2022-2024年高考數(shù)學試題分類匯編：導數(shù)及其應用（解析版）

三年真題

4M03導照及其應用

目制魯港。絹施留

考點三年考情（2022-2024）命題趨勢

2024年全國甲卷（理）、2023年全國甲卷（文）

考點1:切線問題2024年全國I卷、2022年全國II卷

2022年全國I卷

2023年全國乙卷（文）

2022年全國乙卷（理）

考點2：單調性、極最

2023年北京卷

值問題2024年全國I卷、2024年全國II卷

2023年全國H卷、2023年全國n卷

高考對導數(shù)及其應用的考查相

2022年全國乙卷（文）

2022年全國甲卷（文）對穩(wěn)定，屬于重點考查的內

2022年全國甲卷（理）

容.高考在本節(jié)內容上無論試

考點3：比較大小問題2022年全國I卷、2024年北京卷

2024年天津卷題怎樣變化，我們只要把握好

2023年全國甲卷（文）、2023年天津卷

導數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具

考點4：恒成立與有解2024年新課標全國n卷

2023年全國甲卷（文）、2023年全國甲卷（理）這一點，將函數(shù)的單調性、極

問題

2024年全國甲卷（理）、2024年全國I卷

值、最值等本質問題利用圖像

2023年全國乙卷（理）

考點5：極最值問題2023年北京卷直觀明了地展示出來，其余的

2024年全國n卷

就是具體問題的轉化了.最終

2024年全國甲卷（文）、2023年天津卷

考點6：證明不等式2023年全國I卷、2023年全國II卷的落腳點一定是函數(shù)的單調性

2022年全國n卷

與最值，因為它們是導數(shù)永恒

考點7：雙變量問題（極2022年全國甲卷（理）

2022年北京卷、2022年天津卷的主題.

值點偏移、拐點偏移）

2022年浙江卷、2024年天津卷

2024年全國n卷

2023年全國乙卷（文）、2024年天津卷

2024年全國甲卷（文）

考點8：零點問題2023年天津卷、2022年天津卷

2024年北京卷

2022年全國乙卷（文）、2022年全國甲卷（文）

2022年全國乙卷（理）、2022年全國I卷

曾窟饗綴。闔滔運溫

考點1:切線問題

1.（2024年高考全國甲卷數(shù)學《理）真題）設函數(shù)〃尤）=:；：；”,則曲線y=〃x）在點（（H）處的切線

與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（）

11_12

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】A

(ex+2cosx)(l+x2)-(ex+2sinx)-2x

［解析］rw=---------------(，--------------------，

(i+x)

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

貝U-(0)=1------------八，、\---------------=3,

即該切線方程為、T=3x,即y=3x+l,

令％=0,貝!Jy=l,令y=。，貝!Jx=

故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S=：xlx-：=：.

25o

故選：A.

2.（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）曲線y=￡在點［1,；）處的切線方程為（）

x+1I2）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+——

424424

【答案】c

【解析】設曲線y=工在點k，；］處的切線方程為y-；=M》T），

x+1k2

因為y=——，

X+1

xe

所以y=二一'一

(x+i『(x+以‘

所以％=y'g=?

所以y―"|=2(xT)

所以曲線y=q在點處的切線方程為y無+［.

x+1V2；44

故選：C

3.（2024年新課標全國I卷數(shù)學真題）若曲線y=/+x在點（0,1）處的切線也是曲線y=ln（x+1）+。的切線,

貝!!a=.

