河北省九校2025屆高三年級模擬考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

河北省九校2025屆高三年級模擬考試數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合A=Uly=2，-1,xGR},B={x|-2<x<3,x^Z},貝（］403=（）

A.（-1,3］B.［-1,3］C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3）

2.已知函數(shù)/00=必-以-1,以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/（X）的圖象的對稱中心為（0,—1）；

②當(dāng)aN3時(shí)，函數(shù)/（元）在（—1,1）上為單調(diào)遞減函數(shù)；

③若函數(shù)/Xx）在（—1,1）上不單調(diào)，則0<"3；

④當(dāng)a=12時(shí)，/（元）在［Y,5］上的最大值為1.

A.1B.2C.3D.4

22

3.雙曲線C：二—與=1（。>0,b>0）的離心率是3,焦點(diǎn)到漸近線的距離為e，則雙曲線C的焦距為（）

ab

A.3B.3行C.6D.6A/2

4.某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績，

并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，則成績在［250,350］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（）

A.800B.1000C.1200D.1600

5.已知函數(shù)/（x）=ln%+ax+b的圖象在點(diǎn)（1,〃+力處的切線方程是y=3%-2,則6=（）

A.2B.3C.-2D.-3

6.已知函數(shù)/（x）=Jl；g2x|，x〉°,方程。=。有四個(gè)不同的根，記最大的根的所有取值為集合。，貝[]“函

x2+2x+2,x<0

數(shù)/（%）=/（%）-履（％e。）有兩個(gè)零點(diǎn)”是“左〉,的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.過拋物線丁=4%的焦點(diǎn)P的直線交該拋物線于4,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn).若=3,則直線A3的斜率為（）

A.±72B.-V2C.2&D.±272

8.已知向量Z，b>B=（i，幣）,且）在B方向上的投影為;，則等于（）

1

A.2B.1C.-D.0

2

9.已知平面向量獲滿足同=2a=1,￡與3的夾角為g，且（￡+4），（25-楊，則實(shí)數(shù)X的值為（）

A.-7B.-3C.2D.3

10.已知函數(shù)/（x）=J§'sinx+根cosx,其圖象關(guān)于直線x對稱，為了得到函數(shù)g（九）=、3+加2cos2%的圖象,

只需將函數(shù)/Xx）的圖象上的所有點(diǎn)（）

A.先向左平移J個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變

O

B.先向右平移兀?個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的1大，縱坐標(biāo)保持不變

62

C.先向右平移。個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變

D.先向左平移￡7T個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的1一，縱坐標(biāo)保持不變

32

11.下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增，且值域?yàn)閇0,+8）的是（）

A.J=|lg（x+l）|B.y=￡C.y=2*D.y=ln|%|

2

12.若復(fù)數(shù)％=「，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

A.z的虛部為一iB.忖=2C.z的共粗復(fù)數(shù)為—l—iD.Z?為純虛數(shù)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若/（乃=3以3+（左_2）/_5左+7在（0,2）上單調(diào)遞減，則上的取值范圍是

14.古代“五行”學(xué)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五

種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有種.（用數(shù)字作

答）

\x^++4|%?0

15.已知函數(shù)/（x）=L,|，--，若函數(shù)y=/（%）—aW恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)"的取值范圍是_______.

2|x-2|,尤>0

412

16.在△ABC中，內(nèi)角AB,。所對的邊分別是0b,c,^cosB=-,cosC=—,b=l,則。=________.

513

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在等比數(shù)列｛4｝中，已知q=l,。4=1?設(shè)數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和為S"，且仿=T,4+2=—〈Ei

82

（〃22,nGN*）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

'b

（2）證明：數(shù)列1是等差數(shù)列；

（3）是否存在等差數(shù)列｛%｝,使得對任意〃eN*，都有S"<c“<4?若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列｛c“｝；

若不存在，請說明理由.

a2〃y

18.（12分）已知數(shù)列｛可｝的各項(xiàng)都為正數(shù)，q=2,且,=廠+1.

