2022-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（解析版）

三年真題

4M03導(dǎo)照及其應(yīng)用

目制魯港。絹施留

考點三年考情（2022-2024）命題趨勢

2024年全國甲卷（理）、2023年全國甲卷（文）

考點1:切線問題2024年全國I卷、2022年全國II卷

2022年全國I卷

2023年全國乙卷（文）

2022年全國乙卷（理）

考點2：單調(diào)性、極最

2023年北京卷

值問題2024年全國I卷、2024年全國II卷

2023年全國H卷、2023年全國n卷

高考對導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的考查相

2022年全國乙卷（文）

2022年全國甲卷（文）對穩(wěn)定，屬于重點考查的內(nèi)

2022年全國甲卷（理）

容.高考在本節(jié)內(nèi)容上無論試

考點3：比較大小問題2022年全國I卷、2024年北京卷

2024年天津卷題怎樣變化，我們只要把握好

2023年全國甲卷（文）、2023年天津卷

導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具

考點4：恒成立與有解2024年新課標(biāo)全國n卷

2023年全國甲卷（文）、2023年全國甲卷（理）這一點，將函數(shù)的單調(diào)性、極

問題

2024年全國甲卷（理）、2024年全國I卷

值、最值等本質(zhì)問題利用圖像

2023年全國乙卷（理）

考點5：極最值問題2023年北京卷直觀明了地展示出來，其余的

2024年全國n卷

就是具體問題的轉(zhuǎn)化了.最終

2024年全國甲卷（文）、2023年天津卷

考點6：證明不等式2023年全國I卷、2023年全國II卷的落腳點一定是函數(shù)的單調(diào)性

2022年全國n卷

與最值，因為它們是導(dǎo)數(shù)永恒

考點7：雙變量問題（極2022年全國甲卷（理）

2022年北京卷、2022年天津卷的主題.

值點偏移、拐點偏移）

2022年浙江卷、2024年天津卷

2024年全國n卷

2023年全國乙卷（文）、2024年天津卷

2024年全國甲卷（文）

考點8：零點問題2023年天津卷、2022年天津卷

2024年北京卷

2022年全國乙卷（文）、2022年全國甲卷（文）

2022年全國乙卷（理）、2022年全國I卷

曾窟饗綴。闔滔運溫

考點1:切線問題

1.（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)《理）真題）設(shè)函數(shù)〃尤）=:；：；”,則曲線y=〃x）在點（（H）處的切線

與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）

11_12

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】A

(ex+2cosx)(l+x2)-(ex+2sinx)-2x

［解析］rw=---------------(，--------------------，

(i+x)

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

貝U-(0)=1------------八，、\---------------=3,

即該切線方程為、T=3x,即y=3x+l,

令％=0,貝!Jy=l,令y=。，貝!Jx=

故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積S=：xlx-：=：.

25o

故選：A.

2.（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）曲線y=￡在點［1,；）處的切線方程為（）

x+1I2）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+——

424424

【答案】c

【解析】設(shè)曲線y=工在點k，；］處的切線方程為y-；=M》T），

x+1k2

因為y=——，

X+1

xe

所以y=二一'一

(x+i『(x+以‘

所以％=y'g=?

所以y―"|=2(xT)

所以曲線y=q在點處的切線方程為y無+［.

x+1V2；44

故選：C

3.（2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）若曲線y=/+x在點（0,1）處的切線也是曲線y=ln（x+1）+。的切線,

貝!!a=.

【答案】In2

,

【解析】由y=e'+無得y'=e*+1,ylI=0=e°+1=2,

故曲線、=/+》在（0,1）處的切線方程為y=2x+l；

由y=ln（尤+l）+a得y=-----,

設(shè)切線與曲線y=ln（x+l）+a相切的切點為（Xo，ln（xo+l）+a）,

由兩曲線有公切線得，=一9=2,解得無。=一:，則切點為+

玉）十12122J

不呈y=21x+—+In—=2x+1+q—In2,

根據(jù)兩切線重合，所以a-ln2=0,解得a=ln2.