【答案】In2

,

【解析】由y=e'+無得y'=e*+1,ylI=0=e°+1=2,

故曲線、=/+》在（0,1）處的切線方程為y=2x+l；

由y=ln（尤+l）+a得y=-----,

設切線與曲線y=ln（x+l）+a相切的切點為（Xo，ln（xo+l）+a）,

由兩曲線有公切線得，=一9=2,解得無。=一:，則切點為+

玉）十12122J

不呈y=21x+—+In—=2x+1+q—In2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案為：In2

4.（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為,

【答案】y=-xy=--x

ee

【解析】［方法一］:化為分段函數(shù)，分段求

分x>0和x<0兩種情況，當x>0時設切點為（玉,山5）,求出函數(shù)

俗

導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出方,即可求出切線方程,

當x<0時同理可得；

因為y=ln|x|,

當x>。時y=lnx,設切點為（％,In%）,由y'=g，所以=所以切線方程為y—lnx。=1（x7o）,

又切線過坐標原點，所以Tnx°=-^（-x。），解得％=e,所以切線方程為yf=』（x_e）,即y=L；

xoee

當xvO時y=ln（-x）,設切點為（％,In（-石）），由y=L所以川日=,，所以切線方程為

x玉

y_ln（f）=一（工一七）,

又切線過坐標原點，所以-ln（F）=,（F）,解得當=-e,所以切線方程為y_i=L（x+e）,即y

%—ee

故答案為：y=—x；y=-x

ee

［方法二］:根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結合

當x>0時y=ln%,設切點為（毛,In%）,由y'=L,所以91=%=’,所以切線方程為丁一足毛=一（工一/）,

又切線過坐標原點，所以解得%=e,所以切線方程為y_i=」（x-e）,即y=L；

/ee

因為y=ln|R是偶函數(shù)，圖象為：

ee

［方法三］:

因為y=ln|X,

當x>0時y=lnx,設切點為（?,In%）,由了=!，所以y'L&='，所以切線方程為y-lnx。=—（x-x0）,

xX0玉）

又切線過坐標原點，所以一比不二-^-%），解得%=e,所以切線方程為y_l=』（x_e）,即y=L；

xoee

當xv。時y=ln（—x）,設切點為（％,In（-石）），由；/=」,所以川『=,，所以切線方程為

x再

j-ln（-x1）=—（x-xj,

xi

又切線過坐標原點，所以-ln（F）=’（-xJ,解得士=-e,所以切線方程為>_1=-1（》+6）,即y=」x；

七一ee

故答案為：y=—x；y=-x.

ee

5.（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）若曲線y=（x+a）ex有兩條過坐標原點的切線，則。的取值范圍

是.

【答案】（FT）U（O,+?0

【解析】Vy={x+a)ex,yr=(x+l+a)ex,

設切點為(X。,%)，則%=(%+。)e"，切線斜率左=(毛+1+〃)e",

切線方程為：y-(%o+〃)e%=(x0+l+a)e"(x-x0),

;切線過原點，，一(%+。卜而=(x0+l+〃)e"(-X。)，

整理得：x；+CIXQ—a=0,

;切線有兩條，***A=〃+4〃>0,解得Q<-4或4〉0,

???a的取值范圍是(—T)U(O,y),

故答案為：(-°°,~4)U(。,+°°)

考點2：單調性、極最值問題

6.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(文)真題)已知函數(shù)〃x)=&+dln(l+x).

⑴當a=-l時，求曲線y=/(x)在點(L〃l))處的切線方程.

(2)若函數(shù)“X)在(0,+“)單調遞增，求。的取值范圍.

【解析】(1)當a=—l時，/(x)=Q-l^ln(x+l)(x>-l),

貝"f'{x}=--xln(x+l)+f--l^x,

XkXJX十1

據(jù)此可得/(l)=0，r(l)=-ln2,

所以函數(shù)在處的切線方程為卜0=-山2(%-1),即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由函數(shù)的解析式可得:=+++,

VX)VXJX十L

滿足題意時r(x”0在區(qū)間(0,+。)上恒成立.

