安徽省縣中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三年級上冊9月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024~2025學(xué)年安徽省縣中聯(lián)盟高三9月聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.滿分150分，芳試時間120分鐘.

2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

3.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合A={尤|一27<%3<8},3={刈尤一213,xcZ},則Ac5=（）

A.{-1,0}B.{0,l}C.{-1,0,1}D.{0,l,2}

z—2i

2.若——,則5=（）

z+12

A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i

3.已知向量a=（1,、月），若—則b在a上的投影向量為（）

1—322G2

3，-T3'3

4.若cos(a+￡)cos￡=一,tan(o+￡)

5.已知圓柱和圓錐的底面半徑均為2,且它們的表面積相等，圓柱和圓錐的體積之比為3:2、/5,則圓錐的

高為（）

A.2B.2夜C.4D.4&

,、—3x—a+7,x?2

6.已知函數(shù)/（x）=（、，在R上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

3

—,+(?

4

7.已知函數(shù)〃x)=sin12"-巳；當(dāng)XG[0,20]時，把/(x)的圖象與直線y=g的所有交點的橫坐標(biāo)依

次記為%…，記它們的和為5"，則S"=()

1180580590

A.----B.——C.20D.——

3

12025

8.已知〃%)的定義域為RJ(x+y)+/(x—y)=3/(x)/(y),且/⑴=不則￡/(左)=()

3k=\

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.為了解某品牌純凈水實際生產(chǎn)容量(單位：mL)情況，某中學(xué)研究小組抽取樣本，得到該品牌純凈水

的實際容量的樣本均值為元=600,樣本方差d=2.25,假設(shè)該品牌純凈水的實際容量X服從正態(tài)分布

N伍$2),則()

(若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃,(T2),則

P(〃—向人//+o-)?0.683,P(/z-iX〃+2cr)a0.955)

A.P(X?597)>0.02

B.P(X..603)>0.04

C.P(597iiX598.5)<0.13

D.P(598.5M603)<0.83

10.“co”可以看作數(shù)學(xué)上的無窮符號，也可以用來表示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線C過坐標(biāo)原點

QC上的點到兩定點E(—a,o),與(a,0)(a>0)的距離之積為定值.則下列說法正確的是()(參考

數(shù)據(jù)：45?2.236)

A.若閨閭=12,則c的方程為（X2+/）2=72（/—y2）

B.若C上的點到兩定點耳、月的距離之積為16,則點（-4,0）在C上

C.若。=3,點（3,%）在C上，則2</<3

D.當(dāng)。=3時，C上第一象限內(nèi)的點P滿足耳工的面積為：，則忙耳「_忱月「=184

11.設(shè)函數(shù)/（%）=兀3-/儂'+3（mGR）,則（）

A.若/（%）有三個不同的零點看,々，%3，則為+々+忍=0

B.存在m,n,使得x=〃為曲線y=/（x）的對稱軸

C.存在加，使得點（-2超（-2））為函數(shù)8（%）=3/（%）+2如:2+3771￥的對稱中心

D.若曲線y=/（%）上有且僅有四點能構(gòu)成一個正方形，則m=2V2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.某中學(xué)舉行數(shù)學(xué)解題比賽，其中7人的比賽成績分別為：70,97,85,90,98,73,95,則這7人成績的上

四分位數(shù)與極差之和是.

13.若曲線/（九）=屁>2+5在點（2,7）處的切線/與曲線8（九）=3111毛+內(nèi)：在（加,5）處相切，則加=

22

14.設(shè)雙曲線C：=-4=1（?！?］〉0）的左、右焦點分別是用,工.過右焦點歹2作x軸的垂線/,過雙曲線

ab

左支上一點M作/的垂線，垂足為N,若存在點M使得2|叫|=3|MN|,則雙曲線C的離心率e的取

值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

記，ABC的內(nèi)角A、&C的對邊分別為d瓦c,已知2c-a=40,sinA+瓜inB=2sinC.

（1）若b=4辰osB，求。的值；

（2）在（1）的條件下，求，A3c的面積.

