廣東省2025屆高三年級上冊第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

廣東省2025屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設(shè)集合/={乂-2<尤<2},8=何|無一2|<2},則/U3=()

A.(-2,2)B.(0,4)C.(0,2)D.(-2,4)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z+忖=l+i,則|z|=()

1

B.D.V2

.已知函數(shù)/(X)滿足/(x)+，占卜1+x,則〃2)=()

4.外接球半徑為痛的正四面體的體積為()

A.史也B.24C.32

D.48五

3

5.設(shè)點(diǎn)尸為圓(x-3)2+j?=i上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為拋物線產(chǎn)=4x上的一動(dòng)點(diǎn)，則戶。的最

小值為()

A.1當(dāng)B.272-1C."當(dāng)"9口.716-2

6.已知/'(x)=lg(af+2ax+1)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,1]C.[1,+?)D.(-oo,0)u(l,+oo)

coscy

7.設(shè)鬼廣為銳角，且cos(a-/?)=----,則。與力的大小關(guān)系為()

cosp

A.a=BB.a>pC.a<f3D.不確定

3322

8.若a>b>0,^a-b=a-b,則工+:的取值范圍是()

ab

A.1[JB.C.(1,3)D.(3,+co)

二、多選題

9.變量xj之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線方=最+&經(jīng)過點(diǎn)(10,加)，且相對

試卷第1頁，共4頁

于點(diǎn)(11,5)的殘差為0.2,貝(J()

X99.51010.511

y1110m65

A.m=8B.務(wù)=—2.8Ca=36D.殘差和為0

10.已知函數(shù)/(1)=2以)8^-以)52%(%￡1<),則()

A./(x)的值域是[-3,3]B.〃x)的最小正周期是2兀

C./(x)關(guān)于無=析(左eZ)對稱D./(x)在$兀上單調(diào)遞減

11.甲、乙、丙、丁四人共同參加4項(xiàng)體育比賽，每項(xiàng)比賽的第一名到第四名的得分依次為

5分，3分，2分，1分.比賽結(jié)束甲獲得16分為第一名，乙獲得14分為第二名，且沒有同

分的情況.貝！I()

A.第三名可能獲得10分

B.第四名可能獲得6分

C.第三名可能獲得某一項(xiàng)比賽的第一名

D.第四名可能在某一項(xiàng)比賽中拿到3分

三、填空題

fxr<0

12.已知函數(shù)/("=e仁人；0過原點(diǎn)。(0,0)作曲線y=/(x)的切線，其切線方程

為.

13.如圖是一個(gè)3x3的九宮格，小方格內(nèi)的坐標(biāo)表示向量，現(xiàn)不改變這些向量坐標(biāo)，重新調(diào)

整位置，使得每行、每列各三個(gè)向量的和為零向量，則不同的填法種數(shù)為

FO(。/)H

(T，。)(0,0)(1,0)

(T'T)(0,-1)

試卷第2頁，共4頁

a?+l,a?<3,

14.已知數(shù)列｛4｝滿足。用=a“記｛%｝的前〃項(xiàng)和為邑，若%=1,則

了，?！?3,

2*

$50=;若41=3,左EN,貝(JS3左+1=.

四、解答題

15.V/BC中，4卅。所對的邊分別為〃,仇。，已知6是。與。的等比中項(xiàng)，且sirU是

sin(B-⑷與sinC的等差中項(xiàng).

(1)證明：COSA=y;

b

(2)求cosB的值.

16.如圖，四邊形/BCD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)尸在底面圓。上，OA=BF=?AD=3,

點(diǎn)G是線段8尸的中點(diǎn)，點(diǎn)H是防的中點(diǎn).

⑴證明：EG〃平面N尸；

(2)求點(diǎn)H到平面DAF的距離.

