高考數(shù)學一輪復習：函數(shù)的概念及其表示

專題3.1函數(shù)的概念及其表示

【核心素養(yǎng)】

L以常見函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

2.考查換元法、待定系數(shù)法、解方程組法等在求函數(shù)解析式中的應用，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

3.與不等式、方程等相結合考查分段函數(shù)求值或求參數(shù)問題，凸顯分類討論思想的應用及數(shù)學運算的核心

素養(yǎng).

</

知坎概要/

知識點一函數(shù)的概念

函數(shù)

兩個集合設A,8是兩個

A,B非空數(shù)集

對應關系如果按照某種確定的對應關系力使對于集合4中的任意一個數(shù)x,

在集合B中都有唯一確定的數(shù)/U)和它對應

知識點二函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)y=Ax),尤GA中，了叫做自變量，X的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應的y值叫

做函數(shù)值，函數(shù)值的集合［6尤)IxGA｝叫做函數(shù)的值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應關系完全一致,則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).

知識點三］函數(shù)的表示方法

1.函數(shù)的表示方法有三種，分別為解析法、列表法和圖象法.同一個函數(shù)可以用不同的方法表示.

2.【易混辨析】

(1)判斷兩個函數(shù)是否為相同函數(shù)，注意把握兩點，一看定義域是否相等，二看對應法則是否相同.

(2)從圖象看，直線x=a與圖象最多有一個交點.

知識點四分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段

函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾

個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

知識點五區(qū)間的概念

1.一般區(qū)間的表示.

設a,bGR,且a<6,規(guī)定如下：

定義名稱符號數(shù)軸表示

{x\a<x<b}閉區(qū)間[a,b]——1---1——.

。b

{x\a<x<b}開區(qū)間(。，b)

半開半

[x\a<x<b][a,b)

閉區(qū)間

半開半

——i---1——.

{x\a<x<b}(〃，b]ab

閉區(qū)間

2.特殊區(qū)間的表示.

定義R{x\x>a}{x\x>a}{x\x<a}{x\x<a}

符號(—00,+oo)[a,+oo)(。，+oo)(-oo,a](-oo,a)

3.特別提醒：

(1)關注實心點、空心圈：用數(shù)軸表示區(qū)間時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心圈表示不包括在

區(qū)間內(nèi)的端點.

(2)區(qū)分開和閉：在用區(qū)間表示集合時，開和閉不能混淆.

(3)正確理解“00”：“00”是一個趨向符號，不是一個數(shù)，它表示數(shù)的變化趨勢.以“一00”和“+oo”為區(qū)間的一端

時，這一端點必須用小括號.

Y串”常專題曳劉析/

題型一：函數(shù)的概念

【典例分析】

例1-1.(2022秋?上海浦東新?高三上海市川沙中學校考階段練習)下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是

()

A.，(x)，x|,g(x)=G'

B./(%)=正,g(x)=(A/%)2

C./(x)=--^,g(x)=x+l

x-1

D./(x)=Jx+2?>/x-2,g(x)=-4

例1-2.(2023?全國?校聯(lián)考模擬預測)映射由德國數(shù)學家戴德金在1887年提出，曾被稱為“基礎數(shù)學中最為

美妙的靈魂”，在計算機科學、數(shù)學以及生活的方方面面都有重要的應用.例如，在新高考中，不同選考科

目的原始分要利用賦分規(guī)則，映射到相應的賦分區(qū)間內(nèi)，轉換成對應的賦分后再計入總分.下面是某省選

考科目的賦分規(guī)則：

等級原始分占比賦分區(qū)間

A3%[91,100]

B+79%[81,90]

B16%[71,80]

C+24%[61,70]

C24%[51,60]

D+16%[41,50]

D7%[31,40]

E3%[21,30]

Y-YT-T

轉換對應賦分T的公式：入7=容7

其中，Y1,Y2,分別表示原始分y對應等級的原始分區(qū)間下限和上限；T1,T2,分別表示原始分對應等級的

賦分區(qū)間下限和上限（T的結果按四舍五入取整數(shù)）

若小華選考政治的原始分為82,對應等級4且等級A的原始分區(qū)間為[81,87],則小華的政治成績對應的

賦分為（）

A.91B.92C.93D.94

例13（2023?全國?高三專題練習）已知"X）二人’則

〃1）+〃2）+〃3）+L+k2°22）+/出+/（/+L+.熊＞

【規(guī)律方法】

函數(shù)的三要素中，若定義域和對應關系相同，則值域一定相同.因此判斷兩個函數(shù)是否相同，只需判斷定

義域、對應關系是否分別相同.