16.（本小題滿分15分）

已知橢圓C：q+］=l（a〉5〉0）上有兩點4（0,4）和3,二］

（1）求橢圓C的焦距;

(2)試探究是否存在過點(O,-5),且與橢圓C交于不同的兩點并滿足|A"|=|AN|的直線/?若

不存在，說明理由；若存在，求出直線/的方程.

17.(本小題滿分15分)

如圖，四棱錐尸-ABCD中，尸底面ABCD,底面ABCD為菱形,

NBAD=60,AB=PC^2,M,N分別為PD,的中點.

(1)證明：兒平面夫AC；

(2)求二面角C—依―。的正弦值.

18.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=(x-l-加)e"-x+(l+m)ln(x+l),meR.

(1)討論〃力的單調(diào)性;

(2)若機(jī)>0且/(%)有2個不同的極值點PM,求證：/(p)+/(q)+4(p+q)<21n3.

19.(本小題滿分17分)

拿破侖排兵布陣是十分厲害的，有一次他讓士兵站成一排，解散以后馬上再重新站成一排，并要求這些士

兵不能站在自己原來的位置上.

(1)如果只有3個士兵，那么重新站成一排有多少種站法？4個呢？

(2)假設(shè)原來有幾個士兵，解散以后不能站在自己原來位置上的站法為，，種，寫出。用和

D“,(九.2)之間的遞推關(guān)系，并證明：數(shù)列{Q—}(九.2)是等比數(shù)列；

(3)假設(shè)讓站好的一排幾個士兵解散后立即隨機(jī)站成一排，記這些士兵都沒有站到原位的概率為匕，證

1r2/r"

明：當(dāng)“無窮大時，匕趨近于一.(參考公式：e-v=l+x+—+—++—+-.).

e2!3!n\

2024?2025學(xué)年安徽省縣中聯(lián)盟高三9月聯(lián)考?數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評分細(xì)則

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

題號12345678

答案CDAADCAB

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

題號91011

答案ADACDACD

l.CA={x|-3<x<2},B={-l,0,l,2,3,4,5},所以={-1,0,1},故選C.

2.D設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,beR),則彳=。—歷.因為二=上，所以^—整理得

z+12a-bi+12

2a—4=b

c,,,所以a=3力=2,故選D.

2b=a+l

3.A因為(a—3b)_La,所以1一34.》=0.又因為a=(1,也)，所以。.0=g,故匕在。上的投影向

日位aa

重為小一彳廠,故選A.

3,

4.A由tan(a+￡)=^^^-得tan(1+尸)tan乃=3,所以sin(a+￡)sinQ=?

，所以

4

coscif=cos(a+/3^~/3=cos+/3^cos/?+sin(or+/?)sin^=一,所以

匚」m

32

cos2df=2cos9a-1=―--1,故選A.

m

5.D設(shè)圓柱高為％,圓錐高為外，母線長為/，底面半徑均為2,則

唳柱=4兀4，S圓柱=8兀+4兀4，%)錐,S圓錐=4兀+2兀/,1=《4+后.因為S圓柱=S圓錐，所以

2+2%=小4+后①;又因為嗡柱：唳錐=3:2血，所以4=2同②.由①②得4=2,4=4后，故選

D.

6.C當(dāng)尤>2時，/(耳=2一％—log2(x—1)單調(diào)遞減，因為/(“在R上單調(diào)遞減，分情況討論：當(dāng)

x=x

a=0時，f()\2--\o(%—1)x>2,此時一3義2+7>2-2—R)g2(2—l),符合題意；當(dāng)a>0

-±233

時，需滿足《2。，解得0＜區(qū)，一.綜上，—9故選C.

44

4a-6-tz+7..2"-log2(2-l)

.?71?1兀兀5]|

7.Asin2TVC---=—,則2TU——=2E+—或2E+—兀，左eZ,解得x=L+—或左+—,左eZ,所

I6；266662

,1117

-__1_3_1O1_1O1_1O1_1O1

以q=W,出=萬,生=l+-=-,?4=l+-=-,...)?39=19+-=19??40=19+-=19-,

20x|-+19-|20x|-+19-|

171316?(2

-+—+一++193+3+.?+/

6666222222

=10x(19；1+10x20=^^,故選A.

