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文檔簡介
專題突破:絕對值化簡問題專項探究
01??碱}型
題型1根據絕對值性質化簡,------7--------------------
[絕對值化簡
■題型3絕對值化簡與最值問題:
題型2根據絕對值中未知數的范圍化簡-----、-----'
02技巧解密
絕對值化簡常見問題方法總結
1、根據絕對值的性質化簡
a(a>0)r(〉0)
(D牢記絕對值的性質:|M=o(?=o)或同=二:
[-a(a<0)卜。佃40)
(2)在|=”的組合中,當"="左邊的部分未知時,求"||"內部的數,需要分
類討論;當"="右邊的部分未知時,求"="右邊的值,結果只有一個。
(3)絕對值的非負性應用:當|+11=。"時,則"II”內部的式子整體=。
2、已知范圍的絕對值化簡基本步驟
第1步:判斷絕對值內部式子的正負;
第2步:把絕對值改為小括號;
第3步:去括號;
第4步:化簡合并。
3、絕對值化簡與最值問題對應規(guī)律
(1)當x=a時,|x-a|的最小值=0;
(2)當a4xWb時,|x-a|+|x-b|的最小值=|a-b|;
(3)若a<b<c,當x=b時,|x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a;
03題型突破
題型一根據絕對值的性質化簡
【例1】.(2024春?肇源縣期中)若同+a=0,貝丘是()
A.零B.負數C.負數或零D.非負數
【分析】根據絕對值的性質解答即可.
【解答】解:若同+°=0,則。是負數或零,
故選:C.
【變式1-1].(2024?碑林區(qū)校級模擬)如果|x|卷,那么()
A.-1B.-1^2C.+工D.2
22-2
【分析】根據絕對值的意義求解即可.
【解答】解::1
2
?,1
,,X=±T
故選:C.
【變式1-2].(2023秋?吉安月考)如果H=l川,那么加,"的關系()
A.相等B.互為相反數
C.都是0D.互為相反數或相等
【分析】利用絕對值的代數意義化簡即可得到加與"的關系.
【解答】解:V\m\=\n\,
.,.冽="或心=-小即互為相反數或相等,
故選:D.
【變式1-3].(2023秋?涌池縣期末)若|°+2田6-7|=0,貝Ua+6的值為()
A.-1B.1C.5D.-5
【分析】根據非負數的性質分別求出。、b,計算即可.
【解答】解:;|。+2|+|6-7|=0,
;.|a+2|=0,\b-7|=0,
6Z+2=0,b-7=0,
解得,a=-2,b=7,
則a+b=5,
故選:C.
【變式1-4].(2023秋?東莞市月考)若|尤-1|+|2-川=0,求2x-y的值.
【分析】根據非負數的性質得出x-1=0,2-y=0,即可求出x、y的值,從而求出2x-y的值.
【解答】解:l|+|2-y|=0,
又|2R20,
.'.x-1=0,2-y=0,
*—19y=2,
:.2x-y=2Xl-2=0.
【變式1-5].(2023?南皮縣校級一模)若成力0,那么_h_L+_LkL的取值不可能是()
ab
A.-2B.0C.1D.2
【分析】由MWO,可得:①。>0,b>0,②。<0,6<0,③a>0,b<0,④a<0,b>0;分別計算
即可.
【解答】解:':ab^Q,
有四種情況:①a>0,b>0,@a<0,b<Q,③a>0,b<0,@a<Q,b>0;
①當a>0,b>0時,
Ia|」b|=1+1=2;
ab
②當a<0,6<0時,
h_L+lb」_=_i-i=_2;
ab
③當a>0,6<0時,
1Al+LLL=1-1=0;
ab
④當a<0,6>0時,
1A1+LLL=-1+1=0;
ab
綜上所述,L_L+LLL的值為:±2或o.
ab
故選:C.
題型二已知范圍的絕對值化簡
【例2】.(2023?成都模擬)化簡怔-4|+|3-Tt|=.
【分析】因為n仁3.414,所以3-Tt<0,然后根據絕對值定義即可化簡怔-4出3-n|.
