【學(xué)霸滿分】2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專題11 難點(diǎn)探究專題：新定義型二次函數(shù)的綜合探究問題之八大類型（原卷版）

專題11難點(diǎn)探究專題：新定義型二次函數(shù)的綜合探究問題之八大類型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一新定義型二次函數(shù)——關(guān)聯(lián)拋物線】 1【類型二新定義型二次函數(shù)——友好二次函數(shù)】 5【類型三新定義型二次函數(shù)——衍生拋物線】 13【類型四新定義型二次函數(shù)——同軸對稱拋物線】 19【類型五新定義型二次函數(shù)——孔像拋物線】 25【類型六新定義型二次函數(shù)——伴隨拋物線】 32【類型七新定義型二次函數(shù)——美麗拋物線】 35【類型八新定義型二次函數(shù)——系列平移拋物線】 40【典型例題】【類型一新定義型二次函數(shù)——關(guān)聯(lián)拋物線】例題：如果拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，拋物線的頂點(diǎn)也在拋物線上時(shí)，那么我們稱拋物線與“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖，已知拋物線：與：是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)A，B分別是拋物線，的頂點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)直接寫出A，B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得是直角三角形？如果存在，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；【變式訓(xùn)練】1．新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”，例如，拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為已知拋物線：的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，與y軸交于點(diǎn)E．(1)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求的解析式；(2)設(shè)的頂點(diǎn)為F，若△OEF是以O(shè)F為底的等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，，于點(diǎn)M，N．①當(dāng)MN=6時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為2a，求a的值．【類型二新定義型二次函數(shù)——友好二次函數(shù)】例題：若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同，則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞€”，拋物線：與拋物線：為“友好拋物線”．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是拋物線上在第一象限的動點(diǎn)，過作軸，為垂足，求的最大值；(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，問在的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，且點(diǎn)恰好落在拋物線上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【變式訓(xùn)練】1．定義：若拋物線與拋物線的開口大小相同，方向相反，且拋物線經(jīng)過的頂點(diǎn)，我們稱拋物線為的“友好拋物線”．（1）若的表達(dá)式為，求的“友好拋物線”的表達(dá)式；（2）已知拋物線為的“友好拋物線”．求證：拋物線也是的“友好拋物線”；（3）平面上有點(diǎn)，，拋物線為的“友好拋物線”，且拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，當(dāng)拋物線與線段沒有公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．2．【概念感知】我們把兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對稱軸相間，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)稱為“友好對稱二次函數(shù)”，例如：的“友好對稱二次函數(shù)”為．【特例求解】（1）的“友好對稱二次函數(shù)”為______________；的“友好對稱二次函數(shù)”為____________．【性質(zhì)探究】（2）關(guān)于“友好對稱二次函數(shù)”，下列結(jié)論正確的是___________（填入正確的序號）①二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)沒有“友好對稱二次函數(shù)”；②二次項(xiàng)系為的二次函數(shù)的“友好對稱二次函數(shù)”是它本身；③的“友好對稱二次函數(shù)”為．④任意兩個(gè)“友好對稱二次函數(shù)”與y軸一定有交點(diǎn)，與x軸至少有一個(gè)二次函數(shù)有交點(diǎn)．【拓屐應(yīng)用】（3）如圖，二次函數(shù)與其“友好對稱二次函數(shù)”都與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，C分別在，上，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)均為，它們關(guān)于的對稱軸的稱點(diǎn)分別力，，連接，，，．①若，且四邊形為正方形，求m的值；②若，且四邊形鄰邊之比為，直接寫出a的值．【類型三新定義型二次函數(shù)——衍生拋物線】例題：（2023秋·江西南昌·九年級南昌市第十七中學(xué)校考期末）小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：求解體驗(yàn)：(1)已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則b＝，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，該拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的拋物線表達(dá)式是．抽象感悟：我們定義：對于拋物線，以y軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對稱的拋物線，則我們又稱拋物線為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍．問題解決：(3)已知拋物線．①若拋物線y的衍生拋物線為，兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)；②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為，…（為正整數(shù)）．求的長（用含n的式子表示）．【變式訓(xùn)練】1．我們定義：對于拋物線（a≠0），以y軸上的點(diǎn)M（0，m）為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M成中心對稱的拋物線y'，則我們稱拋物線y'為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．（1）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），則b=_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_______，該拋物線關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對稱的拋物線的表達(dá)式是_______；（2）已知拋物線關(guān)于點(diǎn)（0，m）的衍生拋物線為y'，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）已知拋物線（a≠0）．若拋物線y關(guān)于點(diǎn)（0，k+12）的衍生拋物線為y1，其頂點(diǎn)為A1；關(guān)于點(diǎn)（0，k+22）的衍生拋物線為y2，其頂點(diǎn)為A2；…；關(guān)于點(diǎn)（0，k+n2）的衍生拋物線為yn，其頂點(diǎn)為An；…（n為正整數(shù)），直接寫出AnAn+1的長_________（用含n的式子表示）．【類型四新定義型二次函數(shù)——同軸對稱拋物線】例題：定義：關(guān)于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：的“同軸對稱拋物線”為．(1)請寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；及其“同軸對稱拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)；寫出拋物線的“同軸對稱拋物線”為．(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是拋物線L：上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線”于點(diǎn)C，分別作點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)、，連接、、、，設(shè)四邊形的面積為．①當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求a的值．②當(dāng)拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，請求出a的取值范圍．【變式訓(xùn)練】1．定義：關(guān)于軸對稱的兩條拋物線叫做“同軸對稱拋物線”.例如：的“同軸對稱拋物線”為.(1)求拋物線的“同軸對稱拋物線”.(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線的“同軸對稱拋物線”于點(diǎn)，分別作點(diǎn)、關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)、，連接、、、.①當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求的值.②在①的條件下，拋物線的“同軸對稱拋物線”的圖像與一次函數(shù)相交于點(diǎn)和點(diǎn)（其中在的左邊），將拋物線的“同軸對稱拋物線”的圖像向上平移得到新的拋物線與一次函數(shù)相交于點(diǎn)和點(diǎn)（其中在的左邊），滿足，在拋物線上有且僅有三個(gè)點(diǎn)、、，使得、、的面積均為定值，求、、的坐標(biāo).