令(—11n(x+l)+1—FQ]----20,則一(九+l)ln(x+l)+(x+tzx2)N0,

令g(x)=加+龍-(》+1)皿龍+1),原問題等價于g(x)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立，

貝!1g'(x)=2ar-ln(x+l),

當時,由于2方40,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調遞減,

此時g(x)<g(O)=O,不合題意；

令無(X)=g/(x)=2ox-ln(x+l),則"(x)=2a...—,

當awg,2aWl時，由于占<1,所以/z'(x)>O，Mx)在區(qū)間(0,+s)上單調遞增，

即g'(無)在區(qū)間(0,+力)上單調遞增，

所以g3>g，(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增,g(x)>g(o)=o,滿足題意.

當0<°<!時，由〃(x)=2a--—=0PT^X=--一1,

2x+12a

當時，/1'(力<0,/1(力在區(qū)間10,：-1)上單調遞減，即g'(x)單調遞減，

注意到g'(0)=0,故當xe(0,］-1時，g，(x)<g，(O)=O,g(x)單調遞減，

由于g(0)=0,故當時，g(x)<g(O)=O,不合題意.

綜上可知：實數(shù)0得取值范圍是卜

7.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(理)真題)已知x=%和了=々分另I」是函數(shù)/(x)=2/-e/(a>0且。工1)

的極小值點和極大值點.若為<々，則a的取值范圍是.

【答案】

【解析】［方法一］:【最優(yōu)解】轉化法，零點的問題轉為函數(shù)圖象的交點

因為/'(x)=21na?優(yōu)-2er,所以方程21na-2ex=0的兩個根為為,三,

即方程Inau*=e>x的兩個根為再，三，

即函數(shù)y=lna-"與函數(shù)y=ex的圖象有兩個不同的交點，

因為不，%分別是函數(shù)/(x)=2，-e?的極小值點和極大值點，

所以函數(shù)“X)在和(*2，+°°)上遞減，在(石,馬)上遞增，

所以當時(-。,石)(々,+。)，/'(力<0,即丁=6%圖象在y=lnad上方

當無?玉,無2)時，r(x)>0,即丫=6圖象在y=lne"下方

a>l,圖象顯然不符合題意，所以。<a<l.

令8(尤)=1114―i/,貝ljg,(x)=ln2fl-ax,0<a<l,

設過原點且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點為(%,1強.4)，

則切線的斜率為g'N”111%，源，故切線方程為丁-Ma,熄=ln%-a&(x-%),

則有-Inad。=T°ln2a.*,解得毛=白，則切線的斜率為吩a..*=eh?a，

因為函數(shù)y=lne"與函數(shù)V=ex的圖象有兩個不同的交點,

所以elYave,解得又Ovavl,所以—

ee

綜上所述，”的取值范圍為g,1).

［方法二］:【通性通法】構造新函數(shù)，二次求導

f\x)=21na--2ex=0的兩個根為玉,三

因為蒼，馬分別是函數(shù)/(3)=2#-er2的極小值點和極大值點，

所以函數(shù)〃尤)在(-力,西)和(*2，+°°)上遞減，在(占,%)上遞增，

設函數(shù)g(x)=/'(x)=2(a*lna-ex),則8)=2aT(lna)2-2e,

若“>1,則'(%)在R上單調遞增，此時若/(%)=0,

則/'(X)在(-8,%)上單調遞減，在(5,+8)上單調遞增，止匕時若有X=X［和X=Z分別是函數(shù)

〃耳=2"-成(4>0且awl)的極小值點和極大值點，則%>%，不符合題意；

若則”)在R上單調遞減,此時若［%)=0,則/⑺在(-8,%)上單調遞增，在伉,+8)上單調

遞減，令'(%)=0,貝1*=石顯，此時若有x=七和彳=々分別是函數(shù)/("=2"-02(。>0且"1)的極

小值點和極大值點，且％<%,則需滿足尸(%)>0,7''(Xo)=2(*lna-exo)=2(高一e/］>。，即

x0<,xolna>1故lna、>=%olna=In(仙『>1,所以!<a<l.