【變式訓練】

變式1-1.【多選題】（2023?全國?高三專題練習）在下列四組函數(shù)中，與g（x）不表示同一函數(shù)的是（）

A./(x)=x-l,g(x)=--

X+1

I.fx+l,x>-l

B./(x)=x+l,g(x)={

11[-X-1,X<-1

c.”x)=l,g(x)=(x+l)°

D./(x)=x,g(x)=(6)2

變式L2.某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)X與收款數(shù)y之間的函數(shù)關系，分別

用列表法、圖象法、解析法表示出來.

變式1-3./(%)=------a,x￡R.

1+X

⑴計算/■5)+/?(1)的值；

⑵計算/(1)+/(2)+/(1)+/(3)+/(1)+/(4)+/(1)的值.

題型二：求函數(shù)的定義域

例27(2023?全國?高三專題練習)己知函數(shù)y=〃x)的定義域為則函數(shù)g(x)=7,：｝)的定義域

o\9

A.--lu(-2,0]B.[-8,-2)U(-2,l]C.(^o,-2)U(-2,3]D.--,-2

例2-2.(2022?北京高考真題)函數(shù)/(x)=L+Vi=7的定義域是.

X

例2-3.(2022秋?河南駐馬店.高三期中)己知5)的定義域為[2,6],則/(x+1)的定義域為.

【規(guī)律方法】

1.已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法

(1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數(shù)的定義域的交集.

(2)復合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對應的內(nèi)層函數(shù)自變量的取

值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可.

2.抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)若已知函數(shù)/'(x)的定義域為[a,b\,則復合函數(shù)/1(g(x))的定義域由aWg(x)W6求出.

(2)若已知函數(shù)F(g(x))的定義域為[a,b],則/'(x)的定義域為g(x)在xd[a,3時的值域.

3.求函數(shù)的定義域，往往要解不等式或不等式組，因此，要熟練掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解

法、牢記不等式的性質(zhì)，學會利用數(shù)形結合思想，借助數(shù)軸解題.另外，函數(shù)的定義域、值域都是集合，要

用適當?shù)谋硎痉椒右员磉_或依據(jù)題目的要求予以表達.

【變式訓練】

變式2-1.(2023?北京?高三統(tǒng)考學業(yè)考試)已知函數(shù)〃=若y=的圖象經(jīng)過原點，則的

定義域為(

A.[0,+co)B.[-oo,0)

C.[l,+oo)D.[-8,1)

變式22(2023?上海普陀?統(tǒng)考二模)函數(shù)y'3--的定義域為

X

變式2-3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)y=/(1+71^)的定義域為｛.X|0<%<1｝,則函數(shù)y=/(x)的

定義域為

題型三：求函數(shù)的解析式

【典例分析】

例3-1.(2023?廣東深圳?高三深圳外國語學校?？茧A段練習)寫出一個滿足：〃彳+封=〃耳+〃村+2個的

函數(shù)解析式為.

例32(2023?遼寧大連?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)〃力的定義域為R,值域為(0,+少)，且

=r⑺,/&)=2,函數(shù)g(x)=/(x)+〃-x)的最小值為2,則二/("!]=()

A.12B.24C.42D.126

例3-3.(2023?全國?高三專題練習)已知二次函數(shù)/(x)=o?+區(qū)+C5,及ceR)滿足：對任意實數(shù)了,都有

/(x)>x,〃-2)=0且當xe(l,3)時，有/(無)W：(x+2)2成立.

O

⑴證明：門2)=2；

⑵設g(x)=/(x)X,尤e[0,+8),若g(x)圖象上的點都位于直線>="的上方，求實數(shù)"2的取值范圍.