（I）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)々=[坨（1%*],其中國表示不超過x的最大整數(shù)，如。9]=。，[恒99]=1,求數(shù)列｛〃｝的前2020

項(xiàng)和.

19.（12分）在①a=2,?a=b=2,③b=c=2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求AABC的面積的

值（或最大值）.已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,三邊。，b,c與面積S滿足關(guān)系式：

4S=b2+c2-a2,且,求△ABC的面積的值（或最大值）.

20.（12分）十八大以來，黨中央提出要在2020年實(shí)現(xiàn)全面脫貧，為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，國家對“新農(nóng)合”（新型農(nóng)村合

作醫(yī)療）推出了新政，各級財(cái)政提高了對“新農(nóng)合”的補(bǔ)助標(biāo)準(zhǔn).提高了各項(xiàng)報(bào)銷的比例，其中門診報(bào)銷比例如下：

表1：新農(nóng)合門診報(bào)銷比例

醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院

門診報(bào)銷比例60%40%30%20%

根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，李村一個(gè)結(jié)算年度門診就診人次情況如下:

表2：李村一個(gè)結(jié)算年度門診就診情況統(tǒng)計(jì)表

醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院

一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)各門

診就診人次占李村總70%10%15%5%

就診人次的比例

如果一個(gè)結(jié)算年度每人次到村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院門診平均費(fèi)用分別為50元、100元、200元、

500元.若李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門診就診人次為2000人次.

（I）李村在這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去三甲醫(yī)院門診就診的人次中，60歲以上的人次占了80%,從去三甲醫(yī)院門診就診的人

次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的概率是多少？

（II）如果將李村這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)門診就診人次占全村總就診人次的比例視為概率，求李村這個(gè)結(jié)算年度每人次用于

門診實(shí)付費(fèi)用（報(bào)銷后個(gè)人應(yīng)承擔(dān)部分）X的分布列與期望.

22

21.（12分）已知橢圓：C:與+4=1（。〉6〉0）的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為2/，原點(diǎn)到直線二+；=1的

abab

距離為叵.

4

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知定點(diǎn)P（0,2）,是否存在過P的直線/,使/與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且以|AB|為直徑的圓過橢圓。的左

頂點(diǎn)？若存在，求出/的方程：若不存在，請說明理由.

22.（10分）某省新課改后某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班

隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.

Aft

16

142

0一一：|

8

6

4

2

0

高三(1)班高三(2)班口，3)班存三(4)班宓三(5)班班城

□抽取人數(shù)?本科上坡人數(shù)

(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.

(2)已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以(1)中的本科上線率作為甲市每個(gè)考生本科上線的概率.

(i)若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率(結(jié)果精確到0.01)；

(ii)已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個(gè)考生本科上線率均為P(O<P<1),若2020屆高考

本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.

可能用到的參考數(shù)據(jù)：取0.364=0.0168，0.164-0.0007.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

先求集合A,再用列舉法表示出集合S再根據(jù)交集的定義求解即可.

【詳解】

解::集合A={y|y=2*-1,xG/?)={y|y>-1},

B={x|-2<x<3,xGZ}={-2,-1,0,1,2,3},

；.AnB={0,1,2,3},

故選：C.

本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

逐一分析選項(xiàng)，①根據(jù)函數(shù)y=d的對稱中心判斷；②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若滿足條件,

則極值點(diǎn)必在區(qū)間(-14)；④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.

【詳解】

①丁=三為奇函數(shù)，其圖象的對稱中心為原點(diǎn)，根據(jù)平移知識，函數(shù)/Xx)的圖象的對稱中心為(0,-1),正確.

②由題意知/(?=3爐一q.因?yàn)楫?dāng)—1<%<1時(shí)，3f<3，

Xa>3,所以/'(x)<0在(-LD上恒成立，所以函數(shù)在(-M)上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確.