故答案為：In2

4.（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點的兩條切線的方程為,

【答案】y=-xy=--x

ee

【解析】［方法一］:化為分段函數(shù)，分段求

分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時設(shè)切點為（玉,山5）,求出函數(shù)

俗

導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點求出方,即可求出切線方程,

當(dāng)x<0時同理可得；

因為y=ln|x|,

當(dāng)x>。時y=lnx,設(shè)切點為（％,In%）,由y'=g，所以=所以切線方程為y—lnx。=1（x7o）,

又切線過坐標(biāo)原點，所以Tnx°=-^（-x。），解得％=e,所以切線方程為yf=』（x_e）,即y=L；

xoee

當(dāng)xvO時y=ln（-x）,設(shè)切點為（％,In（-石）），由y=L所以川日=,，所以切線方程為

x玉

y_ln（f）=一（工一七）,

又切線過坐標(biāo)原點，所以-ln（F）=,（F）,解得當(dāng)=-e,所以切線方程為y_i=L（x+e）,即y

%—ee

故答案為：y=—x；y=-x

ee

［方法二］:根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合

當(dāng)x>0時y=ln%,設(shè)切點為（毛,In%）,由y'=L,所以91=%=’,所以切線方程為丁一足毛=一（工一/）,

又切線過坐標(biāo)原點，所以解得%=e,所以切線方程為y_i=」（x-e）,即y=L；

/ee

因為y=ln|R是偶函數(shù)，圖象為：

ee

［方法三］:

因為y=ln|X,

當(dāng)x>0時y=lnx,設(shè)切點為（?,In%）,由了=!，所以y'L&='，所以切線方程為y-lnx。=—（x-x0）,

xX0玉）

又切線過坐標(biāo)原點，所以一比不二-^-%），解得%=e,所以切線方程為y_l=』（x_e）,即y=L；

xoee

當(dāng)xv。時y=ln（—x）,設(shè)切點為（％,In（-石）），由；/=」,所以川『=,，所以切線方程為

x再

j-ln（-x1）=—（x-xj,

xi

又切線過坐標(biāo)原點，所以-ln（F）=’（-xJ,解得士=-e,所以切線方程為>_1=-1（》+6）,即y=」x；

七一ee

故答案為：y=—x；y=-x.

ee

5.（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）若曲線y=（x+a）ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則。的取值范圍

是.

【答案】（FT）U（O,+?0

【解析】Vy={x+a)ex,yr=(x+l+a)ex,

設(shè)切點為(X。,%)，則%=(%+。)e"，切線斜率左=(毛+1+〃)e",

切線方程為：y-(%o+〃)e%=(x0+l+a)e"(x-x0),

;切線過原點，，一(%+。卜而=(x0+l+〃)e"(-X。)，

整理得：x；+CIXQ—a=0,

;切線有兩條，***A=〃+4〃>0,解得Q<-4或4〉0,

???a的取值范圍是(—T)U(O,y),

故答案為：(-°°,~4)U(。,+°°)

考點2：單調(diào)性、極最值問題

6.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知函數(shù)〃x)=&+dln(l+x).

⑴當(dāng)a=-l時，求曲線y=/(x)在點(L〃l))處的切線方程.

(2)若函數(shù)“X)在(0,+“)單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=—l時，/(x)=Q-l^ln(x+l)(x>-l),

貝"f'{x}=--xln(x+l)+f--l^x,

XkXJX十1

據(jù)此可得/(l)=0，r(l)=-ln2,

所以函數(shù)在處的切線方程為卜0=-山2(%-1),即(ln2)x+y-ln2=0.

(2)由函數(shù)的解析式可得:=+++,

VX)VXJX十L

滿足題意時r(x”0在區(qū)間(0,+。)上恒成立.