【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關系，由數(shù)形結合解出，突出“小題小做”，是該題

的最優(yōu)解；

法二：通過構造新函數(shù)，多次求導判斷單調性，根據(jù)極值點的大小關系得出不等式，解出即可，該法屬于

通性通法.

x+2,x<-a,

8.(2023年北京高考數(shù)學真題)設。>0,函數(shù)/(x)=、層，，-aWxWa,,給出下列四個結論：

①f(x)在區(qū)間(a-1,+8)上單調遞減；

②當。時，〃x)存在最大值；

③設(再Va),N(%2，/(々*々>a),則|ACV|>1；

④設網(wǎng)演,/(芯))(工3<-。)，。(%4，/(%))(工42-。).若IPQI存在最小值，則。的取值范圍是(。，g.

其中所有正確結論的序號是.

【答案】②③

【解析】依題意，a>0,

當x<-a時，f(x)=x+2,易知其圖像為一條端點取不到值的單調遞增的射線；

當-aWxWa時-，f⑺=五-x?,易知其圖像是，圓心為(0,0),半徑為。的圓在x軸上方的圖像(即半圓);

當無>a時，/(x)=-^-l,易知其圖像是一條端點取不到值的單調遞減的曲線；

顯然，當xc(a-l,+s),即尤時，“X)在上單調遞增，故①錯誤；

對于②，當時，

當工<-〃時，y(x)=x+2<—a+2<1；

當-aWxWa時，/(無)=一肘顯然取得最大值a；

當x>a時，/(X)=-A/X-1<-VO-1<-2,

綜上：/(%)取得最大值。，故②正確；

對于③，結合圖像，易知在為=。，/>。且接近于x=a處，MR/aDaWa),N(X2，/(尤2?(尤2>。)的距

離最小，

當％=a時，y=/(可)=0,當々>4且接近于x=a處，J2=f(x2)<-\/a-l,

此時，|項|>%-%>&+1〉1，故③正確；

因為尸(七,/(覆》(W<-?),2(X4,/(X4))(X4>-a),

結合圖像可知，要使|尸。|取得最小值，則點尸在〃力=。2口<-￡|上，點。在

同時歸。|的最小值為點。到了3=x+2、<T]的距離減去半圓的半徑。，

此時，因為〃x)=y=x+2(x<-gj的斜率為1,則%=-1,故直線OP的方程為了=一X,

聯(lián)立，,解得1，則尸-1,1,

[y=x+2[y=l

顯然P(-l,l)在/(x)=X+<-[J上，滿足「0取得最小值，

即a=g也滿足怛。|存在最小值，故.的取值范圍不僅僅是,故④錯誤.

故答案為：②③.

9.(多選題)(2024年新課標全國I卷數(shù)學真題)設函數(shù)/(X)=(X-1)2(X-4),則()

A.x=3是f(x)的極小值點B.當0<x<l時，/(x)</(x2)

C.當1<X<2時，-4</(2x-l)<0D.當-!<x<0時，f(2-x)>f{x}

【答案】ACD

【解析】對A,因為函數(shù)〃x)的定義域為R,而/'(尤)=2(x-l)(x-4)+(x-l)2=3(尤一1)(無一3),

易知當x?l,3)時,尸(力<0,當xe(T,l)或x?3,+8)時,/(x)>0

函數(shù)”X)在(-8,1)上單調遞增，在(1,3)上單調遞減，在(3,+8)上單調遞增，故x=3是函數(shù)〃元)的極小值

點，正確；

對B,當0cx<1時，x-x2=x(l-x)>0,所以

而由上可知，函數(shù)〃尤)在(0,1)上單調遞增，所以>/(寸)，錯誤；

對C,當1。<2時，l<2x-l<3,而由上可知，函數(shù)〃尤)在(1,3)上單調遞減，

所以/⑴>/(2x-1)>/(3),即T<"2x_l)<0,正確;

對D,當一l<x<0時，/(2-X)-/(X)=(1-%)2(-2-%)-(%-1)2(%-4)=(^-1)2(2-2X)>0,

所以/(2—x)>/(x),正確；

故選：ACD.