【解答】解:VTT^3.414,
-4<0,3-it<0,
|n-4|+|3-TT|=4-IT+K-3=1.
故答案為1.
【變式2-1].(2024春?松江區(qū)期中)如果。>3,化簡:|1-a|-|a-3|=.
【分析】根據絕對值的性質進行解題即可.
【解答】解::。>3,
/.|1-a\~\a-3\—a~1-(a-3)—a-1-a+3=2.
故答案為:2.
【變式2-2].(2024春?海門區(qū)校級月考)已知|劑=-TH,化簡|刃-1|-|加-2|所得的結果為()
A.2機-3B.-1C.1D.2m-1
【分析】由H=-加,得到機W0,判斷出加-1與〃?-2的正負,然后利用絕對值的性質化簡,去括號,
合并,即可得到結果.
【解答】解::H=-機,
.,.加/0,
.,.m-1<0>m-2<0,
\m-1|-|m-2|=-(w-1)+(m-2)=1-m+m-2=-1.
故選:B.
【變式2-3].(2022秋?市北區(qū)校級期末)當同=5,|b|=7,S.\a+b\=a+b,則6的值為C)
A.-12B.-2或-12C.2D.-2
【分析】先根據絕對值的性質,判斷出a、b的大致取值,然后根據a+b>0,進一步確定a、6的值,再
代入求解即可.
【解答】解:了冏=5,|6|=7,
,。=±5,b=±7
9'\a+b\=a+b,
Q+620,
?"=±5.b=7,
當a=5,b=7時,a-b=-2;
當a=-5,b=7時,a-b=-12;
故的值為-2或-12.
故選:B.
【變式2?4】.(2023秋?文登區(qū)期末)如圖所示,則|-3-〃|-|6+1降于()
________I____?III?
—1?01b
A.4+Q-bB.2+Q-bC.-4-a-bD.-2-a+b
【分析】先根據數軸判斷-3-〃和b+1的正負,再去掉絕對值符號,合并同類項即可.
【解答】解:由數軸可知,-IVaVO,b>\,
:.-3<-3-tz<-2,b+l>0,
|-3-6z|-|Z?+1|
=(3+a)-(b+1)
=3+Q-b-\
=2+Q-b.
故選:B.
【變式2-5].(2023秋?青羊區(qū)校級期末)已知數〃,b,。在數軸上的位置如圖所示,且|°|>|臼>同,化簡|。+臼
-\c-b\+\a-c\=.
______III_________I?
ca0b
【分析】由數軸得CVQVO,b>0,\b\>\a\,進一步判斷出。+6>0,c-b<Of。-。>0,再根據絕對值
的意義化簡即可.
【解答】解:由數軸得cVaVO,b>0,\b\>\a\,
6z+&>0,c-6<0,a-c>0,
\a+b\-\c-b\+\a-c\
=(q+b)-(b-c)+(。-c)
=a+b-b+c+a-c
=2。,
故答案為:2Q.
【變式2-6].(2023秋?思明區(qū)校級期末)如圖,化簡.
a
-------?----?--------?------?
0----1
【分析】判斷出〃-1的取值,再根據絕對值性質計算即可.
【解答】解:由題得1,二.〃-1<0,,-1|=1-
故答案為:1-Q.
【變式2-7[.(2023秋?余下縣期末)有理數〃、從c在數軸上的位置如圖:
(1)判斷正負,用或“V”填空:b-c0,a+b0,c-tz0.
(2)化簡:\b-c|+|a+6|-\c-a\.
iiii)
a06c
【分析】(1)根據數軸判斷出Q、b、。的正負情況,然后分別判斷即可;
(2)去掉絕對值號,然后合并同類項即可.
【解答】解:(1)由圖可知,。<0,b>0,c>0且|b|V|a|V|c|,
所以,b-c<0,Q+6<0,C-a>0;
故答案為:V,V,>;
(2)\b-c|+|a+Z>|-\c-a\
=(c-b)+(-q-b)-(c-a)
=c-b-a-b-c+a
=-2b.