【規(guī)律方法】

1.已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式.

2.已知函數(shù)圖象，用待定系數(shù)法求解析式，如果圖象是分段的，要用分段函數(shù)表示.

3.已知/(%)求/[g(x)],或已知/[g(x)]求/(x),用代入法、換元法或配湊法.

4.若/(%)與/(-)或/(-%)滿足某個等式，可構造另一個等式，通過解方程組求解.

X

5.應用題求解析式可用待定系數(shù)法求解.

【變式訓練】

變式3-1.(2023?遼寧?校聯(lián)考一模)若函數(shù)滿足“力―x=2〃2—x),則〃3)=()

A.—1B.—C.—D.1

33

變式3-2.(2023?全國?高三專題練習)已知了[-￡|=/+*,則函數(shù)/(x)=,/(3)=.

變式3-3.(2023?全國?模擬預測)已知/(3")=F，貝U/*■卜.

題型四：求函數(shù)的值域

【典例分析】

例4-1.(2023?全國?高三專題練習)y=x+-2x-l的值域為

例42(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)y=6+的值域為

例4-3.(2023春?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習)函數(shù)y=0三的最大值為_____.

八5

【規(guī)律方法】

函數(shù)值域的常見求法：

（1）配方法

配方法是求“二次函數(shù)型函數(shù)”值域的基本方法，形如網(wǎng)尤）=a［/（x）］2+須x）+c（a#））的函數(shù)的值域問題，均可

使用配方法.

（2）數(shù)形結合法

若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，如距離、斜率等，可用數(shù)與形結合的方法.

（3）基本不等式法：要注意條件“一正，二定，三相等”.（可見上一專題）

（4）利用函數(shù)的單調(diào)性

①單調(diào)函數(shù)的圖象是一直上升或一直下降的，因此若單調(diào)函數(shù)在端點處有定義，則該函數(shù)在端點處取最值，

即

若>=段）在［a,句上單調(diào)遞增，貝仃最小=仙），y最大=加）；

若y=式尤）在［a,句上單調(diào)遞減，則y最小=/S）,y最大=尬）.

②形如y=ax+b+、dx+c的函數(shù),若ad>0,則用單調(diào)性求值域；若ad<0,則用換元法.

③形如尸x+“>0）的函數(shù)，若不能用基本不等式，則可考慮用函數(shù)的單調(diào)性，當x>0時，函數(shù)y=x+5（左

>0）的單調(diào)減區(qū)間為（0,炳,單調(diào)增區(qū)間為［#,+oo）.一般地，把函數(shù)y=x+&左>0,x>0）叫做對勾函數(shù)，

其圖象的轉折點為（#,2#）,至于尤<0的情況，可根據(jù)函數(shù)的奇偶性解決.

*（5）導數(shù)法

利用導函數(shù)求出最值，從而確定值域.

【變式訓練】

變式4-1.（2023.寧夏銀川?銀川一中?？级＃┫铝泻瘮?shù)中，定義域和值域不相同的是（）

、［x-y=m+l

變式42（2023?全國?高三專題練習）已知r=f-2x+4,無，y滿足<.、,且—則t的取

［x+y=3/77+3

值范圍是.

變式4-3.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)="—.

X—X+1

⑴求函數(shù)"X）的值域；

⑵證明：卜=={x|〃x）=x}；

題型五：分段函數(shù)及其應用

【典例分析】

IC若9種3,則”

例5-1.（2021?浙江.統(tǒng)考高考真題）已知。eR,函數(shù)/（元）=，

一尤~+2,無W1,/

則市

例5-2.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)〃%）=<1,?若當

X-----1,X>1,1

X

時，1</（%）<3,貝峰一。的最大值是

例5-3.（2023■全國?模擬預測）已知函數(shù)"X）=max{-x2+2x,-x+i,x-2}.

⑴求〃x）的最小值;

（2）若1對任意xeR恒成立，求上的取值范圍.

【總結提升】

1.分段函數(shù)求值的解題思路

求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f（f（a））

的形式時，應從內(nèi)到外依次求值.