③由題意知/'(x)=3f—。，當(dāng)aWO時(shí)，f'(x)>0,此時(shí)/'(x)在(—8,+8)上為增函數(shù)，不合題意，故a>0.

令((%)=0,解得％=±叵.因?yàn)樵?—1,1)上不單調(diào)，所以尸(幻=。在(-U)上有解，

3

需0<H<i，解得0<a<3,正確.

3

④令/'(x)=3x2—12=0,得1=±2.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，f(x)在［Y,5］上的最大值只可能為了(一2)或/'(5).

因?yàn)?—2)=15,/(5)=64,所以最大值為64,結(jié)論錯(cuò)誤.

故選：C

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.

3.A

【解析】

根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離，可得力，然后根據(jù)。2=°2-/4=￡,可得結(jié)果.

a

【詳解】

由題可知：雙曲線的漸近線方程為法士分=0

取右焦點(diǎn)尸(c,0),一條漸近線/:法—ay=。

則點(diǎn)/至!J/的距離為開出==&，由〃+々2=°2

揚(yáng)+?

所以。=0，則。2—〃=2

2

vcC2c2

又一=3nf=9=>a一=——

aa~9

2

r3

所以c2-----=2=>c=_

92

所以焦距為：2c=3

故選：A

本題考查雙曲線漸近線方程，以及七"c,e之間的關(guān)系，識記常用的結(jié)論：焦點(diǎn)到漸近線的距離為力，屬基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

由圖可列方程算得。，然后求出成績在［250,350］內(nèi)的頻率，最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)x頻率可以求得成績在［250,350］內(nèi)的

學(xué)生人數(shù).

【詳解】

由頻率和為1,得(0.002+0.004+2。+0.002)x50=1,解得a=0.006,

所以成績在［250,350］內(nèi)的頻率=(0.004+0.006)x50=0.5,

所以成績在［250,350］內(nèi)的學(xué)生人數(shù)=2000x0.5=1000.

故選：B

本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

根據(jù)/")=3求出a=2,再根據(jù)(1,。+勿也在直線y=3x-2上，求出b的值，即得解.

【詳解】

因?yàn)?'(x)=‘+a,所以尸(1)=3

X

所以1+Q=3,Q=2,

又(l,a+Z?)也在直線y=3%—2上，

所以a+b—1,

解得a=2]=-1,

所以5=3.

故選：B

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

6.A

【解析】

作出函數(shù)f(x)的圖象，得到D=(2,4],把函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為y=kx與y=f(x)在(2,

4]上有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得k的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】

°、|logx|,x>0

作出函數(shù)f(x)=?S29I，的圖象如圖，

由圖可知，D=(2,4],

函數(shù)F(x)=f(x)—kx(xGD)有2個(gè)零點(diǎn)，即f(x)=kx有兩個(gè)不同的根，

也就是y=kx與y=f(x)在(2,4]上有2個(gè)交點(diǎn)，則k的最小值為|；

設(shè)過原點(diǎn)的直線與y=log2X的切點(diǎn)為(Xo，log2Xo),斜率為一pw，

XQUI2L

則切線方程為y—log2X=_彳(x—Xo),

x0ln2

把(0,0)代入，可得—log2Xo=———,即X0=e,.?.切線斜率為一L,

ln2eln2

???k的取值范圍是巳二?],

\2eln2;

函數(shù)F(x)=f(x)-kx(xeD)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“k〉g”的充分不必要條件,

本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)

形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題.

7.D

【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合|4尸|=3,求出4的坐標(biāo)，然后求出AF的斜率即可.

【詳解】

解：拋物線的焦點(diǎn)廠(L0),準(zhǔn)線方程為I=—1,

設(shè)A(x,y),貝11AF|=x+l=3,故x=2,此時(shí)y=±2j^,即A(2,±2j^).

則直線AF的斜率k=空亞=±272.

2-1

故選：D.

本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題.