17.某學(xué)校有42兩家餐廳，王同學(xué)每天中午會(huì)在兩家餐廳中選擇一家用餐，如果前一天選

擇了A餐廳則后一天繼續(xù)選擇A餐廳的概率為:，前一天選擇B餐廳則后一天選擇A餐廳的

21

概率為0,如此往復(fù).已知他第1天選擇A餐廳的概率為第2天選擇A餐廳的概率為相

(1)求王同學(xué)第1~3天恰好有兩天在A餐廳用餐的概率；

⑵求王同學(xué)第eN*)天選擇A餐廳用餐的概率勺.

18.設(shè)直線4:了=缶4：了=-缶.點(diǎn)A和點(diǎn)3分別在直線4和4上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為的中

點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且方.赤=-1.

⑴求點(diǎn)M的軌跡方程：T；

試卷第3頁，共4頁

⑵設(shè),求當(dāng)同取得最小值時(shí)直線的方程；

(3)設(shè)點(diǎn)尸卜石,0)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為。，證明：直線過定點(diǎn).

19.函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,若/(x)滿足對任意當(dāng)再時(shí)，都有

〃再)-〃々)5則稱/(x)是M連續(xù)的.

⑴請寫出一個(gè)函數(shù)/(X)是｛1｝連續(xù)的，并判斷了(X)是否是｛“｝連續(xù)的(〃eN*),說明理由；

(2)證明：若/卜)是［2,3］連續(xù)的，則/'(x)是｛2｝連續(xù)且是｛3｝連續(xù)的；

(3)當(dāng)xe-；，；時(shí)，f(x)=ax3+^bx+i,其中a,beZ,且/(x)是［2,3］連續(xù)的，求的

值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DCDABCADADBCD

題號11

答案ABD

1.D

【分析】計(jì)算出集合8,再根據(jù)并集運(yùn)算可得結(jié)果.

［詳解］根據(jù)題意知|X—2|<2n0<x<4,所以B={x［0<x<4},

則人八何-2<%<4}=(-2,4).

故選：D

2.C

【分析】設(shè)z=〃+6i,q,6￡R,根據(jù)模長公式結(jié)合復(fù)數(shù)相等可求。力，進(jìn)而可得模長.

【詳角軍】設(shè)2=a+6i,a,b￡R,則回二以十從,

可得z+匕卜{a+y/a2+b2j+bi=1+i,

a+Ja2+b2-1fQ=0

則“a+。i,解得%?,

b=l〔6=1

所以|z|=Ja?+萬=1.

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)題意分別令x=2、x=；和x=-l,運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?卜)+/(占)=l+x,

令x=2,可得〃2)+/(—1)=3；

令x=g,可得/］：J+/(2)=：；

兩式相加可得”-l)+d+2〃2)=：,

令x=-l,可得止1)+/出=0；

aa

則2“2)=1,即〃2)=7

答案第1頁，共16頁

故選：D.

4.A

【分析】設(shè)出正四面體棱長，通過作輔助線表示出四面體的高，解直角三角形表示外接球半

徑，由已知外接球半徑為卡可得棱長，再由三棱錐體積公式可得.

【詳解】如圖，設(shè)正四面體尸-4BC的下底面中心為G,連接尸G,則尸G,平面4BC,

連接NG并延長，交BC于D,設(shè)此正四面體的棱長為x,則

2

AG=lAD=^x,%=□亭了邛x,即四面體的高

所以正四面體的體積=gfx4?.豐x4=塔.

故選：A.

5.B

2

【分析】設(shè)。（彳/）,可得|尸。|2|0。-1,利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得|。。|,結(jié)合二次

函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論.

2

【詳解】如下圖，設(shè)

答案第2頁，共16頁

22

則盧。|N|QC卜1,|℃恒(3一3)2+「=(?T)2+8N8,當(dāng)且僅當(dāng)丁=4時(shí)取等號，此時(shí)

0(1,±2)，

■-.\QC\>2V2,因止匕忸°以℃卜122收一1,

故選：B.