2.解分段函數(shù)與方程或不等式問題的策略

求解與分段函數(shù)有關的方程或不等式問題，主要表現(xiàn)為解方程或不等式.應根據(jù)每一段的解析式分別求

解.若自變量取值不確定，則要分類討論求解；若自變量取值確定，則只需依據(jù)自變量的情況直接代入相

應的解析式求解.解得值（范圍）后一定要檢驗是否符合相應段的自變量的取值范圍.

3.“分段求解”是處理分段函數(shù)問題解的基本原則；

4.數(shù)形結合往往是解答選擇、填空題的“捷徑”.

【變式訓練】

變式5-1.（2023?四川成都?成都七中統(tǒng)考模擬預測）己知函數(shù)/（尤）=、。，則/（/（-4））=（）

[X-3x-4,x>0'/

A.-6B.0C.4D.6

變式52（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)的定義域為R,滿足/（x）=2〃x-l）,且當x?0,l]時,

〃力=%（1-%）.若對任意彳€1?,”?],都有不，則加的最大值是（）

A.口B.匕C.

5515

2X-5X>0

變式5-3.（2020.山東?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（尤）=9

X2+2x,x<0

⑴求了"⑴]的值；

（2）求川。-1|）<3,求實數(shù)。的取值范圍.

題型六：根據(jù)定義域、值域（最值）求參數(shù)

【典例分析】

尤2—〃？（2尤一1）+，/,了42,

例6-1.（2023?湖北十堰?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)了（元）=當x=2時，/（X）取得最小值,

2H，尤>2,

則機的取值范圍為（）.

A.[1,4]B.[2,4]C.[-1,2]D.[-1,1]

-ax+1,x<a,

例62（2022.北京.統(tǒng)考高考真題）設函數(shù)〃x）=/.若Ax）存在最小值，則。的一個取值為

（x-2）2,x>a.

;a的最大值為.

例6-3.（2022.河南鄭州?鄭州外國語學校統(tǒng)考一模）已知函數(shù)〃x）=2x,g（x）=^-2左+2（左>0）,若存在

玉e0,1及使得/（石）=8伉）成立,則上的取值范圍為.

【規(guī)律方法】

已知函數(shù)的定義域（值域）求參數(shù)問題的解題步驟

（1）調(diào)整思維方向，根據(jù)已知函數(shù)，將給出的定義域、值域（最值）問題轉化為方程或不等式的解集問題;

（2）根據(jù)方程或不等式的解集情況確定參數(shù)的取值或范圍.

【變式訓練】

變式6-1.（2023?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學）已知函數(shù)〃x）=3x-l的定義域4={2,5同，值域3={14,41,可，

則（）.

A.{2,5}B.{5,14}C.{2,14}D.{1,2}

變式6-2.（2021?全國高一課時練習）已知則函數(shù)於）=N+|x-a|的最小值是（）

3

A.1B.CL~\---

4

11

C.a-—D.a-一

24

變式6-3.（2023?北京?高三專題練習）已知函數(shù)y=?^工1的定義域為A,且-3eA,則。的取值范圍是

一、單選題

1.(2023春?貴州黔東南?高三?？茧A段練習)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B=卜|丁=——，則=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0}

2.(2023?廣西南寧?南寧三中?？家荒?已知函數(shù)〃x)=/工》>0，那么-1))=()

A.7B.6C.5D.4

3.(2023春?北京海淀?高三清華附中校考階段練習)已知函數(shù)/(尤)=丁+1,對于任意的xeR,總有()

A.f(x)+f(-尤)=1B./(%)+/(-%)=2

C./(%)-/(-%)=1D./(%)-/(-%)=2

4.(2023?全國?高三專題練習)若函數(shù)無)=2的部分圖象如圖所示,則〃5)=()

ax-T-I-c

5.(2023映西商洛?統(tǒng)考一模)若函數(shù)/(可滿足：,,6€1<3/1—3-)=2〃4)+〃6),且〃1)=1,/(4)=10,

則4985)=()

A.2953B.2956C.2957D.2960

二、多選題

6.(2022?海南?校聯(lián)考模擬預測)已知定義在R上的函數(shù)，(無)不恒等于零，同時滿足/(x+y)=/(x)/(y),

且當尤>0時，/(x)>2022,那么當x<0時，下列結論不正確的為()

A.-1</(x)<0B./(%)<-1

C.f(x)>lD.。<小)〈去

三、填空題

/x+2]>0

7.(2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)〃》)=2'，則/=.

