海南省?？谑?023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

?？谑?023?2024學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)期末考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

-生人A=B=\x\-2<x<3\.4R-

1,若集合I1>,11J,則n4方一

A.1x|0<%<3}B.1%|-2<x<4jC.{0,1,2,3}D.{-2,-1,0,1,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出集合A,再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.

【詳解】由?<2,則

所以A=eZ|A/XW2}={xeZ|0Wx<4}={0,1,2,3,4},

又5=同-2Kx<3},

所以AB={0,l,2,3).

故選：C

G*

2.復(fù)數(shù)z=—(其中，是虛數(shù)單位)，貝Uz的共輾復(fù)數(shù)5=()

1+Z

13.13.13.

A.-------1B.---------1C.—I—ID.—

222222

【答案】C

【解析】

13

【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得z=——i,再由共輾復(fù)數(shù)的概念即可得解.

22

(2-0(1-0l-3z13.

【詳解】-y-------=-------1

(1+0(1-0222

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共輾復(fù)數(shù)的求解，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知向量b=（6,-2）,若a與B共線，則加=（）

A.3B.—C.—D.—3

33

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示，列方程即可求解.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?（根,1）,&=（6,-2）,a與》共線，

所以7"X（—2）=1x6,解得〃2=-3,

故選：D.

4.已知角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)（1,—3）,則sin（7r+a）-sin[+a）=（）

2回C巫2M

55

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角函數(shù)的定義求出sina,cosa,再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.

-3710

【詳解】因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)（1,—3）,所以sina=

10

Vid

COS6Z=

10，

7T_.-3A/107109

所以sin（兀+a）-sin--FCL=-sma-cosa=------------------=------

210105

故選：C

5.陀螺是中國(guó)民間較早的娛樂工具之一，它可以近似地視為由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合而成的幾何體,

如圖1是一種木陀螺，其直觀圖如圖2所示，尸為圓錐的頂點(diǎn)，A,8分別為圓柱上、下底面圓的圓

心，若圓錐的底面周長(zhǎng)為6兀，高為3,圓柱的母線長(zhǎng)為4,則該幾何體的表面積為（）

圖1圖2

A.（33+9行）兀B.（24+9行）兀C,（33+180）兀D,（24+180）兀

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)圓錐（圓柱）的底面圓的半徑為小圓錐的母線為/,根據(jù)圓錐的底面周長(zhǎng)求出廠，再由勾股定

理求出/,最后由表面積公式計(jì)算可得.

【詳解】設(shè)圓錐（圓柱）的底面圓的半徑為小圓錐的母線為/,依題意可得2兀廠=6兀，解得廠=3,

所以/=432+32=3拒，

所以該幾何體的表面積S=nr2+7ir/+27irx4=7ix32+71x3x3^2+2nx3x4=^33+9^2^71.

故選：A

6.已知cosasin/=，,tancr=3tan/?,則sin（a-7?）=（）

6

7117

A.--B.—C.-D.一

9339

【答案】C

【解析】

【分析】利用切化弦的思想和兩角和差公式即可求解

【詳解】因?yàn)閠ana=3tan/,

sina3sinB.八。.八

所以-----二-------,即sinorcosp=3cosasmp,

cosacos0

所以sin（a—分）=sinacosf3-cosasin/?=3cosasinj3-cosasin分二2cosasinj3,

又cosasm/3=—,

6

所以sin（a-〃）=2coscifsin/3=2x—=.

故選：C.

7.若函數(shù)〃x）=Gcos?尤+e）,（＜y＞0,|同〈兀）圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為不且

恒成立，則"=（）

2兀27r7T71

A.—B.------C.-D.-----

3333

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)周期求出①，再根據(jù)為最大值求出9.

兀T71

【詳解】因?yàn)閳D象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為一，所以一=—,即7=兀，

222

又。＞0,所以」=兀，解得。=2,

（D

所以〃X）=J5COS（2X+°）,又恒成立，所以2x1+0=2E/eZ,

2兀27r

解得（P=——+2kji,keZ,又網(wǎng)＜兀，所以。=——.

故選：B

8._ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,sin2B+sin2C—sin2A=sinBsinC＞a=4,

BC邊上的中線為后，則的面積為（）

A.石B.2A/3C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理求出A,再用向量的方法表示中線，再由余弦定理可得次

的值，進(jìn)而求出該三角形的面積.