8.B

【解析】

HIa-b

先求出M，再利用投影公式壞求解即可.

【詳解】

解：由已知得W=J幣=2,

1a-b1

由Z在B方向上的投影為一，得無丁=彳，

2\b\2

故答案為：B.

本題考查向量的幾何意義，考查投影公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

由已知可得,+悶?(21B)=0,結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律，建立;I方程，求解即可.

【詳解】

-f27r

依題意得2xlxcos——=一1

3

由(￡+碼(2￡-B)=o,得才-序+(2X-i)￡Z=o

即—34+9=0,解得4=3.

故選:。.

本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

由函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線x=g對稱，得m=1,進(jìn)而得/(x)=JGsinx+cosx=2sin1%+f=2cos[x-，再

利用圖像變換求解即可

【詳解】

由函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線x=g對稱，得了6)=,3+療,即|+￡=53+77?,解得m=1,所以

f(x)=73sinx+cosx=2sinj=2cos-yj,g(x)=2cos2x,故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先

jr1

向左平移1個(gè)單位長度，得y=2COSX,再將橫坐標(biāo)縮短為原來的5,縱坐標(biāo)保持不變，得g(x)=2cos2x唧可.

故選：D

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖像變換，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題

11.B

【解析】

分別作出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.

【詳解】

對于A,y=1g(x+i)|圖象如下圖所示：

則函數(shù)>=旭5+1)|在定義域上不單調(diào)，A錯(cuò)誤；

1

對于3,y=6的圖象如下圖所示：

則>=?在定義域上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?,+8),3正確;

對于C,>=2,的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=2,單調(diào)遞增，但值域?yàn)?0,+。)，C錯(cuò)誤;

對于。，y=In兇的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=lnN在定義域上不單調(diào)，。錯(cuò)誤.

故選：B.

本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

將復(fù)數(shù)Z整理為l-z?的形式，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】

_2_2(1-0.

z==

T77(i+o(i-O

Z的虛部為—1,A錯(cuò)誤；目=&71=四，B錯(cuò)誤;z=l+i,C錯(cuò)誤；

z2=(l-i)-=-2i,為純虛數(shù)，。正確

本題正確選項(xiàng)：D

本題考查復(fù)數(shù)的模長、實(shí)部與虛部、共輾復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(-oo,l]

【解析】

由題意可得導(dǎo)數(shù)/'(x)<0在(0,2)恒成立，解出即可.

【詳解】

解:由題意，f(x)=kx2+2(k-2)x,

當(dāng)左40時(shí)，顯然/'(幻<0,符合題意；

當(dāng)左>0時(shí)，/'(%)<。在(0,2)恒成立，

r(0)<0,/(2)<0,.-.^G(0,l],

故答案為：.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

14.1.

【解析】

試題分析：由題意，可看作五個(gè)位置排列五種事物，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)排上的是金，則第二步只能

從土與水兩者中選一種排放，故有兩種選擇不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只

能排上土，故總的排列方法種數(shù)有5x2xlxlxl=l.

考點(diǎn)：排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題.

點(diǎn)評：本題考查排列排列組合及簡單計(jì)數(shù)問題，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中的限制條件及“五行”學(xué)說的背景，利用分

步原理正確計(jì)數(shù)，本題較抽象，計(jì)數(shù)時(shí)要考慮周詳.

15.(1,3)

【解析】

函數(shù)y=/(x)—。國恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)f(x)與函數(shù)y=a國的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫出函數(shù)圖象，利用

數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】

函數(shù)丁=/(%)—。國恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)/'(x)與函數(shù)y=的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn),畫出函數(shù)圖象如下圖

所示：

由圖象可知：實(shí)數(shù)。的取值范圍是l<a<3.

故答案為：(1,3)

本題考查了己知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.

56

16.—

39

【解析】

先求得sin8,sinC的值，由此求得sinA的值，再利用正弦定理求得。的值.