IX,X&U

8.(2019?江蘇高考真題)函數(shù)y=,7+6光一丁的定義域是.

9.(2023?全國?高三專題練習)已知k|+5=x,函數(shù)y=—%2-2%的值域為

10.(江蘇高考真題)已知實數(shù)函數(shù)/(%)=〈,若/(I—〃)=/(l+a),則。的值為

-x-2a,x>l

\x+2,x<a

11.(2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(%)=21、，若對任意實數(shù)b，總存在實數(shù)%,

［x-x-\,x>a

使得了(%)=6,則實數(shù)。的取值范圍是—.

四、解答題

12.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)丁=/(尤)是定義在R上的周期函數(shù)，周期7=5,函數(shù)y=/(x)

(TWxWl)是奇函數(shù).又已知y=/(x)在［0,1］上是一次函數(shù)，在［1,4］上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取

得最小值-5.

⑴證明：/(1)+/(4)=0；

⑵求丁=/5)6€口,4］的解析式；

⑶求y=/(x)在［4,9］上的解析式.

專題3.1函數(shù)的概念及其表示

【核心素養(yǎng)】

1.以常見函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

2.考查換元法、待定系數(shù)法、解方程組法等在求函數(shù)解析式中的應用，凸顯數(shù)學運算的核心

素養(yǎng).

3.與不等式、方程等相結合考查分段函數(shù)求值或求參數(shù)問題，凸顯分類討論思想的應用及數(shù)

學運算的核心素養(yǎng).

〈一?一?一?一?一?一?r

\痕/知雙概要,

知識g一函數(shù)的概念

函數(shù)

兩個集合設A,B是兩個

A,B非空數(shù)集

對應關系如果按照某種確定的對應關系力使對于集合A中的任意一個數(shù)x,

/：AT在集合B中都有唯一確定的數(shù)仆:)和它對應

知識點二函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)xdA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相

對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛心"xGA｝叫做函數(shù)的值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同,并且對應關系完全一致,則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).

知識點三函數(shù)的表示方法

1.函數(shù)的表示方法有三種，分別為解析法、列表法和圖象法.同一個函數(shù)可以用不同的方法

表示.

2.【易混辨析】

(1)判斷兩個函數(shù)是否為相同函數(shù)，注意把握兩點，一看定義域是否相等，二看對應法則

是否相同.

(2)從圖象看，直線x=a與圖象最多有一個交點.

知識點四分段函數(shù)

I」

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這

種函數(shù)稱為分段函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，

分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).

知識點五］區(qū)間的概念

1.一般區(qū)間的表示.

設a,bGR,且規(guī)定如下：

定義名稱符號數(shù)軸表示

閉區(qū)間——l---1——.

{x\a<x<b}[a,b]4b

{x\a<x<b}開區(qū)間(a,b)

半開半

[x\a<x<b][a,b)

閉區(qū)間

半開半

——1---1——.

[x\a<x<b](a,b]ab

閉區(qū)間

2.特殊區(qū)間的表示.

定義R[x\x>a][x\x>a]{x\x<a]{x\x<a]

符號(—8,+oo)[a,+oo)(a,+oo)(-oo,a](-co,a)

3.特別提醒：

(1)關注實心點、空心圈：用數(shù)軸表示區(qū)間時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心

圈表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點.

(2)區(qū)分開和閉：在用區(qū)間表示集合時，開和閉不能混淆.

(3)正確理解“00”：“00”是一個趨向符號，不是一個數(shù)，它表示數(shù)的變化趨勢.以“一8”和“十

oo”為區(qū)間的一端時，這一端點必須用小括號.