6.C

【分析】設(shè):改2+2"+1,由值域?yàn)镽,可以得到才能取遍所有正數(shù)，從而求解.

【t=ax~+2ax+1,

又???/(x)值域?yàn)镽,能取遍所有正數(shù)，

fA=4a2-4a>0““口

,解得aZl,

IQ〉0n

故選：c.

7.A

【分析】先利用兩角和的余弦公式化簡等式可得sin(a-0=0,再根據(jù)a,"范圍求得

a-/3=Q.

【詳解】由a,四為銳角,貝1]cosa>0,cos￡>0,

,7COS?！?/p>

由cos(6z-p)=-------可得cosa=cos(a-mcos￡,

cos6

又由cosa=cosa(a—77+,)=cos(a一')cos'—sin(a—/7)sin0,

所以有sin(a-")sin"=0,由"為銳角可得sin">0,

則sin(a)=0,又由a,尸為銳角可得一]<[一/<|,

故"_'=0,即0=夕.

故選：A.

8.D

答案第3頁，共16頁

【分析】對03-63=/一62進(jìn)行變形，再利用0,6不相等時(shí)/+〃>2仍，即可求出?的

ab

范圍.

【詳解】由/-/=/-/,則(a-6乂/+a6+62)=(a-6)(0+6),

又a>b>G,則〃2+QZJ+Z?2=〃+6,

又當(dāng)。〉6〉0時(shí)，a2+b2>2ab,

因止匕可得，a+b=a2+ab+b2>3ab,

因此可得1+：>3,

ab

故選：D.

9.AD

【分析】結(jié)合回歸方程的性質(zhì)和殘差的定義列方程求根，判斷A,B,C,求殘差和判

斷D.

【詳解】因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線？=晟+&經(jīng)過點(diǎn)(10,〃。，

所以切=10g+(3，5ZM=11+10+m+6+5,

因?yàn)橄鄬τ邳c(diǎn)(11,5)的殘差為0.2,

所以5-(1訪+0=02,

所以%=8,b--3,2>a-40,A正確，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，

所以j>=-3.2x+40,

當(dāng)x=9時(shí)，^=-3.2x9+40=11.2,

當(dāng)x=9.5時(shí)，>>=-3.2x9.5+40=9.6,

當(dāng)x=10時(shí)，y=-3.2x10+40=8,

當(dāng)x=10.5時(shí)，y=-3.2x10.5+40=6.4,

當(dāng)x=ll時(shí)，y=-3.2x11+40=4.8,

所以殘差和為11-11.2+10-9.6+8-8+6-6.4+5-4.8=0,D正確.

故選：AD.

10.BCD

【分析】根據(jù)二倍角余弦公式化簡得出值域及單調(diào)區(qū)間判斷A,D,應(yīng)用周期及對稱軸判斷B,C.

答案第4頁，共16頁

【詳解】因?yàn)閒(x)=2cosx-cos2x=-2COS2X+2cosx+1,

令cosx=t,y=-2t2+2^+1,

^[-1,1]-3<y<j,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

兀1

，=COSX在XWj,71單調(diào)遞減，t=cosxG~1,~時(shí)>=-2d+2%+1單調(diào)遞增，

ir

應(yīng)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，f(x)在§,兀上單調(diào)遞減,D選項(xiàng)正確；

/(尤+2無)=2cos(x+2K)-cos2(x+2無)=2cosx-cos2x=/(x),

y=2cosx的最小正周期是2TT,〉=cos2尤的最小正周期是兀，

/(x)的最小正周期是私2兀的最小公倍數(shù)為211,B選項(xiàng)正確；

f(2hi-x)=2cos(2hr-x)-cos2(2hi-x)=2co&r-cos2x=/(無),/(x)關(guān)于龍=配對稱，C選

項(xiàng)正確；

故選：BCD.

11.ABD

【分析】根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行推理分析知：第三、四名的總分為14分，結(jié)合第一、二名的比

賽項(xiàng)目名次，即可確定正確的項(xiàng).