【詳解】

由于cosB=3,cosC="，所以sin_B=Jl-cos?B=，,sinC=Jl-cos?C=』,所以

513513

4A〈〈A

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=—x----1——x—=——.由正弦定理得

51351365

56

a_b_b?sinA_65_56

sinAsinBsinB339

5

故答案為：—

39

本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內(nèi)角和

定理，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數(shù)列｛&｝，其通項(xiàng)公式為％=0,〃eN*滿足題設(shè)

【解析】

11Z?

⑴由4=1,g=—可得公比心即得；⑵由（1）和4+勿=—可得數(shù)列也｝的遞推公式，即可知上一2

結(jié)果為常數(shù)，即得證；（3）由（2）可得數(shù)列｛瓦｝的通項(xiàng)公式，S“=—2（%+i+2+J,設(shè)出等差數(shù)列｛%｝,再根據(jù)不

等關(guān)系Sn<cn<an來算出｛/｝的首項(xiàng)和公差即可.

【詳解】

（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,因?yàn)椋?1,%=：，所以/=：，解得

882

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為：an=

（2）由（1）得，當(dāng)〃之2,〃wN*時(shí)，可得+〃,=」S“I…①,

n2〃-1

②—①得，,

2+1”,=]

則有小于-即媼-%=1，n>2,〃eN*.

4+1an

bb

因?yàn)槌?一1,由①得，%=°，所以二一一L=0—（T）=l,

hb

所以a—j=l,〃eN*.

a

n+ia”

b'

所以數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

(3)由(2)吟=〃-2,所以優(yōu)=崇，S“=_2(%M+2+J=_2］?+三］=一/

假設(shè)存在等差數(shù)列｛%｝,其通項(xiàng)cn=dn+c,

使得對任意aeN*，都有S”<q<an,

fl1

即對任意“eN*，都有一1W赤+cVcw1.③

22

首先證明滿足③的d=0.若不然，d/0,則d>0,或d<0.

1-c1

(i)若d>0,則當(dāng)〃〉----，“eN*時(shí)，c=dn+c>1>--=a,

d2"T

這與c“<c”矛盾?

］+c

(ii)若d<0,則當(dāng)〃〉-----，〃wN*時(shí)，c=dn+c<-\.

dn

77+1rjH—1

而S,+「s〃=—羅+舟=甘對，風(fēng)=凡<邑<……,所以s“2>=—1.

故g=d〃+c<—l<S"，這與S"<g矛盾.所以1=0.

其次證明：當(dāng)x?7時(shí)，/(x)=(x-l)ln2-21nx>0.

因?yàn)閞(x)=ln2—工>ln2—工>0,所以/(%)在［7,+8)上單調(diào)遞增,

x7

64

所以，當(dāng)轉(zhuǎn)7時(shí)，/(%)>/(7)=61n2-21n7=ln^>0.

所以當(dāng)〃之7,“eN*時(shí)，2"T>"2.

再次證明c=0.

1Yl1

(iii)若c<0時(shí)，則當(dāng)〃之7,n>---,及eN*，S=---->--->c,這與③矛盾.

c2"Tn

(iv)若c>0時(shí)，同(i)可得矛盾.所以c=0.

當(dāng)c"=°時(shí),因?yàn)镾“=F7W0,4=(；］>0，

所以對任意aeN*，都有S“<c“.所以q,=0,neN*.

綜上，存在唯一的等差數(shù)列｛cj,其通項(xiàng)公式為g=0,〃eN*滿足題設(shè).

本題考查求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，證明等差數(shù)列，以及數(shù)列中的探索性問題，是一道數(shù)列綜合題，考查學(xué)生的分析，推

理能力.

18.(I)an=2"；(II)4953

【解析】

(I)遞推公式變形為24)=0,由數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，得到a.=24,根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通

項(xiàng)公式；

(IDbn=[lg(log2??)]=[Ign]，根據(jù)新定義和對數(shù)的運(yùn)算分類討論數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式，并求前2020項(xiàng)和.