《一.一?一■一?一■一?一■一■一“一?一?1

詢0常考題壑如析;

題型一：函數(shù)的概念

【典例分析】

例1-1.(2022秋?上海浦東新?高三上海市川沙中學?？茧A段練習)下列四組函數(shù)中，表示相

同函數(shù)的一組是()

A.f{x)^x\,g{x}=4^

B./(x)=7?,g(x)=(A/X)2

C.f(x)=^-^,g(x)=x+l

x-1

D-f(x)—yJx+2-y/x—2,g(x)—yjx2—4

【答案】A

【分析】依次判斷每個選項中兩個函數(shù)的定義域和解析式是否完全相同，由此可得結果.

【詳解】對于A,?."⑺與g(x)定義域均為R,4^=\x\，\/(X)與g(x)為相等函數(shù)，A

正確；

對于B,?.?/(X)定義域為R,8(可定義域為[0,+動，\/⑴與g(x)不是相等函數(shù),B錯

誤；

對于C,?,"(%)定義域為卜|31},g(x)定義域為R,\〃尤)與g(無)不是相等函數(shù)，C錯

誤；

對于D,?."(X)定義域為[2,+8),8(”定義域為(-8,一2]11[2,笆)，\/⑴與g(x)不是相

等函數(shù)，D錯誤.

故選：A.

例1-2.(2023?全國?校聯(lián)考模擬預測)映射由德國數(shù)學家戴德金在1887年提出，曾被稱為“基

礎數(shù)學中最為美妙的靈魂”，在計算機科學、數(shù)學以及生活的方方面面都有重要的應用.例

如，在新高考中，不同選考科目的原始分要利用賦分規(guī)則，映射到相應的賦分區(qū)間內(nèi)，轉換

成對應的賦分后再計入總分.下面是某省選考科目的賦分規(guī)則：

等級原始分占比賦分區(qū)間

A3%[91,100]

B+79%[81,90]

B16%[71,80]

C+24%[61,70]

C24%[51,60]

D+16%[41,50]

D7%[31,40]

E3%[21,30]

Y-YT-T

轉換對應賦分T的公式：；T

Y_卜11-71

其中，Y1,%,分別表示原始分y對應等級的原始分區(qū)間下限和上限；Ti,T2,分別表示原

始分對應等級的賦分區(qū)間下限和上限（T的結果按四舍五入取整數(shù)）

若小華選考政治的原始分為82,對應等級A,且等級A的原始分區(qū)間為［81,87］,則小華的

政治成績對應的賦分為（）

A.91B.92C.93D.94

【答案】C

【分析】根據(jù)賦分公式，分別代入數(shù)據(jù)等級A賦分區(qū)間［91,100］及原始分區(qū)間［81,87］的端點

即可得出結果.

【詳解】等級A賦分區(qū)間［91,100］,原始分區(qū)間為［81,87］,

據(jù)賦分公式，得累~告=詈＜，解得T=92.5293.

o2—ol7—91

故選：C.

例1-3.（2023?全國?高三專題練習）已知3（引=京,則

〃l）+〃2）+〃3）+L+〃2022）+/（j+“m+L+/京＞

4043

【答案】

2

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出/已），進而可得/（x）+/（3=i,由此可得結果.

XX

1

【詳解】解：因為〃加土，所以一（31

1+-1+J

X

所以〃x）+/d）=1X

-----+------=1,

Xl+x1+X

所以〃1)+〃2)+〃3)+-+〃2022)+.(』+/]￡|+-+/(圭)

"(l)+〃2)+佃+“3)+佃+L+〃2022)+/(金)

14043

=/(1)+2021=-+2021=-^―

故答案為：等4043

【規(guī)律方法】

函數(shù)的三要素中，若定義域和對應關系相同，則值域一定相同.因此判斷兩個函數(shù)是否相同,

只需判斷定義域、對應關系是否分別相同.

【變式訓練】

變式1-1.【多選題】(2023.全國.高三專題練習)在下列四組函數(shù)中，/⑴與且⑴不表示同

一函數(shù)的是()

A./(x)=x-l,g(x)=--

X+1

B./(x)=.x+l,g(x)={.

