(biāo)相同,

與。3關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

?*.Z）3（~2y—V3

經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)Z）的坐標(biāo)（-|,-V3）.

綜合運(yùn)用

【例6】閱讀與思考

請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

克羅狄斯?托勒密（約90年-168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家.在

數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內(nèi)容如下：

圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和.即：如圖1,若四邊形A8CD

內(nèi)接于0。，則有.

任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分應(yīng)填寫(xiě)的內(nèi)容為.

（2）如圖2,正五邊形A8CDE內(nèi)接于OO,AB=2,求對(duì)角線8。的長(zhǎng).

【解答】解：（1）根據(jù)托勒密定理可得：AB-CD+AD-BC^AC-BD,

故答案為：AB-CD+AD-BC=AC'BD-,

（2）如2圖，連接A￡）、AC.

?/五邊形ABCDE是正五邊形，

AABC^LDCB咨AAED(S4S),

設(shè)BD=AC=AD=x.

在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，由托勒密定理可得：AB-CD+AD'BC=AC-BD,

即2X2+x?2=?,

解得：xi=l+V5,X2=l-V5（舍去）.

對(duì)角線8。的長(zhǎng)為1+V5.

圖2

【變式訓(xùn)練1】（1）如圖1,AABC為等邊三角形，點(diǎn)M是8C上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA上一點(diǎn)，

BM=CN,BN、AM相交于點(diǎn)。，求N3QM的度數(shù)；

（2）當(dāng)（1）中的“等邊△ABC”的邊數(shù)逐漸增加，分別變?yōu)檎叫蜛BCZ）（如圖2）、

正五邊形A2CDE（如圖3）、正六邊形A2CDEF（如圖4）…，"點(diǎn)N是CA上一點(diǎn)”變

為點(diǎn)N是CD上一點(diǎn)，其余條件不變，分別確定的度數(shù)，并直接將結(jié)論填入下表：

正多邊形正方形正五邊形正六邊形???正〃邊形

ZBQM的度90L108°120°…(n-2)-180°

n

數(shù)

【解答】解：（1）在與△2CN中,

AB=BC

乙4BC=ZC=60°,

.BM=CN

:.AABM烏4BCN(SAS'),

:"BAM=NNBC,

ZAQN=ZBAM+ZABQ,

ZNBC+ZABQ

ZABM=6Q°,

：.ZAQN=60°.

（2）由（1）可知，/40"=各個(gè)多邊形的一個(gè)角的大小,

所以正方形中/AQN=90°,

正五邊形中NAQN=108°,

正六邊形中/AQN=120°,

0—2)180。

正〃邊形中/AQV=

n

一,(n-2)-180°

故答案為：90°,108°,120°,-——-----

71

繆扇迪

?選擇題（共8小題）

1.如圖，在擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為。的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開(kāi)的開(kāi)口人=10石機(jī)機(jī)，則這個(gè)正

六邊形的面積為（）

A.20*mm1B.300\/3mm2

C.150V3mm2D.75y/3mm2

3

【解答】解：如圖：作50_LAC于。，

由正六邊形，得

ZABC=120°,AB=BC=a,

ZBCD=ZBAC=30°.

由AC=106mm，得CD=5^/3mm.

"CD旦工即述

BC2a2

解得a=10,

1廠r-

這個(gè)正六邊形的面積6x-xl0x5V3=150A/3(mm2),

2.有一個(gè)正〃邊形的中心角是36。，則〃為（）

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：77="=10,

36°

故選：D.

3.如圖，。與正六邊形Q4BCDE的邊CM,OE分別交于點(diǎn)P,G,點(diǎn)/為劣弧尸G的

中點(diǎn).若FM=4叵.則點(diǎn)O到的距離是（）

A.4B.342C.2?D.4垃

【解答】解：連接OM,過(guò)。作O/7JLR以于〃，

.■正六邊形OABCDE,

:.ZFOG=nO°,

「點(diǎn)M為劣弧FG的中點(diǎn)，

:.ZFOM=60°,

OH±FM,OF=OM,

.?.NO切=60。，NOHF=90°,FH=>FM=2也,

2

:.OH=6FH=2前,

故選：c.