8.B令x=l,y=0,得/(l+O)+/(l—O)=3/(l)/(O),所以y(o)=§.

令x=0,得〃o+y)+/(o—y)=3〃o)/(y),所以/(—y)=/(y),所以/⑴是偶函數(shù).

令y=l，得/(x+l)+/(x—l)=3/(x)/(l)=/(x)①，故/(x+2)+/(x)=/(x+l)②，由①②知

〃x+2)+/(x—1)=0,所以/(x+3)+/(x)=0"(x+3)=—/(x),所以

/(x+6)=-/(x+3)=/(x),所以/(x)的一個周期是6.

17

由②得“2)+”0)=41),所以"2)=—1同理/(3)+〃1)=〃2),所以"3)=—

112

又由周期性和偶函數(shù)可得：/(4)=/(-2)=/(2)=--,/(5)=/(-1)=/(!)=-,/(6)=/(0)=-,

所以/⑴+〃2)+〃3)+,+/(6)=0,

202569

所以Z以k)=3372；f(k)+/(1)+/(2)+/(3)=--.故選B.

k=lk=l3

9.AD因為于=600,$2=2.25,所以X~N(600,1.52),

因為P(600—2x1.5麴k600+2x1.5)?0.955,故P(X京697)=P(X603)-=0.0225,

故A正確，B錯誤；

P(597融r600)=0.4775,又因為P(600—1.5麴k600+1.5)?0.683,所以

P（598.5款k600）^^^-0.3415,所以P（597麴b598.5）?0.4775-0.3415=0.136,故C錯

誤；

P（600熟k603）?0.4775,所以P（598.5麴k603）?0.3415+0.4775=0.819,故D正確.故選AD.

10.ACD已知原點O在C上，則|。耳卜|0閭=/，設(shè)（x,y）為c上任意一點，則有

a2=d（x—a￥+y2.4（x+a￥+y2,整理得+9]=2/（爐—門.若閨閭二⑵則。的方程為

（X2+/）2=72（X2-/）,故A正確；若|0叫.[0閭=16,則。=4,將a=4代入方程得

（X2+/）2=32（X2-/）,顯然點（T,0）不在此曲線上，故B錯誤；若a=3,點（3,%）在C上，有

J（3-3）2+y：?J（3+3）2+y：=9,整理得（y：+18丫=405,所以y：=9，？—18n2.124,故C正

確；因為PEK的面積=g|PK||P國5布/串”=（歸制PE|=9,則耳=90,所以點P是

曲線C:（爐+y2）2=18（爐—y2）和以E6為直徑的圓必+y2=9在第一象限內(nèi)的交點，聯(lián)立方程組解得

x=亭,>=|,所以1s「―歸閭之=184，故D正確.故選ACD.

11.ACD因為/（x）有三個不同的零點藥,刀2，退，所以X3—如:+3=（x-%）（x-x2）（x—七），所以

332

X-tWC+3=X-（X,+x2+X3）X+（玉%2+%2兀3+毛為）]一瓦々%,所以石+々+退=0,所以A正確；

對于B,假設(shè)存在這樣的根,7"使得X=〃為/（X）的對稱軸，即存在這樣的根,72使得

/（X）=/（2〃一x）,即犬—〃/+3=（2〃一x）3—帆（2〃一x）+3,根據(jù)二項式定理，等式右邊（2〃—x）,展

開式含有V的項為C；（2〃）°（-X）3=-必，于是等式左右兩邊的系數(shù)不相等，原等式不可能成立，于是

不存在這樣的機(jī)，“，使得x=〃為/（力的對稱軸，B錯誤；

對于C,g(x)=3x3+2tnx2+9,g'(x)=9x?+4mx,gff(x)=18x+4zn,由8"(%)=。得*=一-—,即

是g（x）的對稱中心，故m=9時，（-2遙（一2））是且（％）的對稱中心，故C正確;