令(—11n(x+l)+1—FQ]----20,則一(九+l)ln(x+l)+(x+tzx2)N0,

令g(x)=加+龍-(》+1)皿龍+1),原問題等價于g(x)20在區(qū)間(0,+8)上恒成立，

貝!1g'(x)=2ar-ln(x+l),

當(dāng)時,由于2方40,ln(x+l)>0,故g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減,

此時g(x)<g(O)=O,不合題意；

令無(X)=g/(x)=2ox-ln(x+l),則"(x)=2a...—,

當(dāng)awg,2aWl時，由于占<1,所以/z'(x)>O，Mx)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增，

即g'(無)在區(qū)間(0,+力)上單調(diào)遞增，

所以g3>g，(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增,g(x)>g(o)=o,滿足題意.

當(dāng)0<°<!時，由〃(x)=2a--—=0PT^X=--一1,

2x+12a

當(dāng)時，/1'(力<0,/1(力在區(qū)間10,：-1)上單調(diào)遞減，即g'(x)單調(diào)遞減，

注意到g'(0)=0,故當(dāng)xe(0,］-1時，g，(x)<g，(O)=O,g(x)單調(diào)遞減，

由于g(0)=0,故當(dāng)時，g(x)<g(O)=O,不合題意.

綜上可知：實數(shù)0得取值范圍是卜

7.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知x=%和了=々分另I」是函數(shù)/(x)=2/-e/(a>0且。工1)

的極小值點和極大值點.若為<々，則a的取值范圍是.

【答案】

【解析】［方法一］:【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點

因為/'(x)=21na?優(yōu)-2er,所以方程21na-2ex=0的兩個根為為,三,

即方程Inau*=e>x的兩個根為再，三，

即函數(shù)y=lna-"與函數(shù)y=ex的圖象有兩個不同的交點，

因為不，%分別是函數(shù)/(x)=2，-e?的極小值點和極大值點，

所以函數(shù)“X)在和(*2，+°°)上遞減，在(石,馬)上遞增，

所以當(dāng)時(-。,石)(々,+。)，/'(力<0,即丁=6%圖象在y=lnad上方

當(dāng)無?玉,無2)時，r(x)>0,即丫=6圖象在y=lne"下方

a>l,圖象顯然不符合題意，所以。<a<l.

令8(尤)=1114―i/,貝ljg,(x)=ln2fl-ax,0<a<l,

設(shè)過原點且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點為(%,1強.4)，

則切線的斜率為g'N”111%，源，故切線方程為丁-Ma,熄=ln%-a&(x-%),

則有-Inad。=T°ln2a.*,解得毛=白，則切線的斜率為吩a..*=eh?a，

因為函數(shù)y=lne"與函數(shù)V=ex的圖象有兩個不同的交點,

所以elYave,解得又Ovavl,所以—

ee

綜上所述，”的取值范圍為g,1).

［方法二］:【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)

f\x)=21na--2ex=0的兩個根為玉,三

因為蒼，馬分別是函數(shù)/(3)=2#-er2的極小值點和極大值點，

所以函數(shù)〃尤)在(-力,西)和(*2，+°°)上遞減，在(占,%)上遞增，

設(shè)函數(shù)g(x)=/'(x)=2(a*lna-ex),則8)=2aT(lna)2-2e,

若“>1,則'(%)在R上單調(diào)遞增，此時若/(%)=0,

則/'(X)在(-8,%)上單調(diào)遞減，在(5,+8)上單調(diào)遞增，止匕時若有X=X［和X=Z分別是函數(shù)

〃耳=2"-成(4>0且awl)的極小值點和極大值點，則%>%，不符合題意；

若則”)在R上單調(diào)遞減,此時若［%)=0,則/⑺在(-8,%)上單調(diào)遞增，在伉,+8)上單調(diào)

遞減，令'(%)=0,貝1*=石顯，此時若有x=七和彳=々分別是函數(shù)/("=2"-02(。>0且"1)的極

小值點和極大值點，且％<%,則需滿足尸(%)>0,7''(Xo)=2(*lna-exo)=2(高一e/］>。，即

x0<,xolna>1故lna、>=%olna=In(仙『>1,所以!<a<l.