【詳解】因?yàn)閟in?B+sin?C—sin?A=sinBsinC，由正弦定理可得b?+c?—a?=Z?c，

由余弦定理可得Z?2+c2-A2=2bccosA＞可得cosA=—,

2

而Ae（0,兀），可得A=g,

由余弦定理可得a?—Jj1+c2—2Z?ccosA—b~+c2—be，

^i6=b2+c2-be,①

因?yàn)锽C邊上的中線為布，設(shè)中線為A。，

則2AD=AB+AC，

兩邊平方可得4AD?=AB?+AC?+2AB-AC=AB?+AC?+21AB|?|AC|cosA，

即4*6=/+/+bc，②

②一①可得2Z?c=8,即Z?c=4,

所以SABC=—^csinA=—x4x—=5/3.

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.“綠水青山就是金山銀山”.海口市始終堅(jiān)持生態(tài)優(yōu)先，綠色低碳發(fā)展，空氣質(zhì)量長(zhǎng)期領(lǐng)“鮮”全國(guó).數(shù)據(jù)顯

示，2023年?？谑锌諝赓|(zhì)量創(chuàng)歷史最高水平，位居全國(guó)168個(gè)重點(diǎn)城市之首.生活中常用空氣質(zhì)量指數(shù)

（AQI）描述空氣質(zhì)量，AQI越小，表示空氣質(zhì)量越好.下表為2024年3月18日?3月24日一周內(nèi)海口

市和同為空氣質(zhì)量排行榜前十的“某市”的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）,這組數(shù)據(jù)中，以下表述正確的是（）

2024年3月18日~3月24日

海II巾。“某市”AQI指數(shù)散點(diǎn)圖

S0

70

60

50

40

30

20

10

0

3月3月3月3月3月3月3月

18H19日20日21日22日23日24日

??？谑小澳呈小?/p>

A.?？谑羞@一周AQI的平均數(shù)為22

B.“某市”這一周AQI的中位數(shù)為40

C.兩市這一周AQI指數(shù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差可以反映出兩市空氣質(zhì)量變化的穩(wěn)定情況

D.?？谑羞@一周AQI指數(shù)的方差大于“某市”這一周AQI指數(shù)的方差

【答案】AB

【解析】

【分析】由散點(diǎn)圖計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)判斷A、B;根據(jù)方差的意義和散點(diǎn)圖分析數(shù)值波動(dòng)程度可判定C、

D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)散點(diǎn)圖分析可知，海口市這一周AQI的平均數(shù)為

22+26+33+31+23+9+10”?

--------------------------------------=22,A正確

7

對(duì)于B,觀察散點(diǎn)圖“某市”這一周AQI有31,35,36,40,42,50,74,可知中位數(shù)為40,B正確；

對(duì)于C,兩市這一周AQI指數(shù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差不能完全反映出兩市空氣質(zhì)量變化的穩(wěn)定情況，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D.根據(jù)散點(diǎn)圖觀察?？谑羞@一周AQI指數(shù)的波動(dòng)小于“某市”這一周AQI指數(shù)的波動(dòng)，

所以?？谑羞@一周AQI指數(shù)方差小于“某市”這一周AQI指數(shù)的方差，D錯(cuò)誤；

故選:AB.

10.設(shè)函數(shù)/(x)=lgx,g(x)=f下列關(guān)于/(%)和g(x)的性質(zhì)，正確的是()

A.對(duì)任意的占，%2e(0,+co),=/—

B.對(duì)任意的X],%2e(0,-H?)且石w々>f[.；']

C.函數(shù)g(x)是定義域?yàn)?-1,1)的奇函數(shù)

D.函數(shù)g(x)在定義域上是增函數(shù)

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)分析A,由基本不等式分析B,由函數(shù)奇偶性的判斷方法分析C,由復(fù)合函

數(shù)單調(diào)性的判斷方法分析D.

【詳解】對(duì)于A：對(duì)任意的占,%e(0,+8),/(%1)-/(%2)=^%[-lgx2=lg—=/—,故A

X2\X2J

正確；

對(duì)于B：對(duì)任意的X],x2e(0,+oo)且%w%，=lg\；炮工2=坨J%%,

由基本不等式，由于均，々6(°，+°°)且石彳％2，館(>

即詈］，故B錯(cuò)誤;