【詳解】由題設(shè)，

第一名16分，情況如｛2個(gè)第一，2個(gè)第二｝、｛3個(gè)第一，1個(gè)第四｝,

第二名14分，情況如｛1個(gè)第一，3個(gè)第二｝、｛2個(gè)第一，2個(gè)第三｝,｛2個(gè)第一，1個(gè)第

二，1個(gè)第四｝,

所以，第一名與第二名各比賽項(xiàng)目組合情況如下：

第一種情況為：第一名｛2個(gè)第一，2個(gè)第二｝,第二名｛2個(gè)第一，2個(gè)第三｝,或｛2個(gè)第一,

1個(gè)第二，1個(gè)第四｝,

第二種情況為：第一名｛3個(gè)第一，1個(gè)第四｝,第二名｛1個(gè)第一，3個(gè)第二｝,

綜上，第三名最好成績?yōu)椋?個(gè)第二，2個(gè)第三｝,即最高分為10分，故A正確，C錯(cuò)誤；

當(dāng)?shù)谌?個(gè)第二，2個(gè)第四｝,則第四名｛2個(gè)第三，2個(gè)第四｝時(shí)，此時(shí)第四名獲得6分，

故B正確；

當(dāng)?shù)谌?個(gè)第二，2個(gè)第三，1個(gè)第四｝,則第四名｛1個(gè)第二，3個(gè)第四｝時(shí)，此時(shí)第四名

在某一項(xiàng)比賽中拿到3分，故D正確；

答案第5頁，共16頁

故選：ABD.

12.x-ey=O

【分析】根據(jù)題意，設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分類討論，即可求解.

【詳解】當(dāng)x40時(shí)，函數(shù)/1)=/,可得斜(x)=e，

設(shè)切點(diǎn)為尸即乂),則八%)=e*。，

所以切線方程為y-e'。=e'Ff),

因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)0(0,0),可得-e'。=f°e-。，解得演=1,不符合題意，舍去；

當(dāng)尤＞0時(shí)，函數(shù)/'(x)=ln無，可得/(x)=1

設(shè)切點(diǎn)為尸(士,乂)，則/‘區(qū))=’，

演

所切線方程為＞-lnXi=L(x-/),

因?yàn)榍悬c(diǎn)過原點(diǎn)。(。，。)，可得解得西=e,

此時(shí)切線方程為，即x-ey=0,

e

故答案為：x-ey=0

13.72

【分析】要使得每行、每列各三個(gè)向量的和為零向量，根據(jù)對稱性，確定(0,0)所在的行和

再按分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.

【詳解】

123

456

789

首先對3義3的九宮格每個(gè)位置標(biāo)注數(shù)字，

第一步先排(0,0),一共9個(gè)位置，因此有C；種排法，

根據(jù)對稱性知，(0,0)所在的行和列只能排

答案第6頁，共16頁

不妨設(shè)(0,0)在1位置，

第二步排2位置，則從(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)選一個(gè)，因此有C；種排法，

則3位置的數(shù)也定下來了，

第三步排4位置，則從(1,1),(7,7),(1,1)剩余的兩個(gè)中挑一個(gè)，因此有C；種排法，

接著排7位置，7位置是(1,1),(7,7),(1,中剩余的最后一個(gè)，

相當(dāng)于(0,0)所在的行和列都定下來了，

則使得每行、每列各三個(gè)向量的和為零向量，其他四個(gè)位置的向量排法是唯一的，

因此按分步乘法計(jì)數(shù)原理知，C；xC：xC；=72(種)

因此共有72種排法，

故答案為：72.

111一

14.99--^+6k

【分析】根據(jù)題意，當(dāng)q=1時(shí)，得到數(shù)列｛an｝是以L2,3為周期的周期數(shù)列，進(jìn)而求得工。的

值，當(dāng)0<%<1時(shí)，得至++%卬=。？+6，進(jìn)而求得$3什1的值.