【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題

的最優(yōu)解；

法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于

通性通法.

x+2,x<-a,

8.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)設(shè)。>0,函數(shù)/(x)=、層，，-aWxWa,,給出下列四個結(jié)論：

①f(x)在區(qū)間(a-1,+8)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)。時，〃x)存在最大值；

③設(shè)(再Va),N(%2，/(々*々>a),則|ACV|>1；

④設(shè)網(wǎng)演,/(芯))(工3<-。)，。(%4，/(%))(工42-。).若IPQI存在最小值，則。的取值范圍是(。，g.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】②③

【解析】依題意，a>0,

當(dāng)x<-a時，f(x)=x+2,易知其圖像為一條端點取不到值的單調(diào)遞增的射線；

當(dāng)-aWxWa時-，f⑺=五-x?,易知其圖像是，圓心為(0,0),半徑為。的圓在x軸上方的圖像(即半圓);

當(dāng)無>a時，/(x)=-^-l,易知其圖像是一條端點取不到值的單調(diào)遞減的曲線；

顯然，當(dāng)xc(a-l,+s),即尤時，“X)在上單調(diào)遞增，故①錯誤；

對于②，當(dāng)時，

當(dāng)工<-〃時，y(x)=x+2<—a+2<1；

當(dāng)-aWxWa時，/(無)=一肘顯然取得最大值a；

當(dāng)x>a時，/(X)=-A/X-1<-VO-1<-2,

綜上：/(%)取得最大值。，故②正確；

對于③，結(jié)合圖像，易知在為=。，/>。且接近于x=a處，MR/aDaWa),N(X2，/(尤2?(尤2>。)的距

離最小，

當(dāng)％=a時，y=/(可)=0,當(dāng)々>4且接近于x=a處，J2=f(x2)<-\/a-l,

此時，|項|>%-%>&+1〉1，故③正確；

因為尸(七,/(覆》(W<-?),2(X4,/(X4))(X4>-a),

結(jié)合圖像可知，要使|尸。|取得最小值，則點尸在〃力=。2口<-￡|上，點。在

同時歸。|的最小值為點。到了3=x+2、<T]的距離減去半圓的半徑。，

此時，因為〃x)=y=x+2(x<-gj的斜率為1,則%=-1,故直線OP的方程為了=一X,

聯(lián)立，,解得1，則尸-1,1,

[y=x+2[y=l

顯然P(-l,l)在/(x)=X+<-[J上，滿足「0取得最小值，

即a=g也滿足怛。|存在最小值，故.的取值范圍不僅僅是,故④錯誤.

故答案為：②③.

9.(多選題)(2024年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(X)=(X-1)2(X-4),則()

A.x=3是f(x)的極小值點B.當(dāng)0<x<l時，/(x)</(x2)

C.當(dāng)1<X<2時，-4</(2x-l)<0D.當(dāng)-!<x<0時，f(2-x)>f{x}

【答案】ACD

【解析】對A,因為函數(shù)〃x)的定義域為R,而/'(尤)=2(x-l)(x-4)+(x-l)2=3(尤一1)(無一3),

易知當(dāng)x?l,3)時,尸(力<0,當(dāng)xe(T,l)或x?3,+8)時,/(x)>0

函數(shù)”X)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增，故x=3是函數(shù)〃元)的極小值

點，正確；

對B,當(dāng)0cx<1時，x-x2=x(l-x)>0,所以

而由上可知，函數(shù)〃尤)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以>/(寸)，錯誤；

對C,當(dāng)1。<2時，l<2x-l<3,而由上可知，函數(shù)〃尤)在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以/⑴>/(2x-1)>/(3),即T<"2x_l)<0,正確;

對D,當(dāng)一l<x<0時，/(2-X)-/(X)=(1-%)2(-2-%)-(%-1)2(%-4)=(^-1)2(2-2X)>0,

所以/(2—x)>/(x),正確；

故選：ACD.