A1—YA1—Y1—V

對(duì)于c,g?=/—=lg—,必有——>0,解可得—1<X<1,即函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

ll+xj1+xi+x

1|Y1_-y-

又由g(—x)=lg匚1=—lg==—g(x),即函數(shù)g(x)是定義域?yàn)?—1,1)的奇函數(shù)，故C正確；

1—X

對(duì)于D,gW=lg------=lg1,設(shè)y---------1,易得f在區(qū)間(—1,1)上為減函數(shù),

1+x

而y=lg,在其定義域上為增函數(shù)，故函數(shù)g(x)在定義域上是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—&耳GR中，點(diǎn)石，F(xiàn)，G分別為棱BC,CD,G2的中

點(diǎn)，點(diǎn)M為棱CG上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為側(cè)面8耳內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，AN與側(cè)面5瓦CC成角為45。，則下列說

JT

A.動(dòng)點(diǎn)N所在軌跡長(zhǎng)為一

2

B.平面平面

C.平面AEM截正方體所得的截面圖形始終是四邊形

D.點(diǎn)8和點(diǎn)C到平面AEM的距離相等

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)于A：得出點(diǎn)N在以8為圓心，1為半徑的圓弧上，即可求解；對(duì)于B：通過條件證出AEL

4

平面5耳GE,即可得證；對(duì)于C：通過條件得出平面AEM截正方體的圖形還可以是五邊形AEMW,

即可判斷；對(duì)于D：根據(jù)E為中點(diǎn)，得到點(diǎn)3和C到平面AEM的距離相等，即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)楣て矫?瓦GC,連接BN,則N/WB即為AN與側(cè)面3瓦CO成角,

所以NAA?=45。，則5N=AB=1，

|TT

所以點(diǎn)N在以3為圓心，1為半徑的一圓弧上，圓弧長(zhǎng)為一，故A正確；

42

JT

對(duì)于B,在正方形ABC。內(nèi)，RtABE^RtBCF,ZEAB=/FBC,又NEAB+NBEA=^,

TV

所以〃BC+NBE4=—,

2

所以尸，又3與J,平面ABC。，AEu平面ABC。，

所以AEL34，BB1,班'u平面BB]GE,BBBF=B,

所以AE,平面33]GE,AEu平面AEM,

所以平面49以，平面346歹，故B正確；

對(duì)于C,取CG的中點(diǎn)T，當(dāng)M與T重合時(shí)，連接A。，則有ET//AQ,

E,T,A,2四點(diǎn)共面，

即平面AEM截正方體的圖形是四邊形A，TE,如下圖：

當(dāng)M點(diǎn)在線段C?上時(shí)，在平面抽2。內(nèi)作直線AU//EM,交的延長(zhǎng)線于U,

交4。于V,連接

因?yàn)椤?〃CC1,所以。，U,C,Q四點(diǎn)共面，UMU平面。。GC,UM\SG=W,

即平面AEM截正方體的圖形是五邊形AEMW,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)镋為中點(diǎn)，所以點(diǎn)B和C到平面的距離相等，故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于A關(guān)鍵是確定線面角，從而確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，對(duì)于C,關(guān)鍵是分類討論

要全面.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，第14題第一問2分，第二問3分，共15分.

12.復(fù)數(shù)z=l+oi(aeR)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，目=3,則。=.

【答案】—2庭

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得到a<0,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算可得.

【詳解】復(fù)數(shù)z=l+ai(aeR)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，

所以a<0,又目=在+又=3,解得。=2夜(舍去)或a=—2夜.

故答案為：—20

13.平面向量口，〃為單位向量，且+,貝1]1+2。|=.

【答案】&

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則和性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄縜，B為單位向量，所以同=例=1

因?yàn)?a—+=-1,所以a—a-b—2b=|^|—a-Z?—2|z?|=—1,

所以〃必二0；

r|2r2rrr2.r.2rr1必

所以Q+2〃=a+4a，6+46=\a\+4〃2+4。=5；

即卜+20二E.

故答案為：5

14.已知三棱錐。—A3C的頂點(diǎn)都在球。的表面上，ADJ_平面ABC,8D與底面ABC所成的角為

TT

一,AC=BC,AD=2,的面積為石，_A6C所在的平面與球。的交線長(zhǎng)為,球。的

6

表面積為.

【答案】①.4TI②.20K

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合正弦定理得出三角形ABC外接圓半徑為「，再利用勾股定理求出球半徑R,即

可求解.

