2024-2025學(xué)年山東省濰坊市高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年山東省濰坊市高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.復(fù)數(shù)M的虛部是（）

A.之B.—C.WD.—!

2.設(shè)集合4={1,2,4},B={x|x2-5x+m=0},若力nB={2},則B=()

A.{2,-3}B.{2,-6}C.{2,3}D.{2,6}

3.已知向量落b,2在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2,則G+3）Z+7

加=()

A.0

B.3

C.6

D.12

4.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.如圖，某

坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，還有兩個

面是全等的等腰三角形，若4B=25M,BC=10m,且等腰梯形所在

平面、等腰三角形所在平面與平面ABC。的夾角均為45。，則該五面體

的體積為（）

A.375m3B.當(dāng)當(dāng)小c.545m3D.625m3

5.已知圓C：x2+y2-2x=0,則過點(diǎn)尸（3,0）的圓C的切線方程是（）

A.y=±|(x-3)B.y=±2Q-3)c.丫=士字(久一3)D.y=±4(刀-3)

6.數(shù)列{4}中，ai=2,an+1=an+2,若依+怒+i+…+/+9=270,則k=()

A.7B.8C.9D.10

7.設(shè)10WX1<X2<X3<X4W103隨機(jī)變量盤取值％i，x,x,X4的概率均為J，隨機(jī)變量§2取值

234-

比1+%2+汽3+無3+久4久3+久4+汽1力4+為1+比2

支2+當(dāng)+%的概率也均為,若記D（G）,。記2）分別是G，§2

313J3J3

的方差，貝1（）

第1頁，共9頁

A.D(fi)＞0(。)B.D(fi)=D(§2)

C.D&)＜。(0)D.D(右)與。(O)的大小不確定

8.已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)為/'(K),且滿足+y)=/(x)+f(y)+xy,

1

/⑴=0,f(l)=|,則八2)=()

33

A.0B-C.1D-

4Z

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知函數(shù)/'(久)=sin(tox+9)(其中3,9均為常數(shù)，|租|＜兀)的部分圖像

如圖所示，貝!1()

71

A.中=-§

B.f(x)的最小正周期為兀

C.f(x)圖像的一個對稱中心為(-瑞,0)

D./O)的單調(diào)增區(qū)間為［一居+時，kEZ

J?乙1Z

10.已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和又滿足an-Sn=4(71=1,2,…)，則()

A.a，2=1B.｛冊｝為等比數(shù)列

C.｛即｝為遞減數(shù)列D.｛斯｝中存在小于焉方的項(xiàng)

11.已知正方體4BCD-A/iCiDi棱長為1,E為棱A4i上一動點(diǎn)，CE1平面a,貝ij()

A.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)4重合時，CE〃平面48C1

B.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)4重合時，四面體ECDiBi的外接球的體積為苗

C.直線CD與平面a所成角的正弦值的取值范圍是［浮,字］

D.當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)乙重合時，平面a截正方體所得截面可為六邊形，且其周長為定值3避

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.邊長為2的正三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為.

13.已知四個函數(shù)：①y=-ex,@y--Inx,③y=x,④y=叵從中任選2個，則事件“所選2個函

數(shù)的圖像有且僅有一個公共點(diǎn)”的概率為.

14.已知橢圓C：卷+必=1,過萬軸正半軸上一定點(diǎn)M作直線I,交橢圓C于4B兩點(diǎn)，當(dāng)直線I繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)

時，有|4：|2+|8；|2=為常數(shù)),則定點(diǎn)M的坐標(biāo)為,"=.

第2頁，共9頁

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

TT

記△ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知csinB=bsin(C+§),

⑴求C；

(2)若b=6,且△力BC的面積為68，求△ABC的周長.

16.(本小題15分)

如圖，Rt△ABC中，/.ACB=90°,/.CAB=30°,BC=3,AD=2避，過點(diǎn)。作DE1AB,垂足為E,

將△4DE沿DE翻折至△PDE,使得PB=3顯

(1)求證：PE1平面BCDE；

(2)若。M=PM,求直線EM與平面PBC所成角的正弦值.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(%)=ex-ax2—x—l.

(1)若/(I)=e-2,求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若XG(0,+oo),/(%)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.(本小題17分)

己知雙曲線：魯工=l(a>0力〉0)的焦距為4,離心率為2,%,尸2分別為C的左、右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)4(%,月

),3(久2，、2)都在C上.

(I)求C的方程；

(2)若麗=2取，求直線AB的方程；

(3)若AFJ/BF2且打犯<0,yiy2>0,求四個點(diǎn)4B,%,&所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍.

19.(本小題17分)

錯位重排是一種數(shù)學(xué)模型.通常表述為：編號為1,2,3,九的幾封信，裝入編號為1,2,3,....九的幾個

信封，若每封信和所裝入的信封的編號不同，問有多少種裝法？這種問題就是錯位重排問題.上述問題中，

第3頁，共9頁

設(shè)幾封信均被裝錯有即種裝法，其中由=0.

(1)求。2，a3,a4；

(2)推導(dǎo)0n+2,an+1,an之間的遞推關(guān)系，并證明：｛斯+i—(n+1)冊｝是等比數(shù)列；

(3)請問俏信均被裝錯的概率是否大于《？并說明理由.(參考公式：ex=l+x+17+§+-+￡+-)

第4頁，共9頁

參考答案

1.5

2.C

3.5

4.B

5.C

6.C

7.4

8.D

9.ABD

IQ.ACD

11.ACD

12.48兀

13.|

14.(畔,0)6

TT__

15.解：(1)在△ABC中，由csinB=bsin(C+§)及正弦定理，

7T

得sinCsinB=sinBsin^C+§),而s譏8>0,

則sin(C+^)=sinC,即方譏。+字cosC=sinC,

化簡得tcmC=在，又C6(0,71),

所以C=宗

(2)由(1)及三角形面積公式，

得義absinC=&?a=6避，解得a=4,

由余弦定理，得c=7a2+b2-2abcosC=J42+62—2X4x6x-i=2y/7,

所以△ABC的周長為a+b+c=10+2yp.