??+l,a?<3,

【詳解】由知數(shù)列｛%｝滿足%M=%、記｛斯｝的前”項(xiàng)和為S”，

了，?！?3,

若%=1,。2=%+1=1+1=2,。3=。2+1=2+1=3,

貝！j4=~~=1，%=&+1=1+1=2,。6=〃5+1=2+1=3,

可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛冊｝是以1,2,3為周期的周期數(shù)列，一個(gè)周期的和為1+2+3=6,

所以S50=16(4+。2+。3)+41+4=16x6+1+2=99；

當(dāng)0<〃]<1時(shí)，="1+1，。3=4+2,%=%+3>3,

_

a5==?+1<3,以=。5+1='^+2<3,。7=*+3>3,…,

a3k-i=產(chǎn)+1，4=產(chǎn)?+2,%=產(chǎn)+3,…，

因?yàn)?<q<l時(shí)，可得則以三個(gè)為一組循環(huán)，

且+a3k+aiM=3x+1+2+3=+6,

答案第7頁，共16頁

則S3左+1=%+(〃2+%+。4)+…+Qi+a3k+。3%+1)

+6)=(l+3+l+g+…+P")%+6左

=ax+(3。］+6)+(tZj+6)H—+

1

+6fc.

故答案為：?一，^+6左.

15.（1）證明見解析

（2）cosH=~~-

【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)所得等式，由兩角和與差的正弦公式化簡可得cosN=嗎，再

sin3

由正弦定理化角為邊可得；

（2）由余弦定理化角為邊得。也。等量關(guān)系一"=2碇，再由等比中項(xiàng)所得關(guān)系

/=碇消6,從而求得巴，再由余弦定理轉(zhuǎn)化cosB為名。邊之比求解可得.

C

【詳解】（1）由題，得5M（5-4）=5皿反052-85厭1必，

sinC=sin（兀一（4+B））=sin（5+/）=sinBcosA+cos5sirt4,

因?yàn)閟inA是sin（8-4）與sinC的等差中項(xiàng)，

所以2sin/=sin（5一4）+sinC=2sinBcosA,

45為三角形內(nèi)角,sinZ>0,sin5>0,

e,sin/

貝!JcosA=——,

sinB

在V/8C中，由正弦定理號=&,得當(dāng)=￡,

sinAsinBsm5b

因此cos4=4.

b

^22_2

（2）在V/BC中，由余弦定理得cos/=,

2bc

由（1）知cos/=：,則62+c2―/=g,即/+°2一/=2℃.

b2bcb

因?yàn)閎是。與c的等比中項(xiàng)，所以方2=碇，

答案第8頁，共16頁

Affifac+c2-a2=lac,即/+〃（?一（?=0,貝U有〃=ac=/一〃.

從而⑶一+q_1=0,解得3=z!土蟲或q=土正<0（舍去）,

cc2c2

在V48。中，由余弦定理得

222

na+C-b。2+，_卜2一〃2）a加一）

COSn=---------------------=--------------------------------=-------=-----------，

2ac2ac2acc2

因止匕COSJ8=——-?

2

16.（1）證明見解析

⑵g

【分析】（1）取/下的中點(diǎn)M,證明EG/ADM,根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

（2）先根據(jù)題意證明平面。/尸〃平面OEH,從而點(diǎn)H到平面D4尸的距離即等價(jià)于點(diǎn)￡到

平面尸的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到面的距離向量求法即可求解.

【詳解】（1）證明：取/月的中點(diǎn)為M,連接MDMG,如圖所示，

因?yàn)辄c(diǎn)M,G分別是出和用的中點(diǎn)，所以MG〃/。，S.MG=-AB=AO.

2

在圓柱OE的軸截面四邊形48C。中，AO\\DE,AO=DE.

所以MG//DE,MG=DE,因此四邊形DEGM是平行四邊形.