10.(多選題)(2024年新課標全國II卷數(shù)學真題)設函數(shù)/(》)=21_3加+1,則()

A.當。>1時，Ax)有三個零點

B.當。<0時，x=0是/(X)的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點為曲線>=/(無)的對稱中心

【答案】AD

【解析】A選項，/(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe0)u(a,+oo)時/'(尤)>0,故/(x)在(-co,0),(a,+oo)上單調遞增,

xe(0,a)時，f\x)<0,/(x)單調遞減，

則f(x)在尤=0處取到極大值，在無=。處取到極小值，

由/(0)=1>0,/(a)=l-a3<0,則/(0)/(a)<。,

根據(jù)零點存在定理/(X)在(0,?)上有一個零點，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2a)=4a3+l>0,KO/(-1)/(0)<0,f(a)f(2a)<0,

則/(x)在(TO),(d2a)上各有一個零點，于是。>1時，/(x)有三個零點，A選項正確；

B選項，f'{x}=6x{x-a),a<0時，無e(a,。),/'(x)<0,/(x)單調遞減，

xe(0,+oo)時/(x)>0,f(x)單調遞增,

此時/(x)在x=0處取到極小值，B選項錯誤；

C選項，假設存在這樣的d"使得x=b為/(x)的對稱軸，

即存在這樣的",b使得/(x)=〃26-尤)，

即2V—36,+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根據(jù)二項式定理，等式右邊(26-幻3展開式含有/的項為2C；(2與°(-x)3=-2/，

于是等式左右兩邊V的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的。,6,使得x=b為〃x)的對稱軸，C選項錯誤；

D選項，

方法一：利用對稱中心的表達式化簡

/(1)=3-3?,若存在這樣的使得(L3-3a)為〃x)的對稱中心,

則/(x)+"2—x)=6-6a,事實上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)/+(12a-24)x+18-12a

12-6〃=0

即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1"(D)是/(x)的對稱中心，D選項正確.

18—12〃=6—6〃

方法二：直接利用拐點結論

任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，

/(%)=2/一3公2+1,fr(x)=6x2-6ax,7"(%)=12%—6。，

由1(x)=0ox或于是該三次函數(shù)的對稱中心為，J,

由題意(1J⑴)也是對稱中心，故￡=10。=2,

即存在a=2使得(1,7(1))是f(X)的對稱中心，D選項正確.

故選：AD

11.(多選題)(2023年新課標全國H卷數(shù)學真題)若函數(shù)y(x)=alnx+g+5(aw0)既有極大值也有極小

值，則().

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函數(shù)〃x)=alnx+2+二的定義域為(0,+s),求導得八當=

%%XXXX

因為函數(shù)/(兄)既有極大值也有極小值，則函數(shù)/'(X)在(0,+8)上有兩個變號零點，而〃W0,

因此方程欠2一2c=0有兩個不等的正根石，九2，

A=/?2+Sac>0

b八

于是再+"2=—>。即有/+8ac>0,ab>0,ac<0,顯然a%c<0,即6c<0,A錯誤，BCD正確.

a

2c八

再“2二----〉0

a

故選：BCD

12.(2023年新課標全國II卷數(shù)學真題)已知函數(shù)/(x)=ae￡-lnx在區(qū)間(1,2)上單調遞增，則”的最小值

為(),

A.e1B.eC.JD.e-2

【答案】C

【解析】依題可知，尸(X)=改一^20在(1,2)上恒成立，顯然?！?,所以xe-：,

設g(x)=xe，,xe(l,2),所以g〈x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(1,2)上單調遞增,

g(x)>g(l)=e,故即=即a的最小值為

故選：C.