16.1?：(1)證明：???DE1AB,由折疊前后的關(guān)系，可知PE1DE,

又PB=3也，PE=AE=ADx/.CAB=2避乂號=3,

：.EB=AB-AE=6-3=3,PE2+EB2=PB2,

第5頁，共9頁

PE1EB,又PE1DE,且EBCDE=E,

PE1平面BCDE；

(2)由(1)可知PE,ED,EB兩兩相互垂直，故建系如圖:

由ED=鄧,C到力B的距離為BCxsin600=3*岑=￥，

又4E=EB=EC=BC=3,M為PD中點(diǎn)，

￡(0,0,0),￡>(73,0,0),P(0,0,3),M謬,0,|),B(0,3,0),其挈|,0),

.??前=(察0,|)，麗=(0,3,—3),玩=(唱怖3),

設(shè)平面P8C的法向量為日=(x,y,z),

(n-PB=3y-3z=0

則1麗=%久+%-3z=0，取完=(1,居我,

22，

???直線EM與平面所成角的正弦值為：

lcos<FM蔡>I_I面限a_2并_2小

\EM\\n\4+充x,77

17.解：(1)/(%)=ex-ax2-x-l,

則f(l)e—a—2=e-2,得a=0,

則/(%)=ex-x-l,/'(%)=ex-l,

當(dāng)久G(一8,0)時,f(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，

當(dāng)%E(0,+8)時，/(%)>0,/(%)單調(diào)遞增;

(2)由/(%)=ex—ax2—x—l,得/'(%)=ex-2ax—l,

xx

令g(%)=/'(%)=e—2ax—lf則g'(%)=e—2a(x>0),

當(dāng)a時，g'(x)=ex-2a>0在(0,+8)上恒成立，

則9(%)單調(diào)遞增，即［(%)>f(0)=0,

可得/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，有/(%)>/(0)=0成立;

第6頁，共9頁

當(dāng)a>|■時，由g'(%)=ex-2a<0,得0V%<Ina,

可知當(dāng)％e（0,伍2a）時,g（%）即/'（%）<:（。）=0,

/（%）在（0,仇2。）上單調(diào)遞減，有/（%）<0,不滿足對V%6（0,+oo）,有/（%）>0.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-8,4.

12c=4

18.解：（1）由題意，*=2,解得《二/

a2+b2=c2iv

2

C的方程為*2=1;

（2）根據(jù)題意知，直線AB的斜率不為0,設(shè)直線的方程為x=my+2,

福=2不，得力=一2丫2，A,B都在右支上，

'x—my+2

由,/一加=],得（3根2—1）必+12爪）/+9=0.

由已知可得3nI2一17o,j=36m2+36>0.

.—12m9

%+y2=^zpyiy2=^zi-

結(jié)合月=-2y2，可得Q把=-2（3；2_I）,解得爪=±嚶，滿足△>°，

則直線力B的方程為無士嚼y-2=0；

（3）4（%1,丫1）,8。2,丫2），4%//8/2且<。，月丫2〉。，

則4B分別在雙曲線的兩支上，不妨設(shè)4B都在x軸上方，

又AF1UBF2,貝^在第二象限，B在第一象限，如圖所示，

延長4%交雙曲線于點(diǎn)P,延長B燈交雙曲線于點(diǎn)Q，

由對稱性可知，四邊形4PQ8為平行四邊形，且面積為四邊形4%F2B的2倍，

由題設(shè)（2（久3，、3），直線4P的方程為x=機(jī)>一2,直線BQ的方程為久=my+2,

第7頁，共9頁

由(2)可知田Q|=/+m21yLy2I="+蘇.噌黨

??-3m2-l<0,\BQ\=,兩條直線4P與BQ的距離d=大今蒜

16—叱3771“+?7L十〃，

??S四邊形用出85s四邊形/PQB=^BQ\d=喑手.

令t=yjl+m2,tG[1,罕)，

則S四邊形4%FzB=號=肯在[1,當(dāng)5上為單調(diào)增函數(shù)，

???S四邊形4F#zBe[12,+8),當(dāng)t=l,即m=0時取最小值12，

???四個點(diǎn)4B,尸1，尸2所構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍是[12,+8).

19.解：(1)由題意可得a?=1,a3=2,ci4=3x3xlxl=9.

(2)若有幾+2封信時，其裝法可分為兩個步驟：

第一步：編號為n+2的信，有n+1種裝法；

第二步：重裝其余的幾+1封信，根據(jù)第一步裝法可分為兩類，

第一類，若編號為n+2的信，裝入編號為k的信封(k=1,2，…,n+1),但編號為k的信裝入編號為n+2的

信封，這樣有與種裝法；

第二類，若編號為幾+2的信，裝入編號為k的信封(k=1,2，…,n+1),但編號為k的信不裝入編號為n+2

的信封，這樣有即+i種裝法；

由分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理，所以廝+2=(n+l)(an+i+an),

所以an+2=(n+l)(an+i+an),

、下明。十+2一(九+2)a〃+i_(>++a-)—(九+2)a、+i_-a九+1+(n+l)a九__1

T

力：an+i-(