題型三絕對值化簡與最值問題
[例3].(2022秋?泗陽縣期中)式子|x-2|+1的最小值是()
A.0B.1C.2D.3
【分析】當絕對值有最小值時,式子有最小值,進而得出答案.
【解答】解:當絕對值最小時,式子有最小值,
即|x-2|=0時,式子最小值為0+1=1.
故選:B.
【變式3-1].(2023秋?邵陽縣校級月考)當。=時,的值最大,最大值為.
【分析】分“VI、。=1和三種情況討論求出5-|Q-1|W5,問題隨之得解.
【解答】解:當時,tz-1<0,
即5-=5-(1-a)=4+Q,
V6Z<1,
???5-\a-l|=4+a<5;
當a=\時,Q-1=0,
即5Tq-1|=5;
當a>l時,a-1>0,
即5Tq-1|=5-(6Z-1)=6-a,
-QV-1,
5-\a-1|=6-QV5;
綜上:5-|Q-1|W5,當且僅當q=l時,有最大值,最大值為5,
解法二:
???5-\a-1|^5,
.,?當。=1時,的值最大,最大值為5.
故答案為:1,5.
【變式3-2].(2023秋?西安校級月考)當x滿足條件時,-2|+,+3|有最小值,這個最小值是.
【分析】根據絕對值的性質以及題意即可求出答案.
【解答】解:由題意可知:當-3WxW2時,|x-2|+|x+3|有最小值,這個最小值是5.
故答案為:-3WxW2,5.
【變式3-3].(2023春?沙坪壩區(qū)校級月考)已知加是有理數,貝!-2|+|加-4|+|加-6|+|加-8|的最小值
是.
【分析】根據絕對值最小的數是0,分別令四個絕對值為0,從而求得加的四個值,分別將這四個值代
入代數式求值,比較得不難求得其最小值.
【解答】解:???絕對值最小的數是0,
分別當|加-2|,|心-4|,--6|,|刃-8|等于0時,有最小值.
二加的值分別為2,4,6,8.
?①當m=2時,原式=|2-2|+|2-4|+|2-6|+|2-8|=12;
②當m=4時,原式=|4-2|+|4-4|+|4-6|+|4-8|=8;
③當m=6時,原式=|6-2|+|6-4|+|6-6|+|6-8|=8;
④當w=8時,原式=|8-2|+|8-4|+|8-6|+|8-8|=12;
\m-2\+\m-A\+\m-6|+|m-8|的最小值是8.
故答案為:8.
【變式3-4].(2023秋?新羅區(qū)期中)我們已經學習了一個數。的絕對值可分為兩種情況:
[a(a>0).請用你所學的知識解決下面的問題:
11[-a(a<0)
(1)若|a-3|=5,求a的值;
(2)若數軸上表示數a的點位于-3與0之間(含端點),化簡-2|-|a|;
(3)當°=時,|"5|+|a-l|+|a+3|取到最小值,最小值是.
【分析】(1)根據絕對值可得:a-3=±5,即可解答;
(2)根據已知范圍,化簡絕對值,再合并即可;
(3)分四種情況討論,即可解答.
【解答】解:(1):|a-3|=5,
a-3=±5,
解得:a=8或a—-2;
(2)???數軸上表示數。的點位于-3與0之間(含端點),
-34W0,
'?|a-2|-同=-(a-2)+a—-a+2+a=2;
(3)當a25時,原式=a-5+a-l+a+3=3a-3,此時的最小值為3X5-3=12;
當lWa<5時,原式=-a+5+a-l+a+3=a+7,此時的最小值為1+7=8;
當-3<aWl時,原式=-a+5-a+l+a+3=9-a,此時的最小值為9-1=8;
當aW-3時,原式=-a+5-a+1-a-3=-3。+3,這時的最小值為-3X(-3)+3=12;
綜上所述當a=l時,式子的最小值為8,
故答案為:1,8.
【變式3-51.(2023秋?芙蓉區(qū)校級月考)同學們都知道,|5-(-2)|表示5與-2的差的絕對值,實際上
也可理解為5與-2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離,試探索:
⑴|5-(-2)尸;
(2)x是所有符合|x+5|+|x-
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