10.(多選題)(2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(》)=21_3加+1,則()

A.當(dāng)。>1時，Ax)有三個零點

B.當(dāng)。<0時，x=0是/(X)的極大值點

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對稱軸

D.存在a,使得點為曲線>=/(無)的對稱中心

【答案】AD

【解析】A選項，/(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe0)u(a,+oo)時/'(尤)>0,故/(x)在(-co,0),(a,+oo)上單調(diào)遞增,

xe(0,a)時，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

則f(x)在尤=0處取到極大值，在無=。處取到極小值，

由/(0)=1>0,/(a)=l-a3<0,則/(0)/(a)<。,

根據(jù)零點存在定理/(X)在(0,?)上有一個零點，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2a)=4a3+l>0,KO/(-1)/(0)<0,f(a)f(2a)<0,

則/(x)在(TO),(d2a)上各有一個零點，于是。>1時，/(x)有三個零點，A選項正確；

B選項，f'{x}=6x{x-a),a<0時，無e(a,。),/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

xe(0,+oo)時/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

此時/(x)在x=0處取到極小值，B選項錯誤；

C選項，假設(shè)存在這樣的d"使得x=b為/(x)的對稱軸，

即存在這樣的",b使得/(x)=〃26-尤)，

即2V—36,+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根據(jù)二項式定理，等式右邊(26-幻3展開式含有/的項為2C；(2與°(-x)3=-2/，

于是等式左右兩邊V的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的。,6,使得x=b為〃x)的對稱軸，C選項錯誤；

D選項，

方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡

/(1)=3-3?,若存在這樣的使得(L3-3a)為〃x)的對稱中心,

則/(x)+"2—x)=6-6a,事實上，

/(x)+/(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)/+(12a-24)x+18-12a

12-6〃=0

即12a-24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1"(D)是/(x)的對稱中心，D選項正確.

18—12〃=6—6〃

方法二：直接利用拐點結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點，

/(%)=2/一3公2+1,fr(x)=6x2-6ax,7"(%)=12%—6。，

由1(x)=0ox或于是該三次函數(shù)的對稱中心為，J,

由題意(1J⑴)也是對稱中心，故￡=10。=2,

即存在a=2使得(1,7(1))是f(X)的對稱中心，D選項正確.

故選：AD

11.(多選題)(2023年新課標(biāo)全國H卷數(shù)學(xué)真題)若函數(shù)y(x)=alnx+g+5(aw0)既有極大值也有極小

值，則().

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函數(shù)〃x)=alnx+2+二的定義域為(0,+s),求導(dǎo)得八當(dāng)=

%%XXXX

因為函數(shù)/(兄)既有極大值也有極小值，則函數(shù)/'(X)在(0,+8)上有兩個變號零點，而〃W0,

因此方程欠2一2c=0有兩個不等的正根石，九2，

A=/?2+Sac>0

b八

于是再+"2=—>。即有/+8ac>0,ab>0,ac<0,顯然a%c<0,即6c<0,A錯誤，BCD正確.

a

2c八

再“2二----〉0

a

故選：BCD

12.(2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)/(x)=ae￡-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則”的最小值

為(),

A.e1B.eC.JD.e-2

【答案】C

【解析】依題可知，尸(X)=改一^20在(1,2)上恒成立，顯然。〉0,所以xe-：,

設(shè)g(x)=xe，,xe(l,2),所以g〈x)=(x+l)e*>0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(l)=e,故即=即a的最小值為

故選：C.