對于D,由/（x）=d7兀v+3（aeR）,得/'（x）=3*一機(jī)，

當(dāng)久,0時，/'（x）..0,所以/（九）在R上單調(diào)遞增，所以曲線y=/（x）上不存在4個點能構(gòu)成正方

形，所以相＞0,因為"％）的圖象關(guān)于點（0,3）對稱，所以此正方形的中心為（0,3）,

不妨設(shè)正方形的4個頂點分別為其中一條對角線AC的方程為丁=丘+3（左＞0）,則

%3-mx+3=kx+3>解得x=+l，

2人，

所以|AC|=2J1+42A/0+左,同理可得忸回=m

由|AC|2=|5D|2,得(1+42)(〃2+左

化簡得(42—1)加+A+：=0,

根據(jù)題意可知方程（左2-1）加+43+1=0只有一個正解，因為k=1時上式不

成立，所以左W1,

因為根＞0,所以左一工＜0,得Ovkvl,

k

122

設(shè)/=左——，貝卜＜0,令g?）=f+—,由題意可知，只需要直線y=一根與函數(shù)g?）=f+—的圖象只

ktt

有唯一的公共點即可，結(jié)合對勾函數(shù)圖象可知-m=-2&，得m=2e，所以D正確.故選ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.125將7個數(shù)據(jù)從小到大排列為70,73,85,90,95,97,98,因為7x75%=5.25,所以這7人成績的上

四分位數(shù)是97.極差為98-70=28,故上四分位數(shù)與極差之和是97+28=125.

13.1由題得/'（%）=疣"2+廣2,所以｛2）=2e2-2+e?-2=3,所以切線/：y—7=3（x—2）,即

g［m\=—+a=3

m

34

y=3x+l.因為g(x)=31nx+G；,所以g'(x)=—+o,所以<b=31nm+am=>m=e3

b=3m+1

22

14.』,+”設(shè)加（加,〃）,m，-a,則勺—勺=1,設(shè)|MV|=d,由題意得H（c,0）,

12ab

_______________________3

22

d=-m+c,\MF2\=^(m-c)+n,則JOn-cy+z?=-(-m+c),

Q5

兩邊平方得(加一。)2+〃2=—(m-c)2,整理得〃2=—(m-c)2,

44

22S2

又、—g=1,所以/加2—羊變形得至乂4人2_Sa?)m2+10a2cm-

5crc--4a-b2=0，

即上式在帆e(-8,-a］上有解，其中

A=100a4c2—4(4/—5")(—5a2c2一4//)=16a2b2聲+4^-5a2)=144a264>0

2222222

令/(M=(4/-5a)m+10acm-5ac-4ab,貝U/(0)=—5a2c2—4/廿<0,

/(-?)=(4/-5/)4-10<73C-5?2C2-4a2b2=-5a4-10a3c-5a2c2<0,

要想使得/(m)=0在—a］上有解，只需要/(相)的圖象開口向上，即4/—5/>0,即

4(c2-a2)-5?2>0,所以4c2〉9a2,￡〉2,解得￡>▲,故離心率e的取值范圍是佶,+“

V7a24a212

四,解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.解：（1）由正弦定理可得Q+=，

又2c—。=4有，則b=

又因為Z>=4癡85昆3€（0,兀），所以cosB=g,

由余弦定理得，cosB=a~+C~~b'=-,

lac2

解得“=4.

(2)由a=4及2c—a=4G，得c=2+2若.

因為cosB=LBe(0,7i),所以sinB=，^

2v72

，1acsin3，1x4x(2+2@x5=6+26

所以SABC

22

16

二1

Fa~=25

16.解:（1）由題意得<256「解得

9b1=16

寸1’

所以c="牙=3,所以橢圓c的焦距為6.

（2）假設(shè)存在該直線/,分情況討論:

當(dāng)直線/的斜率不存在時，顯然|A〃|=|AN|不成立;

x2,2

_______LJyL—

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/：丁="一5（左W0）,聯(lián)立《2516=1得

y=kx-5

16+25k2)x2-250kx+225=0,

(16+25汰2)>0,得上2>1

令A(yù)=(250左)2—4X225X

所以2.二^山+“左國+*-叫二三-哈-」6%

MN16+25左2八\MN)16+254216+25左2

125480

取的中點。，則。

16+25左2'16+25左2

若|AM|=|4V|,則AOLMV,即以O(shè)/MN=—1，

--------8-0--------4)

所以16：鬻2——k=-l,解得左2=—V_,左的值不存在.