11[T—I,尤<一]

C./(x)=l,g(x)=(x+l)。

D./(x)=x,g(x)=(?)2

【答案】ACD

【分析】通過函數(shù)的定義域，對應法則是否一致進行判斷.

【詳解】對于A,“X)的定義域為R,而g(尤)的定義域為{x|xw-l},所以不是同一函數(shù);

對于B,因為xN-L時，/(x)=x+l；x<-l時，/(%)=-x-l；所以/(x),g(x)表示同一函

數(shù)；

對于C,『⑺的定義域為R,而g(尤)的定義域為{無卜工-1},所以不是同一函數(shù)；

對于D,/□)的定義域為R,而g(x)的定義域為卜舊20},所以不是同一函數(shù)；

故選：ACD.

變式1-2.某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)尤與收款數(shù)y之間的

函數(shù)關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.

【答案】見解析

【解析】(1)列表法：

x(臺)12345678910

y(元)30006000900012000150001800021000240002700030000

（2）圖象法：如圖所示:

30000

(3)解析法:y=3000x,x￡{l,2,3,10).

變式1-3.xdR.

-1+x2

⑴計算的值；

⑵計算/⑴+〃2）+錯）+/（3）+錯）+/（4）+心的值.

【答案】

【解析】思路分析：（1）將函數(shù)的自變量代入計算即可，（2）可以分別將

〃1）,〃2）J（；）J（3）J（；）J（4）J，）的函數(shù)值算出再相加，也可以根據(jù)待求式中數(shù)據(jù)

的特征，結合（1）中所得結果求解.

2111

詳解：⑴由于/（-）=-—所以/?5）+/?（—）=1.

1+aa\+aa

i2i?24

⑵解法一：因為/(1)=h=5,/(2)=K=W，F(xiàn)

1117

所以/■⑴+〃2)+/(e)+〃3)+/(§)+〃4)+/(N=Q.

解法二：因為4)+片)=1,從而〃2)+/(；)=〃3)+/(；)=〃4)+心=1,

111I21

即〃2)+/(5)+/(3)+/(-)+/(4)+/(-)=3,而〃l)=b=2，

1117

所以〃1)+〃2)+/弓)+〃3)+/(§)+/(4)+/(/=].

題型二：求函數(shù)的定義域

例2-1.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)y=/(x)的定義域為卜8,1],則函數(shù)

g(x)=/(2x+l)的定義域()

x+2

「9\「91

A.--,-2U(-2,0]B.[-8,-2)U(-2,l]C.(.,—2)U(—2,3]D.--,-2

【答案】A

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)和具體函數(shù)的定義域可得出關于尤的不等式組，由此可解得函數(shù)g(尤)

的定義域.

【詳解】因為函數(shù)y=〃x)的定義域為[-8,1],對于函數(shù)g(x)=

則有｛cA，解得-彳4*<-2或-2<xW0.

[x+2/02

因此，函數(shù)g("的定義域為-q-21(-2,0].

故選：A.

例2-2.(2022?北京高考真題)函數(shù)/(BML+A/T71的定義域是.

X

【答案】(F,0)5。,

【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；

/、11-----—x20

【詳解】解：因為〃無)=—+JT7,所以,解得xVl且xwO,

X|XWU

故函數(shù)的定義域為(-?,O)u(O』；

故答案為：(Y,O)5?！?/p>

例2-3.(2022秋?河南駐馬店?高三期中)已知/(x-5)的定義域為[2,6],則/(x+1)的定義

域為.

【答案】[T0]

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法求得正確答案.

【詳解[V2<%<6,A-3<x-5<l,

—3<x+1<1,-4-<無<0.

即〃x+l)的定義域為[TO].

故答案為：[T,0]

【規(guī)律方法】

1.已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法

(1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運算構成的，則它的定義域為各基本初等函數(shù)的

定義域的交集.

(2)復合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對應的內(nèi)層

函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可.

2.抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)若已知函數(shù)/"(X)的定義域為[a,b],則復合函數(shù)/'(g(x))的定義域由aWg(x)W6求出.