13.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)函數(shù)/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2司的最小值、最大

值分別為()

,兀兀3兀71一兀兀C37171c

A.—，一B.,一C.—,—F2D.-----,—F2

22222222

【答案】D

【解析】/r(%)=-sinx+sinx+(x+l)cosx=(x+l)cosx,

所以“X)在區(qū)間(0馬和仔,上用X)>0,即/(X)單調(diào)遞增；

在區(qū)間上/'(力<。，即單調(diào)遞減，

又〃。)=〃2兀)=2,佃=>2,哈‘倡+11

所以/(%)在區(qū)間［0,2司上的最小值為-年,最大值為］+2.

故選：D

考點3:比較大小問題

14.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知9m=10,a=10'"-11,6=8"<9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【解析】［方法一］:(指對數(shù)函數(shù)性質(zhì))

由9"=10可得機=1嗝1。=瞿>1，而lg91gli<(lg9+lgU］=(粵］<l=(lglO)\所以瞿〉黑，

1g92J{2Jv'1g9IglO

即〃z>lgll,所以o=l(T-11>10電"_11=0.

又lg81glO<［g8；gl°J=僵2)<(則,所以督〉個,BPlog89>m,

所以/,=8"'-9<8叱'9-9=0.綜上，a>Q>b.

［方法二］：【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))

由9"=10,可得m=log910e(l,L5).

根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)/(了)=尤皿-尤-1(尤>1),則據(jù)(x)=%x"T-l,

令/'(x)=0,解得%=機占，由機=log910e(l,L5)知不€(0,1).

f(x)在(1,+?)上單調(diào)遞增，所以〃10)>/(8),即a>b,

又因為/(9)=9|。凝|。-10=0,所以。>0>b.

故選：A.

【點評】法—：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=--x-l(x>l),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該

題的最優(yōu)解.

3111

15.(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知。=J,6=cos—,c=4sin—,貝ij()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法一］:構(gòu)造函數(shù)

因為當(dāng)xe<tanx

C1c

故一=4tan—>1,故J>1,所以c>Z?；

b4b

12

f(x)=cosx+—x-1,XG(0,4-00),

f'(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，

故弁］>/(。)=。，所以COS」1^>0,

14；432

所以">“，所以c>〃>4,故選A

［方法二］:不等式放縮

因為當(dāng)x￡[o,]J,sinx<x,

取龍=!得：cos^=l-2sin匚>1-2已]=—,故

848⑻32

4sin—+cos—=J17sin+9],其中夕e(0,—,且sin(p——,coscp——

..11r~r_L1冗p711

當(dāng)>lz4sin—+cos—=J17時，一+0=—,及(p=-------

444224

…?141.1

止匕時sin—=coscp-,cos—=sin0=—j=

4V174V17

u114?14?1乂

故cos：=r=<—j==sm—<4sm—,故Z?v。

4V17V1744

所以匕>。，所以C〉Z?〉Q,故選A

[方法三]:泰勒展開

3102s20.2520.254

設(shè)％=0.25,貝lj〃=衛(wèi)=1—22-b=cos'l-H--------

322424!

.I

.1Sin410.2520.254、1生/口43

c=4Asm-=-^—^l-+,計算得c>b7〉〃，故選A.

4

[方法四]:構(gòu)造函數(shù)

因為￡=4tan!，因為當(dāng)％￡(0,=],sinx<x<tan%,所以即所以c>b；設(shè)

b4V2J44b

f(x)=cosx+x2-1,xG(0,+co),/'(x)=—sinx+x>0,所以了。)在(0,+8)單調(diào)遞增，則>/(0)=。,

131

所以COS1—石■>0,所以所以c>Z?〉〃，

故選:A.

[方法五]:【最優(yōu)解】不等式放縮

因為￡=4tan!，因為當(dāng)無/0,g],sinx<x<tanx,所以tan，>L即f>1,所以c〉b；因為當(dāng)

b4I2J^44%

尤e(0，V],sinx<x,MXx=-^cos-=l-2sin2->l-2f->|=—,故〃>。，所以c>b>a.

12)848⑻32

故選：A.

【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法;

方法5：利用二倍角公式以及不等式無e[o,",sinx<x<tanx放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解.