【詳解】平面ABC,A3u平面ABC,所以ADIAB,

7TTT

又3。與底面ABC所成的角為:，即ZDBA=-,

66

AD

?BD-2AAB--2—2、h

AD=2,sinZDBA1,tanZDBA73

23

又因?yàn)镾“c=6,

取A5的中點(diǎn)E,連接CE,因?yàn)锳C=5C,所以CE_ZA6,

所以LxABxCE=豆，即工x2若xCE=退，解得CE=1,

22

所以AC=BC=dBE?+CE?=5(Gy+T=2,

AC2+BC2—AB24+4—12

所以cosZACB=所以NACB=120°,

2ACBC2x2x22

AB^=4＞解得r=2,

設(shè)三角形ABC外接圓半徑為r,則2r=

sinZACB

所以ABC所在平面與球。的交線長(zhǎng)即為,ABC外接圓周長(zhǎng)，即2m*=4兀,

設(shè)球。到平面ABC的距離為d,則有22+儲(chǔ)=22+(2-砌2,解得2=1,

從而球O半徑為R=，屋+/=曰4=6,

所以球0的表面積為4兀7?2=4兀x5=20兀.

故答案為：4兀；20TI.

\夕--￡【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定

B

球心的位置.對(duì)于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問題,

注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的

直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.為貫徹落實(shí)中央和省委相關(guān)部署要求，?？谑写罅﹂_展人才引進(jìn)工作.現(xiàn)組織公開招聘，共有100名

應(yīng)聘者參加筆試，他們的筆試成績(jī)都在［50,100］內(nèi)，將筆試成績(jī)按照［50,60),［60,70),

［90,100］分組，得到如圖所示頻率分布直方圖.

人頻率

HL

u5060708090100成績(jī)

(1)求全體應(yīng)聘者筆試成績(jī)的第75百分位數(shù)和平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值代表);

(2)若計(jì)劃面試60人，請(qǐng)估計(jì)參加面試的最低分?jǐn)?shù)線(四舍五入取整數(shù)).

【答案】(1)第75百分位數(shù)為84,平均數(shù)為75.5

(2)73

【解析】

【分析】(1)根據(jù)百分位數(shù)及平均數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；

(2)設(shè)最低分?jǐn)?shù)線定為7,首先判斷fe［70,80),從而得到方程，解得即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?0.01+0.02+0.035)x10=0.65<0.75,

(0.01+0.02+0.035+0.025)x10=0.9>0.75,

所以第75百分位數(shù)位于[80,90)，設(shè)為無，

則(0.01+0.02+0.035)xl0+0.025(x—80)=0.75,解得％=84,

所以第75百分位數(shù)為84,

平均數(shù)0.1x55+0.2x65+0.35x75+0.25x85+0.1x95=75.5；

【小問2詳解】

設(shè)最低分?jǐn)?shù)線定為/，由頻率分布直方圖可得，

分?jǐn)?shù)在[80,100]的人數(shù)為(0.25+0.1)*100=35人；

分?jǐn)?shù)在[70,80)的人數(shù)為0.35x100=35人；

所以fe[70,80),貝10.035(80—f)x100+35=60,解得m73,

所以可估計(jì)參加面試最低分?jǐn)?shù)線73分.

16.已知函數(shù)/(X)=2sin[0x-￡](0<?<3),直線x=g是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸.

(1)求函數(shù)/(%)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

5兀

⑵若xe0,—,求函數(shù)八力的值域.

7171

【答案】(1)最小正周期為兀，單調(diào)遞增區(qū)間為k7l--,k7l+-,ksZ

_63_

(2)[-1,2]

【解析】

【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱性求出即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

(2)根據(jù)x的取值范圍，求出2尤-占的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

O

【小問1詳解】

因?yàn)橹本€x=g是函數(shù)/(%)的圖象的一條對(duì)稱軸，

TTTTTT

所以一co—=—卜kit,keZ,解得口=2+3匕左￡Z,又0vgv3,

362

所以0=2,所以“尤)=2sin卜所以函數(shù)的最小正周期7===兀，

7Tyrjr

令2E—'<2x—+

262

jrjr

解得ku——<x<kii+—.k^Z,

63

77jr

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為+-,keZ.

63

【小問2詳解】

Lt、i八5兀_7171271

因?yàn)椋°，二,所以——~

12o693

所以sin]2x_《)￡

所以/(x)e[—1,2],即“X)在xe0,—上的值域?yàn)閇T,2].

17.己知函數(shù)/(x)=sin—COSIXH--I+COSX+62,/(x)的最小值為—3.

I3J

(1)求。的值；

(2)求/(x)=0的解集；

⑶在銳角一ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若a=3,/(A)=l,求.ABC周長(zhǎng)的

取值范圍.