13.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(文)真題)函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2司的最小值、最大

值分別為()

,兀兀3兀71一兀兀C37171c

A.—，一B.,一C.—,—F2D.-----,—F2

22222222

【答案】D

【解析】/r(%)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以“X)在區(qū)間(0馬和仔,上用X)>0,即/(X)單調遞增；

在區(qū)間上/'(力<。，即單調遞減，

又〃。)=〃2兀)=2,佃=>2,哈‘倡+11

所以/(%)在區(qū)間［0,2司上的最小值為-年,最大值為］+2.

故選：D

考點3:比較大小問題

14.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(文)真題)已知9m=10,a=10'"-11,6=8"<9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】［方法一］:(指對數(shù)函數(shù)性質)

由9"=10可得機=1嗝1。=瞿>1，而lg91gli<(lg9+lgU］=(粵］<l=(lglO)\所以瞿〉黑，

1g92J{2Jv'1g9IglO

即〃z>lgll,所以o=l(T-11>10電"_11=0.

又lg81glO<［g8；gl°J=僵2)<(則,所以督〉個,BPlog89>m,

所以/,=8"'-9<8叱'9-9=0.綜上，a>Q>b.

［方法二］：【最優(yōu)解】(構造函數(shù))

由9"=10,可得m=log910e(l,L5).

根據(jù)的形式構造函數(shù)/(了)=尤皿-尤-1(尤>1),則據(jù)(x)=%x"T-l,

令/'(x)=0,解得%=機占，由機=log910e(l,L5)知不€(0,1).

f(x)在(1,+?)上單調遞增，所以〃10)>/(8),即a>b,

又因為/(9)=9|。凝|。-10=0,所以。>0>b.

故選：A.

【點評】法—：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用的形式構造函數(shù)/(x)=--x-l(x>l),根據(jù)函數(shù)的單調性得出大小關系，簡單明了，是該

題的最優(yōu)解.

3111

15.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題)已知。=J,6=cos—,c=4sin—,貝ij()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法一］:構造函數(shù)

因為當xe<tanx

C1c

故一=4tan—>1,故J>1,所以c>Z?；

b4b

12

f(x)=cosx+—x-1,XG(0,4-00),

f'(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+oo)單調遞增，

故弁］>/(。)=。，所以COS」1^>0,

14；432

所以">“，所以c>〃>4,故選A

［方法二］:不等式放縮

因為當x￡[o,]J,sinx<x,

取龍=!得：cos^=l-2sin匚>1-2已]=—,故

848⑻32

4sin—+cos—=J17sin+9],其中夕e(0,—,且sin(p——,coscp——

..11r~r_L1冗p711

當>lz4sin—+cos—=J17時，一+0=—,及(p=-------

444224

…?141.1

止匕時sin—=coscp-,cos—=sin0=—j=

4V174V17

u114?14?1乂

故cos：=r=<—j==sm—<4sm—,故Z?v。

4V17V1744

所以匕>。，所以C〉Z?〉Q,故選A

[方法三]:泰勒展開

3102s20.2520.254

設％=0.25,貝lj〃=衛(wèi)=1—22-b=cos'l-H--------

322424!

.I

.1Sin410.2520.254、1生/口43

c=4Asm-=-^—^l-+,計算得c>b7〉〃，故選A.

4

[方法四]:構造函數(shù)

因為￡=4tan!，因為當％￡(0,=],sinx<x<tan%,所以即所以c>b；設

b4V2J44b

f(x)=cosx+x2-1,xG(0,+co),/'(x)=—sinx+x>0,所以了。)在(0,+8)單調遞增，則>/(0)=。,

131

所以COS1—石■>0,所以所以c>Z?〉〃，

故選:A.

[方法五]:【最優(yōu)解】不等式放縮

因為￡=4tan!，因為當無/0,g],sinx<x<tanx,所以tan，>L即f>1,所以c〉b；因為當

b4I2J^44%

尤e(0，V],sinx<x,MXx=-^cos-=l-2sin2->l-2f->|=—,故〃>。，所以c>b>a.

12)848⑻32

故選：A.