所以EG//ZW,又￡G<Z平面u平面。/尸，所以EG//平面IMF.

（2）由圓的性質(zhì)可知，連接OG延長必與圓O交于點(diǎn)〃，連接

因?yàn)?。G///尸,。G不在平面￡）/尸內(nèi)，4Fu平面ZX4F,所以。G//平面IMF,

又EG〃平面D/尸，且EGC|OG=G且都在面OE7/,所以平面D4F〃平面OEH.

從而點(diǎn)H到平面。/尸的距離即為點(diǎn)E到平面ZX4尸的距離.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，48的中垂線為無軸，。8所在直線為N軸，OE所在直線為z軸建立空間

答案第9頁，共16頁

直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則￡（0,0,3）,/（0,-6,0）,。（0,-6,3）,尸5，三,0

_,__<33/3

所以次=（0,后3）,通k=（0,0,3）,AF=-,^-,0

設(shè)元=（%,%Z）為平面。//的一個(gè)法向量，

n-AD=3z=0,

則由:―,330可取元=（6

n?AF=—x+---y=0,

[22

因此點(diǎn)E到平面。/尸的距離d=年4=^L=/

\n\V3+12

故點(diǎn)”到平面D4廠的距離為立.

【分析】（1）設(shè)4="王同學(xué)第，,天選擇A餐廳”，利用全概率公式求出p=0.5,再設(shè)設(shè)3="王

同學(xué)第1~3天恰好有兩天在A餐廳用餐”，再利用全概率公式從而可求解.

112"2、

（2）利用全概率公式可得匕+L-二+不，化簡得到々「寸-1匕-1,從而可證

，，-1，為等比數(shù)列,從而可求解月=g+[x]-1

【詳解】⑴設(shè)4="王同學(xué)第，天選擇A餐廳”1=1,2,3）.

答案第10頁，共16頁

2/—\1i/—\21/—\

P（4）=§,P（4）=］；尸（4）=§,尸（4）=§；尸（闋4）="尸

由全概率公式，得尸（4）=2（4）尸（4|4）+P（4）P（H|4）=gx；+；xp=；,解得p=g.

設(shè)8="王同學(xué)第1~3天恰好有兩天在A餐廳用餐”，則3=44%+%44+4Z4，

因此尸（8）=尸（444）+9（444）+尸（444）=4*1、工+&乂不乂工+1*l*不=;.

（2）設(shè)4="王同學(xué)第〃天選擇A餐廳”（〃eN*）,則匕=尸（4）,尸（4）=1-匕，

由題與⑴可得P（4j4）=；,P（4?g.

由全概率公式，得

&=P（4M）=P（4）P（4J4）+尸（4）P（4/4）=卜+:（1-匕）=-卜+；.

21/2、24

則已「k=pE=:，又因?yàn)槎?丁《HO,

所以［匕-5是以首項(xiàng)為《，公比為-9的等比數(shù)列.

I5J154

18.(l)f一匕=i

2

(2)x=1或x=-1

(3)證明見解析

【分析】⑴設(shè)弦）,M（x,y）,由近.麗=-1利用數(shù)量積坐標(biāo)化得到將=1

2x+-j2y

2，

關(guān)系，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式將48坐標(biāo)用M坐標(biāo)表示「,代入消元即可得;

2x-y/2y

2~~，

（2）由雙曲線的性質(zhì)可得看的范圍，得到最小值，再求解最值狀態(tài)下即〃為實(shí)軸端點(diǎn)

時(shí)的直線方程即可;

（3）求解當(dāng)直線斜率不存在時(shí)M。的方程；當(dāng)斜率存在時(shí)，寫出直線的方程，利用一

垂直二平分求解點(diǎn)。坐標(biāo)’進(jìn)而得到直線"。的方程版寸-%=Ur（x-%）‘觀察方

程寫出定點(diǎn).