125k100

16+25?

綜上，不存在滿足題意的直線.

17.(1)證明：連接班),AC交于點。，

因為PC,平面ABCD,而8Du平面ABC。，所以尸C.

因為底面ABC。為菱形，所以

因為PCcAC=C,PC,ACu平面PAC,所以5。_L平面PAC.

因為M,N分別為P2PB的中點，所以也〃3￡＞，所以上WJL平面PAC.

(2)解：取“1的中點E，連接OE,由題得OE〃尸C,所以O(shè)E，平面ABCD,以。為

坐標(biāo)原點，OA,OB,OE所在直線分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因為底面AfiCD為菱形，/BAD=60,AB=PC=2,所以08=1,。4=

=1,則5（0,1,0）,。卜6,0,0）,尸卜百,0,2）,。（0,-1,0）.

所以3P=卜4,—1,2）,8。=（0,—2,0）,PC=（0,0,—2）.

/、[m-BP=—百%—y+2Z]=0

設(shè)平面P3D的法向量加=（%，M，zJ,貝叫?」I,令

\m-BD——2yl=0

芯=2,得4=6，則加=（2,0,6）.

n-PC=-2z=0

設(shè)平面PBC的法向量〃=(x,y,2),則＜廠，令x=l,

n-BP=-y/3x-y+2z=0

得y=_g,則〃=Q,0).

\m-n\_77

設(shè)二面角的大小為，，所以cose=kos〈s〃.

|m||n|7

所以sin，=V1-COS26)=叵,即二面角C—依―。的正弦值為叵.

77

18.解:⑴/(力的定義域為(—1,+“),

由題可得/'(X)=(彳一機(jī))6工一1+空?=(x-m)(6工-1

X+1

設(shè)g(x)=eX———,則g(x)在(-L+8)上單調(diào)遞增，且且(0)=0,

若7%,—1,則l-/篦>0,%€(-1,0)時，/'(X)<0J(x)單調(diào)遞減，XG(0,+8)時，/'(x)>0,/(x)單

調(diào)遞增；

若一1<相<0,則］?機(jī)0)時，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，為?-1,加)或xe(0,+。)時,

/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增；

若加=0,則/'.0"("在(―1,+")上單調(diào)遞增；

若m>0,則xe(0,?n)時,/'(x)<0"(x)單調(diào)遞減，xe(—1,0)或xe(m,+oo)時，

單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)小,—1時，“X)在(—1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)—1<〃7<0時，“X)在

(狐0)上單調(diào)遞減，在(―1,m),(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)機(jī)=0時，/(“在(—1,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)

機(jī)>0時，/(x)在(0,間上單調(diào)遞減，在(一1,0),(以+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知相>0時，/(x)恒有2個極值點，4,令P〈q,則p=0應(yīng)=加，

所以/(/?)+/(^)+4(/?+^)=/(0)+/(m)+4m=(m+l)In(m+l)-eH,+2m-l,

設(shè)人=e"+2加—1,則“(m)=ln(m+l)—em+3,

設(shè)0(m)="(m)則(p'(m)=———em,

m+1

0’(相)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，0'(帆)<0'(0)=0,

所以〃(加)在(0,+")上單調(diào)遞減，

X/z，(l)=ln2-e+3>0,/z,(2)=ln3-e2+3<0.

所以存在加0?1,2),使得“(%)=lne70+l)—e'K+3=0,即e'%=ln。%+1)+3,

當(dāng)“?0,%)時,〃(加)>0,/z(㈤單調(diào)遞增;當(dāng)“e(2,+。)時,〃(m)<0,7z(m)單調(diào)遞減,

所以人(加),，丸(%)=(/%+l)ln(7/+l)-e/，b+2%—1=(%+l)ln(//+l)-ln0%+1)—3+2/%-1

="bln(%+1)+2mo—4,

易知函數(shù)y=仙1(%+1)+2]-4在(1,2)上單調(diào)遞增，

所以〃4)ln(7%+1)+2/9—4<21n(2+l)+2x2—4=21n3,

所以/(p)+/(q)+4(p+q)<21n3.

19.(1)解：當(dāng)有3個士