【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數(shù)，屬于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式無e[o,",sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關系，屬于最優(yōu)解.

16.(2022年新高考全國I卷數(shù)學真題)設。=0.卜°/力=，c=-ln0.9,貝ij()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】方法一：構造法

1Y

設f(x)=ln(l+x)-Xx>-1),因為/(%)=J--1=—丹，

1+x1+x

當xw(—l,0)時，f\x)>0,當％w(0,+8)時r(無)<0,

所以函數(shù)fM=ln(l+%)—x在(0,+s)單調遞減，在(-1,0)上單調遞增，

所以/('</(0)=0,所以批午一1<0,故;>皿?=一1110.9，即6>c，

所以/(--)</(0)=0,所以In—+—<0,故三<屋。，所以,修。<上，

10101010109

故。<6,

設8。)=尤1+111(1一》)(0<尤<1),則g，(x)=(尤+i)e*+^^=I^~1)；+J

令〃(x)=e*(x?-1)+1,h'(x)=er(x2+2%-l),

當O<x<0-1時，h'(x)<0,函數(shù)/尤)=1(/-1)+1單調遞減，

當應時,/7'(x)>0,函數(shù)//(x)=e*(f-1)+1單調遞增，

又力(0)=0,

所以當0〈尤<0—1時，/心)<。，

所以當0<尤〈近一1時，g'(x)>0,函數(shù)8。)=尤。'+111(1-回單調遞增,

所以g(01)>g(0)=0,即(Me。」>—lnQ9,所以0>c

故選：C.

方法二：比較法

a=O.le01,b=-^,c=-ln(l-O.l),

1—0.1

①lna-lnb=O.l+ln(l-O.l),

令f(x)=x+ln(l—x),xe(0,0.1],

1—x

貝urw=i---=--<o,

i-xl-x

故/(x)在(0,0.1]上單調遞減,

可得/(0.1)</(0)=0,即]na-]nb<0,所以a<b；

②〃—c=0.1網(wǎng)+ln(l—0.1),

令^(x)=xex+ln(l—x),xe(0,0.1],

則g'(x)=x/+e'-一匚=0+x)(j)e'T,

v71-x1-x

令k(x)=(l-^x)(l-x)ex-1,所以kr(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調遞增，可得左(x)>左(。)>。,即gr(x)>0,

所以g(M在(0,0.1］上單調遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

17.(2024年北京高考數(shù)學真題)已知(國,弘)，(々，%)是函數(shù)丁=2工的圖象上兩個不同的點，則()

必+丁2)玉+%2

A.logB.log

222222

C.1暇"；％+%2D.log2'；%+%2

【答案】B

【解析】由題意不妨設石<々，因為函數(shù)y=2"是增函數(shù)，所以0<2%<2巧，即。<必〈為，

2

對于選項AB：可得々二>，2』？=2=,即入±&>22>o,

22

X［+巧.

根據(jù)函數(shù)y=log2X是增函數(shù)，所以log?咤匹>log22'=土產，故A正確，B錯誤；

對于選項C：例如%=0,%2=1，則X=1，%=2,

可得log2H>=1。殳|€(0,1),即log?且產<1=%+%,故C錯誤；

對于選項D：例如玉=—I,3=—2,則

1O

nTMlog2=S2j=log23-3e(-2,-1),即log?>.3=%+9,故D錯誤，

2X2

故選：B.