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【詳解】（1）設(shè)4（石,《）,8（如％）也（％力,則y=";],y2=-A/2X2,

國+x2x+6y

x=2

2，2:

所以＜從而<

V2（再-々）

必+%2x~41y

y=

222

因?yàn)椤?.礪=一1，所以西工2+%>2=再入2-緘1%2=-玉%2=-1，即再%2=1.

則在上正X空二五=1,化簡得無2一片=1.

222

2

所以點(diǎn)M的軌跡方程為尤2一匕=1.

2

2

（2）由（1）得x；=l+￡zl,則間的最小值為1,此時(shí)％=1或%=-1,

即加（1,0）或M（-1,O）.

當(dāng)M（1,O）時(shí)，可得再=l，z=l,從而直線的方程為x=l；

當(dāng)M（-1,O）時(shí)，同理可得直線NB的方程為x=T.

（3）設(shè)"'（%,%）,同21,由⑵可知,

當(dāng)加（1,0）時(shí)，直線48：x=l,得°（2+后0）,直線M°:y=O；

當(dāng)M（-1,O）時(shí)，直線/8:x=T,得。卜2+石,0）,直線MQ:〉=0.

當(dāng)M（x。,%）是其他點(diǎn)時(shí)，直線的斜率存在，

x+x

n,_Ji-J2_^（i2）_V2X2X0_2X0

且^AB———~TT-'

項(xiàng)一%占一％72yo%

21

則直線48的方程為夕-為二二?卜一工。），

%

2

注意到x；-￡=1,化簡得AB-.2xax-yoj-2=O.

點(diǎn)尸卜百,0）與0關(guān)于直線AB對稱，

-yf-°x2x0-1

（+6%一

設(shè)0（M"）,則由，

2X0J丁一/X^2-2=0

解得。

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2%

,、,?_]%

又,所以％°=---口|-----

二九

x0—V3

從而同。：y一為=-^-7=(x-X0),

Xo-V3

令X=VL得y=0,因此直線M0過定點(diǎn)T(6,0卜

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題目的關(guān)鍵在于多參設(shè)法的消參方法，一是代入消元，如第(1)

問中將士,以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)xj表示代入關(guān)系式不9=1即可；二是整體消元，如第(3)問中

X：-日=1的應(yīng)用；三是設(shè)而求法，解元消元，如第(3)問中O(x',y')坐標(biāo)的運(yùn)算求解.

°2

19.(l)f(x)=x,是的，理由見解析

(2)證明見解析

(3)答案見解析

【分析】(1)可舉例斜率為1的一次函數(shù)，函數(shù)值與自變量的增量相同更易于分析;

(2)利用不等式的同向可加性質(zhì)，將/(x+6)-/(X)從兩個(gè)角度變形可得

2+2+2</(x+6)-/(x)<3+3,進(jìn)而得證；

(3)利用不等式的同向可加性質(zhì)與(2)結(jié)論先證明f(x)是［0,1］連續(xù)的，可得

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,然后轉(zhuǎn)化為3#NO”恒成立求解驗(yàn)證即可.

上⑺“122」

【詳解】(1)函數(shù)/口)=》是｛1｝連續(xù)的，也是｛可連續(xù)的.理由如下：

由占一%=1,有/(占)-/(無2)=芭-遍=1,

同理當(dāng)占一/=〃，有/(X1)-/(X2)=X1-x2=n,

所以/■(無)=x是｛1｝連續(xù)的，也是｛碎連續(xù)的.

(2)因?yàn)?⑴是［2,3］連續(xù)的，由定義可得對任意國,％eR,

當(dāng)2Vxl-時(shí)，有2V/(尤J_/(X2)V3,

所以有

/(x+6)-/(x)=/(x+6)-/(x+4)+/(x+4)-/(x+2)+/(x+2)-/(x)>6,

且/(X+6)-/(X)=/(X+6)-/(X+3)+/(X+3)-/(X)46,

所以/(x+6)-/(x)=6,