4.如圖，點(diǎn)P、M、N分別是邊長(zhǎng)為2的正六邊形中不相鄰三條邊的中點(diǎn)，則APMN的

周長(zhǎng)為（）

A.6B.6^2C.6A/3D.9

【解答】解：分別過(guò)正六邊形的頂點(diǎn)A,3作于E,BF1MN于F,

貝UNE4M=ZA?F=3O。，EF=AB=2,

AM=BN=—X2=',

2

-,EM=FN=-xl=-,

22

MN=—i----F2=3,

22

的周長(zhǎng)3x3=9,

故選：D.

5.一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角為72。，則該正多邊形的邊數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【解答】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為八.

360°

由題意可得：—=72%

n

..AZ—59

故選：B.

6.已知一個(gè)正多邊形的中心角為45。，則以該正多邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形的種類

數(shù)（全等的三角形為同一類）是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由于一個(gè)正多邊形的中心角為45。，

所以這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為絲=8，

45°

如圖，以正八邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形（全等的三角形為同一類）有AABC,AACF,

AACG共3個(gè)，

故選：c.

H

O

D

7.如圖，正六邊形43CDEF內(nèi)接于oO,M為EF的中點(diǎn),連接DM,若，。的半徑為2,

則MD的長(zhǎng)度為（）

0

A.77B.君C.2D.1

【解答】解：連接OM、OD、OF,如圖所示：

,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于:O,M為EF的中點(diǎn)，

:.OM±OD,OM±EF,ZMFO=60。，

...ZMOD=ZOMF=90°,

:.OM=OFsinZMFO=2x

:.MD=yjOM2+OD1

故選：A.

8.如圖，正五邊形內(nèi)接于O,則正五邊形中心角NCOD的度數(shù)是（)

B.72°C.60°D.36°

【解答】解：?五邊形鉆8￡是的內(nèi)接正五邊形，

360°

五邊形ABCDE的中心角NCOD的度數(shù)為——二72°，

5

故選：B.

二.填空題（共4小題）

9.如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，5c一定是圓

O的內(nèi)接正〃邊形的一條邊，那么〃=12.

【解答】解：連接Q4、OB、OC,如圖，

AB,AC分別為：O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊,

3600360°

\ZAOB=——=90。，ZAOC=——=120°,

43

二ZBOC=ZAOC-ZAOB=30°,

即3c恰好是同圓內(nèi)接一個(gè)正十二邊形的一邊.

故答案為：12.

10.已知邊長(zhǎng)為2的正三角形，能將其完全覆蓋的最小圓的面積為-7T

-3

【解答】解：連接03、OC,過(guò)O作8_L3C于D,

AABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，BC=2,

:.ZBOC=120°,

ZBOD=-ZBOC=60°,BD=1,

2

273

亍

能夠完全覆蓋這個(gè)正三角形的最小圓的面積為:萬(wàn)x（爭(zhēng)奪,

故答案為：—71.

3

A

11.如圖，萬(wàn)名塔，位于鳳凰古城沙灣的沱江之濱，于1988年建成，該塔是一個(gè)六角塔,

如果它的地基是半徑為2米的正六邊形，那么這個(gè)地基的周長(zhǎng)是12米.

【解答】解：如圖所示:

V正六邊形的半徑為2米,

.?.04=08=2米，

/.正六邊形的中心角ZAOB=怨360-°=60。，

6

AAOB是等邊三角形，

AB=OA—OB，

.?.AB=2米，

，正六邊形的周長(zhǎng)為6x2=12（米）；

故答案為：12.

12.如圖，邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，AF//y軸，將正六邊

形ABCDEF繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)九次，每次旋轉(zhuǎn)60。，當(dāng)“=2024時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為

（-右」）

【解答】解：根據(jù)題意，連接

在正六邊形ABCDEF中，N4OB=60。,

.?.AAO3是等腰三角形，OA=OB=AB=2,

.?.ZAO"=30°,AH=-AF=-x2=l,

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