【類型五新定義型二次函數(shù)——孔像拋物線】例題：二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．【感知特例】(1)當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線：上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)為，，，，，如表：…（___，___）………①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．【形成概念】我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．【探究問題】(2)①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為______；②若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，直接寫出的值______；③在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式為____________．【變式訓(xùn)練】1．二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．感知特例（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)為，，，，，如下表：…（___，___）………①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問題（2）①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_______；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求的值．【類型六新定義型二次函數(shù)——伴隨拋物線】例題：定義：如圖，若兩條拋物線關(guān)于直線成軸對稱，當(dāng)時(shí)，取頂點(diǎn)左側(cè)的拋物線的部分；當(dāng)時(shí)，取頂點(diǎn)在右側(cè)的拋物線的部分，則我們將像這樣的兩條拋物線稱為關(guān)于直線的一對伴隨拋物線．例如：拋物線與拋物線就是關(guān)于直線軸的一對伴隨拋物線．(1)求拋物線關(guān)于直線的“伴隨拋物線”所對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式．(2)設(shè)拋物線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．①求直線平行于軸時(shí)的的值．②求是直角時(shí)拋物線關(guān)于直線的“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)．③已知點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，直接寫出拋物線及其關(guān)于直線的“伴隨拋物線”與矩形不同的邊有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍．【類型七新定義型二次函數(shù)——美麗拋物線】例題：已知如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A，對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，當(dāng)以線段為對角線的正方形的另兩頂點(diǎn)B、D恰好在拋物線上時(shí)，我們把拋物線稱為美麗拋物線，正方形為它的內(nèi)接正方形．（1）當(dāng)拋物線是美麗拋物線時(shí)，________；當(dāng)拋物是美麗拋物線時(shí)，________．（2）若拋物線是美麗拋物線，請直接寫出的a，k數(shù)量關(guān)系．（3）若拋物線是美麗拋物線，（2）中a，k數(shù)量關(guān)系仍成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（4）已知系列美麗拋物線（n為正整數(shù)，）的頂點(diǎn)為均在直線上，且它們中恰有兩個(gè)美麗拋物線與（s，t為正整數(shù)，，）的內(nèi)接正方形的面積之比為1：4，試求的值．【變式訓(xùn)練】1．定義：如果兩個(gè)二次函數(shù)的圖像的開口大小相同，方向相反且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，則稱其中一個(gè)二次函數(shù)為另一個(gè)二次函數(shù)的美麗函數(shù)．如與互為美麗函數(shù)．(1)求的美麗函數(shù)的表達(dá)式；(2)若的圖像的頂點(diǎn)為P，且經(jīng)過它的美麗函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)Q．①求證：這兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)為P，Q；②點(diǎn)M是在P，Q之間的圖像的動點(diǎn)，軸交的圖像于點(diǎn)N，求MN長度的最大值．【類型八新定義型二次函數(shù)——系列平移拋物線】例題：【特例感知】（1）如圖1，對于拋物線，，，下列結(jié)論正確的序號是_______；①拋物線都經(jīng)過點(diǎn)；②拋物線的對稱軸由拋物線的對稱軸依次向左平移個(gè)單位得到；③拋物線與直線的交點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等．【形成概念】（2）把滿足（為正整數(shù)）的拋物線稱為“系列平移拋物線”．【知識應(yīng)用】在（2）中，如圖2．①“系列平移拋物線”的頂點(diǎn)依次為，用含的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出該頂點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間的關(guān)系式；②“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）”：，其橫坐標(biāo)分別為（為正整數(shù)），判斷相鄰兩點(diǎn)之間的距離是否都相等，若相等，直接寫出相鄰兩點(diǎn)之間的距離；若不相等，說明理由．③在②中，直線分別交“系列平移拋物線”于點(diǎn)連接，判斷是否平行？并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．在平面直角坐標(biāo)系中，有系列拋物線（n為正整數(shù)）．系列拋物線的頂點(diǎn)分別為，，，…，．(1)下列結(jié)論正確的序號是______．①系列拋物線的對稱軸是直線；②系列拋物線有公共交點(diǎn)和；③系列拋物線都是由拋物線平移所得；④任意兩條相鄰拋物線頂點(diǎn)的距離相等；(2)對于任意一條與x軸垂直的直線，與系列拋物線的交點(diǎn)分別為，，，…，．①當(dāng)時(shí)，______；②試判斷相鄰兩點(diǎn)之間的距離是否相等，若相等，直接寫出相鄰兩點(diǎn)之間的距離；若不相等，說明理由；③以為邊作正方形，若正方形的另二個(gè)點(diǎn)落在對稱軸上，求a的值．2．我們把拋物線：（n為正整數(shù)）稱為“拉手系列拋物線”，為了探究的它性質(zhì)，某同學(xué)經(jīng)歷如下過程：【特例求解】（1）當(dāng)n=1時(shí)，拋物線y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；（2）當(dāng)n=2時(shí)，拋物線y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；（3）當(dāng)n=3時(shí)，拋物