(2)若已知函數(shù)Hg(x))的定義域為[a,b\,則f(x)的定義域為g(x)在xC[a,b\時的值域.

3.求函數(shù)的定義域，往往要解不等式或不等式組，因此，要熟練掌握一元一次不等式、一元

二次不等式的解法、牢記不等式的性質(zhì)，學會利用數(shù)形結合思想，借助數(shù)軸解題.另外，函

數(shù)的定義域、值域都是集合，要用適當?shù)谋硎痉椒右员磉_或依據(jù)題目的要求予以表達.

【變式訓練】

變式2-1.(2023?北京?高三統(tǒng)考學業(yè)考試)已知函數(shù)，(尤)=>/^.若>=尤)的圖象經(jīng)過

原點，則的定義域為()

A.[0,+oo)B.[ro,0)

C.[l,+oo)D.[-oo,l)

【答案】A

【分析】利用點在函數(shù)的圖象上及偶次根式有意義即可求解.

【詳解】因為函數(shù)〃同=而9的圖象經(jīng)過原點，

所以Jo+a=0,解得a=0,

所以函數(shù)f(x)的解析式為=?.

要使/(彳)=?有意義，只需要x?0,

所以“X)的定義域為[0,+8).

故選：A.

變式2-2.(2023?上海普陀?統(tǒng)考二模)函數(shù)]]的定義域為.

【答案】(一肛0)U

【分析】求函數(shù)y=「[的定義域，保證根號下的式子大于等于0,分母不為0即可.

【詳解】y口,

「.<x,x>-^x<0

xw0

所以定義域為：(-%。川

故答案為：(-°°，o)U

變式23(2023?全國?高三專題練習)己知函數(shù)y=/(l+A/n)的定義域為{xIOVxVl},則

函數(shù)V=/(x)的定義域為

【答案】口，2]

【分析】令"=1+Vi=進行換元，根據(jù)已知函數(shù)的定義求M的范圍即可.

【詳解】令M=1+x,由。得：—1<—X<00<1—x<1,

所以=+gpi<?<2,

所以，函數(shù)y=/(x)的定義域為[1,2].

故答案為：口，2]

題型三：求函數(shù)的解析式

【典例分析】

例3-1.(2023?廣東深圳?高三深圳外國語學校校考階段練習)寫出一個滿足：

/(%+y)=/(%)+f(y)+2孫的函數(shù)解析式為.

【答案】/(x)=x2

【分析】賦值法得到/'(0)=0,/(x)+/(-x)=2x2,求出函數(shù)解析式.

【詳解】〃x+y)=/(x)+/(y)+2孫中,令x=y=O,解得“0)=0,

令〉=一%得〃x—x)=/(x)+〃-x)-2x2,故/(%)+/(-。=牙,

不妨設/(x)=f,滿足要求.

故答案為：/W=x2

例3-2.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)〃x)的定義域為R,值域為(0,+8),且

/(x-y)/(x+y)=r(x)"g]=2,函數(shù)g(x)=/(x)+/(—%)的最小值為2,則=

()

A.12B.24C.42D.126

【答案】D

【分析】方法一：采用賦值法及基本不等式可得/(0)=1,從而結合條件可化簡得

方法二：特殊函數(shù)法由題意不妨設，(力=4,滿足條件，依次求函數(shù)值即可.

【詳解】解：方法一

令x=0,有/(一y)〃y)=r(O),則滿足〃f)〃x)=r(O),

又因為“X)+J(t)N2jf(元)/(一力=2〃0),

所以〃0)=1,

因為〃x-y)/(x+y)=r(x),

〃x+y)“X)

所以

6

所以2+4+8+16+32+64=126

k=\

方法二：抽象出特殊函數(shù)/(￡)=甲，其滿足題目要求，從而快速求得答案

=2+4+8+16+32+64=126,

故選：D

例3-3.(2023?全國?高三專題練習)已知二次函數(shù)〃尤)=加+樂+。(。,仇cwR)滿足：對任

意實數(shù)無，都有〃x)2x,/(-2)=0且當》€(wěn)(1,3)時:有/(x)