【詳解】

(I)-.,?=妙+1,確]-an+lan-2a：=0,(%+a?)(??+1-2a“)=0

anan+l

又：數(shù)列｛a,,｝的各項(xiàng)都為正數(shù)，，an+l-=0,即。用=2an.

.??數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，...4=2".

0,1<n<10

「,、r1,10<?<100

M=[lg(log2坊=叱的.?=2,10?！?1。。。"N*.

3,1000V“<2020

；?數(shù)列｛2｝的前2020項(xiàng)的和為1x90+2x900+3x1021=4953.

本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式和數(shù)列的前九項(xiàng)和，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型.

19.見解析

【解析】

1廿*2_2

若選擇①，結(jié)合三角形的面積公式，得4s=4><力八由4=/+/_/,化簡得到sinA=^上￡_^=cosA,則

22bc

tanA-i,又0°vA<180°,從而得到A=45。，

扇22

將。=2代入---------=cosA,得〃+02=yflbc+4.

2bc

又叵bc”=M+c?N2bc，**-Z?C<4+2A/2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=44+2五時(shí)等號成立.

/.S=-Z?csinA<-x(4+2V2)x—=72+1,

222

故△ABC的面積的最大值為拒+1，此時(shí)8=c=“+2小.

若選擇②，。=6=2,結(jié)合三角形的面積公式，得4$=4乂二從^114=62+02-42,化簡得到5皿4=3±￡_±=cosA,

22bc

則tanA=l,又0°<A<180。,從而得到A=45。，

則4=6=45°,此時(shí)△ABC為等腰直角三角形，S=-x2x2=2.

2

若選擇③，b=c=2,則結(jié)合三角形的面積公式，得4s=4x《丘sinA=62+c2一/，化簡得到

2

sinA=^-^——=cosA,貝iJtanA=l,又0°vA<180。，從而得到A=45。，則S=—x2x2xsin45。=42.

2bc2

(II)X的發(fā)分布列為:

X2060140400

P0.70.10.150.05

期望E￥=61.

【解析】

(I)由表2可得去各個(gè)門診的人次比例可得2000人中各個(gè)門診的人數(shù)，即可知道去三甲醫(yī)院的總?cè)藬?shù)，又有60歲

所占的百分比可得60歲以上的人數(shù)，進(jìn)而求出任選2人60歲以上的概率；

(II)由去各門診結(jié)算的平均費(fèi)用及表1所報(bào)的百分比可得隨機(jī)變量的可能取值，再由概率可得X的分布列，進(jìn)而求

出概率.

【詳解】

解：(I)由表2可得李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門診就診人次為2000人次，分別去村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三

甲醫(yī)院人數(shù)為2000x70%=1400,2000x10%=200,2000xl5%=300,2000x5%=100,

而三甲醫(yī)院門診就診的人次中，60歲以上的人次占了80%,所以去三甲醫(yī)院門診就診的人次中，60歲以上的人數(shù)為:

100x80%=80人，

「2Q1Z-

設(shè)從去三甲醫(yī)院門診就診的人次中任選2人次，恰好2人次都是60歲以上人次的事件記為A,則尸(A)=/=心；

doo4”?

(II)由題意可得隨機(jī)變量X的可能取值為：50-50x0.6=20,100-100x0.4=60,200-200x0.3=140,

500-500x0.2=400,

p(X=20)=0.7,尸(X=60)=0.1,P(X=140)=0.15,P(X=400)=0.05,

所以X的發(fā)分布列為：

X2060140400

P0.70.10.150.05

所以可得期望EX=20*0.7+60x0.1+140x0.15+400x0.05=61.

本題主要考查互斥事件、隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望、組合計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于中檔題.

21.(1)—+—=1；(2)存在，且方程為y=2,x+2或y=x+2.

535-5

【解析】

（1）依題意列出關(guān)于a,b