18.(2024年天津高考數(shù)學真題)若』=4*,6=4.2%c=log420.2,則a,b,c的大小關系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】因為y=4.2,在R上遞增，且-0.3<0<0.3,

所以0<4.24<4,2°<4.203,

所以0<4.2心<1<4.2叫即0<a<l<6,

因為y=log42x在(0,+oo)上遞增,且0<0.2<1,

所以Iog4.20.2<k?g421=0,即c<0,

所以6>a>c,

故選：B

19.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(文)真題)已知函數(shù)〃力=小叫記。=/事由=于苧,c=f/

\7\J\

則()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】令g(x)=-(x-l)2,則g(x)開口向下，對稱軸為x=l,

因為手--=而(逐+6)2-42=9+60-16=6應-7>0,

在i、jn1(16]^6+^34n石

所以----1-1-------=------------------>0,BP-1>1―■—

2(2)2222

由二次函數(shù)性質知g(李<g(當，

因為乎-1-1一爸=后一J,ffi(76+N/2)2-42=8+4A/3-16=4A/3-8=4(^3-2)<0,

即9-1<1-當所以gg>g岑)，

綜上'g(*)<g*)<g(多，

又>=6,為增函數(shù)，i^a<c<b,即6>c>a.

故選：A.

20.(2023年天津高考數(shù)學真題)設以=1.0人力=1。儼6,C=0.6°S,則a,6,c的大小關系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由y=l.or在R上遞增，貝i|a=1.01°5<方=1.01。.6,

由y=X0-5在[0,+8)上遞增，貝Ua=1.01°-5>c=O.605.

所以6>o>c.

故選：D

考點4：恒成立與有解問題

22

21.(2024年新課標全國II卷數(shù)學真題)設函數(shù)/(x)=(x+a)ln(x+6),若f(x)N0,則a+b的最小值為(

A.—B.—C.—■D.1

842

【答案】C

【解析】解法一：由題意可知：“X)的定義域為(-4+8),

令犬+〃=0解得]=一〃；令ln(x+))=0角畢得犬=1一〃；

若一Q4一Z?,當工￡(—七1一b)時，可知X+a>0,ln(x+Z?)<。,

此時/(%)<0,不合題意；

若一b<—a<l—b,當了￡(—。,1一匕)時，可知x+a>0,ln(x+/?)<0,

此時/(%)<。，不合題意；

若—a=l—b,當了￡(—"1一匕)時，可知x+a<0,ln(x+b)<0,止匕時/(x)>0；

當％E[1—仇+8)時，可知％+aN0,ln(x+/;)20,止匕時/(1)20；

可知若-。=1-匕，符合題意；

若一口>1一當了￡(1-6,-Q)時，可知％+a(0/n(%+b》0,

此時/(%)<0,不合題意；

綜上所述：一a=l-b,即。=〃+1,

貝|/+/=/+(。+1)2=2[。+工]+工2工，當且僅當。=一上6=!時，等號成立,

V'[2)2222

所以/+尸的最小值為g；

解法二:由題意可知：〃x)的定義域為(-6,+8)，

令無+々=0解得X=—〃；令ln(x+z?)=。解得％=1—〃；

則當了￡(—七1一b)時，ln(x+Z?)<0,故x+a40,所以1一〃+Q<0；

無￡(1一仇+8)時，ln(x+/?)>0,t^x+a>0,所以1一/?+120；

i^l-b+a=O,則/+/=/+(〃+]/=2〔〃+；1

當且僅當a=-g,6=g時，等號成立，

所以1+〃的最小值為

故選：C.

SIDY(jr

22.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(文)真題)已知函數(shù)/(尤)=依---,xe0,-

COSXkL

⑴當“=1時，討論/⑴的單調性；

⑵若〃x)+sinx<o,求。的取值范圍.

SITlJC\TT.?

【解析】(1)因為a=l,所以〃x)=x-——0,-,

cosxI2J

cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinxcos2x+2sin2x

貝了(x)=l-=1—

cos4Xcos3X

cos3x-cos2x-2(l-cos2x)_cos3%+cos2x-2

3-3

COSXCOSX

令￡=cosx,由于尤e10,|■卜所以r=cosxe(0,l),

以cos^x+cos^x—2=/+/—2=/—(2+2t2—2=『—1)+2(/+1)(%—1)=+2/+2)(1—1)，

因為/+2，+2=(，+1)+1>0,%—IvO,cos3x=t>>0,

所以廣⑺=cos