【答案】(1)a=-1

2冗

(2){x|x=2E或％=丁+2左兀}(左wZ)

(3)(373+3,9]

【解析】

【分析】(1)化簡(jiǎn)/(x),求出最小值，建立關(guān)于。的方程，解方程得解；

TTTTTT57T

(2)解三角函數(shù)方程可得x+—=—+2E或x+—=—+2E,最后寫成集合形式得解;

6666

(3)求周長(zhǎng)范圍轉(zhuǎn)化為求b+c的范圍，然后利用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)知識(shí)即可求得取值范圍.

【小問1詳解】

/(x)=sinj-cosfx+-1-j^sinx+lcosx-[-cosx-^sinXcosx+a

+cosx+a-

22(22J

=在sin%+cos%+〃=2sinx+—|+a

I6

71

因?yàn)椤?的最小值為-3,所以當(dāng)sinXH---=-1時(shí)，/(%=-2+。=-3,

6

所以〃=一1.

【小問2詳解】

兀71

由⑴知，/(x)=2sin%+巳)-1,則2sin[%+g]-l=0,gpsinfx+-^-j=

662

jrjr7TSjr27r

所以—=—F2k7ixH——-----卜2kn,解得％=2E或%=—+2%兀，keZ,

66663

27r

/(x)=0的解集為：{x|x=2kn或％=丁+2左兀/￡Z}.

【小問3詳解】

嗚，

因?yàn)樵阡J角一ABC中，。=3,/(A)=1,Ae

所以F(A)=2sin[A+(卜1=1,即sin[A+()=l

6

所以A+：=—，所以A=z，

623

2R=——=---=2-J3

設(shè),ABC的外接圓半徑為R,則有一sinA一.兀一

sin—

3

所以b=27?sinB=2垂)sinB,c=27?sinC=2^sinC,

所以Z?+c=2G(sinB+sinC)=2GsinB+sin15+1

=2也sinB+—sinB+73cos5=3y/3sinB+3cosB=6sin15

I2

V7

71

0<B<-0<B<-

2TLTL兀n兀2兀

又〈2nn—<3<—n—<B+—<—

八271n兀62363

0<C<-0<-----B<—

232

所以sin15+：e,1,所以b+cw@J5,6],

因?yàn)槭瑸榈闹悬c(diǎn)，所以引0〃OC,又ABIIDC,所以FM〃AB,

所以尸、M、B、A四點(diǎn)共面，所以過點(diǎn)E,產(chǎn)和8將木料鋸開，截面為ABMR；

EF〃平面PBC,證明如下：

因?yàn)镸為尸C的中點(diǎn)，E,產(chǎn)分別為AB和的中點(diǎn)，

所以引0〃￡>C且又底面ABC。為菱形，所以石3〃。。且防=」DC,

22

所以FM//EB且FM=EB,所以四邊形■為平行四邊形，所以EF//BM,

又跖<2平面PBC,BAfu平面PBC,所以所〃平面PBC；

【小問2詳解】

因?yàn)槠矫鍭BC。，OCOEu平面ABC。，

所以PDLDC,PD1DE,又DELPC,PDcPC=P,PD,PCu平面PDC,

所以DEI平面PDC,又RCu平面PDC,所以。EJ_FC,

過點(diǎn)。作連接EH,又FC_LDE,DH?DED,QE1平面0四,

所以bCJ_平面DEH,又EHu平面DEH,所以FC上EH,

所以NDHE為二面角￡—EC—。的平面角，

在RtADFC中。"=DCDF=立，

FC2

又ABIIDC,DEJ.AB,AD=5AE=當(dāng),所以DE==|

DFl-7L71

所以tan/D/ffi=——=6則ND/ffi=—,即二面角￡—PC—。的大小為一；

DH33

【小問3詳解】

切割后兩塊木料分別為四棱錐P-A3MF和多面體CD-，

又四棱錐P—ABCD和四棱錐尸—ABCD同底，且尸為P。的中點(diǎn)，

=

所以YP-ABCD^F-ABCD,不妨設(shè)/一ABCD=8,則^p-ABCD~4,

連接￡8，由于M為PC的中點(diǎn)，所以匕jA//

202311

因{X}=%—3，所以?！秢葉<1,所以—上？<---------{%)<——

1JL」1>20242024(12024

由=——2024x,則2024x=^——所以xe

L202420241'''2024'2024J'

士同時(shí)，km