16.(2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)。=0.卜°/力=，c=-ln0.9,貝ij()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【解析】方法一：構(gòu)造法

1Y

設(shè)f(x)=ln(l+x)-Xx>-1),因為/(%)=J--1=—丹，

1+x1+x

當(dāng)xw(—l,0)時，f\x)>0,當(dāng)％w(0,+8)時r(無)<0,

所以函數(shù)fM=ln(l+%)—x在(0,+s)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/('</(0)=0,所以批午一1<0,故;>皿?=一1110.9，即6>c，

所以/(--)</(0)=0,所以In—+—<0,故三<屋。，所以,修。<上，

10101010109

故。<6,

設(shè)8。)=尤1+111(1一》)(0<尤<1),則g，(x)=(尤+i)e*+^^=I^~1)；+J

令〃(x)=e*(x?-1)+1,h'(x)=er(x2+2%-l),

當(dāng)O<x<0-1時，h'(x)<0,函數(shù)/尤)=1(/-1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)應(yīng)時,/7'(x)>0,函數(shù)//(x)=e*(f-1)+1單調(diào)遞增，

又力(0)=0,

所以當(dāng)0〈尤<0—1時，/心)<。，

所以當(dāng)0<尤〈近一1時，g'(x)>0,函數(shù)8。)=尤。'+111(1-回單調(diào)遞增,

所以g(01)>g(0)=0,即(Me?！?gt;—lnQ9,所以0>c

故選：C.

方法二：比較法

a=O.le01,b=-^,c=-ln(l-O.l),

1—0.1

①lna-lnb=O.l+ln(l-O.l),

令f(x)=x+ln(l—x),xe(0,0.1],

1—x

貝urw=i---=--<o,

i-xl-x

故/(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減,

可得/(0.1)</(0)=0,即]na-]nb<0,所以a<b；

②〃—c=0.1網(wǎng)+ln(l—0.1),

令^(x)=xex+ln(l—x),xe(0,0.1],

則g'(x)=x/+e'-一匚=0+x)(j)e'T,

v71-x1-x

令k(x)=(l-^x)(l-x)ex-1,所以kr(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得左(x)>左(。)>。,即gr(x)>0,

所以g(M在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以a>c.

故c<a<b.

17.(2024年北京高考數(shù)學(xué)真題)已知(國,弘)，(々，%)是函數(shù)丁=2工的圖象上兩個不同的點，則()

必+丁2)玉+%2

A.logB.log

222222

C.1暇"；％+%2D.log2'；%+%2

【答案】B

【解析】由題意不妨設(shè)石<々，因為函數(shù)y=2"是增函數(shù)，所以0<2%<2巧，即。<必〈為，

2

對于選項AB：可得々二>，2』？=2=,即入±&>22>o,

22

X［+巧.

根據(jù)函數(shù)y=log2X是增函數(shù)，所以log?咤匹>log22'=土產(chǎn)，故A正確，B錯誤；

對于選項C：例如%=0,%2=1，則X=1，%=2,

可得log2H>=1。殳|€(0,1),即log?且產(chǎn)<1=%+%,故C錯誤；

對于選項D：例如玉=—I,3=—2,則

1O

nTMlog2=S2j=log23-3e(-2,-1),即log?>.3=%+9,故D錯誤，

2X2

故選：B.

18.(2024年天津高考數(shù)學(xué)真題)若』=4*,6=4.2%c=log420.2,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】因為y=4.2,在R上遞增，且-0.3<0<0.3,

所以0<4.24<4,2°<4.203,

所以0<4.2心<1<4.2叫即0<a<l<6,

因為y=log42x在(0,+oo)上遞增,且0<0.2<1,

所以Iog4.20.2<k?g421=0,即c<0,

所以6>a>c,

故選：B

19.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知函數(shù)〃力=小叫記。=/事由=于苧,c=f/

\7\J\

則()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】令g(x)=-(x-l)2,則g(x)開口向下，對稱軸為x=l,

因為手--=而(逐+6)2-42=9+60-16=6應(yīng)-7>0,

在i、jn1(16]^6+^34n石

所以----1-1-------=------------------>0,BP-1>1―■—

2(2)2222

由二次函數(shù)性質(zhì)知g(李<g(當(dāng)，

因為乎-1-1一爸=后一J,ffi(76+N/2)2-42=8+4A/3-16=4A/3-8=4(^3-2)<0,

即9-1<1-當(dāng)所以gg>g岑)，

綜上'g(*)<g*)<g(多，

又>=6,為增函數(shù)，i^a<c<b,即6>c>a.

故選：A.

20.(2023年天津高考數(shù)學(xué)真題)設(shè)以=1.0人力=1。儼6,C=0.6°S,則a,6,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】由y=l.or在R上遞增，貝i|a=1.01°5<方=1.01。.6,

由y=X0-5在[0,+8)上遞增，貝Ua=1.01°-5>c=O.605.

所以6>o>c.

故選：D

考點4：恒成立與有解問題

22

21.(2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(x)=(x+a)ln(x+6),若f(x)N0,則a+b的最小值為(

A.—B.—C.—■D.1

842

【答案】C

【解析】解法一：由題意可知：“X)的定義域為(-4+8),

令犬+〃=0解得]=一〃；令ln(x+))=0角畢得犬=1一〃；

若一Q4一Z?,當(dāng)工￡(—七1一b)時，可知X+a>0,ln(x+Z?)<。,

此時/(%)<0,不合題意；

若一b<—a<l—b,當(dāng)了￡(—。,1一匕)時，可知x+a>0,ln(x+/?)<0,

此時/(%)<。，不合題意；

若—a=l—b,當(dāng)了￡(—"1一匕)時，可知x+a<0,ln(x+b)<0,止匕時/(x)>0；

當(dāng)％E[1—仇+8)時，可知％+aN0,ln(x+/;)20,止匕時/(1)20；

可知若-。=1-匕，符合題意；

若一口>1一當(dāng)了￡(1-6,-Q)時，可知％+a(0/n(%+b》0,

此時/(%)<0,不合題意；

綜上所述：一a=l-b,即。=〃+1,

貝|/+/=/+(。+1)2=2[。+工]+工2工，當(dāng)且僅當(dāng)。=一上6=!時，等號成立,

V'[2)2222

所以/+尸的最小值為g；

解法二:由題意可知：〃x)的定義域為(-6,+8)，

令無+々=0解得X=—〃；令ln(x+z?)=。解得％=1—〃；

則當(dāng)了￡(—七1一b)時，ln(x+Z?)<0,故x+a40,所以1一〃+Q<0；

無￡(1一仇+8)時，ln(x+/?)>0,t^x+a>0,所以1一/?+120；

i^l-b+a=O,則/+/=/+(〃+]/=2〔〃+；1

當(dāng)且僅當(dāng)a=-g,6=g時，等號成立，

所以1+〃的最小值為

故選：C.

SIDY(jr

22.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知函數(shù)/(尤)=依---,xe0,-

COSXkL

⑴當(dāng)“=1時，討論/⑴的單調(diào)性；

⑵若〃x)+sinx<o,求。的取值范圍.

SITlJC\TT.?

【解析】(1)因為a=l,所以〃x)=x-——0,-,

cosxI2J

cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinxcos2x+2sin2x

貝了(x)=l-=1—

cos4Xcos3X

cos3x-cos2x-2(l-cos2x)_cos3%+cos2x-2

3-3

COSXCOSX

令￡=cosx,由于尤e10,|■卜所以r=cosxe(0,l),

以cos^x+cos^x—2=/+/—2=/—(2+2t2—2=『—1)+2(/+1)(%—1)=+2/+2)(1—1)，

因為/+2，+2=(，+1)+1>0,%—IvO,cos3x=t>>0,

所以廣⑺=cos